第五章数列 5.1数列基础 5.1.1数列的概念 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法 2.掌握通项公式及其应用 课标定位 3.能根据数列的前项写出数列的一个通项公式 素养阐释 4.通过对数列概念、分类以及数列与函数关系的学习，提高数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心 素养 课前·基础认知 一、数列的有关概念 的每一列数在个数上有什么不同？ 【问题思考】 提示这一列数的个数有限，上述问题中的每一列数的 1.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上 个数都是无限的 研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比 5.填空： 如，若他们将石子摆成三角形形状（如图①所示），则将其所 (1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列. 对应石子个数称为三角形数：若将石子摆成正方形形状（如 (2)数列的项：数列中的每一个数都称为这个数列的项， 图②所示)，则将其所对应石子个数称为正方形数 各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项… (3)数列的分类：组成数列的数的个数称为数列的项数」 一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称 为无穷数列. ① 6.做一做：数列2,4,8,16，…，其中16是这个数列的第 项.这个数列是数列.（填“有穷”或“无穷”） ■■■■ ■■■ ■■■■ 答案4无穷 ■■口 ■■■■ ■■ ■■■ 圆■■■ 二、数列的通项 ② 【问题思考】 你能将三角形数和正方形数所对应的一列数分别写 1.你能写出由正整数1,2,3，…的倒数排成的数列吗？ 出吗？ 当n分别等于1,2,3，…时，写出（一1）"的值排成的数列. 提示①1,3,6,10，…： 提示1分-11-1 ②1,4,9,16，…， 2.若a.表示数列的第n项，你能写出上述两个数列中 2.“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的 a.与其相对应的序号n的关系吗？ 木棍，每天截去一半，永远也截不完.从数学上来说，如果木 1 棍初始长度为1，那么每天截去一半之后木棍剩余的长度对 提示a.=行a.=(-1) 应的一列数是怎样的，你能写出来吗？ 3.填空： 提示分g记 (1)数列的通项：因为数列从首项起，每一项都与正整数 对应，所以数列的一般形式可以写成a1,a2a,am, 3.观察以上例子中所涉及的每一列数，说一说这些数呈 其中a。表示数列的第n项（也称n为am的序号，其中n为 现什么特点 正整数，即n∈N+),称为数列的通项.此时，一般将整个数 提示每一列数中的数字都是按照一定的次序排列的. 列简记为{a。},这里的小写字母a也可以换成其他小写英文 4.这一列数1990,1992.1993.….2020与上述问题中1字母
第五章 数列 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念 课标定位 素养阐释 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握通项公式及其应用. 3.能根据数列的前n项写出数列的一个通项公式. 4.通过对数列概念、分类以及数列与函数关系的学习,提高数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心 素养. 课前·基础认知 一、数列的有关概念 【问题思考】 1.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上 研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比 如,若他们将石子摆成三角形形状(如图①所示),则将其所 对应石子个数称为三角形数;若将石子摆成正方形形状(如 图②所示),则将其所对应石子个数称为正方形数. ① ② 你能将三角形数和正方形数所对应的一列数分别写 出吗? 提示 ①1,3,6,10,…; ②1,4,9,16,…. 2.“一尺之捶,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长的 木棍,每天截去一半,永远也截不完.从数学上来说,如果木 棍初始长度为1,那么每天截去一半之后木棍剩余的长度对 应的一列数是怎样的,你能写出来吗? 提示 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 ,…. 3.观察以上例子中所涉及的每一列数,说一说这些数呈 现什么特点. 提示 每一列数中的数字都是按照一定的次序排列的. 4.这一列数1990,1992,1993,…,2020与上述问题中 的每一列数在个数上有什么不同? 提示 这一列数的个数有限,上述问题中的每一列数的 个数都是无限的. 5.填空: (1)数列的定义:按照一定次序排列的一列数称为数列. (2)数列的项:数列中的每一个数都称为这个数列的项, 各项依次称为这个数列的第1项(或首项),第2项…… (3)数列的分类:组成数列的数的个数称为数列的项数. 一般地,项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称 为无穷数列. 6.做一做:数列2,4,8,16,…,其中16是这个数列的第 项,这个数列是 数列.(填“有穷”或“无穷”) 答案 4 无穷 二、数列的通项 【问题思考】 1.你能写出由正整数1,2,3,…的倒数排成的数列吗? 当n分别等于1,2,3,…时,写出(-1)n 的值排成的数列. 提示 1, 1 2 , 1 3 ,…;-1,1,-1,…. 2.若an 表示数列的第n 项,你能写出上述两个数列中 an 与其相对应的序号n的关系吗? 提示 an= 1 n ;an=(-1)n . 3.填空: (1)数列的通项:因为数列从首项起,每一项都与正整数 对应,所以数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…, 其中an 表示数列的第n项(也称n 为an 的序号,其中n 为 正整数,即n∈N+ ),称为数列的通项.此时,一般将整个数 列简记为{an},这里的小写字母a也可以换成其他小写英文 字母. 1
数学 选择性必修 第三册 配人教B版 (2)数列的通项公式：一般地，如果数列的第n项a。与 整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次 n之间的关系可以用am=f(n)来表示，其中f(n)是关于n 取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应 的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的 函数的解析式。 一个通项公式 (2)数列的单调性 4.做一做：已知数列{an}的通项公式为an=n(n-l), 类别 含义 则a= ,30是该数列的第 项 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的 答案66 数列 解析a.=n(n-1),∴a3=3X(3-1)=6. 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的 数列 令an=n(n-1)=30,解得n=6或n=-5(舍去). 常数数列（简称 三、数列与函数的关系 为常数列) 各项都相等的数列 【问题思考】 1.已知函数fx)=x,g()=上，在这两个函数中，分 4做-做：已知函数f(x)=二 ,设a.=f(n)(n∈ N+),则数列{an}是 数列.（填“递增”或 别令x=1,2,3,·,n,…,可得到哪两个数列？它们的通项 “递减”) 公式分别是什么？ 提示数列{an}:l,2,3,…,n,…,其通项公式为an= 答案递增 【思考辨析】 :载到列队1，号行……头通项公式为6，= 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 2.上述两个数列的项随着项数的变化分别有什么变化 “、/”,错误的画“×”. 规律？ (1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7. (X) (2){an}与a。是一样的，都表示数列. (X) 提示数列{a.}的项随着项数n的增大而增大，数列 (3)数列中的数由它的位置序号唯一确定 (W) {b。}的项随着项数n的增大而减小。 (4)同一个数在数列中不可重复出现 (×) 3.填空： (1)数列与函数的关系：数列{a.}可以看成定义域为正 (5)数列1，-1.2，- 3,是递增数列 (×) 课堂 重难突破 色反思感悟 探究一 数列的概念及分类 1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性 【例1】已知下列数列： 质具有以下特点. (1)0,0.0,0.0,0 (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确 (2)0,-1,2,-3,4,-5, 定的，集合中的元素也具有确定性. 12 .n-1 (3)0,23 (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的 ,; n 元素不能重复出现（即互异性） (4)1,0.2,0.22,0.23,… (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有 (5)0,-1.0,082元 关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没 有顺序（即无序性）. 其中， 是有穷数列， 是无穷数列， (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可 是递增数列， 是递减数列， 是常 以是除数字外的其他事物. 数列.（填序号） 2.在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣数列 分析观察数列的项的变化趋势与规律，由数列的分类 的概念及数列的特点.判断数列是递增数列、递减数列 来判断. 还是常数列时要从项的变化趋势来分析；而判断数列 答案(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1) 是有穷数列还是无穷数列时则需看项的个数有限还是 解析(1)是常数列且是有穷数列； 无限. (2)是无穷数列： 【变式训练1】下列说法正确的是 .(填写 (3)是无穷递增数到（国为”一=1-日》： 序号) ①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列： (4)是无穷递减数列： ②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增 (5)是无穷数列
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 (2)数列的通项公式:一般地,如果数列的第n 项an 与 n之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n 的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的 一个通项公式. 4.做一做:已知数列{an}的通项公式为an=n(n-1), 则a3= ,30是该数列的第 项. 答案 6 6 解析 ∵an=n(n-1),∴a3=3×(3-1)=6. 令an=n(n-1)=30,解得n=6或n=-5(舍去). 三、数列与函数的关系 【问题思考】 1.已知函数f(x)=x,g(x)= 1 x ,在这两个函数中,分 别令x=1,2,3,…,n,…,可得到哪两个数列? 它们的通项 公式分别是什么? 提示 数列{an}:1,2,3,…,n,…,其通项公式为an= n;数列{bn}:1, 1 2 , 1 3 ,…, 1 n ,…,其通项公式为bn= 1 n . 2.上述两个数列的项随着项数的变化分别有什么变化 规律? 提示 数列{an}的项随着项数n 的增大而增大,数列 {bn}的项随着项数n的增大而减小. 3.填空: (1)数列与函数的关系:数列{an}可以看成定义域为正 整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次 取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应 函数的解析式. (2)数列的单调性 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的 数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的 数列 常数数列(简称 为常数列) 各项都相等的数列 4.做一做:已知函数f(x)= x-1 x ,设an=f(n)(n∈ N+ ),则 数 列 {an}是 数 列.(填 “递 增”或 “递减”) 答案 递增 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}. (×) (2){an}与an 是一样的,都表示数列. (×) (3)数列中的数由它的位置序号唯一确定. (√) (4)同一个数在数列中不可重复出现. (×) (5)数列1,-1,2,- 1 2 ,3,- 1 3 是递增数列. (×) 课堂·重难突破 探究一 数列的概念及分类 【例1】已知下列数列: (1)0,0,0,0,0,0; (2)0,-1,2,-3,4,-5,…; (3)0, 1 2 , 2 3 ,…, n-1 n ,…; (4)1,0.2,0.22,0.23,…; (5)0,-1,0,…,cos n 2 π,…. 其中, 是 有 穷 数 列, 是 无 穷 数 列, 是递增数列, 是递减数列, 是常 数列.(填序号) 分析 观察数列的项的变化趋势与规律,由数列的分类 来判断. 答案 (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) 解析 (1)是常数列且是有穷数列; (2)是无穷数列; (3)是无穷递增数列 因为 n-1 n =1- 1 n ; (4)是无穷递减数列; (5)是无穷数列. 1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性 质具有以下特点. (1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确 定的,集合中的元素也具有确定性. (2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的 元素不能重复出现(即互异性). (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有 关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没 有顺序(即无序性). (4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可 以是除数字外的其他事物. 2.在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣数列 的概念及数列的特点.判断数列是递增数列、递减数列 还是常数列时要从项的变化趋势来分析;而判断数列 是有穷数列还是无穷数列时则需看项的个数有限还是 无限. 【变式训练1】下列说法正确的是 .(填写 序号) ①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列; ②按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷递增 2
第五章 数列 数列： ③-2，一1,1,3，一2,4,3是一个项数为5的数列； (1)统一项的结构，如都化成分数、根式等 ④数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探 答案② 索变化部分的规律与对应序号间的关系. 解析紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合 (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对 条件.{0,1,2,3,4,5}是集合，而不是数列，故①错误.按从小 值，再用(-1)”处理符号. 到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列，故②正确. (4)对于周期出现的数列，考虑拆成几个简单数列 同一个数在数列中可以重复出现，此数列共有7项，故③错 和的形式或者利用周期函数的知识解答 误.数列1,2,3,4，，2，共有2项，是有穷数列，故④ 2.熟记一些常见数列的通项公式， 错误」 (1)数列-1,1，-1,1，…的一个通项公式是a.= (-1),数列1，一1,1，-1，…的一个通项公式是am 探究二根据数列的前几项写出通项公式 (-1)+1或an=(-1)-1 【例2】写出以下各数列的一个通项公式： (2)数列1,2,3,4，…的一个通项公式是am=n, 25 (3)数列1,3,5,7，·的一个通项公式是 am=2n-1. (2)1,-3,5,-7,9,: (4)数列2,4,6,8，…的一个通项公式是a。=2n. (3)9,99,999,9999,…; (5)数列1,2,4,8，…的一个通项公式是an=2- 与 (6)数列1,4,9,16，…的一个通项公式是a.=n2 (7)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是 11 (5)1X22X33X44X5… a,=nn+1) 2 分析经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一 111 规律」 (8)数列1,2,3,4，…的一个通项公式是 解(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都 a= 统-成分数再观察宁号号只空…，它的一个通项公 【变式训练2】写出下列数列的一个通项公式。 或方a,- 137 1)0,248 (2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的 正奇数，其一个通项公式为2一1：考虑（一1）+1具有转换 (2)-5,3,-√15，√21，-35，： 符号的作用，因此数列的一个通项公式为am=(一1)+1· 81宁2号3 (2n-1). 44 5… (3)各项加1后，分别变为10,100,1000,10000，…，此 解(1)数列各项的分母可视为1,2,4,8，…，通项可为 数列的一个通项公式为10"，可得原数列的一个通项公式为 2-1(n∈N+):各项的分子比分母小1，即为2-1-1.故数列 an=10"-1. (4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的 的-个通项公式为a,=21一」 2-1 奇数列，其一个通项公式为2一1：分子的前一部分是从2 (2)各项化为根式：一5，，一5，√2，一√27，…， 开始的自然数的平方，其一个通项公式为（十1）2，分子的后 符号规律为（一1）“，被开方数分别为3×1,3×3,3×5,3×7， 一部分是减去一个自然数，其一个通项公式为，综合得原 3×9,…,故第n项的被开方数为3×(21一1).因此数列的 数列的-个通项公式为a,=01)-”=n2十n十 2m-1 2n-1 一个通项公式为a.=(-1)"·√3(2m-1)】 (5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1 (3)这个数列的整数部分：1,2,3，·，通项可为n,分数 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，因此它的一个通项 事分宁号子…与序号阳的关系是 十，因此其一个通项 公式是am=(-1)” 1 n(n十1) 公式为am=n十 n2+2m ①反思感悟 十1n+1 1.数列的通项公式表示的是项与项数之间的关 探究三数列通项公式的应用 系.根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一 般的规律，解题时，一定要注意观察项与项数的关系和 【例3】已知数列a,的通项公式为a.=咖-9m十 相邻项之间的关系，具体思路如下 9mn2-1 (1)求这个数列的第10项； 3
第五章 数列 数列; ③-2,-1,1,3,-2,4,3是一个项数为5的数列; ④数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. 答案 ② 解析 紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否符合 条件.{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,故①错误.按从小 到大排列的所有自然数构成一个无穷递增数列,故②正确. 同一个数在数列中可以重复出现,此数列共有7项,故③错 误.数列1,2,3,4,…,2n,共有2n 项,是有穷数列,故④ 错误. 探究二 根据数列的前几项写出通项公式 【例2】写出以下各数列的一个通项公式: (1) 1 2 ,2, 9 2 ,8, 25 2 ,…; (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)9,99,999,9999,…; (4) 22-1 1 , 32-2 3 , 42-3 5 , 52-4 7 ,…; (5)- 1 1×2 , 1 2×3 ,- 1 3×4 , 1 4×5 ,…. 分析 经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一 规律. 解 (1)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都 统一成分数再观察: 1 2 , 4 2 , 9 2 , 16 2 , 25 2 ,…,它的一个通项公 式为an= n2 2 . (2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的 正奇数,其一个通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1 具有转换 符号的作用,因此数列的一个通项公式为an=(-1)n+1· (2n-1). (3)各项加1后,分别变为10,100,1000,10000,…,此 数列的一个通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为 an=10n -1. (4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的 奇数列,其一个通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2 开始的自然数的平方,其一个通项公式为(n+1)2,分子的后 一部分是减去一个自然数,其一个通项公式为n,综合得原 数列的一个通项公式为an= (n+1)2-n 2n-1 = n2+n+1 2n-1 . (5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1 的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,因此它的一个通项 公式是an=(-1)n 1 n(n+1). 1.数列的通项公式表示的是项与项数之间的关 系.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一 般的规律.解题时,一定要注意观察项与项数的关系和 相邻项之间的关系.具体思路如下. (1)统一项的结构,如都化成分数、根式等. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探 索变化部分的规律与对应序号间的关系. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对 值,再用(-1)n 处理符号. (4)对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列 和的形式或者利用周期函数的知识解答. 2.熟记一些常见数列的通项公式. (1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an= (-1)n,数列1,-1,1,-1,…的一个通项公式是an= (-1)n+1 或an=(-1)n-1. (2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n. (3)数 列 1,3,5,7,… 的 一 个 通 项 公 式 是 an=2n-1. (4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n. (5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1. (6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2. (7)数 列 1,3,6,10,… 的 一 个 通 项 公 式 是 an= n(n+1) 2 . (8)数 列 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,… 的 一 个 通 项 公 式 是 an= 1 n . 【变式训练2】写出下列数列的一个通项公式. (1)0, 1 2 , 3 4 , 7 8 ,…; (2)- 3,3,- 15, 21,-33,…; (3)1 1 2 ,2 2 3 ,3 3 4 ,4 4 5 ,…. 解 (1)数列各项的分母可视为1,2,4,8,…,通项可为 2n-1(n∈N+ );各项的分子比分母小1,即为2n-1-1.故数列 的一个通项公式为an= 2n-1-1 2n-1 . (2)各项化为根式:- 3,9,- 15, 21,- 27,…, 符号规律为(-1)n,被开方数分别为3×1,3×3,3×5,3×7, 3×9,…,故第n项的被开方数为3×(2n-1).因此数列的 一个通项公式为an=(-1)n· 3(2n-1). (3)这个数列的整数部分:1,2,3,…,通项可为n,分数 部分 1 2 , 2 3 , 3 4 ,…与序号n的关系是 n n+1 ,因此其一个通项 公式为an=n+ n n+1 = n2+2n n+1 . 探究三 数列通项公式的应用 【例3】已知数列{an}的通项公式为an= 9n2-9n+2 9n2-1 . (1)求这个数列的第10项; 3
数学 选择性必修第三册 配人教B版 (2册是不是该数列中的项，为什么： 探究四数列的性质 (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内. 【例4】已知数列{an}的通项公式am满足1og2(a.十 分析对于(1)(2)，将n代入或列方程求解：对于(3)， n)=n.试判断数列{an}的单调性， 将通项化简，根据n∈N+求出项的取值范围 解a,=m二n十2_3m-1)(3n-2_3-2 分析用作差比较法，即判断am+1一am的符号. (3n-1)(3n+1)3n+1 解由log2(a.十n)=n得a。十n=2", 9m2-1 3×10-228 即am=2"-1. (1)令n=10,得第10项a0-3X10+i37 则a+1-a.=2+1-(n十1)-(2-n)=21-2"-1= (2)令3m-2_98 2(2-1)-1=2m-1. 3m+i10,得3m=10. :n∈N+,∴2-1>0.amt1>am 98 ∴.数列{an}是递增数列. 此方程无正整数解，故0不是该数列中的项。 飞反思感悟… 3m-2_3m+13=1-3m千 (3)证明：a,=3n+1于3n+1 3 解决数列的单调性问题常用的方法。 (I)作差比较法：根据an+1一an的符号判断数列 3 又n∈N+,.0 3m+<10Ka.<1. {a.}是递增数列、递减数列还是常数列. 即数列中的各项都在区间(0,1)内」 (2)作商比较法：根据：(a,>0或a.<0)与1的 飞反思感悟 an 大小关系进行判断 1.数列是特殊的函数，特殊性表现在它的定义域 (3)图象法：结合相应函数的图象直观判断。 为正整数集的子集.当自变量n从小到大依次取值时， 对应的函数值就构成数列，因此数列的通项公式就是 【变式训练4】若a.=n2十kn十4且对于n∈N,都有 相应函数的解析式，即a.=f(n). a+1>an成立，求实数k的取值范围. 2.判断给定的项是不是数列中的项，实质就是一 解由am+1>am知该数列是一个递增数列，又通项公 个解方程的过程.若解得的是正整数，则该项是此数 式am=n2十kn十4， 列中的项；否则，就不是该数列中的项. .(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4, 即k>-1-2n,又n∈N+,∴.k>-3, 【变式训l练3】已知数列{am}的通项公式为a.= 即实数k的取值范围是（一3，十∞）. 4 n2+3m 易错辨析 (1)写出数列的前三项： 混淆数列中项的有序性而致误 116 (2)试问。和2是不是它的项？如果是，是第几项？ 【典例】写出由集合{x|x∈N+,且x≤4}中的所有元素 构成的数列（要求首项为1，且集合中的元素只出现一次）. 解(1)数列{am}的前三项： 错解集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4}， a1=+3X=1, 因此所求数列为1,2,3,4， 4 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 42 a2-22+3X2-10-5, 你如何改正？你如何防范？ 4 42 提示本题由集合求出构成数列的每一项后，误把数列 aa-32+3X3-18-9 当成了集合，认为各项不用考虑顺序而导致写出的答案不 4 1 全面 (2)令n+3n=i0则n+3m-40=0, 正解集合可表示为{1,2,3,4}，由集合中的元素组成 解得n=5或n=一8， 的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求 因为n∈N+,所以n=一8舍去， 数列有6个： 所以是数列的第5项 1,2,3,4:1,3,2,4;1,2,4,3； 1,3,4,2;1,4,2,3:1,4,3,2. 令n3n=号对+12-27=0 金防范措施〉 3 9 数列中的项是有顺序的，不同的顺序对应着不同 解得=2或n=一2 的数列 因为n∈N+,所以 不是此数列中的项
数 学 选择性必修 第三册 配人教B版 (2) 98 101 是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内. 分析 对于(1)(2),将n 代入或列方程求解;对于(3), 将通项化简,根据n∈N+ 求出项的取值范围. 解 an= 9n2-9n+2 9n2-1 = (3n-1)(3n-2) (3n-1)(3n+1)= 3n-2 3n+1 . (1)令n=10,得第10项a10= 3×10-2 3×10+1 = 28 31 . (2)令 3n-2 3n+1 = 98 101 ,得3n=100. 此方程无正整数解,故 98 101 不是该数列中的项. (3)证明:∵an= 3n-2 3n+1 = 3n+1-3 3n+1 =1- 3 3n+1 , 又n∈N+ ,∴0< 3 3n+1 <1,∴0<an<1. 即数列中的各项都在区间(0,1)内. 1.数列是特殊的函数,特殊性表现在它的定义域 为正整数集的子集.当自变量n 从小到大依次取值时, 对应的函数值就构成数列,因此数列的通项公式就是 相应函数的解析式,即an=f(n). 2.判断给定的项是不是数列中的项,实质就是一 个解方程的过程.若解得的n是正整数,则该项是此数 列中的项;否则,就不是该数列中的项. 【变式 训 练 3】已 知 数 列 {an}的 通 项 公 式 为 an= 4 n2+3n . (1)写出数列的前三项; (2)试问 1 10 和 16 27 是不是它的项? 如果是,是第几项? 解 (1)数列{an}的前三项: a1= 4 12+3×1 =1, a2= 4 22+3×2 = 4 10 = 2 5 , a3= 4 32+3×3 = 4 18 = 2 9 . (2)令 4 n2+3n = 1 10 ,则n2+3n-40=0, 解得n=5或n=-8, 因为n∈N+ ,所以n=-8舍去, 所以 1 10 是数列的第5项. 令 4 n2+3n = 16 27 ,则4n2+12n-27=0, 解得n= 3 2 或n=- 9 2 , 因为n∈N+ ,所以 16 27 不是此数列中的项. 探究四 数列的性质 【例4】已知数列{an}的通项公式an 满足log2(an+ n)=n.试判断数列{an}的单调性. 分析 用作差比较法,即判断an+1-an 的符号. 解 由log2(an+n)=n得an+n=2n, 即an=2n -n. 则an+1-an=2n+1-(n+1)-(2n -n)=2n+1-2n -1= 2n(2-1)-1=2n -1. ∵n∈N+ ,∴2n -1>0.∴an+1>an. ∴数列{an}是递增数列. 解决数列的单调性问题常用的方法. (1)作差比较法:根据an+1-an 的符号判断数列 {an}是递增数列、递减数列还是常数列. (2)作商比较法:根据 an+1 an (an>0或an<0)与1的 大小关系进行判断. (3)图象法:结合相应函数的图象直观判断. 【变式训练4】若an=n2+kn+4且对于n∈N+ ,都有 an+1>an 成立,求实数k的取值范围. 解 由an+1>an 知该数列是一个递增数列,又通项公 式an=n2+kn+4, ∴(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4, 即k>-1-2n,又n∈N+ ,∴k>-3, 即实数k的取值范围是(-3,+∞). 易 错 辨 析 混淆数列中项的有序性而致误 【典例】写出由集合{x|x∈N+ ,且x≤4}中的所有元素 构成的数列(要求首项为1,且集合中的元素只出现一次). 错解 集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4}, 因此所求数列为1,2,3,4. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 本题由集合求出构成数列的每一项后,误把数列 当成了集合,认为各项不用考虑顺序而导致写出的答案不 全面. 正解 集合可表示为{1,2,3,4},由集合中的元素组成 的数列要求首项为1,且集合中的元素只出现一次,故所求 数列有6个: 1,2,3,4;1,3,2,4;1,2,4,3; 1,3,4,2;1,4,2,3;1,4,3,2. 数列中的项是有顺序的,不同的顺序对应着不同 的数列. 4
第五章 数列 【变式训练】判断下面两个数列是否为同一个数列： 故3是数列{an}中的第2项和第6项 (1)1.1,2.1,3.1,4.1,5.1: 4.已知数列{an}的通项公式为a.=log(2十1)，则a3= (2)5.1,2.1,3.1,1.1,4.1. 解因为数列(1)与数列(2)中的数的排列的顺序不同， 答案2 所以这两个数列不是同一个数列： 解析，an=log(2"十1)， 随堂训练 aa=log3(23+1)=log39=2. 5.已知数列的项与项数的关系如下表： L.下列叙述正确的是() A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 项数n1234567…6 B.数列0,1,2,3，…可以表示为{n}》 项a 1438a127…20 C.数列0,1,0,1，…是常数列 则a十b= D.数列{2n}是递增数列 答案15 答案D 解析由表可知，当项数为奇数时，a。=n;当项数为偶数 解析数列中的项是有序的，故A错：B中数列可以表示 时，am=21. 为{n一1}，故B错：C中数列不是常数列.故选D. 则a=5,b=10.即a十b=15. 2.已知数列√2,5,22，√T,…,则2√5是这个数列的 6.已知数列{a.}的通项公式为a.=3m2-28m. ( (1)写出数列的第4项和第6项： A第6项 B.第7项 (2)一49是不是该数列中的一项？如果是，是哪一项？68 C.第8项 D.第9项 是不是该数列中的一项呢？ 答案B 解(1)，a.=3m2-281, 解析数列的通项公式为am=√3一I, .a,=3×16-28×4=-64, 令√3m-1=25,解得n=7, a8=3X36-28×6=-60. (2)令3m2-28=-49, 即25是这个数列的第7项. 7 3.已知数列{an}的通项公式为a.=n2-8m十15，则3( 解得n=7或n=3含去)， A.不是数列{a.}中的项 ∴.n=7,即一49是该数列的第7项 B.只是数列{a.}中的第2项 C.只是数列{am}中的第6项 令3m2-281=68,解得m= 3或n=-2. D.是数列{an}中的第2项和第6项 答案D en.-2ex.. 解析令a.=2-8m十15=3， ∴68不是该数列中的项」 整理可得n2-8m十12=0，解得n=2或n=6. 课后 ·训练提升 基础·巩固 则a2as等于() A.70 B.28 C.20 D.8 1.下面四个结论，其中叙述正确的有( 答案C ①数列的通项公式是唯一的： 3n十1，n为奇数， ②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的 解析由an= 2n-2,n为偶数， 函数； 得a2aa=2X10=20.故选C. ③若用图象表示数列，则它是一群孤立的点： 1 3 ④每个数列都有通项公式， 3.数列 2 3×5'5X7一7X9'9X…的通项公式为 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案B 1 A.an=(-1)+1 (2n+1)(2n+3) 解析数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式， 因此①④不正确 B.an=(-1)+1 (2m+1)(2n+3) 3n十1，n为奇数 2.已知数列的通项公式a.= 1 2n一2，n为偶数， C.a.=(-1)”2m+1)(2m+3 5
第五章 数列 【变式训练】判断下面两个数列是否为同一个数列: (1)1.1,2.1,3.1,4.1,5.1; (2)5.1,2.1,3.1,1.1,4.1. 解 因为数列(1)与数列(2)中的数的排列的顺序不同, 所以这两个数列不是同一个数列. 随堂训练 1.下列叙述正确的是( ) A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n} C.数列0,1,0,1,…是常数列 D.数列{2n}是递增数列 答案 D 解析 数列中的项是有序的,故 A 错;B中数列可以表示 为{n-1},故B错;C中数列不是常数列.故选D. 2.已知数列 2,5,22, 11,…,则25是这个数列的 ( ) A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 答案 B 解析 数列的通项公式为an= 3n-1, 令 3n-1=25,解得n=7, 即25是这个数列的第7项. 3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则3( ) A.不是数列{an}中的项 B.只是数列{an}中的第2项 C.只是数列{an}中的第6项 D.是数列{an}中的第2项和第6项 答案 D 解析 令an=n2-8n+15=3, 整理可得n2-8n+12=0,解得n=2或n=6. 故3是数列{an}中的第2项和第6项. 4.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n +1),则a3= . 答案 2 解析 ∵an=log3(2n +1), ∴a3=log3(23+1)=log39=2. 5.已知数列的项与项数的关系如下表: 项数n 1 2 3 4 5 6 7 … b 项an 1 4 3 8 a 12 7 … 20 则a+b= . 答案 15 解析 由表可知,当项数为奇数时,an=n;当项数为偶数 时,an=2n. 则a=5,b=10,即a+b=15. 6.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出数列的第4项和第6项; (2)-49是不是该数列中的一项? 如果是,是哪一项? 68 是不是该数列中的一项呢? 解 (1)∵an=3n2-28n, ∴a4=3×16-28×4=-64, a6=3×36-28×6=-60. (2)令3n2-28n=-49, 解得n=7或n= 7 3 (舍去), ∴n=7,即-49是该数列的第7项. 令3n2-28n=68,解得n= 34 3 或n=-2. ∵ 34 3 ∉N+ ,-2∉N+ , ∴68不是该数列中的项. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下面四个结论,其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的; ②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的 函数; ③若用图象表示数列,则它是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案 B 解析 数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式, 因此①④不正确. 2.已知数列的通项公式an= 3n+1,n为奇数, 2n-2,n为偶数, 则a2a3 等于( ) A.70 B.28 C.20 D.8 答案 C 解析 由an= 3n+1,n为奇数, 2n-2,n为偶数, 得a2a3=2×10=20.故选C. 3.数列- 1 3×5 , 2 5×7 ,- 3 7×9 , 4 9×11 ,…的通项公式为 ( ) A.an=(-1)n+1 1 (2n+1)(2n+3) B.an=(-1)n+1 n (2n+1)(2n+3) C.an=(-1)n 1 (2n+1)(2n+3) 5