第六章平面向量及其应用 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 课前·基础认知 1.平面向量基本定理 2.基底 条件 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量 若e1,ez不共线，我们把{e1,ez}叫做表示这一平面内所 有向量的一个基底 对于这一平面内的任一向量α，有且只有一对实数 结论 撤思考0能与另外一个向量a构成基底吗？ 入1，A2,使a=11e1十入2e2 提示不能.基向量是不共线的，而0与任意向量都共线 课堂·重难突破 对基底概念的理解 心=号aC=2a+2b. 典例剖析 i=-d--2a-b.周为M而-号动-b 1.设e1,e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组 向量中，不能作为基底的是( ). 0所以碗=-而=之0之动 Ae1十e2和e1一e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2 C.e1十2e2和2e1十e2 D.e1和e1十e2 规律总结」平面向量基本定理的作用以及注意点 答案B (1)根据平面向量基本定理，用基底表示向量，实质 解析在选项B中，，6e1-8e2=2(3e1-4e2), 上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加 .6e1-8e2与3e1一4e2共线，.不能作为基底；选项 减法运算。 A,C,D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B. (2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边 规律总结」两个向量能否作为一个基底，关键是看这 形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知 向量的关系，用方程的观点求出未知向量 两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作 基底。 三 平面向量基本定理的应用 二 用基底表示向量 典例剖析 典例剖析 3.如图所示，在△OAB中，OA= 2.(1)如图，已知OA=a, a,OB=b,M是AB上靠近点B的一 O=b,C为线段AO上距点A较 个三等分点，N是OA上靠近点A的 近的一个三等分点，D为线段CB 一个四等分点.若OM与BN相交于 点P,求O 上距点C较近的一个三等分点，则 用a,b表示O心= 解O-0+A-0i+号店-0i+号0成- 答案a+b 解析0市-0成+励-0+号C-0店+号心 因为O妒与OM共线， o成=城+号元-城+号x号成-a+ 1 所以可设O市-，O成-行a+号6u∈R. 又N市与N店共线，可设NP=sNB(s∈R),则O币= (2)如图，口ABCD的对角线AC 和BD交于点M,AB=a,AD=b,试 O示+sNi=3Oi+sO成-O)=31-s)a+b, 用基底{a,b}表示M元，M,M. 解AC-AB+AD=a+b.Bi= 月a-= 9 , 所以 解得 AD-A正=b一a.因为平行四边形的对角线互相平分，所以 - 21
第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 课前·基础认知 1.平面向量基本定理 条件 e1,e2 是同一平面内的两个 不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使a= λ1e1+λ2e2 2.基底 若e1,e2 不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所 有向量的一个基底. 微思考 0能与另外一个向量a构成基底吗? 提示 不能.基向量是不共线的,而0与任意向量都共线. 课堂·重难突破 一 对基底概念的理解 典例剖析 1.设e1,e2 是平面内所有向量的一个基底,则下列四组 向量中,不能作为基底的是( ). A.e1+e2 和e1-e2 B.3e1-4e2 和6e1-8e2 C.e1+2e2 和2e1+e2 D.e1 和e1+e2 答案 B 解析 在选项B中,∵6e1-8e2=2(3e1-4e2), ∴6e1-8e2 与3e1-4e2 共线,∴不能作为基底;选项 A,C,D中两向量均不共线,可以作为基底.故选B. 两个向量能否作为一个基底,关键是看这 两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作 基底. 二 用基底表示向量 典例剖析 2.(1)如 图,已 知 O→A =a, O→B=b,C 为线段AO 上距点A 较 近的一个三等分点,D 为线段CB 上距点C 较近的一个三等分点,则 用a,b表示O→D= . 答案 4 9 a+ 1 3 b 解析 O→D=O→B+B→D=O→B+ 2 3 B→C=O→B+ 2 3 (O→CO→B)= 1 3 O→B+ 2 3 O→C= 1 3 O→B+ 2 3 × 2 3 O→A= 4 9 a+ 1 3 b. (2)如图,▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M,A→B=a,A→D=b,试 用基底{a,b}表示M→C,M→A,M→B. 解 A→C=A→B+A→D=a+b,B→D= A→D-A→B=b-a.因为平行四边形的对角线互相平分,所以 M→C= 1 2 A→C= 1 2 a+ 1 2 b. M→A=-M→C=- 1 2 a- 1 2 b.因为M→D= 1 2 B→D= 1 2 b- 1 2 a,所以M→B=-M→D= 1 2 a- 1 2 b. 平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理,用基底表示向量,实质 上是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加 减法运算. (2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边 形,利用已知向量表示未知向量,或找到已知向量与未知 向量的关系,用方程的观点求出未知向量. 三 平面向量基本定理的应用 A B M O N P 典例剖析 3.如图所示,在△OAB 中,O→A= a,O→B=b,M 是AB 上靠近点B 的一 个三等分点,N 是OA 上靠近点A 的 一个四等分点.若OM 与BN 相交于 点P,求O→P. 解 O→M=O→A+A→M =O→A+ 2 3 A→B=O→A+ 2 3 (O→BO→A)= 1 3 a+ 2 3 b. 因为O→P 与O→M 共线, 所以可设O→P=tO→M= t 3 a+ 2t 3 b(t∈R). 又N→P 与N→B 共线,可设 N→P=sN→B(s∈R),则O→P= O→N+sN→B= 3 4 O→A+s(O→B-O→N)= 3 4 (1-s)a+sb, 所以 3 4 (1-s)= t 3 , s= 2 3 t, 解得 t= 9 10 , s= 3 5 , 21
数学 必修第二册 配人教A版 所以0=品0+号a, 2.任意一向量用基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以 规律总结1，任意一向量用基底表示的唯一性的理解 表示为同一平面内两个不共线向量e1,e?的线性组合 平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向 入1e1十入2ez(入1，入2∈R).在具体求A1,A2时有以下两种 条件一 量e1,e21,入212均为实数 方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共 条件二 a=i1e1+h1e2且a=ize1十2e2 线定理， 11=入2， 结论 (2)利用待定系数法，即利用定理中入1，入2的唯一性 41=42 列方程组求解」 课后·训练提升 基础：巩固 又EF/BC萨=武=号C-A), 1.设向量e1与e2不共线，若3xe1十(10-y)e2=(4y- :成=成+成=-店+(-)= 7)e1十2xe2,则实数x,y的值分别为( A0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 局C-成=-a+号， 答案D 解析因为e1与e2不共线，所以8r=4y-7, 5.已知A,B,D三点共线，且对任一点C,有C⑦=4Ci十 10-y=2x, CB,则实数入等于(). 解方程组得x=3,y=4. 2.（多选题)已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底， A号 c- n-号 则下列四组向量中，不能作为一个基底的是( 答案C A.(e-e2,2e2-2e}B.(e-ez,ei+e:} 解析因为A,B,D三，点共线，所以存在实数t,使A心= C.{2e2-e1,-2e2+e}D.{2e1+e2,4e1+2ez} AB.CD-CA=1 (CB-CA). 答案ACD 所以Ci=+t(C第-C)=(1-t)C+CB】 解析不共线的向量才能作为基底，选项A,C,D中的向 量均共线，故不可作为一组基底 又C市=4+C, 3.在△ABC中，点D在BC边上，且B可=2D元，设AB=a, AC=b,则AD可用基底{a,b}表示为(). 所以《 A.z(a+b) B号a+b =1. 6.设D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点 Cat 1 A的三等分点，则(). D.3(a+b) 答案C A动=君店+号成B0=名成-d 解析周为丽=2D心，所以励-号武， c0-a-合Ad n.B=-吾店+合ad 所以AD=A店+BD-A店+子B武-A店+子(A心 答案D 解析依题意，得市=Aò-A店=子心-A店=弓× =+号花=+号 4在△ABC中，正=君，EF/BC. 丽+心)-店=一+名C.故选D 7.若向量a=4e1十2e2与b=ke1十e2(k∈R)共线，其中e1, EF交AC于点F,设AB=a,AC=b, e2是同一平面内两个不共线的向量，则飞的值为 则B萨等于( ). A-a+号0 B.a-5b 答案2 解析：向量a与b共线，且a为非零向量， 21 1 C.3a-3b D.3a+3b .存在实数入，使得b=λa, 即ke1十e2=λ(4e1+2e2)=4e1十2λe2. 答案A ,e1,e2是同一平面内两个不共线的向量， 解析正=店∴成=- k=4以：k=2 …1=2以 22
数 学 必修 第二册 配人教 A版 所以O→P= 3 10 a+ 3 5 b. 1.任意一向量用基底表示的唯一性的理解 条件一 平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向 量e1,e2,λ1,λ2,μ1,μ2 均为实数 条件二 a=λ1e1+μ1e2 且a=λ2e1+μ2e2 结论 λ1=λ2, μ1=μ2 2.任意一向量用基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以 表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2 的线性组合 λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R).在具体求λ1,λ2 时有以下两种 方法: (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共 线定理. (2)利用待定系数法,即利用定理中λ1,λ2 的唯一性 列方程组求解. 课后·训练提升 基础 巩固 1.设向量e1 与e2 不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y- 7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为( ). A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 答案 D 解析 因为e1 与e2 不共线,所以 3x=4y-7, 10-y=2x, 解方程组得x=3,y=4. 2.(多选题)已知e1,e2 是表示平面内所有向量的一组基底, 则下列四组向量中,不能作为一个基底的是( ). A.{e1-e2,2e2-2e1} B.{e1-e2,e1+e2} C.{2e2-e1,-2e2+e1} D.{2e1+e2,4e1+2e2} 答案 ACD 解析 不共线的向量才能作为基底,选项 A,C,D中的向 量均共线,故不可作为一组基底. 3.在△ABC 中,点D 在BC 边上,且B→D=2D→C,设A→B=a, A→C=b,则A→D 可用基底{a,b}表示为( ). A. 1 2 (a+b) B. 2 3 a+ 1 3 b C. 1 3 a+ 2 3 b D. 1 3 (a+b) 答案 C 解析 因为B→D=2D→C,所以B→D= 2 3 B→C, 所以A→D=A→B+B→D=A→B+ 2 3 B→C=A→B+ 2 3 (A→CA→B)= 1 3 A→B+ 2 3 A→C= 1 3 a+ 2 3 b. A B C E F 4.在△ABC 中,A→E= 1 5 A→B,EF∥BC, EF 交AC 于点F,设A→B=a,A→C=b, 则B→F 等于( ). A.-a+ 1 5 b B.a- 1 5 b C. 2 3 a- 1 3 b D. 1 3 a+ 2 3 b 答案 A 解析 ∵A→E= 1 5 A→B,∴B→E=- 4 5 A→B. 又EF∥BC,∴E→F= 1 5 B→C= 1 5 (A→C-A→B), ∴B→F=B→E +E→F = - 4 5 A→B + 1 5 (A→C-A→B)= 1 5 A→C-A→B=-a+ 1 5 b. 5.已知A,B,D 三点共线,且对任一点C,有C→D= 4 3 C→A+ λC→B,则实数λ等于( ). A. 2 3 B. 1 3 C.- 1 3 D.- 2 3 答案 C 解析 因为A,B,D 三点共线,所以存在实数t,使A→D= tA→B,则C→D-C→A=t(C→B-C→A). 所以C→D=C→A+t(C→B-C→A)=(1-t)C→A+tC→B. 又C→D= 4 3 C→A+λC→B, 所以 1-t= 4 3 , t=λ, 解得t=λ=- 1 3 . 6.设D 为△ABC 中BC 边上的中点,O 为AD 边上靠近点 A 的三等分点,则( ). A.B→O=- 1 6 A→B+ 1 2 A→C B.B→O= 1 6 A→B- 1 2 A→C C.B→O= 5 6 A→B- 1 6 A→C D.B→O=- 5 6 A→B+ 1 6 A→C 答案 D 解析 依题意,得B→O=A→O-A→B= 1 3 A→D-A→B= 1 3 × 1 2 (A→B+A→C)-A→B=- 5 6 A→B+ 1 6 A→C.故选D. 7.若向量a=4e1+2e2 与b=ke1+e2(k∈R)共线,其中e1, e2 是 同 一 平 面 内 两 个 不 共 线 的 向 量,则 k 的 值 为 . 答案 2 解析 ∵向量a与b共线,且a为非零向量, ∴存在实数λ,使得b=λa, 即ke1+e2=λ(4e1+2e2)=4λe1+2λe2. ∵e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量, ∴ k=4λ, 1=2λ, ∴k=2. 22
第六章平面向量及其应用 8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD= A.Ae1十e2(a,u∈R)可以表示平面a内的所有向量 AB,BE=号BC若成=A店+，CaA:为实 B.对于平面a中的任一向量a,使a=Ae1十e2的实数入， :有无数多对 数)，则入1十入2的值为 C.若X141A22均为实数，且向量入1e1十41e2与入2e1十 答案 2e2共线，则有且只有一个实数入，使入1e1十1e2= λ(2e1十2e2) 解析如图，由题意知，D为AB的中点， D.若存在实数入，使Ae1十e2=0,则A=u=0 硫=武， 答案AD 解析由平面向量基本定理，可知AD说法正确，B说法不 所以D庞-D成+酡=？A店+ 正确.对于C,当入，=入2=以1=42=0时，这样的入有无数 号成-号+号心-)=-名+号心， 个，故C说法不正确。 2.已知O是平面内一定点，A,B,C是平面内不共线的三个点， 1,21 AC 所以=一6：=3，所以A+:=一6+3=之 劲点P满足O-+(店+ a (a∈[0，十∞)， 9.向量a在基底{e1,ez}下可以表示为a=2e1十3e2,若a在 则点P的轨迹一定通过△ABC的( 基底{e1十e2e1-ez}下可表示为a=入(e1十ez)十r(e1- A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 e2),则= 答案B 答案号 1 AB 2 解析 -为AB上的单位向量， IAB 5 AC AB a十4=2， 2 解析由条件，可知 解得 为花上的单位向量， AC IABI IACI 的方向 从-μ=3， 为∠BAC的角平分线的方向. 10.如图，在△OAB中，延长BA到点 AB AC C,使AC=BA,在OB上取一点D, 又A[0.+o).A(十)的方向与 AB AC 使DB=0B.设O=a.O店=b, 心的方向相同 用a,b表示向量O元，D元 AB AC 解元=Oi+AC=Oi+Bi=Oi+OA-O店=2a-b, :0=0i+通+d月 心-0心-0劢-元-号0诚=2a-b-号b=2a-6 -忒--高+斋) A元 11.已知单位圆O上的两点A,B及单位圆所在平面上的一 “AP的方向与∠BAC的角平分线的方向相同， 点P,OA与OB不共线. .,点P的轨迹一定通过△ABC的内心 (1)在△OAB中，若点P在AB上，且AP=2PB,若 3.如图所示，1OA1=|OB1=1,1OC1=5,∠AOB=60°， AP=OB十sOA(r,s∈R),求r十s的值： OB⊥OC,设OC=xOA+Oi,则( (2)点P满足OP=mOA+OB(m∈R),若四边形 B OABP为平行四边形，求m的值. C 解1：市=市市-号-号-0) 0 号亦-成，又市=成+0成， A.x=-2,y=-1 B.x=-2,y=] C.x=2,y=-1 D.x=2,y=1 =号=-号十：的值为0 答案B 解析过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D,连接 (2)如图，，四边形OABP为平 行四边形，∴.O庐=O市+O,又 BC(图略).由∠AOB=60°，OB⊥OC,知∠COD=30°， OP=mOA+OB,∴.OB=OB+ ∠OCD=90°.在Rt△OCD中，可得CD=√5tan30°=l, (m十1)Oi,依题意OA,OB是非零 OD=2CD=2,则四边形OBCD为平行四边形，O心= 向量且不共线，∴m十1=0，解得m=一1. OD+OB=-20A+0B,=-2.y=1. 4.若OP1=a,OP2=b,P1P=APP2(入≠-1)，则OP等 拓展·提高 于() L.(多选题)若e1,e2是平面a内两个不共线的向量，则下列 A.a+λb B.Aa+(1-λ)b 说法正确的是(）. C.Aa+b + 23
第六章 平面向量及其应用 8.设 D,E 分 别 是 △ABC 的 边 AB,BC 上 的 点,AD = 1 2 AB,BE= 2 3 BC,若 D→E=λ1A→B+λ2A→C(λ1,λ2 为实 数),则λ1+λ2 的值为 . 答案 1 2 A B C D E 解析 如图,由题意知,D 为AB 的中点, B→E= 2 3 B→C, 所 以 D→E =D→B +B→E = 1 2 A→B + 2 3 B→C= 1 2 A→B+ 2 3 (A→C-A→B)=- 1 6 A→B+ 2 3 A→C, 所以λ1=- 1 6 ,λ2= 2 3 ,所以λ1+λ2=- 1 6 + 2 3 = 1 2 . 9.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在 基底{e1+e2,e1-e2}下可表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1- e2),则λ= ,μ= . 答案 5 2 - 1 2 解析 由条件,可知 λ+μ=2, λ-μ=3, 解得 λ= 5 2 , μ=- 1 2 . 10.如图,在△OAB 中,延长BA 到点 C,使AC=BA,在OB 上取一点D, 使DB= 1 3 OB,设O→A=a,O→B=b, 用a,b表示向量O→C,D→C. 解 O→C=O→A+A→C=O→A+B→A=O→A+O→A-O→B=2a-b, D→C=O→C-O→D=O→C- 2 3 O→B=2a-b- 2 3 b=2a- 5 3 b. 11.已知单位圆O 上的两点A,B 及单位圆所在平面上的一 点P,O→A 与O→B 不共线. (1)在△OAB 中,若点 P 在AB 上,且 A→P=2P→B,若 A→P=rO→B+sO→A(r,s∈R),求r+s的值; (2)点 P 满足O→P =mO→A +O→B(m ∈R),若四边形 OABP 为平行四边形,求m 的值. 解 (1)∵A→P=2P→B,∴A→P= 2 3 A→B= 2 3 (O→B-O→A)= 2 3 O→B- 2 3 O→A,又A→P=rO→B+sO→A, ∴r= 2 3 ,s=- 2 3 ,∴r+s的值为0. A B O (2)如图,∵四边形OABP 为平 P 行 四 边 形,∴O→B =O→P +O→A,又 O→P=mO→A +O→B,∴O→B =O→B + (m+1)O→A,依题意O→A,O→B 是非零 向量且不共线,∴m+1=0,解得m=-1. 拓展 提高 1.(多选题)若e1,e2 是平面α内两个不共线的向量,则下列 说法正确的是( ). A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面α中的任一向量a,使a=λe1+μe2 的实数λ, μ有无数多对 C.若λ1,μ1,λ2,μ2 均为实数,且向量λ1e1+μ1e2 与λ2e1+ μ2e2 共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e1+μ1e2= λ(λ2e1+μ2e2) D.若存在实数λ,μ,使λe1+μe2=0,则λ=μ=0 答案 AD 解析 由平面向量基本定理,可知 AD说法正确,B说法不 正确.对于C,当λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数 个,故C说法不正确. 2.已知O 是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三个点, 动点P 满足O→P=O→A+λ A→B |A→B| + A→C |A→C| (λ∈[0,+∞)), 则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ). A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 B 解析 ∵ A→B |A→B| 为A→B 上的单位向量, A→C |A→C| 为A→C 上的单位向量,∴ A→B |A→B| + A→C |A→C| 的方向 为∠BAC 的角平分线的方向. 又λ∈ [0,+ ∞),∴λ A→B |A→B| + A→C |A→C| 的 方 向 与 A→B |A→B| + A→C |A→C| 的方向相同. ∵O→P=O→A+λ A→B |A→B| + A→C |A→C| , ∴O→P-O→A=A→P=λ A→B |A→B| + A→C |A→C| , ∴A→P 的方向与∠BAC 的角平分线的方向相同, ∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 3.如图所示,|O→A|=|O→B|=1,|O→C|= 3,∠AOB=60°, OB⊥OC,设O→C=xO→A+yO→B,则( ). A B C O A.x=-2,y=-1 B.x=-2,y=1 C.x=2,y=-1 D.x=2,y=1 答案 B 解析 过点C 作CD∥OB 交AO 的延长线于点D,连接 BC(图略).由∠AOB=60°,OB⊥OC,知∠COD=30°, ∠OCD=90°.在 Rt△OCD 中,可得CD= 3tan30°=1, OD=2CD =2,则四边形 OBCD 为平行四边形,O→C= O→D+O→B=-2O→A+O→B,即x=-2,y=1. 4.若OP1 →=a,OP2 →=b,P1 →P=λPP2 →(λ≠ -1),则O→P 等 于( ). A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D. 1 1+λ a+ λ 1+λ b 23
数学必修第二册 配人教A版 答案D (2)AM交DN于O点，求AO:OM的值. 解析P产=λPP,∴O币-OP=A(OP。-O币)，即 解(1)调为示=店=，所以D成=A-市= (1+A)O=OP1+0P2(a≠-1)， 0市-0+计0前=中+≠-业 1 4a-b. 5.若M是△ABC所在平面内一点，且满足矿=店+ 因为丽=号C=号市=号b, AC,则△ABM与△ABC的面积之比为 所以成=A蓝+成=a+号. 答案1：4 (2)因为A,O,M三点共线， 所以AO∥AM, 解折知图，由矿=店+子C,可 设A0=λAM(a∈R),则Dò=Aò-Ai=AAM- 知M,B,C三点共线. 市=Aa+号b）-b=a+(导-1)b, 令BM=ABC(A∈R), 则AM=A店+BM=A店+B元=BM 因为D,O,N三点共线，所以D心∥D,存在实数 A店+A花-A)=(1-X)A+AC→A=子 ,使Dò=D,剥a+(号-1b=(仔a-b月 设△ABM与△ABC的面积分别为S△AM和S△Ar, =7 到2-即△MBM与△MC面款之比为1：4 由于向量a,b不共线，则 -1=- 6.如图，平行四边形ABCD的对角线 3 AC,BD交于点O,线段OD上有点 M满足Dd=3DM,线段CO上有 解得 6 点N满足OC=AO示(a∈R,且A> 0),设A店=a,A心=b,已知M=a-6b(u∈R),则 所以ò=城.0-. 所以A0:OM=3:11. 答案3分 挑战·创新 解析依题意得B丽=AD-A=b一a,A亡=A店十 设e1,e2是不共线的非零向量，且a=e1-2e2,b=e1十 市-a+b,且D成-名成-名a-b)=名a-b, 3e2. (1)证明：{a,b}可以作为一个基底： 成=+O成=（侵+员）=（侵+）a+b, (2)以{a,b}为基底，求向量c=3e1一e2的分解式； (3)若4e1-3e2=a十b(a,∈R),求入，的值. 所以商-市+=-b+(合a-名b)=名a+b 解(1)证明：若a,b共线，则存在t∈R,使a=tb, 则e1-2e2=t(e1+3ez). =成+=日a+吾b+(a-名)- ∴.(1-t)e1-(3t+2)e2=0. e1,e2不共线， (合+ra+b, 1,12 一十2该才程塑无标 2十2x=3 ,t不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底. 由平面向量基本定理，得 1,11 (2)设c=ma十b(m,n∈R),则3e1-e,=m(e1 2+2a=6+u 2e2)+n(e1+3ez)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2. =3. |m十n=3, 解得1 2m+3m=-1.解得m-2, u=2 n=1. ..c=2a+b. 7.如图所示，在口ABCD中，AB= (3)由4e1-3e2=a+b,得4e1-3e2=入(e1- a.市=b,M=号BC.AN= 2ez)+u(e1+3ez)=(a十r)e1+(-2λ+3r)e2 AB, 解得=3， -2以+3=3 a十4=4， μ=1. (1)试用向量a,b来表示D,AM: 故所求入，的值分别为3，l. 24
数 学 必修 第二册 配人教 A版 答案 D 解析 ∵P1 →P=λPP2 →,∴O→P-OP1 →=λ(OP2 →-O→P),即 (1+λ)O→P=OP1 →+λOP2 →(λ≠-1), ∴O→P= 1 1+λ OP1 →+ λ 1+λ OP2 →= 1 1+λ a+ λ 1+λ b(λ≠-1). 5.若M 是△ABC 所在平面内一点,且满足A→M= 3 4 A→B+ 1 4 A→C,则△ABM 与△ABC 的面积之比为 . 答案 1∶4 解析 如图,由A→M = 3 4 A→B+ 1 4 A→C,可 知M,B,C 三点共线. 令B→M=λB→C(λ∈R), 则A→M =A→B+B→M =A→B+λB→C= A→B+λ(A→C-A→B)=(1-λ)A→B+λA→C⇒λ= 1 4 . 设△ABM 与△ABC 的面积分别为S△ABM 和S△ABC, 则 S△ABM S△ABC = 1 4 ,即△ABM 与△ABC 面积之比为1∶4. A B D C M N O 6.如图,平行四边形ABCD 的对角线 AC,BD 交于点O,线段OD 上有点 M 满足D→O=3D→M,线段CO 上有 点N 满足O→C=λO→N(λ∈R,且λ> 0),设A→B=a,A→D=b,已知 M→N=μa- 1 6 b(μ∈R),则 λ= ,μ= . 答案 3 1 2 解析 依题意得 B→D =A→D -A→B=b-a,A→C=A→B+ A→D=a+b,且D→M= 1 6 D→B= 1 6 (a-b)= 1 6 a- 1 6 b, A→N=A→O+O→N= 1 2 + 1 2λ A→C= 1 2 + 1 2λ (a+b), 所以A→M=A→D+D→M=b+ 1 6 a- 1 6 b = 1 6 a+ 5 6 b, A→N =A→M +M→N = 1 6 a + 5 6 b+ μa- 1 6 b = 1 6 +μ a+ 2 3 b, 由平面向量基本定理,得 1 2 + 1 2λ = 2 3 , 1 2 + 1 2λ = 1 6 +μ, 解得 λ=3, μ= 1 2 . A B D C M N O 7.如图所示,在▱ABCD 中,A→B= a,A→D =b,BM = 2 3 BC,AN = 1 4 AB. (1)试用向量a,b来表示D→N,A→M; (2)AM 交DN 于O 点,求AO∶OM 的值. 解 (1)因为A→N= 1 4 A→B= 1 4 a,所以D→N=A→N-A→D= 1 4 a-b. 因为B→M= 2 3 B→C= 2 3 A→D= 2 3 b, 所以A→M=A→B+B→M=a+ 2 3 b. (2)因为A,O,M 三点共线, 所以A→O∥A→M, 设A→O=λA→M(λ∈R),则D→O=A→O-A→D=λA→M - A→D=λa+ 2 3 b -b=λa+ 2 3 λ-1 b. 因为D,O,N 三点共线,所以 D→O∥D→N,存在实数 μ,使D→O=μD→N,则λa+ 2 3 λ-1 b=μ 1 4 a-b . 由于向量a,b不共线,则 λ= 1 4μ, 2 3 λ-1=-μ, 解得 λ= 3 14 , μ= 6 7 . 所以A→O= 3 14 A→M,O→M= 11 14 A→M, 所以AO∶OM=3∶11. 挑战 创新 设e1,e2 是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+ 3e2. (1)证明:{a,b}可以作为一个基底; (2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2 的分解式; (3)若4e1-3e2=λa+μb(λ,μ∈R),求λ,μ的值. 解 (1)证明:若a,b共线,则存在t∈R,使a=tb, 则e1-2e2=t(e1+3e2). ∴(1-t)e1-(3t+2)e2=0. ∵e1,e2 不共线, ∴ 1-t=0, 3t+2=0, 该方程组无解, ∴t不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底. (2)设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1- 2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2. ∴ m+n=3, -2m+3n=-1, 解得 m=2, n=1. ∴c=2a+b. (3)由 4e1 -3e2 =λa+μb,得 4e1 -3e2 =λ(e1 - 2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2. ∴ λ+μ=4, -2λ+3μ=-3, 解得 λ=3, μ=1. 故所求λ,μ的值分别为3,1. 24
第六章平面向量及其应用 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课前·基础认知 1.平面向量的正交分解及坐标表示 坐标(x,y)就是终，点A的坐标：反过来，终点A的坐标 (1)平面向量的正交分解 (x,y)也就是向量OA的坐标.因为OA=a,所以终点A的 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量 坐标(x,y)就是向量a的坐标.这样就建立了向量的坐标 作正交分解 与点的坐标之间的联系， (2)平面向量的坐标表示 2.平面向量加、减运算的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两 已知a=(x1y1),b=(x2y2),则有： 个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内 加法 a+b=(x1+x2y1+y2) 的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有 减法 一对实数x,y,使得a=xi十yj,我们把有序数对(x,y) a-b=(x1-x2y1-y2） 叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴 重要 已知点A(1y1),B(x2y2),则AB=(x2-x 上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=(x,y)叫做向量a 结论 2一y).因此，一个向量的坐标等于表示此向量 的坐标表示 的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 (3)向量坐标与点的坐标之间的联系 微提醒向量的坐标和其终，点的坐标不一定相同.当 在直角坐标平面中，以原点O为起点作OA=a,则点A 且仅当向量的起，点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标 的位置由向量a唯一确定.设OA=zxi十yj,则向量OA的 相同 课堂·重难突破 平面向量的坐标表示 3):0=0成+=(2厄，2)+（←2,3）= 典例剖析 2E-22+3）. 1.如图，在平面直角坐标系中 OA=4,AB=3,∠AOx=45°， ∠0AB=105°，O月=a,AB=b,四边 点B的生标为包巨-号2后+3） 105 形OABC为平行四边形 0 规律总结」求点、向量坐标的常用方法 (1)求向量a,b的坐标： (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点 (2)求向量B的坐标： 相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应 (3)求点B的坐标 点的坐标 解(I)作AM⊥x轴于点M,则 (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的起点、 OM=0A·cos45°=4x2 终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的 b 坐标 105 A AM=0A·si45°=4x 2=22, 二平面向量的坐标运算 45° 故A(2√2,2√2)， 0 典例剖析 即a=(22,22). 由题意可知∠A0C=180°一105°=75°，∠AOy=45°，故 2.(1)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3), ∠C0y=30° 则向量BC=( A.(-7,-4)B.(7,4) C.(-1,4)D.(1,4) 又0c=AB=3C(-,3）, 答案A -0d-(←239）中6=(23） 解析方法一：设C(x,y),则AC=(x,y-1)=(-4, -3》,即=从而C=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-40. 2威=-店=(}，-3） y=-2. 方法二：AB=(3,2)-(0,1)=(3,1), 25
第六章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课前·基础认知 1.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相 垂直 的向量,叫做把向量 作正交分解. (2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,设与x 轴、y 轴方向 相同 的两 个 单位 向量分别为i,j,取{i,j}作为 基底 .对于平面内 的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有 一对实数x,y,使得a=xi+yj,我们把有序数对 (x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x 叫做a 在x 轴 上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量a 的坐标表示. (3)向量坐标与点的坐标之间的联系 在直角坐标平面中,以原点O 为起点作O→A=a,则点A 的位置由向量a唯一确定.设O→A=xi+yj,则向量O→A 的 坐标(x,y)就是 终点A 的坐标;反过来,终点A 的坐标 (x,y)也就是向量O→A 的坐标.因为O→A=a,所以终点A 的 坐标(x,y)就是向量 a 的坐标.这样就建立了向量的坐标 与点的坐标之间的联系. 2.平面向量加、减运算的坐标表示 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有: 加法 a+b= (x1+x2,y1+y2) 减法 a-b= (x1-x2,y1-y2) 重要 结论 已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则A→B= (x2-x1, y2-y1).因此,一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标 微提醒 向量的坐标和其终点的坐标不一定相同.当 且仅当向量的起点在原点时,向量的坐标才和其终点的坐标 相同. 课堂·重难突破 一 平面向量的坐标表示 典例剖析 1.如图,在平面直角坐标系中, OA =4,AB = 3,∠AOx = 45°, ∠OAB=105°,O→A=a,A→B=b,四边 形OABC 为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标; (2)求向量B→A 的坐标; (3)求点B 的坐标. 解 (1)作AM⊥x 轴于点M,则 OM=OA·cos45°=4× 2 2 =2 2, AM=OA·sin45°=4× 2 2 =22, 故A(22,22), 即a=(22,22). 由题意可知∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,故 ∠COy=30°. 又OC=AB=3,∴C - 3 2 , 33 2 , ∴A→B=O→C= - 3 2 , 33 2 ,即b= - 3 2 , 33 2 . (2)B→A=-A→B= 3 2 ,- 33 2 . (3)∵O→B=O→A+A→B=(2 2,2 2)+ - 3 2 , 33 2 = 22- 3 2 ,22+ 33 2 , ∴点B 的坐标为 22- 3 2 ,22+ 33 2 . 求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点 相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应 点的坐标. (2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的起点、 终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的 坐标. 二 平面向量的坐标运算 典例剖析 2.(1)已知点A(0,1),B(3,2),向量A→C=(-4,-3), 则向量B→C=( ). A.(-7,-4)B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 答案 A 解析 方法一:设C(x,y),则A→C=(x,y-1)=(-4, -3),即 x=-4, y=-2, 从而B→C=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4). 方法二:A→B=(3,2)-(0,1)=(3,1), 25