目录1第一章全纯函数251.幂级数52.9复可微函数53.Cauchy 积分1154.恒等定理1855.在Reinhardt域中的展开2056.26实和复可微性57.32全纯映射35第二章全纯域·35$1.连续性定理52.拟凸性424753.全纯凸性$4.Thullen定理5355.全纯凸域57$6.例子6357.C*上的Riemann域67..58.全纯包7683第三章Weierstrass预备定理$1.幕级数的代数8352.Weierstrass 公式87.9153.收敛幂级数54.96素因子分解55.进一步的结论（Hensel环和Noether 环）9956.解析集合103121第四章层论·51.集合的层[2152.具有代数结构的层128it
$3.解析层射135$4.凝聚层138第五章复流形.146$1.复环式空间1465 2.关于复流形的函数论151..$3.复流形的例子15754.C*的闭包…176第六章上同调论184$1.散射（松软）上同调184Cech上同调$2.19453.二重复形200$4.上同调序列205$5.关于Stein流形的主要定理214第七章实方法219$1.切向量219$2.复流形上的微分形式.226$3.Cauchy积分229$4.Dolbeault引理..23355.强层（Dolbeault和deRham的定理）236符号表242参考文献243跋·245
第一章全纯函数引言 4设C是复数域，n是自然数，我们称有序的n个复数构成的集合Cn= ( (21, ..,z,):2,e C, 1<v<n)为n维复数空间。点3EC"的每个分量能被唯一地分解成实部和虚部：2 x+iyy这在C"的元素（81，.）和2n维实数空间R2"的元素（1，x.,y1，·.·，y)之间给出一个唯一的1一1对应.C*是向量空间：两个元素的加法以及C的一个元素与一个（实或复）纯量的乘法以分量方式加以定义：作为一个复向量空间，C”是n维的；作为一个实向量空间，它是2n维的。显然，C”和R"之间的R向量空间同构导致C上的一个拓扑：对于：（1..,) m(xi +.iyi....,x+iy)ECn,令Zx)(x+ ))lallIlall*=,max (1xl,lyr).1由a和3:l*定义C上的范数,而相应的度量由dist(31,82) l131-32ll,dist*(8i,32) l11 - 32ll*给出。在每种情况，我们得到C"上一个拓扑，这个拓扑与通常关于R2n的拓扑一致。C"的其他度量，如由lal一max1l和dist（31,32）13132]所定义的，也诱导出通常的拓扑。一个区域BCC"是开集（具有通常拓扑）；一个域是连通的开集，开集GCC*称为连通的，如果满足下列两个等价条件之：
a.对于每两个点3.33EG，存在一个连续映射@:10,11>C满足(0) (1)且@([0,1])CGb.如果BB,CG是开集，具有B,UB,=G，BnB,=@和B,十，则B，一@。定义.设BCC"是个区域，点EB，集合C（）aEB：和3能够用一条B中的路径连结）称为在B中的分支。.附注，设BCC是一个开集，则：a.对于每个aEB，CB(a和B一CBa）是开集.b.对于每个aEB，CBa）是连通的C. 从 C()nC()+ @ 可得CB(a)C()d. B - U Cr(3).JEB.e如果G是一个域，并且EGCB，则GCC)f.B至多有可数个分支.证明是平凡的。最后，对于EC”，我们定义：U.(80) m zE Cn:dist(3, ) < 6),U*(o) (aE Cn:dist*(o, b) < 8),U'(80) (8e C": dist'(3, 30) < 8).sl.幂级数设M是C”的一个子集，从M到C的映射f称为M上的一个复函数，多项式p(a) 一- ap,sft..x,a..n,E C21**.Vna是特别简单的例子，它定义在所有C上。为简化记号，我们引进重指标：设，1n，是非负整数，一（.,.)是C"上的一个点，我们定义：(op, -2, -
采用这个记号，则多项式可写成p(a) =设点EC"，对以≥0，a是一个复数。则表达定义 1.1.式）称为一个关于%的形式幕级数这样的表达式，正象这名称所说，仅有形式上的意义．对于一个特定3，它未必表示一个复数。由于重指标能够用多种方式排列，所以如何进行求和是不明确的，因此我们必须引进一个适当的收敛概念。定义12. 设9-{(..,):≥0,1≤i≤n),E C"固定,我们称a,(一)"收敛于复数 c,如果对每一个VmO8>0，存在一个有限集I.CS，使得对任意满足1.CICS的有限集1，有Z a,(8 - 30)~ -c/ <8,这时记> a( 0)"= c.在这个意义下的收敛和绝对收敛是同义的。定义1.3.设M是C的一个子集，EM，f是M上的一个复 a,(a 一 )"在 M 上一致收敛于 f(3),如函数。我们说幂级数V-0果对每个8>0,存在一个有限集1.C9，使得对每个1.CIC9的有限集I和每个EM，均有Za,(s - 0)"- f(a)]<8.6