《复变函数论》课程教学资源（书籍文献）应力和位移的复势函数方法

力与位移的复势表达可化为面力1.复势应力函数平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U，满V=0引^z=x+iy z=x-iyazOzOzOz=i,-(1)axaxayoy可得aaauauau ozOzU.XazOzaxOz axOzOx(3-1)a0auaU ozau ozU.二OzOzOyOz Oyoz oy

力与位移的复势表达 1. 复势应力函数 0 4  U = 平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U，满 足 可化为面力 引入 z x iy = + z x iy = − 1, ; 1, z z z z i i x y x y     = = = = −     (1) 可得 , , U U z U z U x z x z x z z U U z U z i U y z y z y z z           = + = +                         = + = −              (3-1)

auauauauauau(3-2)zOxOyOzaxOy由(3-1)式，得：auaUaaaaU,U(3-3)ax2OzOzOzOzaUV?U4(3-4)Ozoz相容方程V4U =0为4U=0(3-5)Oz Qz ?积分两次

积分两次 2 2 4 . U U z z   =   (3 -4) 0 2 2 4 =   z zU (3 -5) 由(3 -1)式，得 ： 2 , 2 . U U U U U U i i x y z x y z       + = − =       (3 -2) 2 2 2 2 2 2 , , U U U U x z z y z z           = + = − −               (3 -3) 相容方程 0 4  U = 为

U = fi(z)+f,(z)+ f;() +zf4()(2)其中fi、、f、f均表示任意函数。左边U是实函右边四项一定两两共轭，即f,()= f(2), f<(2)= f(2)故 U = f(z)+f,(2)+ f(2)+zf(z)令(2)==0(2),f()=9(2)，得古萨公式U = Re[Zg(2) +(2)](3-6)(2),Q()称之为复势应力函数。应力和位移的复势

故 1 2 1 2 U f z zf z f z z f z = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 其中f 1、f 2、f 3、f 4均表示任意函数。左边U是实函数， 右边四项一定两两共轭，即 3 1 4 2 f z f z f z f z ( ) ( ), ( ) ( ) = = 令 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 2 2 f z z f z z = =   ，得古萨公式 1 1   ( ), ( ) z z 称之为复势应力函数。 2应力和位移的复势 1 2 3 4 U f z zf z f z zf z = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) (2) U z z z = + Re ( ) ( )    1 1  (3-6)

应力复势不计体力a"UaUaU(3-7)Oax?OxoyOy注意到式(3-4)得a?UaUaU4a,+aax?ay2OzOz将式(3-6)代入得, +, = 2[0*(2)+0(z)] = 4 Re(z)(3-8)由式(3-7)aUaUaUaCU2iO, -o,+2itxax?ay?axaxOyay

应力复势 不计体力 注意到式(3-4)得 2 2 2 2 2 y x 4 U U U x y z z      + = + =     将式(3-6)代入得 由式(3-7) 2 2 2 2 2 2 2 2 y x xy U U U i i i U x y x y x y           − + = − − = −           2 2 2 2 2 , , x y xy U U U y x x y       = = = −     (3-7) 1 1 1 2[ ( ) ( )] 4Re ( ) y x      + = + =    z z z (3-8)

注意到式(3-2)得(), -0x + 2itx, = 2[zl(z)+0(z)]设 (2) =0(z2), - 0, +2it x, = 2[zpl(2) +yi(z)](3-9)式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。位移复势平面应力，由几何方程与广义虎克定律QuE=x -vo, =(α, +,)-(1+v)o,(2)DE, -vox =(ox+,)-(1+v)o,(3)=Cay

注意到式(3-2)得 1 1 设   ( ) ( ) z z =  式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。 位移复势 平面应力，由几何方程与广义虎克定律      y x xy − + = + 2 2 ( ) ( ) i z z z  1 1    (1)      y x xy − + = + 2 2 ( ) ( ) i z z z  1 1    (3-9) ( ) (1 ) x y x y y u E x        = − = + − +  (2) ( ) (1 ) y x x y x v E y        = − = + − +  (3)