S3.3Cauchy积分公式果设f(z)在单连域D内解析，z。E D,则函数f(2)在z处不解析。由复合闭路定理，设Cz- Zo是以z。为中心,为半径的正向圆周，,则对任f(2)意的s>0,积分Φdz 取相同的积分值。C Z-Z0若让S→0,则z→zo,形式地有f (zf(zo)dz→2dz=f(=)§2--)dz-Z0-Zo= f(zo)·2元i
§3.3 Cauchy积分公式 设 f (z)在单连域D内解析， 0 z D , 则函数 ( ) 0 f z z z − 在 z0 处不解析。由复合闭路定理，设C 0 是以 z 为中心， 为半径的正向圆周，则对任 意的 0, ( ) 0 d C f z z z z − 积分 取相同的积分值。 若让 → 0, 0 则 z z → ， 形式地有 ( ) 0 d c f z z z z − ( 0 ) 0 d c f z z z z → − ( 0 ) 0 1 d c f z z z z = − = f z( 0 ) 2πi
一、柯西积分公式盅E7 设,f(z)在区域D内处处解析，C为D内的定理3.7任何一条正向简单曲线，它的内部完全含于D.zo为C内的任一点，则：f(z)dz(3.3.1)f(zo2元i Yc(z-z0)证明由于f(z)在zo 连续，任意K给定8>0,必存在一个S>0RZACD当z-z<时，有[(2)-f(zo)/<8现以z为中心,R为半径作圆周K:|z-zo|=R，使其全部包含在C的内部,且R<S,则有
D 0 0 1 ( ) ( ) d (3.3.1) 2πi ( ) C f z f z z z z = − 一 、柯西积分公式 定理3.7 设 f (z)在区域D内处处解析，C为D内的 任何一条正向简单曲线，它的内部完全含于D, z0为C内的任一点，则： 证明 K 0 z R z 由于 f (z)在z0 连续， 给定 0, 任意 必存在一个 0, 当 0 z z − 时，有 f z f z ( ) − ( 0 ) 现以z0为中心， 0 R 为半径作圆周K：z z R − = , 全部包含在C的内部， 使其 且 R , 则有 C
Nf(zdzNdz盅SZ-Z0+f(z)-f(zo)1Cdzdz +KK7z-Zo20=2元if(z)+Φ,()-()dzKz-Zo[f(2)-f(z0)f()-()d<Φ大ds而[z - zolZ-Zo8ds = 2元8dRJK)-f(zo)f(z)由ε的任意性，有dz = 0JKz- ZoT所以dz = 2元if(zo)cz-Zo
( ) ( ) 0 0 d d c K f z f z z z z z z z = − − ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 2πi d K f z f z f z z z z − = + − ( 0 0 ) ( ) ( ) 0 0 d d K K f z f z f z z z z z z z − = + − − ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 0 d d K K f z f z f z f z z s z z z z − − − − 2 K ds R = 而 ( ) ( 0 ) 0 d 0 K f z f z z z z − = − 所以 ( ) 0 0 d 2πi ( ) c f z z f z z z = − 由 的任意性，有
说明忠1设区域D是简单闭曲线C的内部,f(z)在D内解析，在闭区域D=D+C上连续则Cauchy积分公式(3.3.1)仍然成立。2上述简单闭曲线可以是一个复合闭路即D不必是单连域。Cauchy积分公式(3.3.1)表明，解析函数3f(z)在C内部任意一点的值，完全由它在其边界上的值所确定
说明 ① 设区域D是简单闭曲线C的内部，f (z)在 D内解析，在闭区域 D D C = + 上连续， 则Cauchy积分公式(3.3.1)仍然成立。 ② 即D不必是单连域。 上述简单闭曲线可以是一个复合闭路， ③ Cauchy积分公式(3.3.1)表明，解析函数 f (z)在C内部任意一点的值， 在其边界上的值所确定。 完全由它
dz果例1 计算积分=(z - 1)(z - 2)其中:1）C是正向圆周「z|=1/2|z-1|=1/42）C是正向圆周/z|=33）C是正向圆周解：1）I=0（Cauchy积分定理)11=Φdz2)(z -1)(z - 2)[z1]=1/4 1(z-2)-2元idz=2元iz-1z-2z-1|=1/47=
例1 计算积分 d ( 1)( 2) C z I z z = − − 其中： 1）C是正向圆周 | z|=1 2 2）C是正向圆周 | z −1|=1 4 3）C是正向圆周 | z|= 3 解：1） I = 0 (Cauchy积分定理) 2） | 1| 1 4 1 d z ( 1)( 2) I z − = z z = − − | 1| 1 4 1 ( 2) d z 1 z z − = z − = − 1 1 2πi 2πi 2 z z = = = − −