第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其运算 第1课时 空间向量的概念与运算 1.通过类比平面向量，掌握空间向量的有关概念 课标定位 2,掌握空间向量的加法、减法与数乘运算。 素养阐释 3.体会数学抽象的过程，加强直观想象和逻辑推理、运算能力的培养， 课前·基础认知 一、空间向量的概念 D.D.CCL.CIC.DC.CD 【问题思考】 二、空间向量的加法运算 1.在一个平面上，若两个非零向量a,b的方向相同，则 【问题思考】 ā仍.将此命题中的“在一个平面上”改为“在空间中”，命题 1,平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边 是否仍成立？ 形法则对于空间向量是否适用？ 提示成立 提示适用 2.将平面向量的有关概念与约定推广到空间中，是否仍 2.填空：(1)空间向量的加法运算 成立？ 已知空间中任意两个向量a,b,在空间中任取一点O, 提示成立. 作OA=a,AB=b,如图所示. 3.填空：(1)空间中既有大小又有方向的量称为空间向 量（简称为向量） (2)大小相等、方向相同的向量称为相等的向量」 (3)方向相同或者相反的两个非零向量互相平行. ①三角形法则 (4)一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线 在O,A,B三点确定的平面a内，O店=OA+A店=a十b 段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面：否 ②平行四边形法则 则，称这些向量不共面 如图，取OA=a,OC=b,则在O,A,B三点确定的平 4.做一做：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 面内，Oi=OA+AB=OA+O元=a+b: AD=3,AA1=4,AB=5.在长方体的所有棱对应的向量中， D ③向量加法的运算律 D 交换律：a十b=b+a: 结合律：(a十b)十c=a十(b十c). (1)与AA,相等的向量有 (2)多边形法则 (2)与AA,平行的向量有 为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依 次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向 (3)与AA,D元共面的向量有 量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量. 3.做一做：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列 答案(1)BB,CC,DD 向量的表达式 (2)BBI.CCI,DD1,AA,BB,CIC,DD (1)AB+BC+CCI=AC (3)AA,AB.BA,BB.BB.A B.B A,CD.DD. (2)AB+CD+BC=AD
第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 第1课时 空间向量的概念与运算 课标定位 素养阐释 1.通过类比平面向量,掌握空间向量的有关概念. 2.掌握空间向量的加法、减法与数乘运算. 3.体会数学抽象的过程,加强直观想象和逻辑推理、运算能力的培养. 课前·基础认知 一、空间向量的概念 【问题思考】 1.在一个平面上,若两个非零向量a,b 的方向相同,则 a∥b.将此命题中的“在一个平面上”改为“在空间中”,命题 是否仍成立? 提示 成立. 2.将平面向量的有关概念与约定推广到空间中,是否仍 成立? 提示 成立. 3.填空:(1)空间中既有大小又有方向的量称为空间向 量(简称为向量). (2)大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. (3)方向相同或者相反的两个非零向量互相平行. (4)一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线 段通过平移之后,都能在同一平面内,则称这些向量共面;否 则,称这些向量不共面. 4.做 一 做:如 图,在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中, AD=3,AA1=4,AB=5.在长方体的所有棱对应的向量中, (1)与AA1 → 相等的向量有 . (2)与AA1 → 平行的向量有 . (3)与AA1 →,D→C 共面的向量有 . 答案 (1)BB1 →,CC1 →,DD1 → (2)BB1 →,CC1 →,DD1 →,A1 →A,B1 →B,C1 →C,D1 →D (3)A1 →A,A→B,B→A,BB1 →,B1 →B,A1B1 →,B1A1 →,C→D,DD1 →, D1 →D,CC1 →,C1 →C,D1C1 →,C1D1 → 二、空间向量的加法运算 【问题思考】 1.平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边 形法则对于空间向量是否适用? 提示 适用. 2.填空:(1)空间向量的加法运算 已知空间中任意两个向量a,b,在空间中任取一点O, 作O→A=a,A→B=b,如图所示. ①三角形法则 在O,A,B 三点确定的平面α内,O→B=O→A+A→B=a+b. ②平行四边形法则 如图,取O→A=a,O→C=b,则在O,A,B 三点确定的平 面内,O→B=O→A+A→B=O→A+O→C=a+b. ③向量加法的运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (2)多边形法则 为了得到有限个空间向量的和,只需将这些空间向量依 次首尾相接,那么以第一个向量的始点为始点,最后一个向 量的终点为终点的向量,就是这些向量的和向量. 3.做一做:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,化简下列 向量的表达式. (1)A→B+B→C+CC1 →=AC1 →; (2)A→B+C→D+B→C=A→D. 1
数学 选择性必修 第一册 配人教B版 三、空间向量的线性运算 当λ=0或a=0时，Aa=0 【问题思考】 ②空间向量的数乘运算满足如下运算律：对于实数入与 1.已知a是空间中的一非零向量，则a(入∈R)的方向 4,向量a与b有a十a=(a十4)a,A(a十b)=λa十Ab, 与a的方向有何关系？ ③若存在实数入，使得b=Aa,则b∥a 提示当入>0时，Aa与a的方向相同；当入=0时，a 3.做一做：已知入∈R,a≠0，则下列结论正确的是( 的方向是任意的：当1<0时，入a与a的方向相反 AAa与a同向 B.laal=λlal 2.填空：(1)向量减法的三 y C.λa可能为0 D.lal=lala 角形法则 答案C 如图，在空间内任取一点 【思考辨析】 O,作Oi=a,O成=b,作出向量 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） BA,则向量BA就是向量a与 (1)若ah,则a与b同向. (×) b的差，即OA-Oi=BA. (2)31∈R,使Aa=0. (X) (2)数乘向量 (3)OA-OB=BA. (N) ①同平面中的情形一样，给定一个实数入与任意一个空 (4)若PQ是空间一条线段，O为空间一点，且OM= 间向量a,规定它们的乘积是一个空间向量，记作a,其中： 当a≠0且a≠0时，a的模为|A|a|,而且a的方向： O+号过，则M是PQ的中点 (V) 当A>0时，与a的方向相同： (5)空间向量只有大小，没有方向， (X) 当入<0时，与a的方向相反； 课堂·重难突破 探究一空间向量的概念 ②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比 【例1】给出下列命题： 较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的。 ①若将空间中所有单位向量的起点移到同一个点，则它 但向量的模是可以比较大小的， 们的终点构成一个圆： 【变式训练1】如图，以长方体ABCD-ABCD1的 ②若空间向量a,b满足|a=bl,则a=b: 八个顶点的两点为始点和终点的向量中， ③在正方体ABCD-AB1CD1中，必有AC=AC: D ④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等， 其中假命题有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析①是假命题，将空间中所有单位向量的起点移到 (1)试写出与AB相等的所有向量； 同一点时，它们的终点构成一个球面，而不是一个圆.②是假 (2)试写出AA1的相反向量。 命题，根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅其模要 相等，方向也要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同. 解(1)与向量AB相等的所有向量（除它自身之外）有 ③是真命题，在正方体ABCD-AB,C1D1中，向量AC与 A1B1,DC及D,C共3个 AC的方向相同，模也相等，必有AC=A1C.④是真命题. (2)向量AA1的相反向量为A1A,BB,CC,D, ⑤是假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但其方 向不一定相同，故两个单位向量不一定相等.故选C 探究二 空间向量的加法、减法运算 答案C 【例2】如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列 反思感悟 向量表达式，并在图中标出化简结果的向量. 解决向量概念问题应把握的两个要素和两个关系 (1)AA'-CB: (1)两个要素 (2)AA+AB+B'C 判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主 D 要要素，即大小与方向，两者缺一不可 (2)两个关系 ①模相等与向量相等的关系：若两个向量的模相 等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量（非 B 零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. 分析(1)分析题意，将CB等价转化为DA,DA转化
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 三、空间向量的线性运算 【问题思考】 1.已知a是空间中的一非零向量,则λa(λ∈R)的方向 与a的方向有何关系? 提示 当λ>0时,λa 与a 的方向相同;当λ=0时,λa 的方向是任意的;当λ<0时,λa与a的方向相反. 2.填空:(1)向量减法的三 角形法则 如图,在 空 间 内 任 取 一 点 O,作O→A=a,O→B=b,作出向量 B→A,则向量 B→A 就是向量a 与 b的差,即O→A-O→B=B→A. (2)数乘向量 ①同平面中的情形一样,给定一个实数λ与任意一个空 间向量a,规定它们的乘积是一个空间向量,记作λa,其中: 当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向: 当λ>0时,与a的方向相同; 当λ<0时,与a的方向相反; 当λ=0或a=0时,λa=0. ②空间向量的数乘运算满足如下运算律:对于实数λ与 μ,向量a与b有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb. ③若存在实数λ,使得b=λa,则b∥a. 3.做一做:已知λ∈R,a≠0,则下列结论正确的是( ) A.λa与a同向 B.|λa|=λ|a| C.λa可能为0 D.|λa|=|λ|a 答案 C 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a∥b,则a与b同向. (×) (2)∃λ∈R,使λa=0. (×) (3)O→A-O→B=B→A. (√) (4)若PQ 是空间一条线段,O 为空间一点,且O→M = 1 2 O→P+ 1 2 O→Q,则M 是PQ 的中点. (√) (5)空间向量只有大小,没有方向. (×) 课堂·重难突破 探究一 空间向量的概念 【例1】给出下列命题: ①若将空间中所有单位向量的起点移到同一个点,则它 们的终点构成一个圆; ②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b; ③在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,必有A→C=A1C1 →; ④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中假命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 ①是假命题,将空间中所有单位向量的起点移到 同一点时,它们的终点构成一个球面,而不是一个圆.②是假 命题,根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅其模要 相等,方向也要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同. ③是真命题,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 A→C 与 A1C1 → 的方向相同,模也相等,必有A→C=A1C1 →.④是真命题. ⑤是假命题,空间中任意两个单位向量的模均为1,但其方 向不一定相同,故两个单位向量不一定相等.故选C. 答案 C 解决向量概念问题应把握的两个要素和两个关系. (1)两个要素 判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主 要要素,即大小与方向,两者缺一不可. (2)两个关系 ①模相等与向量相等的关系:若两个向量的模相 等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非 零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. ②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比 较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的. 但向量的模是可以比较大小的. 【变式训练1】如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1 的 八个顶点的两点为始点和终点的向量中, (1)试写出与A→B 相等的所有向量; (2)试写出AA1 → 的相反向量. 解 (1)与向量A→B 相等的所有向量(除它自身之外)有 A1B1 →,D→C 及D1C1 → 共3个. (2)向量AA1 → 的相反向量为A1 →A,B1 →B,C1 →C,D1 →D. 探究二 空间向量的加法、减法运算 【例2】如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列 向量表达式,并在图中标出化简结果的向量. (1)AA→'-C→B; (2)AA→'+A→B+B'C→'. 分析 (1)分析题意,将C→B 等价转化为D→A,D→A 转化 2
第一章空间向量与立体几何 为一AD,利用平行四边形法则得出结论 (2)应用平行四边形法则先求AA十AB,再应用三角 Bi)=A店+号[AC-AB)+(市-A店)]=3(A店+ 形法则求AB+BC AC+AD)】 解(1)A-C=AA-Di=A产+AD=AD 延伸探究 (2)AA+AB+BC 在本例中，若F是△ACD的重心，试用A店，A心，AD =(AA+AB)+BC 表示F =AB'+BC 解，F是△ACD的重心， =AC" 向量AD,AC心如图所示. 正=号证=号×宁成斗 反思感悟 化简向量表达式时主要利用平行四边形法则、三 市)=号C+市. 角形法则和多边形法则.而三角形法则和多边形法则 又店-店+aC+A). 更方便应用 【变式训练2】如图，在正方体 连接AG.“底-G-正-号（店+花+）- ABCD-A1B,C1D1中，下列各式中运 A 专心+市)=号应 算的结果为向量AC的有( ①反思感悟 ①(AB+BC)+CC 空间向量的数乘运算实质是空间向量的加减运算， ②(AA1+AD1)+DC 利用数乘运算解决问题时，要结合图形，灵活应用三角 ③(AB+BB1)+B,C1 形法则、多边形法则等，用已知向量表示目标向量. ④(AA1+A1B)+BC 【变式训练3】如图，M,N分别是四面体ABCD的棱 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 AB.CD的中点，求证：-之市+BC. 解析根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐 一进行判断： ①(A店+BC)+CC=AC+CC=AC. @(AA+AD)+DC=AD,+DCi=ACi. (AB+BB)+BCi=AB:+BC=ACi. (AA+AB)+BCi=ABi+BC=ACi. 因此，结果为向量AC,的有4个 证明由题意，得MN=Mi+AD+D示】 ⑦ 答案D MN=MB+BC+CN. 又Mi=-Mi.DN=-C,①+②，得2MN=AD+ 探究三空间向量的数乘运算 武，因此=子市+BC). 【例3】如图，设A是△BCD所 在平面外的一点，G是△BCD的重 思想方法 心求证，心=专+C+ 利用数形结合法求解空间向量问题 【典例】已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',点M是 分析借助于平行四边形法则 B 棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA'=2:1. 和三角形法则，结合数乘向量，用 设Ci=a,CB=b,CC=c,试用向量a,b,c表示向量Ci, AB,AC和AD表示出AG. CA.CM.CG. 证明连接BG,延长后交CD 解如图，C=C+C市= D' 于点E,由G为△BCD的重心，知 a十b, 成=硫 CA产=CA+AA=CA+ 由题意知E为CD的中点， C=a十b+c, CM-CA+AM-CB+CD+ 则成=成+成 过=a+6+2c. 故花=店+成=店+号酝=店+专（武+ ==号a+b+e以
第一章 空间向量与立体几何 为-A→D,利用平行四边形法则得出结论. (2)应用平行四边形法则先求AA→'+A→B,再应用三角 形法则求AB→'+B'C→'. 解 (1)AA→'-C→B=AA→'-D→A=AA→'+A→D=AD→'. (2)AA→'+A→B+B'C→' =(AA→'+A→B)+B'C→' =AB→'+B'C→' =AC→'. 向量AD→',AC→'如图所示. 化简向量表达式时主要利用平行四边形法则、三 角形法则和多边形法则.而三角形法则和多边形法则 更方便应用. 【变式训练2】如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运 算的结果为向量AC1 → 的有( ) ①(A→B+B→C)+CC1 → ②(AA1 →+A1D1 →)+D1C1 → ③(A→B+BB1 →)+B1C1 → ④(AA1 →+A1B1 →)+B1C1 → A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐 一进行判断: ①(A→B+B→C)+CC1 →=A→C+CC1 →=AC1 →. ②(AA1 →+A1D1 →)+D1C1 →=AD1 →+D1C1 →=AC1 →. ③(A→B+BB1 →)+B1C1 →=AB1 →+B1C1 →=AC1 →. ④(AA1 →+A1B1 →)+B1C1 →=AB1 →+B1C1 →=AC1 →. 因此,结果为向量AC1 → 的有4个. 答案 D 探究三 空间向量的数乘运算 【例3】如图,设A 是△BCD 所 在平面外的一点,G 是△BCD 的重 心.求证:A→G= 1 3 (A→B+A→C+A→D). 分析 借助于平行四边形法则 和三角形法则,结合数乘向量,用 A→B,A→C 和A→D 表示出A→G. 证明 连接BG,延长后交CD 于点E,由G 为△BCD 的重心,知 B→G= 2 3 B→E. 由题意知E 为CD 的中点, 则B→E= 1 2 B→C+ 1 2 B→D. 故A→G=A→B +B→G=A→B + 2 3 B→E =A→B + 1 3 (B→C+ B→D)=A→B+ 1 3 [(A→C-A→B)+(A→D-A→B)]= 1 3 (A→B+ A→C+A→D). 在本例中,若F 是△ACD 的重心,试用 A→B,A→C,A→D 表示F→G. 解 ∵F 是△ACD 的重心, ∴A→F= 2 3 A→E= 2 3 × 1 2 (A→C+ A→D)= 1 3 (A→C+A→D). 又A→G= 1 3 (A→B+A→C+A→D), 连接AG,∴F→G =A→G -A→F = 1 3 (A→B +A→C +A→D)- 1 3 (A→C+A→D)= 1 3 A→B. 空间向量的数乘运算实质是空间向量的加减运算. 利用数乘运算解决问题时,要结合图形,灵活应用三角 形法则、多边形法则等,用已知向量表示目标向量. 【变式训练3】如图,M,N 分别是四面体ABCD 的棱 AB,CD 的中点,求证:M→N= 1 2 (A→D+B→C). 证明 由题意,得M→N=M→A+A→D+D→N, ① M→N=M→B+B→C+C→N. ② 又M→A=-M→B,D→N=-C→N,①+②,得2M→N=A→D+ B→C,因此M→N= 1 2 (A→D+B→C). 思 想 方 法 利用数形结合法求解空间向量问题 【典例】已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',点 M 是 棱AA'的中点,点G 在对角线A'C 上,且CG∶GA'=2∶1. 设C→D=a,C→B=b,CC→'=c,试用向量a,b,c表示向量C→A, CA→',C→M,C→G. 解 如 图,C→A =C→B +C→D = a+b, CA→'=C→A + AA→' =C→A + CC→'=a+b+c, C→M=C→A+A→M=C→B+C→D+ 1 2 CC→'=a+b+ 1 2 c, C→G= 2 3 CA→'= 2 3 (a+b+c). 3
数学 选择性必修第一册 配人教B版 ①方法点睛 对于③，OA-O币+Ai=DA+AD=0: 要用a,b,c表示目标向量，必须结合图形，构造三 对于④，NQ+Q+MN-M=(N+Q妒)+ 角形、平行四边形、多边形等，再运用空间向量的加法、 (M示-M)=NP+PN=0. 减法及数乘向量求解。 综上所述，结果为零向量的个数是4 【变式训练】证明平行六面体的体对角线相交于一 答案D 点，且在交点处互相平分 3.如图，在空间四边形OABC中，点M,N分别在OA,BC 证明如图，在平行六面体 D' 上，OM=2MA,BN=CN,则MN= (用OA, ABCD-A'B'C'D'中，设点O是AC' O.0元表示). 的中点，剥ò=号C=号（十 AD-AA). 设P,M,N分别是BD',CA', DB'的中点，则AP=AB+B驴= +号前=店+号（耐+武+丽） A+(-Ai+市+AM)=,A+A市+A). 解析M=+A店+B示=号Oi+O成-耐+ 同理可证：A=店+A市+A),N=A馆+ 20心-0)=-i+2诚+2记 AD+A).由此可知O,P,M,N四点重合 故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相 答案-号i+2成+号心 平分 4.在直三棱柱ABC-A1BC1中，若CA=a,C克=b,CC= c,则A1B= (用a,b,c表示). 随堂训练。。。。。。。 解析A1B=AA+AB=-CC+C-Ci=-c+b 1.下列命题是假命题的是() a=b-a-c. A.向量AB与BA的长度相等 答案b-a一c B.两个相等的向量，若始点相同，则终点也相同 5.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面 C.只有零向量的模等于0 ABCD是平行四边形，E为OC的 D.在同一条直线上的单位向量都相等 中点.设OA=a,Oi=b,O币=d. 答案D 试用a,b,d表示AE 2.化简：①AB+BC+Ci:②Ai-AC+BD-Ci:③Oi OD+AD;④NQ+QP+MN-M正.结果为零向量的个 解正=0苑-0耐=2心 数是( A.1 B.2 C.3 D.4 a=号0i+成)-0i=号0+市)-0i- 解析对于①，AB+B武+CA=AC+C=0: 对于②，AB-AC+Bd-Ci=(AB+BD)-(AC+ 20+0-0i)-0i=-2i+0+2元- CD)=AD-AD=0; 3 1 2a+2b+d. 课后·训练提升 L.如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则AB+ A.AD B.BG C.CD D.AG 2(成+武)等于() 解析店+之(B配+B武)=+B武=AG 答案D 2.如图，四棱柱ABCD-AB,CD D 的底面是平行四边形，M是AC 与BD的交点.若AB=a,AD= b,AA1=c,则CM可以表示 为() 4
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 要用a,b,c表示目标向量,必须结合图形,构造三 角形、平行四边形、多边形等,再运用空间向量的加法、 减法及数乘向量求解. 【变式训练】证明平行六面体的体对角线相交于一 点,且在交点处互相平分. 证明 如 图,在 平 行 六 面 体 ABCD-A'B'C'D'中,设点O 是AC' 的中点,则A→O= 1 2 AC→'= 1 2 (A→B+ A→D+AA→'). 设P,M,N 分别是BD',CA', DB'的中点,则 A→P =A→B +B→P = A→B+ 1 2 BD→' = A→B + 1 2 (B→A + B→C + BB→')= A→B+ 1 2 (-A→B+A→D+AA→')= 1 2 (A→B+A→D+AA→'). 同理可证:A→M= 1 2 (A→B+A→D+AA→'),A→N= 1 2 (A→B+ A→D+AA→').由此可知O,P,M,N 四点重合. 故平行六面体的体对角线相交于一点,且在交点处互相 平分. 随堂训练 1.下列命题是假命题的是( ) A.向量A→B 与B→A 的长度相等 B.两个相等的向量,若始点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.在同一条直线上的单位向量都相等 答案 D 2.化简:①A→B+B→C+C→A;②A→B-A→C+B→D-C→D;③O→AO→D+A→D;④N→Q+Q→P+M→N-M→P.结果为零向量的个 数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 对于①,A→B+B→C+C→A=A→C+C→A=0; 对于②,A→B-A→C+B→D-C→D=(A→B+B→D)-(A→C+ C→D)=A→D-A→D=0; 对于③,O→A-O→D+A→D=D→A+A→D=0; 对于④,N→Q +Q→P +M→N -M→P = (N→Q +Q→P)+ (M→N-M→P)=N→P+P→N=0. 综上所述,结果为零向量的个数是4. 答案 D 3.如图,在空间四边形OABC 中,点M,N 分别在OA,BC 上,OM=2MA,BN=CN,则 M→N= (用O→A, O→B,O→C 表示). 解析 M→N =M→A +A→B +B→N= 1 3 O→A +O→B -O→A + 1 2 (O→C-O→B)=- 2 3 O→A+ 1 2 O→B+ 1 2 O→C. 答案 - 2 3 O→A+ 1 2 O→B+ 1 2 O→C 4.在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,若C→A=a,C→B=b,CC1 →= c,则A1 →B= (用a,b,c表示). 解析 A1 →B=A1 →A+A→B=-CC1 →+C→B-C→A=-c+ba=b-a-c. 答案 b-a-c 5.如图,在四棱锥O-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,E 为OC 的 中点.设O→A=a,O→B=b,O→D=d, 试用a,b,d表示A→E. 解 A→E =O→E -O→A = 1 2 O→C - O→A= 1 2 (O→B +B→C)-O→A = 1 2 (O→B +A→D)-O→A = 1 2 (O→B+O→D-O→A)-O→A=- 3 2 O→A+ 1 2 O→B+ 1 2 O→D= - 3 2 a+ 1 2 b+ 1 2 d. 课后·训练提升 1.如图,在四面体ABCD 中,设G 是CD 的中点,则A→B+ 1 2 (B→D+B→C)等于( ) A.A→D B.B→G C.C→D D.A→G 解析 A→B+ 1 2 (B→D+B→C)=A→B+B→G=A→G. 答案 D 2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面是平行四边形,M 是AC 与BD 的交点.若A→B=a,A→D= b,AA1 → =c,则C1 →M 可以表示 为( ) 4
第一章空间向量与立体几何 A.atb+ze B-za-zbte 答案D 5.(多选题)下列命题是假命题的是() C.-a-7b-e D.za+zbte A.方向相反的两个向量是相反向量 B.若向量a,b满足|a>b|,且a,b同向，则a>b 解析，四棱柱ABCD-ABCD1的底面是平行四边 C.不相等的两个空间向量的模必不相等 形，M是AC与BD的交点， D.对于任何向量a,b,必有la十b|≤Ia|十|b :C.M-CC+CM-AA-](AB+AD)--c- 解析对于A:长度相等，且方向相反的两个向量是相反 t(atb)--te-tb-c. 1 向量，故A是假命题：对于B:向量是不能比较大小的，故 B是假命题：对于C:不相等的两个空间向量的模也可以 答案C 相等，故C是假命题：D是真命题， 3.在四面体0-ABC中，OA=a,OB=b,O元=c,D为BC 答案ABC 的中点，E为AD的中点，则OE=() 6.化简AB-AC+BC-BD-DA= A.te-totte B.a-20+立 1 解析AB-AC+B武-BD-DA=AB+B元+CA+ AD+DB=AC+CA+AD+DB=AB. c+b+ D.ta+zb+ie 答案AB 解析O求=Oi+A正=Oi+ 7.在正方体ABCD-A1B,CD1中，向量表达式AB-CD+ BC-DA的化简结果为 市=0成+号×2（店+ 解析AB-CD+BC-DA=(AB+BC)-(CD+ AC)-Oi+(O成-Oi+0元 DA)=AC-CA=2AC 答案24C )=耐+成+元= 8.如图，已知在四面体A-BCD中，AB=a-2c,CD=5a十 6b-8c,对角线AC,BD的中点分别为E,F,则EF= 0+b+c 1 (用向量a,b,c表示). 答案C 4.如图，在正方体ABCD-ABCD中，点M,N分别是面 对角线AB与BD1的中点.若DA=a,DC=-b,DD,= c,则M=( D 解析设G为BC的中点，连接EG, FG. 则萨-成+示-店+市 1 =2(a-2c)+z(5a+6b-8c) A.(c+b-a) 且a+b-e) =3a+3b-5c. Ca-e) 答案3a+3b-5c D.z(c-a) 9.已知A是△BCD所在平面外一点，M,N分别是△ABC 解析M=MA+A,D,+DN, 和△ACD的重心，若BD=4,试求MN的长. AB=AB-AA=DC-DDi=b-c, 解如图，连接AM并延长与BC相交 于点E,连接AN并延长与CD相交于 M=-2Ai=-2b-e. 点F,则E,F分别是BC和CD的中点， :AD=-Di=-a,D=号Di+D心)= 连接EF 由M=-M=号萨- 2a+b. 证-号（萨-）-号成--应)= m=--c)-a+a+b)=- 2a+ (2市-2)=ò-)=ò.得11= e-(e-a), 5
第一章 空间向量与立体几何 A.a+b+ 1 2 c B.- 1 2 a- 1 2 b+c C.- 1 2 a- 1 2 b-c D. 1 2 a+ 1 2 b+c 解析 ∵四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是平行四边 形,M 是AC 与BD 的交点, ∴C1 →M=C1 →C+C→M=A1 →A- 1 2 (A→B+A→D)=-c- 1 2 (a+b)=- 1 2 a- 1 2 b-c. 答案 C 3.在四面体O-ABC 中,O→A=a,O→B=b,O→C=c,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则O→E=( ) A. 1 2 a- 1 4 b+ 1 4 c B.a- 1 2 b+ 1 2 c C. 1 2 a+ 1 4 b+ 1 4 c D. 1 4 a+ 1 2 b+ 1 4 c 解析 O→E =O→A +A→E =O→A + 1 2 A→D =O→A + 1 2 × 1 2 (A→B + A→C)=O→A+ 1 4 (O→B-O→A+O→CO→A)= 1 2 O→A+ 1 4 O→B+ 1 4 O→C= 1 2 a+ 1 4 b+ 1 4 c. 答案 C 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点M,N 分别是面 对角线A1B 与B1D1 的中点.若D→A=a,D→C=b,DD1 →= c,则M→N=( ) A. 1 2 (c+b-a) B. 1 2 (a+b-c) C. 1 2 (a-c) D. 1 2 (c-a) 解析 ∵M→N=MA1 →+A1D1 →+D1 →N, A1 →B=A→B-AA1 →=D→C-DD1 →=b-c, ∴MA1 →=- 1 2 A1 →B=- 1 2 (b-c). ∵A1D1 →= -D→A = -a,D1 →N = 1 2 (D→A +D→C)= 1 2 (a+b), ∴M→N=- 1 2 (b-c)-a+ 1 2 (a+b)=- 1 2 a+ 1 2 c= 1 2 (c-a). 答案 D 5.(多选题)下列命题是假命题的是( ) A.方向相反的两个向量是相反向量 B.若向量a,b满足|a|>|b|,且a,b同向,则a>b C.不相等的两个空间向量的模必不相等 D.对于任何向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b| 解析 对于 A:长度相等,且方向相反的两个向量是相反 向量,故 A是假命题;对于B:向量是不能比较大小的,故 B是假命题;对于 C:不相等的两个空间向量的模也可以 相等,故C是假命题;D是真命题. 答案 ABC 6.化简A→B-A→C+B→C-B→D-D→A= . 解析 A→B-A→C+B→C-B→D -D→A=A→B+B→C+C→A+ A→D+D→B=A→C+C→A+A→D+D→B=A→B. 答案 A→B 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,向量表达式A→B-C→D+ B→C-D→A 的化简结果为 . 解析 A→B-C→D +B→C -D→A = (A→B +B→C)- (C→D + D→A)=A→C-C→A=2A→C. 答案 2A→C 8.如图,已知在四面体A-BCD 中,A→B=a-2c,C→D=5a+ 6b-8c,对角线 AC,BD 的中点分别为E,F,则 E→F= (用向量a,b,c表示). 解析 设G 为BC 的中点,连接 EG, FG, 则E→F=E→G+G→F= 1 2 A→B+ 1 2 C→D = 1 2 (a-2c)+ 1 2 (5a+6b-8c) =3a+3b-5c. 答案 3a+3b-5c 9.已知A 是△BCD 所在平面外一点,M,N 分别是△ABC 和△ACD 的重心,若BD=4,试求MN 的长. 解 如图,连接AM 并延长与BC 相交 于点E,连接AN 并延长与CD 相交于 点F,则E,F 分别是BC 和CD 的中点, 连接EF. 由 M→N =A→N -A→M = 2 3 A→F - 2 3 A→E= 2 3 (A→F -A→E)= 2 3 E→F = 2 3 (C→F-C→E)= 2 3 1 2 C→D- 1 2 C→B = 1 3 (C→D-C→B)= 1 3 B→D,得|M→N|= 5