$ 2. 3初等函数果浴将一元实变初等函数u= f(x)推广为初等复变函数の= f(z)的要求：1)当z=x 为实数时，有の=f(z)=u=f(x)完全与原实变函数相同。北尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函火学数的某些重要性质(如连续性、可导性等等
§2.3 初等函数 将一元实变初等函数 u f x = ( ) 推广为初等复变 函数 = f z( ) 的要求： ① 当 z x = 为实数时，有 = = = f z u f x ( ) ( ) 完全与原实变函数相同。 ② 尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函 数的某些重要性质(如连续性、可导性等等)
一、指数函数果春初等实指数函数e*的一些重要性质：处处可导且有(e）=e;1对任意的实数Xi,X2，有ei+x2=e.e"2对任意的实数x ER,有 e*>0。3北现在我们将指数函数的定义域推广到整个复数集中，使其尽可能将这些特性保持下来。即新大兴的指数函数应满足处处可导且有(e"）=e;1)2当Imz=0 即z为实数时有 e=ef (z)=e*(cosy+isin y
一 、指数函数 初等实指数函数 e x 的一些重要性质： ① 处处可导且有 (e e ; ) x x = ② 对任意的实数 1 2 x x, , 有 1 2 1 2 e e e ; x x x x + = ③ 对任意的实数 x R , 有 e 0 x 。 现在我们将指数函数的定义域推广到整个复 数集中，使其尽可能将这些特性保持下来。即新 的指数函数应满足 ① 处处可导且有 (e e ; ) z z = ② 当 Im 0 z = 即 z 为实数时有 e e z x = ( ) (cos sin ) x f z e y i y = +
定义1对于复数z= x＋iy，称果の =e" =expz =e"(cosy+isin y春为复指数函数。性质1°指数函数の= f(z)=e在整个z平面上都有定义北且处处解析,导函数为 f(z)=e";2°对任意的复数Z1,Z2，有e"+2=e".e;大头3°当Imz=0 即z为实数时有 e"=e";4°の=e"是以2元i为周期的周期函数，即有e*+2ki =e"k =0,±1,±2,..5° [o=e"|= e*,Argの = y+2k元,k =0,±1,±2
定义1 o 1 对于复数 z x y = + i , 称 exp cos sin ( ) z x = = = + e z e y i y 为复指数函数。 性质 指数函数 ( ) z = = f z e 在整个 z 平面上都有定义， 且处处解析，导函数为 ( ) ;z f z e = o 2 对任意的复数 1 2 z z, , 有 1 2 1 2 e e e ; z z z z + = o 3 当 Im 0 z = 即 z 为实数时有 e e ; z x = o 4 z = e 是以 2πi 为周期的周期函数，即有 2 π i e e 0, 1, 2, z k z k + = = o 5 e e ,Arg 2 , 0, 1, 2, z x = = = + = y k k
比较盅1°e"≠0，但e>0一般不成立。茶例1求e3+i和e-ie3+ri解= e3 (cos元+isin元)北3儿元大学cose+isinH22-ie
比较 o 1 e 0, z 但 e 0 z 一般不成立。 例1 3 πi e 求 + 和 π 1 i 2 e − 解 ( ) 3 π 3 e e cosπ+isinπ + i = 3 = −e π 1 2 1 π π e =e cos +isin 2 2 − i − − = −ie
二、 对数函数盅春定义2 指数函数z=e°(z≠O)的反函数，称为对数函数，记为の=Lnz。注1 这里 の= Lnz实际上是关于の的方程z=e的所有解。北注2对数函数的定义域(zzEC,zO设 z=e°=rei, の=Lnz=u+iv大学z= e'+iv = e"ei" = reio,则有于是有 r =e",v= +2k元= Argz从而 の= Lnz=u+iv=lnr+i(0+2kπ)= ln |z/+iArgz= ln|z|+i(argz +2k元)k = 0,±1,±2,.:
二、对数函数 定义2 指数函数 z z e ( 0) = 的反函数，称为对数 函数，记为 = Ln z。 的所有解。 注1 这里 = Ln z 实际上是关于 的方程 z e = 注2 对数函数的定义域 z z z | C, 0 设 i z r e e , = = = = + Ln i z u v 则有 i i i e e e e , u v u v z r + = = = 于是有 e , 2 π Arg u r v k z = = + = 从而 = = + = + + Ln i ln i( 2 z u v r kπ) = + ln | | i Arg z z= + + ln | | i(arg 2 z z kπ) k = 0, 1, 2