第二章解析函数患登解析函数是复变函数研究的主要对象1介绍复变函数导数概念和求导法则2讲解解析函数的概念及其判别法，阐明北解析与可导的关系大学3介绍一些常用的初等函数，说明它们的解析性
第二章 解析函数 解析函数是复变函数研究的主要对象 1 介绍复变函数导数概念和求导法则 2 讲解解析函数的概念及其判别法，阐明 解析与可导的关系 3 介绍一些常用的初等函数，说明它们的 解析性
$2.1解析函数的概念哈一、 复变函数的导数1导数的定义定义1设函数の=f(z）在开区域D内有定义北ZoED，z=zo+△z是D内任一点，令△o = f(zo + △z) - f(zo)大兴f (zo +z)-f (zo)△o如果limlim存在，记作AAzAz->0Az4z->0称f(z)在z处可导，A 为f(z)在 z 处的导数do记作：f"(z)或Z=20dz
§2.1 解析函数的概念 一、复变函数的导数 1导数的定义 设函数 = f z( ) 在开区域D内有定义 0 z z z = + 是D内任一点，令 0 0 = + − f z z f z ( ) ( ) 如果 ( 0 0 ) ( ) 0 0 lim lim z z f z z f z z z → → + − = f z( ) 在 0 z 处可导，A 为 f z( ) 在 0 z 处的导数 f z ( 0 )或 0 z z d dz = 0 z D , 定义1 存在，记作A 称 记作：
来f(zo +△z) - f(zo)房即 (=o)=lim(2.1)zAz-0或写成微分形式(2.2)△= f'(z)△z +o(zD)(△z→0)北故也称f(z)在z.处可微df(zo）= f(zo）·△z 为f(z)在z.处的微分大学如果（z）在区域D内处处可导（可微）则称(z)在D内可导（可微）
即 (2.1) 或写成微分形式 = + → f z z o z z ( 0 ) ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) lim z f z z f z f z z → + − = (2.2) df z f z z ( 0 0 ) = ( ) ( ) 0 为f z z 在 处的微分 故也称 ( ) 0 f z z 在 处可微。 则称 如果 f z( ) 在区域D内处处可导（可微）， f z( ) 在D内可导（可微）
例1求函数f(z)=z"（n为正整数）的导数盅浴解 因为f(z+△z)- f(z)limAz△z->0北z + △z)" -zn= limzz>0大学nzh-1n-= lim+2!4z->0n-l=nzf'(z) = nzn-1所以
例1 n 求函数 f (z) = z （ n 为正整数）的导数。 解 因为 ( ) ( ) 0 lim z f z z f z z → + − ( ) 0 lim n n z z z z z → + − = ( ) 1 2 0 1 lim 2 ! n n z n n nz z z − − → − = + + n 1 nz − = 所以 ( ) n 1 f z nz − =
例2证明f(z)=Rez 在全平面处处不可导。盅光哈证明因为对任意一点 zf(z)- f(zo)Rez-Rezo_Re(z-zo)Z- ZoZ-Zoz-Zo北分别考虑直线Rez=Rezo及直线Imz=Imz在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线大兴上，上式恒等于1。故当z→z.时，上式没有极限，即f(z)在zo处没有导数。由于 zo的任意性，(z)在全平面处处没有导数
例2 证明 f z z ( ) Re = 在全平面处处不可导。 证明 0 因为对任意一点 z ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f z f z z z Re Re z z Re z z z z z z − − − = = − − − 分别考虑直线 Re Re 0 z z = 及直线 0 Im Im z z = 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线 上，上式恒等于1。 0 故当 z z → 时，上式没 有极限，即 f z( ) 0 在 z 处没有导数。由于 0 z 的任意性，f z( ) 在全平面处处没有导数