. r 目录 序言 §2s(8≥2)元一次不定方程4 关于一次不定方程的Frobenius问题............8 4联立一次不定方程组......13 §1 Pell方程x2-Dy2=1.................18 §2Pell方程x2-Dy2=-1................24 3不定方程x2-Dy2=c.................28 §4高斯关于二元二次方程的一个结果····.··35 §5不定方程x2+y2=z2和x2+2y2=22...37 6不定方程ax2+by2+ca2=0....40 1解不定方程y2=x3+k的初等方法.........46 2关于代数数论.....49 §3解不定方程y3=x3+k的代数数论方法.........55 5不定方程x8+y3+x8+u3=n........66 §1仅有平凡解的四次不定方程.··.69 2递归序列与四次不定方程73 ·ⅰ·
..92第五章费马大定理.9281初等方法.2代数数论的方法—一库默的工作.97.107S3其他一些结果第六章与连续整数有关的不定方程.11081不定方程+1=.11082三个连续数的问题-1133不定方程+1=-1192(α-5)"=(a+h+1)":4不定方程）.1230第七章某些指数不定方程-12981一个关于商高数的想.12952不定方程c+7~2m.13233不定方程=g..137第八章某些不定方程整数解的上界.1421从Thue的定理谈起.1422几类不定方程解的上界-146$3Baker方法举例-149.i
第一章一次不定方程在本书中，凡方程的解如未加说明，都指整数解本章将给出一次不定方程有解的充分必要条件和求解的方法，对于多个一次不定方程联立的某些情形，虽然人们也得出了有解的充分必要条件和求解的方法，但是远不如一个时简单，一次不定方程与规划论有联系，它还有一些其他方面的应用，例如本章介绍的Frobenius问题，就在合理下料等实际间题上有应用。S1二元一次不定方程二元一次不定方程是指(1)aa+a2-n其中a，a2，轮是给定的整数，1a2+0我们有定理1方程（1)有解的充分必要条件是①(2)(ai, a2) In.证如果（1)有解，星然（2)成立反之，不失一般，可设（aa2)=1和a>0az>0，如a1,则解为=n-a若>我们用辗转相除法来求①在本书中，常以小写拉丁字母a，6,c，代表整数；设+0，整除α,以a表示；（，)表示a，的最大公因数，我们假定读老知道求(a，b)的银转相除方法
(1)的一组解。写aa-qia1+t,0<<ai,(,a)-1,r102+n则-二1a2+as,a1这里(3)！r1a2+a1g=n由于，s的值可以给出，这样，求（(1)的解化为求(3)的解写a1=qar+r2, 0<g<r1,(r2, 1)=1,ag-q2g+2g+n则998十471这里(4)ra2g+riw4=n这样，求（1）的解化为求（4)的解以上步骤继续下去（即通常求最大公因数的方法），由于α>>>"，在有限步后，有rx+1=0,而=（a,@2)1,且#+1+-10+2n其中=0,ro=，-1=g。于是，我们把am+1-r-1+2代入的表达式，再把+1，代入-1的表达式，…，最后可得（1)的含参数+2的解，证完往后，在(1)有解的情况下，我们总可以假设(α，aa)=1以上的后一半证明是构造性的，即证明定理充分性的过程，实际上就是求(1)的全部解的过程、(1)的全部解，可由以下定理给出定理2设（α1,α2)=1，则(1)的全部解可表为(b)a-wo十aat,y-yo-ait2
其中，yo为1)的一组解，为任意整数证设t为任意整数，把（5)代入(1)得al (ro+a2t)+aa(yoait) argo+aon,故为任意整数时，（5)均为（1)的一组解反之，设a1，91为（1)的任意一组解，由和ait+aon可得a1(a-) +a(i-yo) 0,因（α1，aa)=1，所以a2|—a0，可设io2t或+a2t1则Yiyo-ait1这就证明了（1)的任一组解具有形状（5）.证完例求不定方程(6)11$+15ag-7的全部解.由于(11,15)=1，故(6)有解。由15一1×11+4，可设十s这里40+110g --7,由11=2×4+3，可设2=—2g+24这里3as +404 = 7,由4-1×3+1，可设ig -- aa + a5,这里04+8mg=7,令s=t，可得1-—28+15t, xa=21—11t,其中t为任意整数。3