数学必修第二册 配人教A版 B元=A元-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 的四个顶点 (2)已知向量a,b的坐标分别是（一1,2），(3，一5)，求 解设点D的坐标为(x,y). a十b,a-b的坐标. 当平行四边形为ABCD时，由AB=(1,2),D元=(3 解a十b=(-1,2)十(3，-5)=(2，-3)， x,4-y),且AB=DC,得D(2,2): a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7). 当平行四边形为ACDB时，由A店=(1,2)，C市=(x- 规律总结」平面向量加、减坐标运算的方法 3,y-4),且AB=CD,得D(4,6): 当平行四边形为ACBD时，由AC=(5,3),Di= (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差 (-1-x,3-y),且AC=DB,得D(-6,0). 的坐标运算法则进行. 综上所述，点D的坐标为(2,2)或(4,6)或（一6,0） (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向 量的坐标，再进行向量的坐标运算 规律总结」平面向量加，减坐标运算的应用技巧 (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. (1)用待定系数法，此法是最基本的数学方法之一， 将未知量设出来，建立方程（组）求出未知数的值，是待定 三平面向量坐标运算的应用 系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐 典例剖析 标相等：对应坐标相等的向量是相等向量，由此可建立相 3.已知平面上三点的坐标分别为A(一2,1)， 等关系求某些参数的值 B(一1,3)，C(3,4),求点D的坐标，使这四点为平行四边形 课后·训练提升 基础·巩固 5.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5,一1)， B(一1,7)，C(1,2),则顶点D的坐标为(). 1.如果用i,j分别表示与x轴和y轴正方向相同的两个单 A.(-7,0)B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6) 位向量，且A(2,3),B(4,2),则AB可以表示为(). 答案D A.2i+3j B.4i+2i C.2i-j D.-2i+j 解析因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB=D元】 答案C 设D(x,y),则有(-1-5,7+1)=(1-x,2-y), 解析记O为坐标原点，则OA=2i十3j,OB=4i+2j,故 AB=OB-OA=2i-j. 一61一1”解得=7 即 8=2-y, y=-6, 2.已知向量AB=(2,4),AC=(0,2),则BC=(). 因此点D的坐标为(7，一6). A(-2,-2)B.(2,2) C.(1,1) D.(-1,-1) 6.如图，在口ABCD中，AC为一条 答案A 对角线，若AB=(2,4),AC=(1, 解析B武=AC-AB=(-2,一2). 3),则BD= 3.已知AB=(一2,4)，则下列说法正确的是( ) 答案(-3，-5) A.A点的坐标是（一2,4） 解析BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1). B.B点的坐标是（一2,4） Bi=BC+CD=BC-AB=(-1,-1)-(2,4)= C.当B是原点时，A点的坐标是（一2,4） (-3,-5). D.当A是原点时，B点的坐标是（一2,4） 7.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上，且 答案D AP1=P1,则点P的坐标为 解析当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐 答案(1，-1) 标相同. 解析设点P的坐标为(x,y). 4设与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i,j, 由题意知，当点P在线段AB上时，A户=PB】 取{i,j}作为基底，设a=(x2十x十1)i-(x2-x十1)j .(x-3,y十4)=(-1-x,2-y), (x∈R),则向量a对应的坐标位于( A第一、二象限 B.第二、三象限 任-3=-1-”解得F=1, y+4=2-y, y=-1. C.第三象限 D.第四象限 ∴P点坐标为(1，一1)： 答案D 当P在线段AB延长线上时，A庐=一PB, 解折因为2+x+1=(+)+是>0-x+1= ∴.(x-3,y+4)=-(-1-x,2-y), (-》广+>0，所以向量a对应的坐标位于第四象限 红一3=1十工，此时无解。 ly+4=-2+y, 综上所述，点P的坐标为(1，一1). 26
数 学 必修 第二册 配人教 A版 B→C=A→C-A→B=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). (2)已知向量a,b 的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求 a+b,a-b的坐标. 解a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3), a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7). 平面向量加、减坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差 的坐标运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向 量的坐标,再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 三 平面向量坐标运算的应用 典例剖析 3.已 知 平 面 上 三 点 的 坐 标 分 别 为 A (-2,1), B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标,使这四点为平行四边形 的四个顶点. 解 设点D 的坐标为(x,y). 当平行四边形为ABCD 时,由A→B=(1,2),D→C=(3- x,4-y),且A→B=D→C,得D(2,2); 当平行四边形为ACDB 时,由A→B=(1,2),C→D=(x- 3,y-4),且A→B=C→D,得D(4,6); 当平行四边形为 ACBD 时,由 A→C= (5,3),D→B = (-1-x,3-y),且A→C=D→B,得D(-6,0). 综上所述,点D 的坐标为(2,2)或(4,6)或(-6,0). 平面向量加、减坐标运算的应用技巧 (1)用待定系数法,此法是最基本的数学方法之一, 将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,是待定 系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐 标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相 等关系求某些参数的值. 课后·训练提升 基础 巩固 1.如果用i,j分别表示与x 轴和y 轴正方向相同的两个单 位向量,且A(2,3),B(4,2),则A→B 可以表示为( ). A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j 答案 C 解析 记O 为坐标原点,则O→A=2i+3j,O→B=4i+2j,故 A→B=O→B-O→A=2i-j. 2.已知向量A→B=(2,4),A→C=(0,2),则B→C=( ). A.(-2,-2)B.(2,2) C.(1,1) D.(-1,-1) 答案 A 解析 B→C=A→C-A→B=(-2,-2). 3.已知A→B=(-2,4),则下列说法正确的是( ). A.A 点的坐标是(-2,4) B.B 点的坐标是(-2,4) C.当B 是原点时,A 点的坐标是(-2,4) D.当A 是原点时,B 点的坐标是(-2,4) 答案 D 解析 当向量起点与原点重合时,向量坐标与向量终点坐 标相同. 4.设与x 轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i,j, 取{i,j}作为基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j (x∈R),则向量a对应的坐标位于( ). A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析 因为x2+x+1= x+ 1 2 2 + 3 4 >0,x2-x+1= x- 1 2 2 + 3 4 >0,所以向量a对应的坐标位于第四象限. 5.已知四边形 ABCD 为平行四边形,其中 A (5,-1), B(-1,7),C(1,2),则顶点D 的坐标为( ). A.(-7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6) 答案 D 解析 因为四边形ABCD 为平行四边形,所以A→B=D→C. 设D(x,y),则有(-1-5,7+1)=(1-x,2-y), 即 -6=1-x, 8=2-y, 解得 x=7, y=-6, 因此点D 的坐标为(7,-6). 6.如图,在▱ABCD 中,AC 为一条 对角线,若A→B=(2,4),A→C=(1, 3),则B→D= . 答案 (-3,-5) 解析 B→C=A→C-A→B=(1,3)-(2,4)=(-1,-1), B→D=B→C+C→D=B→C-A→B=(-1,-1)-(2,4)= (-3,-5). 7.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P 在直线AB 上,且 |A→P|=|P→B|,则点P 的坐标为 . 答案 (1,-1) 解析 设点P 的坐标为(x,y). 由题意知,当点P 在线段AB 上时,A→P=P→B. ∴(x-3,y+4)=(-1-x,2-y), ∴ x-3=-1-x, y+4=2-y, 解得 x=1, y=-1. ∴P 点坐标为(1,-1); 当P 在线段AB 延长线上时,A→P=-P→B, ∴(x-3,y+4)=-(-1-x,2-y), ∴ x-3=1+x, y+4=-2+y, 此时无解. 综上所述,点P 的坐标为(1,-1). 26
第六章平面向量及其应用 8.作用于原点的两个力F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平 答案A 衡，需加力F3= 解析设b=(x,y),由新定义及a十b=a☒b,可得(2十 答案(-3，一4) x=2, 解析由题意可知F1十F2十Fa=0, xy-4)=(2x,-4y),所以 2十x=2x,解得 y-4=-4y, 故F3=-F1-F2=-(1,1)-(2,3)=(-3,-4). 9.已知a=AB,点B的坐标为(1,0)，b=(-9,12),c= 所以向童b=(么，号)】 (-2,2),且a=b一c,求点A的坐标. 2.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点，点C在∠AOB 解b=(一9,12)，c=(-2,2), 内，且∠AOC=45°，设O元C=OA+(1-A)O(入∈R),则 ∴.b-c=(-7,10),即a=(-7,10)=AB. 入的值为( 又B(1,0),设点A的坐标为(x,y), 则AB=(1-x,-y)=(-7,10), A号 c号 D号 8 答案C y=-10. 解析如图所示，因为∠AO℃= 即点A的坐标为(8，一10). 10.已知长方形ABCD的长为4，宽 45°，所以设C(x,-x),则O元= (x,一x). 为3，建立平面直角坐标系，如图 又A(一3,0)，B(0,2),所以 所示.i是x轴正方向上的单位 Oi+(1-A)O=(-3x,2- 向量，j是y轴正方向上的单位 向量，试求AC和B元的坐标. 2以)，所以=-3， -x=2-2λ 解得-号 解由长方形ABCD知，CB⊥x A(O)1 轴，CDLy轴，因为AB=4,AD=3,所以AC=4i十3， 3已知点A1,.B(分2），且店=(sme,oe,8 所以AC=(4,3). 又BD=BA+AD=-AB+AD (-受，受)则a+= 所以BD=-4i十3j,所以BD=(-4,3). 11.在平面直角坐标系中，向量a,b,c的方向如图所示，且 答案晋或一哥 1a=2,lb1=3,lcl=4,分别求出它们的坐标. 解折因为店=（←分，号）=(sina,om, 所以ma=一月=子 45 30月 又a9c(-受）所以a=-若=音或-音 解设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则a1 所以a+9=看或一受 aem52x号-8a-olm5=2x号-E 4.已知O是坐标原点，点A在第二象限，O月|=2，∠xOA= 150°，则向量OA的坐标为 61=1b1ms120°=3×(-2）=-号ba=1b1sm120°= 答案(-5,1) 解析设O=(m,n),则m=1O|cos150°=2X 3x5=3 2,1=(-30)=4x5 =23,c2= (-9）=-6a=01m150=2x号1故0i的 lelsin(-30)=4×(-2）=-2. 坐标为（一√3,1）. 故a=E.b-(-号3)c=.-2》. 5.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与B相等，已知A(1, 3),B(2,4),则a= x= 拓展：提高 答案(1,1)1 解析AB=(2,4)-(1,3)=(1,1), 1.对于向量m=(x1,y1),n=(x2y2),定义m☒n=(x1x2, 又AB=a=(2x-1,x2+3x-3), y1yz).已知a=(2,一4)，且a十b=a⑧b,那么向量b等 于(). + ,解得x=1 A(2,) B(←2-) 6.已知点A(-1,2),B(2,8)及AC=AB,DA=-BA,求点 C,D和CD的坐标. c(2,-) n(-2) 解设点C(x1y),D(x2y2), 27
第六章 平面向量及其应用 8.作用于原点的两个力F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平 衡,需加力F3= . 答案 (-3,-4) 解析 由题意可知F1+F2+F3=0, 故F3=-F1-F2=-(1,1)-(2,3)=(-3,-4). 9.已知a=A→B,点B 的坐标为(1,0),b=(-9,12),c= (-2,2),且a=b-c,求点A 的坐标. 解 ∵b=(-9,12),c=(-2,2), ∴b-c=(-7,10),即a=(-7,10)=A→B. 又B(1,0),设点A 的坐标为(x,y), 则A→B=(1-x,-y)=(-7,10), ∴ 1-x=-7, -y=10, ∴ x=8, y=-10, 即点A 的坐标为(8,-10). A B D C x y (O) 10.已知长方形ABCD 的长为4,宽 为3,建立平面直角坐标系,如图 所示.i是x 轴正方向上的单位 向量,j 是y 轴正方向上的单位 向量,试求A→C 和B→D 的坐标. 解 由长方形ABCD 知,CB⊥x 轴,CD⊥y轴,因为AB=4,AD=3,所以A→C=4i+3j, 所以A→C=(4,3). 又B→D=B→A+A→D=-A→B+A→D, 所以B→D=-4i+3j,所以B→D=(-4,3). 11.在平面直角坐标系中,向量a,b,c的方向如图所示,且 |a|=2,|b|=3,|c|=4,分别求出它们的坐标. 解 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则a1= |a|cos45°=2× 2 2 = 2,a2=|a|sin45°=2× 2 2 = 2, b1=|b|cos120°=3× - 1 2 =- 3 2 ,b2=|b|sin120°= 3× 3 2 = 33 2 ,c1=|c|cos(-30°)=4× 3 2 =2 3,c2= |c|sin(-30°)=4× - 1 2 =-2. 故a=(2,2),b= - 3 2 , 33 2 ,c=(23,-2). 拓展 提高 1.对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义m⊗n=(x1x2, y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=a⊗b,那么向量b 等 于( ). A.2, 4 5 B.-2,- 4 5 C.2,- 4 5 D.-2, 4 5 答案 A 解析 设b=(x,y),由新定义及a+b=a⊗b,可得(2+ x,y-4)=(2x,-4y),所以 2+x=2x, y-4=-4y, 解得 x=2, y= 4 5 , 所以向量b= 2, 4 5 . 2.已知A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点C 在∠AOB 内,且∠AOC=45°,设O→C=λO→A+(1-λ)O→B(λ∈R),则 λ的值为( ). A. 1 5 B. 1 3 C. 2 5 D. 2 3 答案 C A O B C x 解析 如 图 所 示,因 为 y ∠AOC = 45°,所以设C(x,-x),则 O→C= (x,-x). 又A(-3,0),B(0,2),所以 λO→A+(1-λ)O→B = (-3λ,2- 2λ),所以 x=-3λ, -x=2-2λ, 解得λ= 2 5 . 3.已知点A(1,1),B 1 2 , 3 2 ,且A→B=(sinα,cosβ),α,β∈ - π 2 , π 2 ,则α+β= . 答案 π 6 或- π 2 解析 因为A→B= - 1 2 , 1 2 =(sinα,cosβ), 所以sinα=- 1 2 ,cosβ= 1 2 . 又α,β∈ - π 2 , π 2 ,所以α=- π 6 ,β= π 3 或- π 3 , 所以α+β= π 6 或- π 2 . 4.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,|O→A|=2,∠xOA= 150°,则向量O→A 的坐标为 . 答案 (- 3,1) 解析 设 O→A = (m,n),则 m =|O→A|cos150°=2× - 3 2 =- 3,n=|O→A|sin150°=2× 1 2 =1,故O→A 的 坐标为(- 3,1). 5.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与A→B 相等,已知A(1, 3),B(2,4),则a= ,x= . 答案 (1,1) 1 解析 ∵A→B=(2,4)-(1,3)=(1,1), 又A→B=a=(2x-1,x2+3x-3), ∴ 2x-1=1, x2+3x-3=1, 解得x=1. 6.已知点A(-1,2),B(2,8)及A→C=A→B,D→A=-B→A,求点 C,D 和C→D 的坐标. 解 设点C(x1,y1),D(x2,y2), 27
数学 必修第二册 配人教A版 由题意可得AC=(x1十1，y1-2),AB=(3,6), Di=(-1-x22-y2),Bi=(-3,-6). 2λ1- 22 3 2 1=-3， 所以 解得 :A心=AB.DA=-BA, 35 2=-35. 2= ∴.(x1十1，y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=(3,6), 2 由十13解得=2， 所以c=-3a-3√3b y1-2=6, y1=8. 挑战·创新 由1-3…解得二一4 2-y2=6, y2=-4. 已知点O(0,0),A(1,2). .点C,D的坐标分别为(2,8)和（一4，一4） (1)若B(3t+1,3t+2),O币=O+AB,则t为何值时， ∴.CD=(-6,-12). 点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ 7.已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设 (2)若点B(4,5),P(1十3t,2十3t),则四边形QABP能为平 OA=a,OB=b,OC=c,且|a|=2,lb|=1,lcl=3,试用 行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由. a,b表示c. 解(1)因为0(0,0)，A(1,2),B(3t+1,3t+2),所以 解如图，以0为原点，向量OA所在 AB=(3t,3t),所以OP=OA+AB=(1,2)+(3t,3t)= 的直线为x轴建立平面直角坐标系 50 (1十3t,2+3t),若点P在x轴上，则2十3t=0,解得t= 因为a|=2,所以a=(2,0). 90 2 设b=（x1,y1),则x1= 3 61m150-1x(）=-g, 若点P在y轴上，则1十3t=0,解得t=一 3 =b1m150=1x所以6=(-5》 若点P在第二象限，则十3<0， 12+3t>0. 月现可得e=(号，-3号)】 解得-<1一 1 (2)OA=(1,2),Pi=(3-3t,3-3). 若四边形OABP为平行四边形，则OA=P3, 3一3=1·该方程组无解。 即 a2.o+(-）=(以-2)： 3-3t=2, 故四边形OABP不能成为平行四边形. 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课前·基础认知 1.平面向量数乘运算的坐标表示 提示不能.当x2,y2有一者为零时，比例式没有意义， (1)符号表示：已知a=(x,y),则λa=(入x,y). 只有当x2y2≠0时，才能使用. (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数 3.中点坐标公式 乘原来向量的相应坐标。 若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 2.平面向量共线的坐标表示 x=1十x2 设a=(x1y1),b=(x2y2),其中b≠0，a,b共线的充 2 要条件是x1y2一x2y=0 PPz的中点P的坐标为(x,y),则 y- y1+y2 微思考两向量a=(x1,y1),b=(x2y2)共线的坐 2 标条件能表示成=兰吗？ r2 y2 课堂·重难突破 向量共线的判定与证明 A.a=(-2,3),b=(4,6) B.a=(2,3),b=(3,2) 典例剖析 C.a=(1,-2),b=(7,14) 1.(1)下列各组向量中，共线的是(). D.a=(-3,2),b=(6,-4) 28
数 学 必修 第二册 配人教 A版 由题意可得 A→C=(x1 +1,y1 -2),A→B=(3,6), D→A=(-1-x2,2-y2),B→A=(-3,-6). ∵A→C=A→B,D→A=-B→A, ∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=(3,6), 由 x1+1=3, y1-2=6, 解得 x1=2, y1=8. 由 -1-x2=3, 2-y2=6, 解得 x2=-4, y2=-4. ∴点C,D 的坐标分别为(2,8)和(-4,-4), ∴C→D=(-6,-12). 7.已知O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设 O→A=a,O→B=b,O→C=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用 a,b表示c. 解 如图,以O 为原点,向量O→A 所在 的直线为x轴建立平面直角坐标系. 因为|a|=2,所以a=(2,0). 设 b = (x1,y1 ),则 x1 = |b|cos150°=1× - 3 2 = - 3 2 , y1=|b|sin150°=1× 1 2 = 1 2 ,所以b= - 3 2 , 1 2 . 同理可得c= - 3 2 ,- 33 2 . 设c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),所以 - 3 2 ,- 33 2 = λ1(2,0)+λ2 - 3 2 , 1 2 = 2λ1- 3 2 λ2, 1 2 λ2 , 所以 2λ1- 3 2 λ2=- 3 2 , 1 2 λ2=- 33 2 , 解得 λ1=-3, λ2=-33. 所以c=-3a-33b. 挑战 创新 已知点O(0,0),A(1,2). (1)若B(3t+1,3t+2),O→P=O→A+A→B,则t为何值时, 点P 在x 轴上? 点P 在y轴上? 点P 在第二象限? (2)若点B(4,5),P(1+3t,2+3t),则四边形OABP 能为平 行四边形吗? 若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 解 (1)因为O(0,0),A(1,2),B(3t+1,3t+2),所以 A→B=(3t,3t),所以O→P=O→A+A→B=(1,2)+(3t,3t)= (1+3t,2+3t),若点P 在x 轴上,则2+3t=0,解得t= - 2 3 ; 若点P 在y轴上,则1+3t=0,解得t=- 1 3 ; 若点P 在第二象限,则 1+3t<0, 2+3t>0, 解得- 2 3 <t<- 1 3 . (2)O→A=(1,2),P→B=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP 为平行四边形,则O→A=P→B, 即 3-3t=1, 3-3t=2, 该方程组无解. 故四边形OABP 不能成为平行四边形. 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课前·基础认知 1.平面向量数乘运算的坐标表示 (1)符号表示:已知a=(x,y),则λa= (λx,λy). (2)文字描述:实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标. 2.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线的充 要条件是 x1y2-x2y1=0 . 微思考 两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的坐 标条件能表示成 x1 x2 = y1 y2 吗? 提示 不能.当x2,y2 有一者为零时,比例式没有意义, 只有当x2y2≠0时,才能使用. 3.中点坐标公式 若点P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 P1P2 的中点P 的坐标为(x,y),则 x= x1+x2 2 , y= y1+y2 2 . 课堂·重难突破 一 向量共线的判定与证明 典例剖析 1.(1)下列各组向量中,共线的是( ). A.a=(-2,3),b=(4,6) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-3,2),b=(6,-4) 28
第六章平面向量及其应用 答案D 规律总结☐应用向量共线的坐标表示求解几何问题的 解析A中，-2×6-3X4≠0：B中，3X3-2×2≠0：C中， 步骤 1×14-(-2)×7≠0：D中，(-3)×(-4)-2×6=0.故选D (2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量 表示 首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段 向量化 AB与C市平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 解AB=(2,4),Ci=(1,2), 列式 结合题目所给的条件，利用平面向量关系的坐标 公式列出有关变量的方程（组） 又2X2-4×1=0,.ABCi 又AC=(2,6),AB=(2,4),∴.2×4-2×6≠0， 求解 通过解方程（组）求出有关变量 A,B,C三，点不共线， .直线AB与直线CD不重合，ABCD. 转化 转化到原来的几何问题中 规律总结向量共线的判定方法 三 共线向量与线段分点坐标的计算 方法一 利用向量共线定理，由a=b(b≠0，入∈R) 推出ab 典例剖析 判 3.已知点A(3,一4)，B(-1,2),点P在直线AB上，且 方法二 已知a=),b=(x2(b≠0)，利用向量共线 AP1=21P1,求点P的坐标. 的坐标表达式xy-xy=0直接求解 解设点P的坐标为(x,y) A1=21P克1. 向量共线的综合应用 ∴点P的位置有两种情况 典例剖析 当，点P在线段AB上时，则有A户=2P .(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), 2.(1)已知向量a=(cosa,-2),b=(sina,1),且ah. 1 则2 sin acos a等于( 即-3=-2-2x, 解得 y+4=4-2y, A.3 B.-3 c- y=0, 答案C 点P的坐标为（号0）： 解析因为a仍，所以cos aX1一(-2)X sin a=0,即 当点P在线段AB的延长线上时，则有A下=一2PB, ∴.(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), cosa=一2sina,故tana=一 乞，所以2 sin acos a= x-3=2+2x, y+4=-4+2y 2sin acos a 2tan a 2x(2》 sin2a十cos2a tan'a+1 5 条降化 .点P的坐标为(-5,8) (2)如图所示，已知点A(4,0), 个y B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P 蟒上所速，点P的坐标为（兮0）（一5,8。 的坐标 规律总结☐」求点的坐标时应注意的问题 解方法一：（定理法）由O,P,B三 (1)设P(x1y1),P(x2y2),若点P是PP2的中 点共线，可设O币=xO店=(4以，4以)（入∈ R),则A产=OP-Oi=(4以-4,4). 点，则点P的坐标为(，) AC=0元-OA=(-2,6). (2)求线段P:P2上或其延长线上的点的坐标时，不 由A卫与AC共线得(4以-4)X6-4以X(-2)=0,解得 必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方 A=,所以0市==(3.3).所以，点P的坐标为3.3》. 程组求解，同时要注意分类讨论 方法二：（坐标法）设P(x,y),则OP=(x,y),图为 (3)若P1P=λP1P2(≠0)， O=(4,4),且O币与O形共线，所以4x-4y=0,即x=y. 当0<入<1时，点P在线段PP2上； 又A庐=(x-4,y),AC=(-2,6),且AP与AC共线， 当入=1时，点P与点P2重合： 则得(x-4)X6-yX(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的 当A>1时，点P在线段PP2的延长线上： 坐标为(3,3). 当入<0时，点P在线段PP2的反向延长线上， 29
第六章 平面向量及其应用 答案 D 解析 A中,-2×6-3×4≠0;B中,3×3-2×2≠0;C中, 1×14-(-2)×7≠0;D中,(-3)×(-4)-2×6=0.故选D. (2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量 A→B 与C→D 平行吗? 直线AB 平行于直线CD 吗? 解 ∵A→B=(2,4),C→D=(1,2), 又2×2-4×1=0,∴A→B∥C→D. 又A→C=(2,6),A→B=(2,4),∴2×4-2×6≠0, ∴A,B,C 三点不共线, ∴直线AB 与直线CD 不重合,∴AB∥CD. 向量共线的判定方法 二 向量共线的综合应用 典例剖析 2.(1)已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且a∥b, 则2sinαcosα等于( ). A.3 B.-3 C.- 4 5 D. 4 5 答案 C 解析 因为a∥b,所以cosα×1-(-2)×sinα=0,即 cosα= -2sinα,故 tanα= - 1 2 ,所 以 2sinαcosα= 2sinαcosα sin2α+cos2α = 2tanα tan2α+1 = 2× - 1 2 - 1 2 2 +1 =- 4 5 . x y O A B C P (2)如 图 所 示,已 知 点 A (4,0), B(4,4),C(2,6),求AC 与OB 的交点P 的坐标. 解 方法一:(定理法)由O,P,B 三 点共线,可设O→P=λO→B=(4λ,4λ)(λ∈ R),则A→P=O→P-O→A=(4λ-4,4λ), A→C=O→C-O→A=(-2,6). 由A→P 与A→C 共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得 λ= 3 4 ,所以O→P= 3 4 O→B=(3,3),所以点P 的坐标为(3,3). 方法二:(坐标法)设 P(x,y),则O→P=(x,y),因为 O→B=(4,4),且O→P 与O→B 共线,所以4x-4y=0,即x=y. 又A→P=(x-4,y),A→C=(-2,6),且A→P 与A→C 共线, 则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P 的 坐标为(3,3). 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的 步骤 !" #$ %& '( )*+,-.，0-12345678(，9: ;<( =>-1?@5AB，CDEF;<4G578 H$#I34J<5KL（N） PQ&KL（N）%I34J< '(RST5UVW-2 三 共线向量与线段分点坐标的计算 典例剖析 3.已知点A(3,-4),B(-1,2),点P 在直线AB 上,且 |A→P|=2|P→B|,求点P 的坐标. 解 设点P 的坐标为(x,y). ∵|A→P|=2|P→B|, ∴点P 的位置有两种情况. 当点P 在线段AB 上时,则有A→P=2P→B, ∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), 即 x-3=-2-2x, y+4=4-2y, 解得 x= 1 3 , y=0, ∴点P 的坐标为 1 3 ,0 ; 当点P 在线段AB 的延长线上时,则有A→P=-2P→B, ∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), ∴ x-3=2+2x, y+4=-4+2y, 解得 x=-5, y=8, ∴点P 的坐标为(-5,8). 综上所述,点P 的坐标为 1 3 ,0 或(-5,8). 求点的坐标时应注意的问题 (1)设P1(x1,y1),P2(x2,y2),若点P 是P1P2 的中 点,则点P 的坐标为 x1+x2 2 , y1+y2 2 . (2)求线段P1P2 上或其延长线上的点的坐标时,不 必过分强调公式的记忆,可以转化为向量问题后列出方 程组求解,同时要注意分类讨论. (3)若P1 →P=λP1P2 →(λ≠0), 当0<λ<1时,点P 在线段P1P2 上; 当λ=1时,点P 与点P2 重合; 当λ>1时,点P 在线段P1P2 的延长线上; 当λ<0时,点P 在线段P1P2 的反向延长线上. 29
数学 必修 第二册 配人教A版 课后·训练提升 基础·巩固 7.已知点A(1,一2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且 AB与向量a=(1,d)共线，则实数入= 1.在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是( Ae1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) 答案 C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 解析由题意得，点B的坐标为(3×2一1,1X2十2)= 答案B (5,4),则AB=(4,6). 解析只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a. 2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,A),若a∥AB,则实 又：与a=1以0共线以-6=0，解得=是 数入的值为(). 8.已知O=(,2),O=(1,2k).O心=(1-k,-1),且相 A-号 D.一2 异三点A,B,C共线，则实数k= 3 答案C 答案-} 解析根据A,B两点的坐标，可得AB=(3,1), 解析AB=OB-OA=(1-k,2k-2),AC=0心-OA a/不应2X1-3以=0每得=号 (1-2k,-3),由题意可知AB∥AC,所以(-3)×(1- 3.若向量a=(一1，x)与b=(一x,2)共线且方向相同，则x k)-(2张-201-2张)=0，解得k=-是或k=1,当k=1 的值为( A.2 B.-√2 C.2 D.-2 时A,B重合，故合去，所以实数k的值为-子 答案A 9.已知向量a=(一2,3)，b/∥a,向量b的起点为A(1,2),终 解析因为向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线，所以 点B在坐标轴上，则点B的坐标为 (-1)×2-x(-x)=0,解得x=士√2，又向量a与b方 答案(o,)或（子0） 向相同，所以x=√2 解析由b/a,可设b=Aa=(-2,3x)(入∈R).设B(x, 4.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(k,2)(k∈R).若 y),则AB=(x-1,y-2)=b. (3a一b)e,则k的值为( -2λ=x-1, x=1-2x. A.-8 B.-6 C.-1 D.6 3A=y-2,解得 故 ly=3A+2. 答案B 又点B在坐标轴上，则1一2入=0或3入十2=0， 解析由题意得3a一b=(3,-1),因为(3a一b)/c 7 所以6十k=0,解得k=一6. 当1-2以=0，即入=2时，x=0y=2 5已知向量a=(1-sim0.D,b=(侵1+sim0）,且a仍， 当3烈十2=0，即X=-号时x 2 3y=0. 则锐角0等于(). A.30° B.45° C.60 D.759 所以B(0,号)支（日o) 答案B 10.已知a=(1,0),b=(2,1). 1 (1)求a+3b的坐标； 解析由a/仍，可得(1-sim8)(1+sin0)一2=0， (2)当k为何实数时，ka一b与a十3b平行，平行时它们 即c0s0=士2 ,而0是锐角，故0=45 是同向还是反向？ 解(1)图为a=(1,0),b=(2,1), 6.已知向量Oi=(1,-3),0=(2,-1),0元=(k+1,k- 所以a十3b=(1,0)十(6,3)=(7,3) 2),若A,B,C三点不能构成三角形，则实数k应满足的 (2)ka-b=(k-2,-1),a十3b=(7,3) 条件是( 因为ka-b与a十3b平行，所以3(k-2)十7=0，解 Ak=-2 C.k=1 D.k=-1 此时如-b=(←子-小， 得k=一1 答案C 解析因为A,B,C三点不能构成三角形，所以A,B,C 即当k=二子时，如-b与a+3动平行，方向相反 三点共线，则ABAC,又AB=OB-OA=(1,2),AC= 11.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0,0),B(3,1), O元-0A=(k,k+1), C(4,3),D(1,2),M,N分别为DC,AB的中点，求AM, 所以2k一(k十1)=0，解得k=1. C的坐标，并判断AM,C是否共线. 30
数 学 必修 第二册 配人教 A版 课后·训练提升 基础 巩固 1.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( ). A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 答案 B 解析 只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a. 2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ),若a∥A→B,则实 数λ的值为( ). A.- 2 3 B. 3 2 C. 2 3 D.- 3 2 答案 C 解析 根据A,B 两点的坐标,可得A→B=(3,1), ∵a∥A→B,∴2×1-3λ=0,解得λ= 2 3 . 3.若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,则x 的值为( ). A.2 B.- 2 C.2 D.-2 答案 A 解析 因为向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线,所以 (-1)×2-x(-x)=0,解得x=± 2,又向量a 与b 方 向相同,所以x= 2. 4.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(k,2)(k∈R).若 (3a-b)∥c,则k的值为( ). A.-8 B.-6 C.-1 D.6 答案 B 解析 由题意得3a-b=(3,-1),因为(3a-b)∥c, 所以6+k=0,解得k=-6. 5.已知向量a=(1-sinθ,1),b= 1 2 ,1+sinθ ,且a∥b, 则锐角θ等于( ). A.30° B.45° C.60° D.75° 答案 B 解析 由a∥b,可得(1-sinθ)(1+sinθ)- 1 2 =0, 即cosθ=± 2 2 ,而θ是锐角,故θ=45°. 6.已知向量O→A=(1,-3),O→B=(2,-1),O→C=(k+1,k- 2),若A,B,C 三点不能构成三角形,则实数k 应满足的 条件是( ). A.k=-2 B.k= 1 2 C.k=1 D.k=-1 答案 C 解析 因为A,B,C 三点不能构成三角形,所以A,B,C 三点共线,则A→B∥A→C,又A→B=O→B-O→A=(1,2),A→C= O→C-O→A=(k,k+1), 所以2k-(k+1)=0,解得k=1. 7.已知点A(1,-2),若线段AB 的中点坐标为(3,1),且 A→B 与向量a=(1,λ)共线,则实数λ= . 答案 3 2 解析 由题意得,点B 的坐标为(3×2-1,1×2+2)= (5,4),则A→B=(4,6). 又∵A→B 与a=(1,λ)共线,∴4λ-6=0,解得λ= 3 2 . 8.已知O→A=(k,2),O→B=(1,2k),O→C=(1-k,-1),且相 异三点A,B,C 共线,则实数k= . 答案 - 1 4 解析 A→B=O→B-O→A=(1-k,2k-2),A→C=O→C-O→A= (1-2k,-3),由题意可知A→B∥ A→C,所以(-3)×(1- k)-(2k-2)(1-2k)=0,解得k=- 1 4 或k=1,当k=1 时,A,B 重合,故舍去.所以实数k的值为- 1 4 . 9.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终 点B 在坐标轴上,则点B 的坐标为 . 答案 0, 7 2 或 7 3 ,0 解析 由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ)(λ∈R).设B(x, y),则A→B=(x-1,y-2)=b. 故 -2λ=x-1, 3λ=y-2, 解得 x=1-2λ, y=3λ+2. 又点B 在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0, 当1-2λ=0,即λ= 1 2 时,x=0,y= 7 2 ; 当3λ+2=0,即λ=- 2 3 时,x= 7 3 ,y=0. 所以B 0, 7 2 或 7 3 ,0 . 10.已知a=(1,0),b=(2,1). (1)求a+3b的坐标; (2)当k为何实数时,ka-b与a+3b 平行,平行时它们 是同向还是反向? 解 (1)因为a=(1,0),b=(2,1), 所以a+3b=(1,0)+(6,3)=(7,3). (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为ka-b与a+3b平行,所以3(k-2)+7=0,解 得k=- 1 3 ,此时ka-b= - 7 3 ,-1 , 即当k=- 1 3 时,ka-b与a+3b平行,方向相反. 11.如图所示,在平行四边形ABCD 中,A(0,0),B(3,1), C(4,3),D(1,2),M,N 分别为DC,AB 的中点,求A→M, C→N 的坐标,并判断A→M,C→N 是否共线. 30