$ 3.2柯西积分定理与原函数果一柯西定理及其推论1825年柯西证明了解析函数的积分与路径无关（Cauchy定理）设f(z)在单连通域E内解定理3.2析，C为E内任一简单闭曲线，则c f(z)dz = 0证明：只就f(z）“在E内连续”的条件下进行证明令 z=x+iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y)Φ f(z)dz = Φ_udx - vdy +id_ vdx + udy则
§3.2 柯西积分定理与原函数 一、柯西定理及其推论 1825年柯西证明了解析函数的积分与路径无关。 定理3.2 （Cauchy定理）设 f (z)在单连通域E内解 析, C为E内任一简单闭曲线，则 ( )d 0 C f z z = 证明：只就 f z ( ) “在E内连续”的条件下进行证明。 令 z x iy = + , f z u x y v x y ( ) ( , ) i ( , ), = + 则 ( )d d d i d d C C C f z z u x v y v x u y = − + +
由 f'(z)在E内连续有u(x,y)v(x,y)的偏导数在E果内连续，并适合C一R条件：OuOvOv OuOxay'ayax所以由格林公式得f.udx - vdy = 0_ vdx + udy = 0即P_ f(z)dz = 0
由 f z ( ) 在E内连续有 u x y v x y ( , ) ( , ) 、 的偏导数在E 内连续，并适合C－R条件： , u v u v x y y x = = − 所以由格林公式得 d d 0 d d 0 C C u x v y v x u y − = + = 即 ( )d 0 C f z z =
果定理3.3如果函数f(2)在单连通域E内解析;（。f(z)dz只与起点与终点有关，而与那么C的路径无关
定理3.3 如果函数 f (z)在单连通域E内解析， 那么 c f z z ( )d 只与起点与终点有关，而与 C的路径无关
例 I设C是正向圆周z=1,则以下积分都等于0。果(1)Φ_ze'dz(2)dz-21(3) dz9cz2 +2z +4
例1 设C是正向圆周 z =1, 则以下积分都等于0。 (1) e dz C z z (2) 1 d C 2 z z − (3) 2 1 d C 2 4 z z z + +
二、原函数与不定积分果若在E内固定点zo，而让终点z在E内变化，C为(f(2)dz 就定义了连接z与z的任意曲线，则，记为：一个单值函数，F(z)= (cf(z)dz= ( f(S)dg设f(2)在单连通域E内解析，点 z。EE,定理3.4则F(2)= f(5)d 在E内解析，且F(z) = f(z)
二、原函数与不定积分 若在E内固定点 0 z , 而让终点 z 在E内变化， ( ) ( ) 0 ( ) d d z C z F z f z z f = 连接 0 z 与 z 的任意曲线， 则 ( )d C f z z 就定义了 一个单值函数， 记为： 定理3.4 设 f (z)在单连通域E内解析， 0 点 z E , 则 ( ) 0 ( ) d z z F z f = 且 F z f z ( ) ( ) = C为 在E内解析