复数与复变函数第一章生命，那是自然付给人类去雕球的宝石，诺贝尔&导复变函数就是自变量为复数的函效，本课程研究的主要对象悬在某种意义之下可导的复变函数，通常称为解析函数，为建立这种解析函数的理论基础，在这一章中，首先引人复数的代数运算及其多种表示法：其次介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性等概念，这些概念及性质与一元或二元数积分中相应摄念及性质在形式上几手完全相同，但本质上却有很大差别，虚当待别给以关注。每学一个概念、定理，均要与高等数学中相应部分进行对照，尤其要记住差别。(e）=α(r.y）+十iw(.y）是联系高等数学与复变函数的重要格染，全书许多定理的表速或证明均频借助于a（.y)（+y)复变函效理论体系的构建，以高等数学为参照系，并借用了其中的结论，回过头来，对其中的一些辣手的高等数学间题能轻面易举地加以解决，例如，用留数计算广义积分等，同时，复变函数向应用领域的延件电是独特的
4.线性代数·复变函数·概率统计习题全解（中册）福第一章复数与复变函数.5本章知识结构V345≥/ = sarg(2) maretan(2概念(3) (3 + 42(2 - 5D) 4± 32(2 ~ 51) --13i-2代数选算m()=-13#=号+13Re(z) .1几何表示26le1号/291ar4=arctan(号）年2泉聚与方根(4)1-4m+i=1-4+1-1-3复数与Re(=)=1;Im()=-312-1+3it(e/=V10复变函数区城args=—aretan3定义2.当*等于什么实数时。等式+1$—3）1+（成立15+3复支函数映射由=+1±16-3)=1+i可得解5+3i械限( + 1) +i(y 3) = 2 + 8i连续性[+1=2[r-]因此时等式成立，y-3-81y=13.证明虚单位1有这样的性质：—11-习题全解1zFs-i-i证明is：因此—-1.求下列复数：的实部与虚部，共钜复效，模与辐角主值。-4.证明：(2) +-_3(1)3+21(1) /- =-:(2)士1-(3) (3 + 40)(2 - 5i)28+0(4)4+i(4)(3(3)2=22i23-2i3十80+28-0号+（）解(1)(5)2-8,lm(z)---号+号1( +e),Im(0) =Re(z)-(6) Re(=) =(2~2)13证明（1)由+yi.得iarg*——arctan(号)1= =V13I r + y1-2-号+()3i(2)↓（+y(=yi)=+y等式成立2(2)设+i.=+i则Re(a）号m(a)号号+号左式±+±(+)
第一章复数与复变西数:7..6.线性代数·复变西数·核率统计习冠全解（中册）7.判定下列命题的真假：士+(（2）若为纯虚数，则牛三(1）若为实常数，则c一c=(±)(±i（4）零的辐角是零(3)i<21)右式=±=（+±（+)（5》仅存在一个数，使得！()±()=-2=±±(6)+=21+(7)=等式成立，解（1）真合题，因为实数作为复数，其虚部为零，所以若为实数，则必(3)设+y=+i则有i=,)(+(2）真命题.若z为纯虚数，不妨设=iyy≠0，=一iy.由于y手0.=)(+所以iy≠一iy.即#≠s，(()（3）假争题，因为实数集外的复数不能比较大小，()(+y)i（4》假命题，因为复数0的辐角可以是任意的，1等式成立。t（5）假命题，若」(4)设+=+则=-z设--r+iy.则3+11z-iyr-iy27++r+yr+iy(+)()IF+y=-r+yJz=o-X=±1--3=+xZ2+y等式成立。两个复致=1#=—1均满足三一，不止一个。(5)设=十3则-iEar+yint（6）假命题举反例，令2=i2:--1.期3:+2=0面121+22(6)设+则=-=2,此时12+±121+[2:1号(+2)=+(- +++) +-Re(d)[+1=1+1不恒成立，（7）真合题，证明：设产#本十iy，则1+yi-r+yi)-ymIm()4Emriy5.对任何，=是否成立？如果是，就给出证明，如果不是，对哪些--i--i-y)=-y-i2值才成立？答不成立，例如=2=户=一1.而1，-i+y)--y+ix--y-ix只有为实数时，等式=才成立，$+-E.6.当≤1时，求十的最大值其中为正整数a为复数8.将下列复数化为三角表示式和指数表示式#+a+la≤+al故1+a1为所求
感第一章复数与复变函数·9..8:线性代数复变函数·概率统计习题全解（中册）=zcosayisineI()i;(2) -1(3）旋转公式：yzisina+yicosa(3)1+/3:(4)1—cosp+isinp(0≤9≤)设=+y,z=+yi(5)-4(s)）(con59+ isins2)则(z,cosa ,sine) +i(x,sine + y,cosa)(cos3pisin3p)= cosa(x; + iy) + (+iz,)sinat解(1)因为r==1.arg()=·所以2= (cose)t, + i(sine)z)++i号 z, (cosa + isina)i=cos的三角形式为= 2,e-1-0的指数形式为10.一个复数乘以一i，它的模与辐角有何改变？(2)由=1-=1.arg(-1)-,知答设复数为*，则(一1)=。r=n（年),因此,模不变，1cost+isinn验角或小号：1 =e"f11.证明：3+1+-=2（1+3）并说明其几何意(3)因为r=/+（V）=2arg(1+1V3）号所以义,1+iV3=21证明左=(+)(+)+()(-)1+1/-2cs号+Bin号）=( +*)(2, +,) +( )(E)1=++++(4)1-cosp+ising(0≤9<m) +1号[o（号号)+1sin(（号号2in 号-—=2sin-=2+=右几何意义：平行阅边形两条对角线的平方和等于平行四边形相邻周边平-+V[(-)+igin(]2e-(5)方和的两倍。(esny(cos5g+isin5)(6)=elw=cos19p+isin19p12.证明下列间题：e-aryi(cos3p-isin3p))P(s)9.将下列坐标变换公式写成复数的形式：可以化为X+iY的形式，其中X与(1）任何有理分式函数R（=）Q(=)[r-+a,Y为具有实系数的与y的有理分式数；（1）平移公式y=y+b-（2）如采R（z）为（1）中的有理分式函数·但具有实系数，那么R(=）=Ijcosaysina（2)旅转公式X-iY:y=r,sina+yicosa（3）如果复数+是实系数方程[2=+a,（1）平移公式a+a+.+a-+a,-0y=y+b的根，那么4一动也是它的根。=+y(r+a)+y+bi证明(1)令=r(cosz+isinr)=(r+yi)+(a,+bi)=+A(其中A=a+b,)
.10.线性代数·复变活数·概率统计习题全解（中蛋）.11.念第一章复数与发变通数福P()=a+a++a,14.求下列各式的值：Q()=br+b-+m+b(a.b,ER)3(2)(1+D(4)(1-1)-P()P)QO)则R(t) =（(2[(+())tEQ(z)1Q()1*面州P)Q)-C+C+.+C,+C.+..+C..a=2×(--)=C(cosnr+isinnz)++C..a[eos(-mr)+isin(mr)]=-163-16[C,r.cosnz++Ca..cos(mr)] +(2)（1+）[2(+in号）8(co号+in号）[Cr'sinnr++C..ar"sin(mz)i=8i4X -(p[Creom ++ Ceos(mr)(3)1 (eost + isinx)+YmQ()p[Csinur ++C.rsin(mr)tcos2+sin+24#m0.1.2.3.4.5期R() =X+ Yi#+，-，--+PaPG)Q(z)2221(2) R(=) =由上面所证，类款可得Q(e)TQ(=)上号w, --，#--，#-PGQ(t)22=X-Yi1()(4) (V[(-)+(-)(3)R()-a+a++a+a设当：a+边时.R）0=R()-0弄+ 2kx元+2k时W2+=0.1.2+isincos已知."，为实数，于是33R()=a,()+"+a-+a,=o2(cs()+()2(00）-12因此。一i也是它的根。=V2(+n)13.如果=e，证明，w(+-)((Dr+)15t + isin -2eosnt;(2) -=2isinnt122'15.若（1+iy=（1—i试求的值。证明由=e=cost+isint由1+iy=(1-可得11)+ (cost+ isint)+ (cosw+in)2*2(+in）-2(+in）cosmt+isinut+cosnt-isinnt2cosnt(2) 2 1 + 2k一m 4sin sin二-=(cosut+isinut)(cosnt + isinnt)N44I= cosst +isinntcosut +isinnt =2isinnt(=0.±1.±2.*)