第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合 1.1.1 集合及其表示方法 第1课时 集合的含义 1.通过实例了解集合的含义及集合相等、空集、有限集、无限集等概念 2.掌握集合的元素的三个特点」 课标定位 素养阐释 3.掌握元素与集合的关系，能用“∈”或“任”表示元素与集合的关系。 4.记住常见的数集的符号. 5.体会数学抽象的过程，加强逻辑推理和数学运算能力的培养， 课前 基础认知 一、集合的有关概念 提示能，有b,a,n三个元素.由于集合中的元素是互 【问题思考】 不相同的，因此三个a只能算一个，2个n只能算一个，（互 阅读下面的语句，并回答问题： 异性) (1)中国的四大名著： 2.分别由2,0,1,9和0,1,2,9组成的集合一样吗？为 (2)方程x2-2x=0的所有解： 什么？ (3)某校园里较高的树： 提示一样.集合中的元素没有顺序.（无序性） (4)直线y=x上的所有点。 3.集合的元素的特点 1.以上各语句中要研究的对象分别是什么？ 特点 含义 提示分别为名著、方程的解、较高的树、点 给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素， 2.哪个语句中的对象不确定？为什么？ 确定性 应该可以明确地判断出来 提示(3)中的对象不确定，因为“较高”无明确的标准。 集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同 3.填空：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起 互异性 的对象归人同一个集合时只能算作集合中的一个 就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的 元素 每个对象都是这个集合的元素 无序性集合中的元素可以任意排列 集合通常用英文大写字母A,B,C,…表示，集合的元 4.做一做 素通常用英文小写字母a,b,c,…表示 若集合M中含有3个元素：0，x2,一x,则实数x满足 4.做一做：下列各组对象的全体不能构成集合的是( 的条件是 A.某校高一的男同学 x2≠-x, B.某校高一的女同学 解析由集合中元素的互异性，可得 一x≠0，解得 C.某校高一性格开朗的女同学 x2≠0， D.某校高一的所有同学 x≠0，且x≠一1. 答案C 答案x≠0，且x≠-1 二、集合的元素的特点 三、元素与集合的关系 【问题思考】 【问题思考】 L.由英文单词“banana”中的所有字母能组成一个集合 1.设集合A是由直线y=2x上的所有点组成的，则 吗？若能，说明集合中有哪些元素；若不能，请说明理由. (1,2)和1与集合A是什么关系？
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第1课时 集合的含义 课标定位 素养阐释 1.通过实例了解集合的含义及集合相等、空集、有限集、无限集等概念. 2.掌握集合的元素的三个特点. 3.掌握元素与集合的关系,能用“∈”或“∉”表示元素与集合的关系. 4.记住常见的数集的符号. 5.体会数学抽象的过程,加强逻辑推理和数学运算能力的培养. 课前 ·基础认知 一、集合的有关概念 【问题思考】 阅读下面的语句,并回答问题: (1)中国的四大名著; (2)方程x2-2x=0的所有解; (3)某校园里较高的树; (4)直线y=x 上的所有点. 1.以上各语句中要研究的对象分别是什么? 提示 分别为名著、方程的解、较高的树、点. 2.哪个语句中的对象不确定? 为什么? 提示 (3)中的对象不确定,因为“较高”无明确的标准. 3.填空:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起, 就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集),组成集合的 每个对象都是这个集合的元素. 集合通常用英文大写字母A,B,C,…表示,集合的元 素通常用英文小写字母a,b,c,…表示. 4.做一做:下列各组对象的全体不能构成集合的是( ) A.某校高一的男同学 B.某校高一的女同学 C.某校高一性格开朗的女同学 D.某校高一的所有同学 答案 C 二、集合的元素的特点 【问题思考】 1.由英文单词“banana”中的所有字母能组成一个集合 吗? 若能,说明集合中有哪些元素;若不能,请说明理由. 提示 能,有b,a,n三个元素.由于集合中的元素是互 不相同的,因此三个a只能算一个,2个n只能算一个.(互 异性) 2.分别由2,0,1,9和0,1,2,9组成的集合一样吗? 为 什么? 提示 一样.集合中的元素没有顺序.(无序性) 3.集合的元素的特点 特点 含 义 确定性 给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素, 应该可以明确地判断出来 互异性 集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同 的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个 元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 4.做一做: 若集合M 中含有3个元素:0,x2,-x,则实数x 满足 的条件是 . 解析 由集合中元素的互异性,可得 x2≠-x, -x≠0, x2 ≠0, 解得 x≠0,且x≠-1. 答案 x≠0,且x≠-1 三、元素与集合的关系 【问题思考】 1.设集合A 是由直线y=2x 上的所有点组成的,则 (1,2)和1与集合A 是什么关系? 1
数学 必修第一册 配人教B版 提示(1,2)是集合A的元素，即(1,2)属于集合A,记 五、集合相等 作(1,2)∈A:1不是集合A的元素，即1不属于集合A,记 【问题思考】 作1任A. 1.设由方程|x|=1的所有解组成集合M,由方程t= 2.填表：元素与集合的关系 t 的所有解组成集合N,请问M,N中都有哪些元素？M 语言描述 记法 读法 与N是什么关系？ a是集合A的元素 a∈A a属于A 提示M,N都只含有元素1和一1.集合M和N相 a不是集合A的元素 aEA a不属于A 等，即M=N. 3.做一做：设集合M是满足y=x2的有序实数对(x, 2.填空：给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完 y)组成的集合，则-1 M,(-1,1) 全相同，就称这两个集合相等，记作A=B, M,(1,-1) M.(用“∈”或“”填空) 3.做一做：在下列几组集合中，相等的是() 答案任∈氏 A.由1,2组成的集合与由0,1,2组成的集合 B.由5,3组成的集合与由(5,3)组成的集合 四、空集和集合的分类 C.由(5,3)组成的集合与由(3,5)组成的集合 【问题思考】 D.由1,2,2,3,6,6组成的集合与由6的正整数因数组 1.由方程x2=一1的所有实数根组成的集合有多少个 成的集合 元素？ 提示0个， 答案D 六、几种常见的数集 2.填空：(1)有限集、无限集与空集 【问题思考】 含有有限个元素的集合.如“方程3x十1=0的解组 有限集 L.填写下表：常见的数集及其表示符号 成的集合” 名称自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 含有无限个元素的集合.如“到平面上两个定点的 无限集 符号 N Nt或N Z Q R 距离相等的所有点组成的集合”“x一1>0的解集” 2.做一做：下列关系正确的个数为( 空集 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作⑦.如 ①π∈R:②5EQ:③0EN+:④l-4|eN+:⑤-2∈N “方程3x2+1=0(x∈R)的解集” A.1 B.2 C.3 D.4 (2)空集是有限集。 答案C 3.做一做：(1)下列描述的对象构成的集合是无限集的 是() 【思考辨析】 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画 A.方程x2一6x-16=0的根 B.大于0，且小于5的实数 “/”,错误的画“X” (1)某次知识竞赛，得分较高的同学可组成集合.(×) C.小于22的质数 D.倒数等于它本身的实数 (2)自然数集是有限集， (×) (2)下列集合是空集的是( 3)由数1.0，号， 1 2 组成的集合含有4个元素. A.平方等于√2的数组成的集合 (×) B.绝对值为一2的数组成的集合 (4)若a∈N,则一a任N (×) C.到线段AB两端点距离相等的点组成的集合 (5)由o,b,k三个字母组成的集合A与由单词“book” D.面积为0.1的三角形组成的集合 中的所有字母组成的集合B相等」 (√) 答案(1)B(2)B 课堂 ·重难突破 探究一集合的概念 ⑤1,05，号，号组成的架合含有4个元素。 其中正确的是( 【例1】下列说法： A.①②④B.②③⑤ C.③④⑤D.②④ ①接近于0的数的全体组成一个集合： ②长方体的全体组成一个集合： 解析①③中的元素不能确定，⑤组成的集合含有3个 ③高科技产品组成一个集合； 元素，②④中的元素是确定的，所以②④中的对象能组成 ④不大于3的所有自然数组成一个集合： 集合 答案D
数 学 必修 第一册 配人教B版 提示 (1,2)是集合A 的元素,即(1,2)属于集合A,记 作(1,2)∈A;1不是集合A 的元素,即1不属于集合A,记 作1∉A. 2.填表:元素与集合的关系 语言描述 记 法 读 法 a是集合A 的元素 a∈A a属于A a不是集合A 的元素 a∉A a不属于A 3.做一做:设集合 M 是满足y=x2 的有序实数对(x, y)组成的集合,则-1 M,(-1,1) M,(1,-1) M.(用“∈”或“∉”填空) 答案 ∉ ∈ ∉ 四、空集和集合的分类 【问题思考】 1.由方程x2=-1的所有实数根组成的集合有多少个 元素? 提示 0个. 2.填空:(1)有限集、无限集与空集 有限集 含有有限个元素的集合.如“方程3x+1=0的解组 成的集合” 无限集 含有无限个元素的集合.如“到平面上两个定点的 距离相等的所有点组成的集合”“x-1>0的解集” 空集 我们把不含任何元素的集合称为空集,记作⌀.如 “方程3x 2+1=0(x∈R)的解集” (2)空集是有限集. 3.做一做:(1)下列描述的对象构成的集合是无限集的 是( ) A.方程x2-6x-16=0的根 B.大于0,且小于5的实数 C.小于22的质数 D.倒数等于它本身的实数 (2)下列集合是空集的是( ) A.平方等于 2的数组成的集合 B.绝对值为-2的数组成的集合 C.到线段AB 两端点距离相等的点组成的集合 D.面积为0.1的三角形组成的集合 答案 (1)B (2)B 五、集合相等 【问题思考】 1.设由方程|x|=1的所有解组成集合 M,由方程t= 1 t 的所有解组成集合N.请问 M,N 中都有哪些元素? M 与N 是什么关系? 提示 M,N 都只含有元素1和-1.集合 M 和N 相 等,即M=N. 2.填空:给定两个集合A 和B,如果组成它们的元素完 全相同,就称这两个集合相等,记作A=B. 3.做一做:在下列几组集合中,相等的是( ) A.由1,2组成的集合与由0,1,2组成的集合 B.由5,3组成的集合与由(5,3)组成的集合 C.由(5,3)组成的集合与由(3,5)组成的集合 D.由1,2,2,3,6,6组成的集合与由6的正整数因数组 成的集合 答案 D 六、几种常见的数集 【问题思考】 1.填写下表:常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N+ 或N * Z Q R 2.做一做:下列关系正确的个数为( ) ①π∈R;② 3∉Q;③0∉N+ ;④|-4|∉N+ ;⑤-2∈N. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)某次知识竞赛,得分较高的同学可组成集合. (×) (2)自然数集是有限集. (×) (3)由数1,0, 1 2 , - 1 2 组成的集合含有4个元素. (×) (4)若a∈N,则-a∉N. (×) (5)由o,b,k三个字母组成的集合A 与由单词“book” 中的所有字母组成的集合B 相等. (√) 课堂 ·重难突破 探究一 集合的概念 【例1】下列说法: ①接近于0的数的全体组成一个集合; ②长方体的全体组成一个集合; ③高科技产品组成一个集合; ④不大于3的所有自然数组成一个集合; ⑤1,0.5, 3 2 , 1 2 组成的集合含有4个元素. 其中正确的是( ) A.①②④ B.②③⑤ C.③④⑤ D.②④ 解析 ①③中的元素不能确定,⑤组成的集合含有3个 元素,②④中的元素是确定的,所以②④中的对象能组成 集合. 答案 D 2
第一章集合与常用逻辑用语 ①反思感悟 集合中的元素是确定的，即对任何一个对象，我们 探究三集合中元素的特点及应用 都能判断它是不是某个集合中的元素，并且两者必居 【例3】已知一3∈A,且集合A中含有的元素有a一3， 其一，因此它是判断一组对象能否组成集合的一个标 2a一1，a2+1,求实数a的值 准.若这组对象是明确的、具体的，则它们可以组成一 个集合：若是模棱两可的，则它们不能组成一个集合 解由-3∈A,且a2+1≥1，可知a-3=-3或2a- 1=-3. 【变式训练1】判断下列每组对象能否组成一个集合 当a一3=一3时，a=0: (1)不超过20的非负数： 当2a-1=-3时，a=-1. (2)直角坐标平面内第一象限的一些点： 经检验，a=0与a=一1都符合互异性。 (3)√3的近似值的全体」 故a=0或一1. 解(1)任给一个实数工，都可以明确地判断是不是“不 反思感悟 超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”,两者 1.先根据集合中元素的确定性可以解出集合中字 必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能组成集合。 母的所有可能的值或范围，再对集合中的元素进行检 (2)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些 验从而判断是否满足集合中元素的互异性 点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点” 2.在利用集合中元素的特点解题时，要注意分类 不能组成集合 讨论思想的运用 (3)“√3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判 【变式训练3】若集合中的三个元素分别为2，x,x2 断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“5的近似值的全 x,则元素x应满足的条件是 体”不能组成集合」 解析由集合中元素的互异性可知x≠2，且x2一x≠2， 探究二元素与集合的关系 x≠2， 且x2-x≠x,即x2-x≠2，解得x≠2，且x≠-1，且x≠0. 【例2)给曲下列关系，D号∈R.@5∈0.0N x2一x≠x, 答案x≠2，且x≠-1，且x≠0 ④√4∈N,⑤π∈Q,⑥l-2|EZ 其中正确的个数为( 易错辨析 A.4 B.3 C.2 D.1 因忽视集合中元素的互异性致错 解析R,Q,N,Z分别表示实数集、有理数集、自然数 【典例】设由关于x的方程x2-(a十l)x十a=0的所 集、整数集，所以①④正确 有解组成的集合为A,试写出集合A中的所有元素 因为0是自然数，√5和π都是无理数，|一2=2∈Z,所 错解由x2-(a十1)x十a=0,得(x-a)(x-1)=0, 以②③⑤⑥不正确. 所以方程的解为x1=1,x2=a, 答案C 故集合A中的元素为1和a. 延伸探究 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 判断正误： 你如何改正？你如何防范？ (I)若a∈N+,则a∈N. 提示错解中未注意到字母α的取值的不确定性 (2)若a∈Z,则3a∈Q. 当a=1时，不满足集合中元素的互异性 (3)改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍与原来的 正解解方程x2-(a十1)x十a=0,得x1=l,x2=a 集合相等. ( 当a=1时，集合A中只有一个元素1： 答案(1)/(2)√(3)/ 当a≠1时，集合A中有两个元素1和a, ①反思感悟 防范措施 1.判断一个元素是不是某个集合中的元素，关键是 根据集合的元素求参数的值时，求得的参数值必 判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性 须代入验证，满足集合中元素的互异性 2.解决本例及类似问题要准确记忆数集Q,N,R 及Z的含义，防止因混淆其含义而出现失误 随堂训练 【变式训练2】设不等式2x一3>0的所有解组成的集 1.下列对象不能组成集合的是( 合为M,则下列关系正确的是( ①我国近代著名的数学家：②所有的等腰直角三角形： A.0∈M,2∈M B.0tM,2∈M ③空气中密度大的气体， C.0∈M,2EM D.0在M,2在M A.①② B.②③ C.①②③D.①③ 答案B 答案D 33
第一章 集合与常用逻辑用语 集合中的元素是确定的,即对任何一个对象,我们 都能判断它是不是某个集合中的元素,并且两者必居 其一,因此它是判断一组对象能否组成集合的一个标 准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以组成一 个集合;若是模棱两可的,则它们不能组成一个集合. 【变式训练1】判断下列每组对象能否组成一个集合. (1)不超过20的非负数; (2)直角坐标平面内第一象限的一些点; (3)3的近似值的全体. 解 (1)任给一个实数x,都可以明确地判断是不是“不 超过20的非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”,两者 必居其一,且仅居其一,故“不超过20的非负数”能组成集合. (2)“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些 点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点” 不能组成集合. (3)“3的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判 断一个数如“2”是不是它的近似值,所以“3的近似值的全 体”不能组成集合. 探究二 元素与集合的关系 【例2】给出下列关系:① 2 2 ∈R,② 5∈Q,③0∉N, ④ 4∈N,⑤π∈Q,⑥|-2|∉Z. 其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析 R,Q,N,Z分别表示实数集、有理数集、自然数 集、整数集,所以①④正确. 因为0是自然数,5和π都是无理数,|-2|=2∈Z,所 以②③⑤⑥不正确. 答案 C 判断正误: (1)若a∈N+ ,则a∈N. ( ) (2)若a∈Z,则3a∈Q. ( ) (3)改变一个集合中元素的顺序,所得集合仍与原来的 集合相等. ( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ 1.判断一个元素是不是某个集合中的元素,关键是 判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性. 2.解决本例及类似问题要准确记忆数集 Q,N,R 及Z的含义,防止因混淆其含义而出现失误. 【变式训练2】设不等式2x-3>0的所有解组成的集 合为M,则下列关系正确的是( ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M 答案 B 探究三 集合中元素的特点及应用 【例3】已知-3∈A,且集合A 中含有的元素有a-3, 2a-1,a2+1,求实数a的值. 解 由-3∈A,且a2+1≥1,可知a-3=-3或2a- 1=-3. 当a-3=-3时,a=0; 当2a-1=-3时,a=-1. 经检验,a=0与a=-1都符合互异性. 故a=0或-1. 1.先根据集合中元素的确定性可以解出集合中字 母的所有可能的值或范围,再对集合中的元素进行检 验从而判断是否满足集合中元素的互异性. 2.在利用集合中元素的特点解题时,要注意分类 讨论思想的运用. 【变式训练3】若集合中的三个元素分别为2,x,x2- x,则元素x 应满足的条件是 . 解析 由集合中元素的互异性可知x≠2,且x2-x≠2, 且x2-x≠x,即 x≠2, x2-x≠2, x2-x≠x, 解得x≠2,且x≠-1,且x≠0. 答案 x≠2,且x≠-1,且x≠0 易 错 辨 析 因忽视集合中元素的互异性致错 【典例】设由关于x 的方程x2-(a+1)x+a=0的所 有解组成的集合为A,试写出集合A 中的所有元素. 错解 由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0, 所以方程的解为x1=1,x2=a. 故集合A 中的元素为1和a. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错解中未注意到字母a的取值的不确定性. 当a=1时,不满足集合中元素的互异性. 正解 解方程x2-(a+1)x+a=0,得x1=1,x2=a. 当a=1时,集合A 中只有一个元素1; 当a≠1时,集合A 中有两个元素1和a. 根据集合的元素求参数的值时,求得的参数值必 须代入验证,满足集合中元素的互异性. 随堂训练 1.下列对象不能组成集合的是( ) ①我国近代著名的数学家;②所有的等腰直角三角形; ③空气中密度大的气体. A.①② B.②③ C.①②③ D.①③ 答案 D 3
数学 必修第一册 配人教B版 2.已知集合A中只有一个元素1，若b∈A,则b等于( 数x组成的集合，则3 C,5 C A.1 B.-1 解析(1)25=√12>√T. C.±1 D.0 因为(1+√2)2=3+2√2<11，所以1+2<√T. 解析由题意，得b1=1,解得b=士1. 所以依次应填￠，∈ 答案C (2)因为n是正整数，所以n2十1≠3. 3.若集合A中有两个元素x与x2,则x的值不可以是 而当n=2时，n2十1=5，所以依次应填任，∈， 答案(1)任∈(2)庄∈ 解析由集合中元素的互异性知，x2≠x,解得x≠0，且 5.当实数a,b满足什么条件时，关于x的方程x2十a.x十b= x≠1. 0的所有解组成的集合含有一个元素？含有两个元素？ 答案0,1 解当a2-4b=0时，关于x的方程x2十ax十b=0的所 4.用符号“∈”或“任”填空： 有解组成的集合含有一个元素： (1)设集合B是小于√工的所有实数组成的集合，则2尽 当a2-4b>0时，关于x的方程x2十ax十b=0的所 B,1+√2 B: 有解组成的集合含有两个元素 (2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实 课后 ·训练提升 1.下列对象能组成集合的是( 4.已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，6一a日 ①某商店中所有漂亮的水杯：②所有的钝角三角形： A,则a的值为( ③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数： A.2 B.2或4 ⑤某中学所有长头发的学生. C.4 D.0 A.①②④ B.②⑤ 解析若a=2∈A,则6一a=4∈A:若a=4∈A,则6 C.③④⑤ D.②③④ a=2∈A:若a=6∈A,则6-a=0任A.故选B. 解析由集合中元素的确定性知，①中“漂亮的水杯”和⑤ 答案B 中“长头发的学生”标准不确定，所以①⑤不能组成集合 答案D 5.已知，y都是非零实数=舌十六十岛可能的取 y 2.下面三个命题：①集合N中最小的数是1：②若-a任N, 值组成的集合为A,则下列判断正确的是() 则a∈N:③若a∈N,b∈N,则a十b的最小值是2. A.3∈A,-1任A B.3∈A,-1∈A 其中正确命题的个数是() C.3tA,-1∈A D.3tA,-1旺A A.0 B.1 C.2 D.3 解析当x,y均为正数时，z=3:当x,y均为负数时，z= 解析因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以① 一1：当x,y为一正一负时，z=一1. 错：对于②，取a=√2，则一√2任N,2N,所以②错：对 所以3∈A,-1∈A,故选B 于③，当a=0,b=0时，a十b取得最小值是0，而不是2， 答案B 所以③错」 6.由实数t,|t|,t2,一t,t3所构成的集合M中最多含有 答案A 个元素 3.下列正确结论的个数是( 解析由于|t|至少与t和一t中的一个相等，因此集合M D1∈N,@E∈N:o时∈Q.©2+eR⑤2ez 中至多含有4个元素】 答案4 A.1 B.2 7.已知集合P中的元素x满足：x∈N,且2<x<a,又集合 C.3 D.4 P中恰有三个元素，则整数a= 解析1是自然数，∴.1∈N,故①正确： 解析，x∈N,且2<x<a,∴.结合数轴（略）知a=6. 厄不是正整数，2N”,故②不正确； 答案6 :是有理数∴0，故③正确： 8.已知集合A中的元素y∈N,且y=一x2+1,若t∈A,则 2十√2是实数，2十√反∈R,所以④不正确； t的值为 :号=2是整数…心号∈Z,故⑤不正确 解析，y∈N,且y=-x2+1,∴y=0或y=1. 又t∈A,.t=0或t=1. 答案B 答案0或1
数 学 必修 第一册 配人教B版 2.已知集合A 中只有一个元素1,若|b|∈A,则b等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.0 解析 由题意,得|b|=1,解得b=±1. 答案 C 3.若集合 A 中有两个元素x 与x2,则x 的值不可以是 . 解析 由集合中元素的互异性知,x2 ≠x,解得x≠0,且 x≠1. 答案 0,1 4.用符号“∈”或“∉”填空: (1)设集合B 是小于 11的所有实数组成的集合,则23 B,1+ 2 B; (2)设集合C 是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实 数x组成的集合,则3 C,5 C. 解析 (1)23= 12> 11. 因为(1+ 2)2=3+22<11,所以1+ 2< 11. 所以依次应填∉,∈. (2)因为n是正整数,所以n2+1≠3. 而当n=2时,n2+1=5,所以依次应填∉,∈. 答案 (1)∉ ∈ (2)∉ ∈ 5.当实数a,b满足什么条件时,关于x 的方程x2+ax+b= 0的所有解组成的集合含有一个元素? 含有两个元素? 解 当a2-4b=0时,关于x 的方程x2+ax+b=0的所 有解组成的集合含有一个元素; 当a2-4b>0时,关于x 的方程x2+ax+b=0的所 有解组成的集合含有两个元素. 课后 ·训练提升 1.下列对象能组成集合的是( ) ①某商店中所有漂亮的水杯;② 所有的钝角三角形; ③2015年诺贝尔经济学奖得主;④大于等于0的整数; ⑤某中学所有长头发的学生. A.①②④ B.②⑤ C.③④⑤ D.②③④ 解析 由集合中元素的确定性知,①中“漂亮的水杯”和⑤ 中“长头发的学生”标准不确定,所以①⑤不能组成集合. 答案 D 2.下面三个命题:①集合 N中最小的数是1;②若-a∉N, 则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 因为自然数集中最小的数是0,而不是1,所以① 错;对于②,取a= 2,则- 2∉N,2∉N,所以②错;对 于③,当a=0,b=0时,a+b取得最小值是0,而不是2, 所以③错. 答案 A 3.下列正确结论的个数是( ) ①1∈N;② 2∈N* ;③ 1 2 ∈Q;④2+ 2∉R;⑤ 4 2 ∉Z. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ∵1是自然数,∴1∈N,故①正确; ∵ 2不是正整数,∴ 2∉N* ,故②不正确; ∵ 1 2 是有理数,∴ 1 2 ∈Q,故③正确; ∵2+ 2是实数,∴2+ 2∈R,所以④不正确; ∵ 4 2 =2是整数,∴ 4 2 ∈Z,故⑤不正确. 答案 B 4.已知集合A 含有三个元素2,4,6,且当a∈A 时,6-a∈ A,则a的值为( ) A.2 B.2或4 C.4 D.0 解析 若a=2∈A,则6-a=4∈A;若a=4∈A,则6- a=2∈A;若a=6∈A,则6-a=0∉A.故选B. 答案 B 5.已知x,y 都是非零实数,z= x |x| + y |y| + xy |xy| 可能的取 值组成的集合为A,则下列判断正确的是( ) A.3∈A,-1∉A B.3∈A,-1∈A C.3∉A,-1∈A D.3∉A,-1∉A 解析 当x,y均为正数时,z=3;当x,y均为负数时,z= -1;当x,y为一正一负时,z=-1. 所以3∈A,-1∈A,故选B. 答案 B 6.由实数t,|t|,t2,-t,t3 所构成的集合 M 中最多含有 个元素. 解析 由于|t|至少与t和-t中的一个相等,因此集合 M 中至多含有4个元素. 答案 4 7.已知集合P 中的元素x 满足:x∈N,且2<x<a,又集合 P 中恰有三个元素,则整数a= . 解析 ∵x∈N,且2<x<a,∴结合数轴(略)知a=6. 答案 6 8.已知集合A 中的元素y∈N,且y=-x2+1,若t∈A,则 t的值为 . 解析 ∵y∈N,且y=-x2+1,∴y=0或y=1. 又t∈A,∴t=0或t=1. 答案 0或1 4
第一章集合与常用逻辑用语 9.设非空数集A满足以下条件：若a∈A,则亡。∈A.且 由集合元素的互异性知，P十Q中的元素为1,2,3， 4,6,7,8,11,共8个 1任A. 11.已知集合M是由2，a,b三个元素组成的集合，集合N 若2∈A,你还能求出集合A中哪些元素？ 是由2a,2,b2三个元素组成的集合.若M=N,求实数 解若2EA,则亡2=-1A,于是--D=2∈A, a,b的值. 1 而 解由M与N相等及集合中元素的特点，得=：'① b=2a. 所以集合A中还有-1,7这两个元素。 1 a=1 4 10.设P,Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素， 解①，得=0 0， ②，得 或/a0， Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P十Q中的元素是 b=1b=0: .1 b=0. b2 a十b,其中a∈P,b∈Q,则P十Q中元素的个数是多少？ 解当a=0时，b依次取1,2,6，得a十b的值分别为 当a=0 时，不符合集合中元素的互异性，舍去 b=0 1,2,6: 当a=2时，b依次取1,2,6，得a十b的值分别为3， a= a=0, 或 4,8: 故a,b的值为 b=1 h三 当a=5时，b依次取1,2,6，得a十b的值分别为6， 2 7,11. 第2课时集合的表示 1,掌握集合的两种表示方法—列举法、描述法。 课标定位 2.能够灵活选用集合的表示方法表示相应集合， 素养阐释 3.了解区间的概念，能使用区间表示某些集合 4.体会数学抽象的过程，注重培养数学运算能力 课前 基础认知 一、列举法 4.用列举法表示下列集合： 【问题思考】 (1)小于10的所有自然数组成的集合： 1.下列集合中的元素有哪些？如何表示这些集合？ (2)方程x2=x的所有实数解组成的集合： (I)地球上的四大洋组成的集合： (3)由1一20以内的所有素数组成的集合. (2)方程(x-3)(x-2)=0的所有解组成的集合： 解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,则 (3)正整数集N+· A={0.1,2,3.4,5.6,7,8.9}. 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序 提示(1)元素有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋，集合 无关，因此集合A可以有不同的列举方法.例如A={9,8. 可表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 7,6,5,4.3,2,1,0}. (2)元素有2,3，集合可表示为{2,3}. (2)设方程x2=x的所有实数解组成的集合为B,则 (3)元素有1,2,3，…，集合可表示为{1,2,3，…. B={0,1}. 2.填空：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间 (3)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C,则 用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为 C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 列举法 二、描述法 3.(1)集合{3,9,8}和{9,3,8}是什么关系？ 【问题思考】 (2)a与{a}相同吗？ 1.(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？ (2)不等式x一7<3的所有解组成的集合用列举法表 (3)用列举法只能表示有限集吗？ 示方便吗？ 提示(1){3,9,8}={9,3,8}. 提示(1)能.大于1，且小于9的偶数组成的集合.（答 (2)a是元素，{a}是集合，a∈{a}. 案不唯一) (3)不是.如整数集Z={…,一3，一2，一1,0,1,2， (2)不方便.因为集合是无限集，且元素不方便列举. 3,…}. 2.填空：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都 5
第一章 集合与常用逻辑用语 9.设非空数集A 满足以下条件:若a∈A,则 1 1-a ∈A,且 1∉A. 若2∈A,你还能求出集合A 中哪些元素? 解 若2∈A,则 1 1-2 =-1∈A,于是 1 1-(-1)= 1 2 ∈A, 而 1 1- 1 2 =2. 所以集合A 中还有-1, 1 2 这两个元素. 10.设P,Q 为两个非空实数集合,P 中含有0,2,5三个元素, Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素是 a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q 中元素的个数是多少? 解 ∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为 1,2,6; 当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3, 4,8; 当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6, 7,11. 由集合元素的互异性知,P+Q 中的元素为1,2,3, 4,6,7,8,11,共8个. 11.已知集合 M 是由2,a,b三个元素组成的集合,集合 N 是由2a,2,b2 三个元素组成的集合.若 M =N,求实数 a,b的值. 解 由M 与N 相等及集合中元素的特点,得 a=2a, b=b2 ① 或 a=b2, b=2a. ② 解①,得 a=0, b=1 或 a=0, b=0; 解②,得 a= 1 4 , b= 1 2 或 a=0, b=0. 当 a=0, b=0 时,不符合集合中元素的互异性,舍去. 故a,b的值为 a=0, b=1 或 a= 1 4 , b= 1 2 . 第2课时 集合的表示 课标定位 素养阐释 1.掌握集合的两种表示方法———列举法、描述法. 2.能够灵活选用集合的表示方法表示相应集合. 3.了解区间的概念,能使用区间表示某些集合. 4.体会数学抽象的过程,注重培养数学运算能力. 课前 ·基础认知 一、列举法 【问题思考】 1.下列集合中的元素有哪些? 如何表示这些集合? (1)地球上的四大洋组成的集合; (2)方程(x-3)(x-2)=0的所有解组成的集合; (3)正整数集N+ . 提示 (1)元素有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋,集合 可表示为{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}. (2)元素有2,3,集合可表示为{2,3}. (3)元素有1,2,3,…,集合可表示为{1,2,3,…}. 2.填空:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间 用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为 列举法. 3.(1)集合{3,9,8}和{9,3,8}是什么关系? (2)a与{a}相同吗? (3)用列举法只能表示有限集吗? 提示 (1){3,9,8}={9,3,8}. (2)a是元素,{a}是集合,a∈{a}. (3)不是.如整数集 Z= {…,-3,-2,-1,0,1,2, 3,…}. 4.用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x 的所有实数解组成的集合; (3)由1~20以内的所有素数组成的集合. 解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,则 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举的顺序 无关,因此集合A 可以有不同的列举方法.例如A={9,8, 7,6,5,4,3,2,1,0}. (2)设方程x2=x 的所有实数解组成的集合为B,则 B={0,1}. (3)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C,则 C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 二、描述法 【问题思考】 1.(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)不等式x-7<3的所有解组成的集合用列举法表 示方便吗? 提示 (1)能.大于1,且小于9的偶数组成的集合.(答 案不唯一) (2)不方便.因为集合是无限集,且元素不方便列举. 2.填空:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都 5