第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.1指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 课前·基础认知 一、整数指数幂 一a,而(a)2无意义. 【问题思考】 2.填空：(1)一般地，给定大于1的正整数n和实数a, 1.(1)“3×3×3×3”用幂的形式可表示为什么？ 如果存在实数x,使得x“=a,则x称为a的n次方根. a·a·…·g如何表示？ (2)当a有意义的时候，迈称为根式，n称为根指数，@ 个 学是香等于3 称为被开方数。 (3)一般地，根式具有以下性质： 提示(1)3，a" ①(a)=a. 33 (2)3=3-2=3. ②当n为奇数时，a”=a;当n为偶数时，a=la 3.开方运算和乘方运算是什么关系？ 2.填空：(1)正整数指数幂 提示互逆的运算 a”=a·a·…·g,a”叫做a的n次幂，a叫做幂的底 4.若式子a(n>1,且n∈N+)有意义，则a的取值范 数，n叫做幂的指数，并规定a=a. 围如何？ (2)零指数幂与负整数指数幂 提示当n为奇数时，a∈R: 规定：a°=1(a≠0)， 当n为偶数时，a∈[0，十∞). a= 。(a0,n∈N) 5.(a)”与a有何区别？ (3)整数指数幂的运算法则 提示(1)（版）”是实数a的n次方根的n次幂，其中 正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然 实数a的取值由n的奇偶决定，其算法是对a先开方，后乘 成立 方（都是n次），结果恒等于a ①aa"=a"t"(m,n∈Z): (2)a是实数a”的n次方根，是一个恒有意义的式子， ②(a")"=a(m,n∈Z)； 不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法 ③(ab)"=a"b"(m∈Z). 是对a先乘方，再开方（都是n次），结果不一定等于a,当n为 3.a°=1对于任意a∈R成立吗？ 提示不都成立，当a=0时，a°无意义. 奇数时，面=a:当n为偶数时，Va=lal=a<0 4.做一做：下列各式错误的是() 6.做一做：下列说法正确的有 ,(填序号) A.(-a2b)2.(-ab2)3=-a7b8 ①一27=3：②16的4次方根是士2： B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3 ③81=±3：④√x+y)z=|x+yl C.(-a3)2.(-b2)3=ab6 答案②④ D.[-(a2)2.(-b2)3]2=a18b18 三、分数指数幂 答案C 【问题思考】 二、根式 1.(1)厅与a如何用幂的形式表示？ 【问题思考】 1.(1)在实数范围内，x‘=16的解是什么？ (2a子与a主一定相等吗？ (2)(a)2与√a2一定相等吗？ 提示(1)a=a,a=a是 提示(1)2和-2； (2)不一定 (2)当a≥0时，(a)=√a=a,当a<0时，a= 2.填空：(1)一般地，如果n是正整数，那么当a有意义
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.1 实数指数幂及其运算 课前·基础认知 一、整数指数幂 【问题思考】 1.(1)“3×3×3×3”用 幂 的 形 式 可 表 示 为 什 么? a·a·…·a n个 如何表示? (2) 33 32是否等于33-2? 提示 (1)34,an . (2) 33 32=33-2=3. 2.填空:(1)正整数指数幂 an =a·a·…·a n个 ,an 叫做a 的n 次幂,a 叫做幂的底 数,n叫做幂的指数,并规定a1=a. (2)零指数幂与负整数指数幂 规定:a0=1(a≠0), a-n = 1 an(a≠0,n∈N+ ). (3)整数指数幂的运算法则 正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然 成立. ①aman =am+n(m,n∈Z); ②(am )n =amn(m,n∈Z); ③(ab)m =ambm (m∈Z). 3.a0=1对于任意a∈R成立吗? 提示 不都成立,当a=0时,a0 无意义. 4.做一做:下列各式错误的是( ) A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8 B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3 C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6 D.[-(a3)2·(-b2)3]3=a18b18 答案 C 二、根式 【问题思考】 1.(1)在实数范围内,x4=16的解是什么? (2)(a)2 与 a2 一定相等吗? 提示 (1)2和-2; (2)当a≥0时,(a)2= a2 =a,当a<0时, a2 = -a,而(a)2 无意义. 2.填空:(1)一般地,给定大于1的正整数n 和实数a, 如果存在实数x,使得xn =a,则x 称为a的n次方根. (2)当 na有意义的时候, na称为根式,n 称为根指数,a 称为被开方数. (3)一般地,根式具有以下性质: ①( na)n =a. ②当n为奇数时, n an =a;当n为偶数时, n an =|a|. 3.开方运算和乘方运算是什么关系? 提示 互逆的运算. 4.若式子 na(n>1,且n∈N+ )有意义,则a 的取值范 围如何? 提示 当n为奇数时,a∈R; 当n为偶数时,a∈[0,+∞). 5.( na)n 与 n an 有何区别? 提示 (1)( na)n 是实数a 的n 次方根的n 次幂,其中 实数a的取值由n的奇偶决定.其算法是对a 先开方,后乘 方(都是n次),结果恒等于a. (2) n an 是实数an 的n次方根,是一个恒有意义的式子, 不受n的奇偶限制,但这个式子的值受n的奇偶限制.其算法 是对a先乘方,再开方(都是n次),结果不一定等于a,当n为 奇数时, n an =a;当n为偶数时, n an =|a|= a,a≥0, -a,a<0. 6.做一做:下列说法正确的有 .(填序号) ① 3 -27=3;②16的4次方根是±2; ③ 481=±3;④ (x+y)2 =|x+y|. 答案 ②④ 三、分数指数幂 【问题思考】 1.(1) 3 a4 与 4 a3 如何用幂的形式表示? (2)a 2 4 与a 1 2 一定相等吗? 提示 (1) 3 a4 =a 4 3 , 4 a3 =a 3 4 . (2)不一定. 2.填空:(1)一般地,如果n是正整数,那么当 na有意义 1
数学 必修第二册 配人教B版 时，规定a-=返；当a没有意义时，称a产没有意义. (2)将 (a>0,b>0)化为分数指数幂的形式为 (2)对于一般的正分数只，也可作类似规定，即。- (版)m=a, 四、无理指数幂 (3)负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即若s 【问题思考】 是正分数a有意义且a≠0时，规定a=】 12严是一个确定的实数吗？ 提示是 (4)一般情况下，当s与t都是有理数时，有运算法则： 2.填空：一般地，当a>0且t是无理数时，a‘都是一个 ①a'a'=at ②(a')'=a, 确定的实数，我们可以找出它的任意精度的近似值.因此，当 a>0,t为任意实数时，可以认为实数指数幂a都有意义. ③(ab)'=ab 3.对任意m∈R,是否有1“=1恒成立？ 3.做一做：(1)a号(a>0)用根式的形式可表示为 提示是 课堂·重难突破 探究一 根式的化简与求值 3(6)(6>0. 【例1】化简： 分析先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解 (1)1+2)3+√1-√2)： 解)原式=√a·a=√a=a)立=a是 (2)a-a+T(a<号） (2)原式=3 1 1 .)v( 解(1)原式=1+2+1-√2|=1+2+2-1=22. (2原式=(2a-1)2=31-2a, x 延伸探究 例1(2)变为√(4a2一4a十1)严，化简结果如何？ (3)原式=[6音)音=b×x(-)=b寺 解(4a2-4a+1)=(2a-1)丁=|2a-1川= ®反思感悟 当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开 2a-1a≥2 1 方数，由里而外用分数指数暴写出，然后用性质进行化 筒.特别注意：分数指数幂和根式在化简结果中不能同 1-2a,a<2 时存在。 反思感悟〉 【变式训练2】将下列根式与分数指数幂进行互化： 根式化简时应遵循以下原则：(1)被开方数中不含 有能开得尽方的因数或因式：(2)被开方数是带分数的 a÷(a>0:(2)a6(a>0:(3)a a.a 需化成假分数：(3)被开方数中不能含有分母：若使用 (a>0). √ab=√a·√B(a≥0，b≥0)化简时，被开方数若不是 乘积形式，则须先化成乘积形式。 a= 1 【变式训练1】求值：√3-2√反+（√-反） (2)a=a.ai=a (3)原式=a3a克.a立=a含=a品 解析√3-22+（√-2）=√W2-1)2+(1 探究三指数幂的运算 2)=2-1+1-√2=0. 答案0 【例3】对下列各式化简或求值： 探究二根式与分数指数幂的互化 （1(2a6)(-6a6)÷(-3ab: 2+y2-y 【例2】将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)√aa(a>0):(2) 1 (x>0): V) 8g)”+01r+e9-3+器 2
数 学 必修 第二册 配人教B版 时,规定a 1 n = na;当 na没有意义时,称a 1 n 没有意义. (2)对于一般的正分数 m n ,也可作类似规定,即a m n = ( na)m = n am . (3)负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似,即若s 是正分数,as 有意义且a≠0时,规定a-s= 1 as. (4)一般情况下,当s与t都是有理数时,有运算法则: ①asat=as+t, ②(as)t=ast, ③(ab)s=asbs. 3.做一做:(1)a - 3 5 (a>0)用根式的形式可表示为 1 5 a3 . (2)将 4 b3 a2 (a>0,b>0)化为分数指数幂的形式为 b 3 4a - 1 2 . 四、无理指数幂 【问题思考】 1.22是一个确定的实数吗? 提示 是. 2.填空:一般地,当a>0且t是无理数时,at 都是一个 确定的实数,我们可以找出它的任意精度的近似值.因此,当 a>0,t为任意实数时,可以认为实数指数幂at 都有意义. 3.对任意m∈R,是否有1m =1恒成立? 提示 是. 课堂·重难突破 探究一 根式的化简与求值 【例1】化简: (1) 3 (1+ 2)3 + 4 (1- 2)4 ; (2) 6 4a2-4a+1a≤ 1 2 . 解 (1)原式=1+ 2+|1- 2|=1+ 2+ 2-1=22. (2)原式= 6 (2a-1)2 = 31-2a. 例1(2)变为 4 (4a2-4a+1)2 ,化简结果如何? 解 4 (4a2-4a+1)2 = 4 (2a-1)4 =|2a-1|= 2a-1,a≥ 1 2 , 1-2a,a< 1 2 . 根式化简时应遵循以下原则:(1)被开方数中不含 有能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数是带分数的 需化成假分数;(3)被开方数中不能含有分母;若使用 ab= a· b(a≥0,b≥0)化简时,被开方数若不是 乘积形式,则须先化成乘积形式. 【变 式 训 练 1】求 值: 3-22 + ( 3 1- 2 )3 = . 解析 3-22 +( 3 1- 2)3 = (2-1)2 +(1- 2)= 2-1+1- 2=0. 答案 0 探究二 根式与分数指数幂的互化 【例2】将下列根式化成分数指数幂的形式: (1)aa (a>0);(2) 1 3 x( 5 x2 )2 (x>0); (3) 4 b - 2 3 - 2 3 (b>0). 分析 先把根式化为分数指数幂,再利用运算性质求解. 解 (1)原式= a·a 1 2 = a 3 2 = a 3 2 1 2 =a 3 4 . (2)原式= 1 3 x· x 2 5 2 = 1 3 x·x 4 5 = 1 3 x 9 5 = 1 x 9 5 1 3 = 1 x 3 5 =x - 3 5 . (3)原式= b - 2 3 1 4 - 2 3 =b - 2 3× 1 4× - 2 3 =b 1 9 . 当所要化简的根式含有多重根号时,要搞清被开 方数,由里而外用分数指数幂写出,然后用性质进行化 简.特别注意:分数指数幂和根式在化简结果中不能同 时存在. 【变式训练2】将下列根式与分数指数幂进行互化: (1)a - 3 4 (a>0);(2) 3 aa (a>0);(3) a3 a· 5 a4 (a>0). 解 (1)a - 3 4 = 1 4 a3 . (2) 3 aa =a 1 3 ·a 1 6 =a 1 2 . (3)原式=a3·a - 1 2 ·a - 4 5 =a 3- 1 2- 4 5 =a 17 10. 探究三 指数幂的运算 【例3】对下列各式化简或求值: (1)(2a 4 3b 1 4 )(-6a 1 2b 1 3 )÷(-3a 1 6b 1 6 ); (2) x-2+y -2 x - 2 3 +y - 2 3 - x-2-y -2 x - 2 3 -y - 2 3 ; (3)2 7 9 0.5 +0.1-2+ 2 10 27 - 2 3 -3π0+ 37 48 . 2
第四章指数函数、对数函数与幂函数 分析利用分数指数幂的运算法则进行化简、求值， 2原=a+6u-_a-y- 解（1)(2a6)(-6a6)÷(-3a6)=[2× a支+b a-b (-6÷(-3],情-+时-t=a6通 b章-(a±-b)=0. 02)+-y=x+y （3③原式=(2)+6)+(3+2)y-4×日× x+-y号+y月 6是=24+6克+5十2X6-3X6=21 红)-(y) =[x)-x.y+y)] x-y 易错辨析 [x+x号.y音+0y]=-2z音y量 因忽略隐含条件致误 (3)原-（）+10+(》9-3+照-号 【典例】化简1-x)[x-1)(一x)]】 错解(1-x)[(x-1)2(-x)]=(1一x)(x 100+9 3=100. 3+ 1)-(-x)=-(-x) 飞反思感悟 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 利用分数指数暴的运算法则运算、化简时，应在 你如何改正？你如何防范？ 准确应用运算法则的基础上，结合问题进行灵活运 提示本题在求解过程中，因为式子中含有（一工）立，所 算.另外，要注意完全平方公式及立方和（差）公式的 以易忽略一x≥0，即x≤0这个隐含条件. 运用， 正解由（一x)可知一x≥0，即x≤0，所以原式= 【变式训练3】计算下列各式： a)006-(←8)°+[(-2]+16m+ 1-x)1-x)1(-x)=(-x) 防范措施〉 1-0.01l: 在指数运算过程中，必须时刻注意题中隐含的一 些特殊条件，只有充分挖掘这些隐含条件，才能保证解 (2)a6 -a+b-2a6是 题的正确性。 a主-b 【变式训练】化简（√x-7)2+(2-x)了= ®()+(6)+++x(- 3-2 解1)原式=0.4(-)-1十(-2)十2十 解析由题意知x一7>0，∴x≥7， ∴.原式=x-7+|2-x|=x-7+x-2=2x-9. 1+ 0.12x对=0.41-1+16+8 1143 答案2x-9 +10 80 课后 ·训练提升 基础·巩固 ()-j☒正璃：=(-(y<0 1.下列各式正确的是( ) 答案C A.(a)3=a B.(7)=-7 C.(a)5=lal D.Va=a 3.将(a+b产)表示成根式的形式是( 答案A A.a+6 B.(版+6)量 2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( C.a+万 n+6 A.-匠=(-x)立(x≠0) 解析a=a,b÷=6(a+b)=a+6】 Bx=-折 答案C c(传）-j2wo, 4.如果x=1十2，y=1十2b,那么用x表示y等于() D.=y(y<0) 4+1 x-1 B.2+1 x c 3
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 分析 利用分数指数幂的运算法则进行化简、求值. 解 (1)(2a 4 3b 1 4 )(-6a 1 2b 1 3 )÷(-3a 1 6b 1 6 )=[2× (-6)÷(-3)]a 4 3+ 1 2- 1 6b 1 4+ 1 3- 1 6 =4a 5 3b 5 12. (2) x-2+y -2 x - 2 3 +y - 2 3 - x-2-y -2 x - 2 3 -y - 2 3 = (x - 2 3 )3+(y - 2 3 )3 x - 2 3 +y - 2 3 - (x - 2 3 )3-(y - 2 3 )3 x - 2 3 -y - 2 3 =[(x - 2 3 )2 -x - 2 3 ·y - 2 3 +(y - 2 3 )2]- [(x - 2 3 )2+x - 2 3 ·y - 2 3 +(y - 2 3 )2]=-2x - 2 3y - 2 3 . (3)原式 = 25 9 1 2 +102 + 64 27 - 2 3 -3+ 37 48 = 5 3 + 100+ 9 16 -3+ 37 48 =100. 利用分数指数幂的运算法则运算、化简时,应在 准确应用运算法则的基础上,结合问题进行灵活运 算.另外,要注意完全平方公式及立方和(差)公式的 运用. 【变式训练3】计算下列各式: (1)0.064 - 1 3 - - 7 8 0 + [(-2)3] - 4 3 +16-0.75 + |-0.01| 1 2 ; (2) a-b a 1 2 +b 1 2 - a+b-2a 1 2b 1 2 a 1 2 -b 1 2 ; (3)1 4 -2 + 1 66 - 1 3 + 3+ 2 3- 2 +4× - 6 2 3 . 解 (1)原 式 =0.4 3× - 1 3 -1+ (-2)-4 +2-3 + 0.1 2× 1 2 =0.4-1-1+ 1 16 + 1 8 + 1 10 = 143 80 . (2)原式= (a 1 2 +b 1 2 )(a 1 2 -b 1 2 ) a 1 2 +b 1 2 - (a 1 2 -b 1 2 )2 a 1 2 -b 1 2 =a 1 2 - b 1 2 -(a 1 2 -b 1 2 )=0. (3)原式=(2-2)-2+(6 - 3 2 ) - 1 3 +(3 1 2 +2 1 2 )2-4× 1 8 × 6 3 2 =24+6 1 2 +5+2×6 1 2 -3×6 1 2 =21. 易 错 辨 析 因忽略隐含条件致误 【典例】化简(1-x)[(x-1)-2(-x) 1 2 ] 1 2 . 错解 (1-x)[(x-1)-2(-x) 1 2 ] 1 2 =(1-x)(x- 1)-1(-x) 1 4 =-(-x) 1 4 . 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 本题在求解过程中,因为式子中含有(-x) 1 2 ,所 以易忽略-x≥0,即x≤0这个隐含条件. 正解 由(-x) 1 2 可知-x≥0,即x≤0,所以原式= (1-x)(1-x)-1(-x) 1 4 =(-x) 1 4 . 在指数运算过程中,必须时刻注意题中隐含的一 些特殊条件,只有充分挖掘这些隐含条件,才能保证解 题的正确性. 【变 式 训 练 】 化 简 ( x-7)2 + 4 (2-x)4 = . 解析 由题意知x-7≥0,∴x≥7. ∴原式=x-7+|2-x|=x-7+x-2=2x-9. 答案 2x-9 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列各式正确的是( ) A.( 3a)3=a B.( 47)4=-7 C.( 5a)5=|a| D. 6 a6 =a 答案 A 2.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( ) A.- x=(-x) - 1 2 (x≠0) B.x - 1 3 =- 3x C. x y - 3 4 = 4 y x 3 (xy≠0) D. 4 y 2 =y 1 2 (y<0) 解析 A:- x = -x 1 2 ;B:x - 1 3 = 1 3x ;C: x y - 3 4 = y x 3 4 = 4 y x 3 ,正确;D: 4 y 2 =(-y) 1 2 (y<0). 答案 C 3.将(a 1 n +b 1 n ) 1 3 表示成根式的形式是( ) A. 3 na+b B.( na+ nb) 1 3 C. 3na+ nb D. 3 a 1 3 +b 1 3 解析 ∵a 1 n = na,b 1 n = nb,∴(a 1 n +b 1 n ) 1 3 = 3na+ nb . 答案 C 4.如果x=1+2b,y=1+2-b,那么用x 表示y等于( ) A. x+1 x-1 B. x+1 x C. x-1 x+1 D. x x-1 3
数学必修 第二册 配人教B版 解析由x=1+2得2=x-1=1+2=1+ =a生÷a=ati=a寺 +马 拓展：提高 答案D 1.下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是() 5.当√2-x有意义时，化简√2-4x+4-V√2-6r十9 A.(-1)和(-1)是 B02和0 的结果是( C.2和4 D4和() A.2x-5 B.-2x-1 C.-1 D.5-2x 解析选项A中，（一1）宁和（一1）均符合分数指数幂的 解析，√2一x有意义， 定义，但(-1)=-=-1，(-1)=-=1，故 2-x≥0，即x≤2. A不满足题意：选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故 √x2-4x+4-√x2-6x+9=√x-2) √/x-3)=|x-2|-|x-3|=2-x-(3-x)=2-x- B不两是题意：选预D中4不（份》厂虽特合分数指载 3十x=-1. 幂的定义，但值不相等，故D不满足题意：选项C中，2产= 答案C 2,4京=2=2主=2，满足题意，故选C 6.已知3=2,3=5，则32-= 答案C 解析30=3之-3)2 2.已知n∈N,n>1,那么(-5)西等于() 36 30 =20. A.5 B.-5 5 C.-5或5 D.不能确定 答案20 解析，n∈N,n>l, 7.-6)F+(5-4)+5-4)3= ∴.2n为偶数， 解析：-6)=-6，√W5-4)=5-4=4-5, ./-5)=5=5. 答案A 5-4)3=5-4, .原式=-6十4-5+5-4=-6. 3.设a主-a生=m,则+1-( a 答案-6 A.m2-2 B.2-m2 8.若r>0,则(2+3)(2÷-3)-4z生.工-x)= C.m2+2 D.m2 解析将a主-a生=m平方得(a幸-a主)=m,即a 解析原式=4x立-3-4立+4=一23. 2+a1=m2,所以a+a1=m2+2,即a十日=m2+2 答案一23 a2+1=m2+2 a 9.求值：12-1+（得）+)， 答案C (20.027-(←-8）+256-3+(g)月 4已知a=3,则1 +2 ,,寸十，÷1+专1十a的值为 解-1+（）+()=1++=2 1 4 20.027片-（←若）'+2568-3+（日）°- 解析1 2 4 9-36+64-号+1=2 +2 (1t(-aaa = 10.化简NaV÷aa÷Wa示 2 4 解原式=0。。。÷。。 4 4 -a÷√a÷3a可 1-ai)1+a1+a =a音÷a)量÷a =ai÷a:ai-a子÷a 答案一1 4
数 学 必修 第二册 配人教B版 解析 由x=1+2b 得2b =x-1,y=1+2-b =1+ 1 2b = 1+ 1 x-1 = x x-1 . 答案 D 5.当 2-x 有意义时,化简 x2-4x+4- x2-6x+9 的结果是( ) A.2x-5 B.-2x-1 C.-1 D.5-2x 解析 ∵ 2-x有意义, ∴2-x≥0,即x≤2. x2-4x+4 - x2-6x+9 = (x-2)2 - (x-3)2 =|x-2|-|x-3|=2-x-(3-x)=2-x- 3+x=-1. 答案 C 6.已知3a =2,3b= 1 5 ,则32a-b= . 解析 32a-b= 32a 3b = (3a)2 3b = 22 1 5 =20. 答案 20 7. 3 (-6)3 + 4 (5-4)4 + 3 (5-4)3 = . 解析 ∵ 3 (-6)3 =-6, 4 (5-4)4 =|5-4|=4- 5, 3 (5-4)3 = 5-4, ∴原式=-6+4- 5+ 5-4=-6. 答案 -6 8.若x>0,则(2x 1 4 +3 3 2 )2x 1 4 -3 3 2 -4x - 1 2 ·(x-x 1 2 )= . 解析 原式=4x 1 2 -33-4x 1 2 +4=-23. 答案 -23 9.求值:(1)(2-1)0+ 16 9 - 1 2 +(8) - 4 3 ; (2)0.027 - 1 3 - - 1 6 -2 +2560.75- 1 3 + 1 9 0 . 解 (1)(2-1)0+ 16 9 - 1 2 +(8) - 4 3 =1+ 3 4 + 1 4 =2. (2)0.027 - 1 3 - - 1 6 -2 +2560.75 - 1 3 + 1 9 0 = 10 3 -36+64- 1 3 +1=32. 10.化简: 3 a 7 2 a-3 ÷ 3 a-8 3 a15 ÷ 3 a-3 a-1 . 解 原式= 3 a 7 2a - 3 2 ÷ a - 8 3a 15 3 ÷ 3 a - 3 2a - 1 2 = 3 a2 ÷ a 7 3 ÷ 3 a-2 =a 2 3 ÷(a 7 3 ) 1 2 ÷(a-2) 1 3 =a 2 3 ÷a 7 6 ÷a - 2 3 =a 2 3- 7 6 ÷a - 2 3 =a - 1 2 ÷a - 2 3 =a - 1 2+ 2 3 =a 1 6 . 拓展 提高 1.下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( ) A.(-1) 1 3 和(-1) 2 6 B.0-2 和0 1 2 C.2 1 2 和4 1 4 D.4 - 3 2 和 1 2 -3 解析 选项 A中,(-1) 1 3 和(-1) 2 6 均符合分数指数幂的 定义,但(-1) 1 3 = 3 -1=-1,(-1) 2 6 = 6 (-1)2 =1,故 A不满足题意;选项B中,0的负分数指数幂没有意义,故 B不满足题意;选项D中,4 - 3 2 和 1 2 -3 虽符合分数指数 幂的定义,但值不相等,故D不满足题意;选项C中,2 1 2 = 2,4 1 4 = 4 22 =2 1 2 = 2,满足题意,故选C. 答案 C 2.已知n∈N,n>1,那么 2n (-5)2n 等于( ) A.5 B.-5 C.-5或5 D.不能确定 解析 ∵n∈N,n>1, ∴2n为偶数, ∴ 2n (-5)2n = 2n 52n =5. 答案 A 3.设a 1 2 -a - 1 2 =m,则 a2+1 a =( ) A.m2-2 B.2-m2 C.m2+2 D.m2 解析 将a 1 2 -a - 1 2 =m 平方得(a 1 2 -a - 1 2 )2=m2,即a- 2+a-1=m2,所以a+a-1=m2+2,即a+ 1 a =m2+2⇒ a2+1 a =m2+2. 答案 C 4.已知a=3,则 1 1+a 1 4 + 1 1-a 1 4 + 2 1+a 1 2 + 4 1+a 的值为 . 解析 1 1+a 1 4 + 1 1-a 1 4 + 2 1+a 1 2 + 4 1+a = 2 (1+a 1 4 )(1-a 1 4 ) + 2 1+a 1 2 + 4 1+a = 2 1-a 1 2 + 2 1+a 1 2 + 4 1+a = 4 (1-a 1 2 )(1+a 1 2 ) + 4 1+a = 4 1-a + 4 1+a = 8 1-a2=-1. 答案 -1 4
第四章指数函数、对数函数与幂函数 5.设a2=b=m(a>0.b>0),且a十b=6,则m= 因为上++=1，所以++=1， 解析a2=b=m(a>0,b>0). xy y z a=m兰，h=m,a=b. 即ax2+by2+cz2=t. 由a十b=6,得b2+b-6=0, 所以0ar+n2+),=-(侵+号+）- 解得b=2或b=-3(舍去). m=2,m=2=16. ary+y+e-a+6i+ 答案16 挑战·创新 6.已知a,b是方程x2-6x十4=0的两实数根，且a>b>0, 求石一的值 计算：(1+点)(1+知)(1+)(1+)(1+)(1+2) a+/b 解ab是方程2-6缸十4=0的两实教根，：十6=6， 解原式=(1+定)(1+)(1+)(1+六)(1+ ab=4. a>b>0,∴.a>万 )(1+2(1-2)×2 又6-6 =a十b-2√6_6-2A1 a+b+2va66+2F5' =(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)× a+6 :a-6 工_⑤ (1-)×2=(1+)(1+)(1+)(1+)(1- a+6 -√5=5 7.已知ar2=y2=c,且}+1 =1,求证：(ax2+ )×2=(1+)(1+)(1+0)(1-)×2 y by+c)=a+bici (1+)(1+)(1-)×2 证明令ax3=by3=cz3=t, =(1+a)(1-2a)×2=(1-a)×2=2-0 4.1.2指数函数的性质与图象 第1课时 指数函数的性质与图象 课前·基础认知 一、指数函数的概念 实数范围内函数值不存在；如果a=1,那么y=1Ψ=1，是一 【问题思考】 个常量，没有研究的必要性。 1.(1)细胞分裂时，经过一次分裂，一个细胞变为两个 为了避免上述各种情况出现，故规定a>0,a≠1. 细胞：经过两次分裂，变为四个细胞：经过三次分裂，变为八 5.指数函数解析式y=a(a>0,a≠1)有何结构 个细胞…若开始时只有一个细胞，经过x次分裂，细胞个 特征？ 数为y,则x与y的关系式是怎样的？ (2)y=x2和y=2都是指数函数吗？ 提示(1)a的系数是1：(2)指数上只有自变量x: 提示(1)y=2,x∈N+.(2)y=2是指数函数. (3)底数a是大于0且不等于1的常数。 2.填空：一般地，函数y=a称为指数函数，其中a是 二、指数函数的图象和性质 常数，a>0且a≠1. 【问题思考】 3.指数函数y=a(a>0,a≠1)的定义域是什么？ 1.怎样作出函数y=2的图象？ 提示当a>0时，x是任意一个实数时，a2都是一个 提示描，点法 确定的实数，故函数的定义域为实数集R 4.为何规定底数a大于0且不等于1？ 2函数y=a与y=(（日)广(a>0.且a≠1)的图象有 提示如果a=0,当x>0时，a恒等于0，当x≤0时，a 何关系？ 无意义如果a<0,例知y=(一，时于==了…在 提示关于y轴对称. 5
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 5.设a2=b4=m(a>0,b>0),且a+b=6,则m= . 解析 ∵a2=b4=m(a>0,b>0), ∴a=m 1 2 ,b=m 1 4 ,a=b2. 由a+b=6,得b2+b-6=0, 解得b=2或b=-3(舍去). ∴m 1 4 =2,m=24=16. 答案 16 6.已知a,b是方程x2-6x+4=0的两实数根,且a>b>0, 求 a- b a+ b 的值. 解 ∵a,b是方程x2-6x+4=0的两实数根,∴ a+b=6, ab=4. ∵a>b>0,∴ a> b. 又 a- b a+ b 2 = a+b-2 ab a+b+2 ab = 6-24 6+24 = 1 5 , ∴ a- b a+ b = 1 5 = 5 5 . 7.已知ax3=by 3=cz3,且 1 x + 1 y + 1 z =1,求证:(ax2+ by 2+cz2) 1 3 =a 1 3 +b 1 3 +c 1 3 . 证明 令ax3=by 3=cz3=t, 则ax2= t x ,by 2= t y ,cz2= t z . 因为 1 x + 1 y + 1 z =1,所以 t x + t y + t z =t, 即ax2+by 2+cz2=t. 所以(ax2+by 2+cz2) 1 3 =t 1 3 =t 1 3 1 x + 1 y + 1 z = (ax3) 1 3 x + (by 3) 1 3 y + (cz3) 1 3 z =a 1 3 +b 1 3 +c 1 3 . 挑战 创新 计算: 1+ 1 232 1+ 1 216 1+ 1 28 1+ 1 24 1+ 1 22 1+ 1 2 . 解 原式= 1+ 1 232 1+ 1 216 1+ 1 28 1+ 1 24 1+ 1 22 1+ 1 2 1- 1 2 ×2 = 1+ 1 232 1+ 1 216 1+ 1 28 1+ 1 24 1+ 1 22 × 1- 1 22 ×2= 1+ 1 232 1+ 1 216 1+ 1 28 1+ 1 24 1- 1 24 ×2= 1+ 1 232 1+ 1 216 1+ 1 28 1- 1 28 ×2 = 1+ 1 232 1+ 1 216 1- 1 216 ×2 = 1+ 1 232 1- 1 232 ×2= 1- 1 264 ×2=2- 1 263. 4.1.2 指数函数的性质与图象 第1课时 指数函数的性质与图象 课前·基础认知 一、指数函数的概念 【问题思考】 1.(1)细胞分裂时,经过一次分裂,一个细胞变为两个 细胞;经过两次分裂,变为四个细胞;经过三次分裂,变为八 个细胞……若开始时只有一个细胞,经过x 次分裂,细胞个 数为y,则x 与y的关系式是怎样的? (2)y=x2 和y=2x 都是指数函数吗? 提示 (1)y=2x,x∈N+ . (2)y=2x 是指数函数. 2.填空:一般地,函数y=ax 称为指数函数,其中a 是 常数,a>0且a≠1. 3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域是什么? 提示 当a>0时,x 是任意一个实数时,ax 都是一个 确定的实数,故函数的定义域为实数集R. 4.为何规定底数a大于0且不等于1? 提示 如果a=0,当x>0时,ax 恒等于0,当x≤0时,ax 无意义;如果a<0,例如y=(-4)x,对于x= 1 4 ,x= 1 2 ,…在 实数范围内函数值不存在;如果a=1,那么y=1x =1,是一 个常量,没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况出现,故规定a>0,a≠1. 5.指数函数 解 析 式y=ax (a>0,a≠1)有 何 结 构 特征? 提示 (1)ax 的系数是1;(2)指数上只有自变量x; (3)底数a是大于0且不等于1的常数. 二、指数函数的图象和性质 【问题思考】 1.怎样作出函数y=2x 的图象? 提示 描点法. 2.函数y=ax 与y= 1 a x (a>0,且a≠1)的图象有 何关系? 提示 关于y轴对称. 5