第一章平面问题$1一1角坐标下按位移求解的控制方程当取用直角坐标系20y时，求解弹性力学向题的基本方程为[1平衡方程++0++X=0(1.1)arayazay几何方程aua0+e,a1=(1.2)a+ayar物理方程对于平面应力间题：2(1 +0)ua)，=3(1.3)(a.-va,),(a-.EEE(1.4)Er(e,+ ver), ty7-或（+VE,)，dxJ2(1+0)1*对于平面应变问题，测须将式（1.3)利(1.4)之E换为换为！首先讨论平面应力问题的控剖方程。将式(1.2)代入式(1.4)中，再将式(1.4)代入式(1.1).有E+++）LX-O2ay22aay+(1. 5)E1子ul-1+u+Y021-5(22azay式（1.5）即为传统的弹性学平面应力间题求解位多分盘4和的控制方程。引入体积应变函数，对平面应力问题1- 20301-+(1.6)+8,)=+eEe-cayula利用式（1.6），式（1.5)可以写成E8一+%)+×-。(1.7)E（++%）+Y=0201+%1-2uayTay2如果将式(1.7)中之e也视为独立的未知函数，则u、及e三个函数须由式（1.6)及（1.7)的三个方程确定。为了我们的目的，利用式(1.6）及（17)之关系推导另一个求解e的方程。分别对式（1.7）第一式及第二式分别关于和求一次导数，然后相加，并利用式1
（1.6），可得Ee++10(1.8)+01-2）旺ay式（1.8)就是我们所需要的求解e的方程。从而有求解u、及e的如下控制方程组：(1 +u)(1 - 2)(axaYV'e3E(ara1+u&21+x(1. 9)V'u=1-20aEl+ua2(1 +)VE1-2u ay+o式中V*atay控制方程（1.9)的优点是非耦联的。先由第一式求解e，（其中X和Y是已知函数），然后将求解得的e分别代入第二式第三式中求解u和.这样，所求解的均为独立的二阶偏微分方程。进而采用如下无因次量：1 -2(u1(,y), (,) =(,) =a(3.a,fg) - (1 + -20(0.0,g)(1.10)UE(X,) = (1 + 0) - 20)a(x,Y)DE式中为特征长度，取作参考值。于是，我们有确定无因次量函数、及的如下无因次控制方程：--（登+号)m=-l+ua-2X(1.11)Ul+ua2YUy3子式中与、间的关系为av71-(墨+)(1.12)利用式（1.10）之无因次盘及关系式（1.12），由式（1.2）及（1.4)可得如下无因次应力~位移关系：azae+（+）a=+(1.13)E式（1.11)～（1.13)即为以下求解平面应力问题时所使用的控制方程和关系式。用同样的方法可得到如下平面应变问题的控制方程：2
(ax+a)2em五1au-2X(1.14)UE1a---2YU在此惊形下，e与、间的关系为）(1.15)e-120（元+岁）而应力一位移关系仍与式（1.13）相同，只是其中应按式（1.15）计算，下面利用有关控制方程和关系式求解若干本问题，并润明求解方法的原理和步骤，1-2两端固定深梁的应力分析如图1.1(a）所示两端固定深梁，湾长2a，染高25；梁单位体积重为；梁的上边界受竖向分布荷载g()梁的受力属平面应力问题。取用如图所示直角坐标系zoy。不失一般性，设荷载q(）关于y轴对称，即g（z）=q（-r). g(2)7BLaoba/Y.7++(6)(a)图 1. 1取用半跨长为参考长度，在式（1.10)无因次量的情况下，并将荷载q(z）转化为无因次(1+0)-22g(z)，则图1.1(a)成为图1.1(b)，图中入=b/.量(元)-UE注意到体积力为梁的自量,则X=0, =-7(7=(±)(=20)4%),控制方程(1. 12)UE成为l+ua0+27(1.16)场=一Uua为了简化计算，将图1.1(6)所示之荷载分解为如图1.2(a)和(6)所示关于轴对称和反对称两种情形。由图1.2有如下边界条件：对称荷载情形［图1.2(a)5=0士1，#0、(1. 17)，(),=0注意到式（1.条件（1.17）可写成3
13(2)ET17L14ob(2)（2)(b)(a)1-22±1，-0，5=0(1.18)aa3二士入e-(),强ayy反对称荷载情形图1.2（b）至一±1，这=0.5-0(1.19)()艾二士入，注意到式（1.13），条件（1.19）可写成1，0，0(1.20)aau艾二士入，-),ayy（一）两端固定深梁应力分析的边值问题综合控制方程（1.16）及边界条件（1.18）和（1.20），两端固定深梁应力分析的问题归结为如下单个偏微分方程的边值问题：对称荷载情形图1.2(a）V=0.1,(1. 21)=±1;=(3)=±，2=f(元))其中f（3）及f，（）为待确定之函数。1+ue2.V=-E(1.22)a=±1，4=0,=±入,I-3.U(1.23)a士入，F=士1，7=0：()反对称荷载情形[图1.2(6)]1.r=0(1.24)e±g()e=gi(y);±,其中gi(）及g()为待确定之函数。la2.E(1.25)a面二士1，4=0：艾士入，ay4
=需+273.U苏(1.26)a32±1，=0，=±（)H（二）对称荷载情形下的解答求解1.将式(1.21)中之待确定函数/()和f,()表示为如下级数形式：B,cosa,fi(y) = ZAcosdy, fi() = (1. 27)式中A,和B.为待定系数，a,=(t—0.5)，d,=（i—0.5)x/入于是，由式(1.21)有+0a(1.28)CAcosd，±-B.cosa,F=±1.e-不难验证，边值间题（1.28）之解为A cha,zcosa,gcosa,zcha.y(1.29)Rcha,acha,2.求解将式（1.29)代入式(1.22)中，有a'sha'zcosa'ya,sina,tchayBS2cha'cha,dU(1.30)0--，#：用有限积分变换法求解边值同题（1.30），并取用如下积分变换式：(n(3.)正变换：(1.31)逆变换：(，）（)sin-式中P,=jr以sinβ乘式（1.30)之两端，并从1到+1对进行积分，有A.aE,cosa.3a,F,cha,yz*1TUSo一1dchacha,aUS.(1. 32)=一门sinpid3士入，28.shq'cosp[tisha'isinpidzm式中E-+用sin(a; -p)sin(α +β)FI-ina,siniα,-P,.+β注意到为之偶函数，式（1.32）第一式之解为5