第六章计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 素养 目标定位 目标素养 知识概览 分类与分 1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理的含义，理 分类加法 两个 步的辨析 解两个计数原理的区别与联系. 计数原理 计数 2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特 计数原理 原理 步中分类 征，选择“分类”或“分步” 的综 分步乘法 合应 3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题 计数原理 用 类中分步 课前·基础认知 1.分类加法计数原理 2.分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方 不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成 法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 这件事共有N=m十n种不同的方法。 mXn种不同的方法. 微思考如何理解分类加法计数原理中的“完成一 微思考2(1)如何理解分步乘法计数原理中的“完 件事有两类不同方案”？ 成一件事需要两个步骤”？ 提示分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不 提示分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步 同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即 骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步 任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没 骤，首先在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两 有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一 个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步 类中. 骤都要做完才能完成这件事， 微训练从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三 (2)如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？ 种交通工具，如果一天内汽车有3个班次，火车有4个班次， 提示若完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任 轮船有2个班次，那么一天内乘坐这三种交通工具从A地 何一种方法都能完成任务，则是分类；若从其中一种情况中 到B地，不同的方法种数为( 任取一种方法只能完成任务的一部分，且只有依次完成各种 A1+1+1=3 B.3+4+2=9 情况，才能完成这件事，则是分步， C.3×4×2=24 D.以上都不对 微训练2已知x∈{2,3,7}，y∈{-3，-4,8}，则 答案B xy可表示不同的值的个数为() 解析分三类：第一类，乘汽车，从3个班次中选1个班 A.10 B.6 C.8 D.9 次有3种方法：第二类，乘火车，从4个班次中选1个班次有 答案D 4种方法：第三类，乘轮船，从2个班次中选1个班次有2种 解析因为x从集合{2,3,7}中任取一个值，共有3个 方法，根据分类加法计数原理，共有3十4十2=9种不同的 不同的值，y从集合{一3，一4,8}中任取一个值，共有3个不 方法」 同的值，所以xy可表示3X3=9个不同的值. 课堂 重难突破 分类加法计数原理 有多少个？ 解方法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分 典例剖析 成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个 6个、5个、4个、3个、2个、1个.根据分类加法计数原理，满足 1.所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共 条件的两位数的个数共有8十7+6+5十4+3+2+1=36
第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理的含义,理 解两个计数原理的区别与联系. 2.正确理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特 征,选择“分类”或“分步”. 3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题. 课前·基础认知 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种 不同的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法,那么完成 这件事共有N= m+n 种不同的方法. 微思考 1 如何理解分类加法计数原理中的“完成一 件事有两类不同方案”? 提示 分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不 同方案”,是指完成这件事的所有方法可以分为两类,即 任何一类中的任何一种方法都可以完成任务,两类中没 有相同的方法,且完成这件事的任何一种方法都在某一 类中. 微训练 1 从 A 地到 B地,可乘汽车、火车、轮船三 种交通工具,如果一天内汽车有3个班次,火车有4个班次, 轮船有2个班次,那么一天内乘坐这三种交通工具从 A 地 到B地,不同的方法种数为( ) A.1+1+1=3 B.3+4+2=9 C.3×4×2=24 D.以上都不对 答案 B 解析 分三类:第一类,乘汽车,从3个班次中选1个班 次有3种方法;第二类,乘火车,从4个班次中选1个班次有 4种方法;第三类,乘轮船,从2个班次中选1个班次有2种 方法.根据分类加法计数原理,共有3+4+2=9种不同的 方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同的方 法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m×n 种不同的方法. 微思考 2 (1)如何理解分步乘法计数原理中的“完 成一件事需要两个步骤”? 提示 分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步 骤”,是指完成这件事的任何一种方法,都需要分成两个步 骤.首先在每一个步骤中任取一种方法,然后相继完成这两 个步骤就能完成这件事,即各个步骤是相互依存的,每个步 骤都要做完才能完成这件事. (2)如何区分一个问题是“分类”还是“分步”? 提示 若完成这件事,可以分几种情况,每种情况中任 何一种方法都能完成任务,则是分类;若从其中一种情况中 任取一种方法只能完成任务的一部分,且只有依次完成各种 情况,才能完成这件事,则是分步. 微训练 2 已知x∈{2,3,7},y∈{-3,-4,8},则 xy可表示不同的值的个数为( ) A.10 B.6 C.8 D.9 答案 D 解析 因为x 从集合{2,3,7}中任取一个值,共有3个 不同的值,y从集合{-3,-4,8}中任取一个值,共有3个不 同的值,所以xy可表示3×3=9个不同的值. 课堂·重难突破 一 分类加法计数原理 典例剖析 1.所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共 有多少个? 解 方法一:按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分 成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、 6个、5个、4个、3个、2个、1个.根据分类加法计数原理,满足 条件的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36. 1
数学 选择性必修第三册 配人教A版 方法二：按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成 (1)请问可以画出多少条不同的抛物线？ 8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、 (2)若二次函数图象开口向下，则可以画出多少条抛 4个、5个、6个、7个、8个根据分类加法计数原理，满足条 物线？ 件的两位数的个数共有1十2十3十4十5十6十7十8=36. 解(1)分三步完成：第1步，选系数a(a不能为0)，有 规律总结」利用分类加法计数原理计数时的解题流程 5种选法： 第2步，选系数b,有5种选法： 分类 将完成这件事的方法分成若干类 第3步，选系数c,有4种选法 根据分步乘法计数原理，可以画出抛物线的条数为5X 5×4=100. 计数 求出每一类的方法数 (2)分三步完成：第1步，确定系数a有2种方法：第2 步，确定系数b有5种方法：第3步，确定系数c有4种方 、结论 将每一类的方法数相加得出结果 法.根据分步乘法计数原理，可以画出抛物线的条数为2X 5×4=40. 学以致用 规律总结」利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 1.某校高三年级(1)班、(2)班和(3)班的人数如下表 分步 将完成这件事的过程分成若干步 所示： 班级 男生人数女生人数总人数 计数 求出每一步中的方法数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 〔结论 将每一步中的方法数相乘得出结果 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不 同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 学以致用 1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 2.从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的三位 解(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，可以分为 数，则满足下列条件的数有多少个？ 三类： (1)三位数： 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的 (2)三位偶数 选法： 解(1)分三步完成： 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的 第1步，排个位，有4种方法： 选法： 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的 方法 选法 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种 根据分类加法计数原理，不同的选法种数为50十60十 方法 55=165. 根据分步乘法计数原理，满足要求的三位数共有4× (2)由题意可知共有三类方案： 3×2=24(个). 第1类，从高三(1)班男生中任选1名学生，有30种不 (2)分三步完成： 同的选法： 第1步，排个位，只能从2,4中选1个，有2种方法： 第2类，从高三(2)班男生中任选1名学生，有30种不 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种 同的选法： 方法： 第3类，从高三(3)班女生中任选1名学生，有20种不 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种 同的选法 方法， 根据分类加法计数原理，不同的选法种数为30十30十 根据分步乘法计数原理，满足要求的三位偶数共有2X 20=80. 3×2=12(个). 二分步乘法计数原理 三 两个计数原理的综合应用 典例剖析 典例剖析 2.从-2，-1,0,1,2,3这6个数字中任选3个不重复 3.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水 的数字分别作为二次函数y=ax2十bx十c的系数a,b,c 彩画。 的值. (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ 2
数 学 选择性必修 第三册 配人教 A版 方法二:按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成 8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、 4个、5个、6个、7个、8个.根据分类加法计数原理,满足条 件的两位数的个数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36. 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 学以致用 1.某校高三年级(1)班、(2)班和(3)班的人数如下表 所示: 班级 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席,有多少种不 同的选法? (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 解 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席,可以分为 三类: 第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的 选法; 第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的 选法; 第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的 选法. 根据分类加法计数原理,不同的选法种数为50+60+ 55=165. (2)由题意可知共有三类方案: 第1类,从高三(1)班男生中任选1名学生,有30种不 同的选法; 第2类,从高三(2)班男生中任选1名学生,有30种不 同的选法; 第3类,从高三(3)班女生中任选1名学生,有20种不 同的选法. 根据分类加法计数原理,不同的选法种数为30+30+ 20=80. 二 分步乘法计数原理 典例剖析 2.从-2,-1,0,1,2,3这6个数字中任选3个不重复 的数字分别作为二次函数y=ax2+bx+c 的系数a,b,c 的值. (1)请问可以画出多少条不同的抛物线? (2)若二次函数图象开口向下,则可以画出多少条抛 物线? 解 (1)分三步完成:第1步,选系数a(a 不能为0),有 5种选法; 第2步,选系数b,有5种选法; 第3步,选系数c,有4种选法. 根据分步乘法计数原理,可以画出抛物线的条数为5× 5×4=100. (2)分三步完成:第1步,确定系数a 有2种方法;第2 步,确定系数b有5种方法;第3步,确定系数c有4种方 法.根据分步乘法计数原理,可以画出抛物线的条数为2× 5×4=40. 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 学以致用 2.从1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数字的三位 数,则满足下列条件的数有多少个? (1)三位数; (2)三位偶数. 解 (1)分三步完成: 第1步,排个位,有4种方法; 第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种 方法; 第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种 方法. 根据分步乘法计数原理,满足要求的三位数共有4× 3×2=24(个). (2)分三步完成: 第1步,排个位,只能从2,4中选1个,有2种方法; 第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种 方法; 第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种 方法. 根据分步乘法计数原理,满足要求的三位偶数共有2× 3×2=12(个). 三 两个计数原理的综合应用 典例剖析 3.现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水 彩画. (1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法? 2
第六章 计数原理 (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有 3X2=6种选法： 几种不同的选法？ 第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比 (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几 赛，同时从2名既会下象棋又会下图棋的学生中选1名参加 种不同的选法？ 围棋比赛有3×2=6种选法； 解(1)分为三类：第1类，从国画中选，有5种不同的选 第3类，从2名只会下图棋的学生中选1名参加图棋比 法：第2类，从油画中选，有2种不同的选法：第3类，从水彩 赛，同时从2名既会下象棋又会下图棋的学生中选1名参加 画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有 象棋比赛有2×2=4种选法： 5十2+7=14种不同的选法， 第4类，2名既会下象棋又会下固棋的学生分别参加象 (2)国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法， 棋比赛和围棋比赛有2种选法 根据分步乘法计数原理，共有5×2X7=70种不同的选法. 根据分类加法计数原理，共有6+6十4十2=18种选法」 (3)分为三类：第1类是一幅选自国画，一幅选自油画， 有5×2=10种不同的选法： 四涂色与种植问题 第2类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7= 典例剖析 35种不同的选法： 第3类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7= 4.(1)若将3种作物全部种植在5块试验田中，如图所 14种不同的选法 示，每块试验田种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同 根据分类加法计数原理，共有10十35+14=59种不同 种作物，则不同的种植方法共有 种 的选法」 规律总结两个计数原理的联系与区别 答案(1)42 计数原理 解析分别用a,b,c代表3种作物，先安排第一块田，有 内容 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 3种方法，不妨设放入a,再安排第二块田，有2种方法，不妨 共同 两个计数原理都是计算完成某件事的方法种数，目 设放入b,第三块也有2种方法，可种作物a或c 点 的是都必须完成这件 ①若第三块田放c: 完成一件事，共有 a bc 区别 ”类方法，关键词是 完成一件事，共分n个步 “分类” 骤，关键词是“分步” 第四、五块田分别有2种方法，共有2X2=4种方法， ②若第三块田放a: 每类方法都能独立地 每一步得到的只是中间结 a b a 完成这件事，每一种 果，任何一步都不能独立 区别方法都是独立的且每 完成这件事，缺少任何一 第四块有2种方法，可种作物b或c, 二 次得到的是最后结 步也不能完成这件事，只 若第四块放c: 果，只需一种方法就 有各个步骤都完成了，才 可完成这件事 能完成这件事 第五块有2种方法； 各步之间是关联的、独立 若第四块放b: 区别 各类方法之间是互斥 的，“关联”确保不遗漏， 三 的、并列的、独立的 a b a b “独立”确保不重复 第五块只能种作物c,共1种方法. 故共有3×2×(2×2十2十1)=42种方法. 学以致用 (2)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小 方格内，如图所示，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色。 3.在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有 如果颜色可以重复使用，那么共有多少种不同的涂色方法？ 2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围 棋，现从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有 2 多少种不同的选法？ 34 解选参加象棋比赛的学生有两种方法：一种方法是从只 解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂 会下象棋的3人中选，另一种方法是从既会下象棋又会下国 上，有5种不同的涂法 棋的2人中选：选参加固棋比赛的学生也有两种选法：一种方 ①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3= 法是从只会下围棋的2人中选，另一种方法是从既会下象棋 12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步 又会下围棋的2人中选，互相搭配，可得四类不同的选法. 乘法计数原理可知，有5×12×3=180种不同的涂法. 第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比 ②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种不同 赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有！ 的涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种
第六章 计数原理 (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有 几种不同的选法? (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几 种不同的选法? 解 (1)分为三类:第1类,从国画中选,有5种不同的选 法;第2类,从油画中选,有2种不同的选法;第3类,从水彩 画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有 5+2+7=14种不同的选法. (2)国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法, 根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法. (3)分为三类:第1类是一幅选自国画,一幅选自油画, 有5×2=10种不同的选法; 第2类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7= 35种不同的选法; 第3类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7= 14种不同的选法. 根据分类加法计数原理,共有10+35+14=59种不同 的选法. 两个计数原理的联系与区别 内容 计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 共同 点 两个计数原理都是计算完成某件事的方法种数,目 的是都必须完成这件事 区别 一 完 成 一 件 事,共 有 n类方 法,关 键 词 是 “分类” 完成一件事,共分n 个步 骤,关键词是“分步” 区别 二 每类方法都能独立地 完成这件事,每一种 方法都是独立的且每 次得 到 的 是 最 后 结 果,只需一种方法就 可完成这件事 每一步得到的只是中间结 果,任何一步都不能独立 完成这件事,缺少任何一 步也不能完成这件事,只 有各个步骤都完成了,才 能完成这件事 区别 三 各类方法之间是互斥 的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立 的,“关联”确保不遗漏, “独立”确保不重复 学以致用 3.在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有 2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围 棋,现从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有 多少种不同的选法? 解 选参加象棋比赛的学生有两种方法:一种方法是从只 会下象棋的3人中选,另一种方法是从既会下象棋又会下围 棋的2人中选;选参加围棋比赛的学生也有两种选法:一种方 法是从只会下围棋的2人中选,另一种方法是从既会下象棋 又会下围棋的2人中选.互相搭配,可得四类不同的选法. 第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比 赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有 3×2=6种选法; 第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比 赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加 围棋比赛有3×2=6种选法; 第3类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比 赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加 象棋比赛有2×2=4种选法; 第4类,2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象 棋比赛和围棋比赛有2种选法. 根据分类加法计数原理,共有6+6+4+2=18种选法. 四 涂色与种植问题 典例剖析 4.(1)若将3种作物全部种植在5块试验田中,如图所 示,每块试验田种植一种作物,且相邻的试验田不能种植同 一种作物,则不同的种植方法共有 种. 答案 (1)42 解析 分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有 3种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有2种方法,不妨 设放入b,第三块也有2种方法,可种作物a或c. ①若第三块田放c: a b c 第四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4种方法. ②若第三块田放a: a b a 第四块有2种方法,可种作物b或c, 若第四块放c: a b a c 第五块有2种方法; 若第四块放b: a b a b 第五块只能种作物c,共1种方法. 故共有3×2×(2×2+2+1)=42种方法. (2)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小 方格内,如图所示,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色, 如果颜色可以重复使用,那么共有多少种不同的涂色方法? 解 第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂 上,有5种不同的涂法. ①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3= 12种不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步 乘法计数原理可知,有5×12×3=180种不同的涂法. ②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种不同 的涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种 3
数学 选择性必修第三册 配人教A版 不同的涂法，由分步乘法计数原理可知，有5×4×4=80种 不同的涂法 学以致用 由分类加法计数原理可得，共有180十80=260种不同 4.如图所示，将一个四棱锥的每一 的涂法 个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上 规律总结」解决涂色（种植）问题的一般思路 的两个顶点颜色不同，若只有5种颜色 可供使用，则不同染色方法的总数为 (1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有 几种常用方法： 答案420 ①按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法 计数原理分析」 解析按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照 ②以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等 A,C是否同色分为两类： 问题，用分类加法计数原理分析. 第一类，A,C同色，有5×4×3×1×3=180种不同的 ③将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题， 染色方法： (2)种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计 第二类，A,C不同色，有5×4×3×2×2=240种不同 数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加 的染色方法 法计数原理计数 根据分类加法计数原理，共有180十240=420种不同的 染色方法」 随堂训练 1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名！ 两名新队员、一名老队员，有2X3=6种选法.依据分类加 同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明， 法计数原理，共有6十3=9种不同选法 现从这8名同学中任选1名同学证明这一数学问题，不同 5.如图，用4种不同的颜色给图中的矩形A,B, B 的选法种数为() C,D涂色，要求相邻的矩形颜色不同，则不同 A.8 B.15 C.18 D.30 的涂法有】 种 答案A D 答案108 解析依据分类加法计数原理，共有5十3=8种不同的 解析分四步完成：第一步，涂A,有4种涂法：第二步，涂 选法 B,有3种涂法；第三步，涂C,有3种涂法；第四步，涂D 2.已知集合A={1,2},B={3,4,5},从集合A,B中各取一 有3种涂法.依据分步乘法计数原理，共有4×3X3X3= 个元素分别作为平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则 108种涂法 可确定的不同点的个数为( 6.现有高一学生50名，高二学生42名，高三学生30名，参 A.5 B.6 C.10 D.12 加夏令营. 答案B (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ 解析完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一 (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ 个元素作为点的横坐标，有2种不同的方法：第二步，从集 (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自 合B中任选一个元素作为点的纵坐标，有3种不同的方 不同的年级，则有多少种选法？ 法.依据分步乘法计数原理，共有2×3=6种不同的方法， 解(1)分三类：第1类，从高一学生中选1人作总负贡人 即可确定的不同点的个数为6 有50种选法：第2类，从高二学生中远1人作总负责人有 3.用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数 42种选法：第3类，从高三学生中选1人作总负责人有 的个数为( 30种选法，依据分类加法计数原理，共有50+42+30= A.243 B.252 C.261 D.648 122种选法. 答案B (2)分三步完成：第一步，从高一学生中选1名负黄人 解析0,1,2，…，9共能组成9×10×10=900个三位数， 有50种选法：第二步，从高二学生中选1名负责人有42种 其中无重复数字的三位数有9×9×8=648（个），因此有 选法：第三步，从高三学生中选1名负贡人有30种选法.依 重复数字的三位数有900-648=252（个）. 据分步乘法计数原理，共有50×42×30=63000种选法， 4.有5名乒乓球队员，其中2名是老队员，其他3名是新队 (3)分三类：第1类，从高一年级和高二年级各选1人 员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员 作为中心发言人，有50×42=2100种选法；第2类，从高 中至少有一名老队员的选法有 种.（用数字作答） 二年级和高三年级各选1人作为中心发言人，有42× 答案9 30=1260种选法；第3类，从高一年级和高三年级各选 解析分为两类：第一类，入选的3名队员，有两名老队 1人作为中心发言人，有50×30=1500种选法.依据分类 员、一名新队员，有3种选法：第二类，入选的3名队员，有 加法计数原理，共有2100十1260十1500=4860种选法
数 学 选择性必修 第三册 配人教 A版 不同的涂法,由分步乘法计数原理可知,有5×4×4=80种 不同的涂法. 由分类加法计数原理可得,共有180+80=260种不同 的涂法. 解决涂色(种植)问题的一般思路 (1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有 几种常用方法: ①按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法 计数原理分析. ②以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等 问题,用分类加法计数原理分析. ③将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题. (2)种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计 数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加 法计数原理计数. 学以致用 4.如图所示,将一个四棱锥的每一 个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上 的两个顶点颜色不同,若只有5种颜色 可供使用,则不同染色方法的总数为 . 答案 420 解析 按照S→A→B→C→D 的顺序进行染色,按照 A,C 是否同色分为两类: 第一类,A,C 同色,有5×4×3×1×3=180种不同的 染色方法; 第二类,A,C 不同色,有5×4×3×2×2=240种不同 的染色方法. 根据分类加法计数原理,共有180+240=420种不同的 染色方法. 随堂训练 1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5名 同学只会用综合法证明,有3名同学只会用分析法证明, 现从这8名同学中任选1名同学证明这一数学问题,不同 的选法种数为( ) A.8 B.15 C.18 D.30 答案 A 解析 依据分类加法计数原理,共有5+3=8种不同的 选法. 2.已知集合A={1,2},B={3,4,5},从集合A,B 中各取一 个元素分别作为平面直角坐标系中的点的横、纵坐标,则 可确定的不同点的个数为( ) A.5 B.6 C.10 D.12 答案 B 解析 完成这件事可分两步:第一步,从集合A 中任选一 个元素作为点的横坐标,有2种不同的方法;第二步,从集 合B 中任选一个元素作为点的纵坐标,有3种不同的方 法.依据分步乘法计数原理,共有2×3=6种不同的方法, 即可确定的不同点的个数为6. 3.用0,1,…,9这10个数字,可以组成有重复数字的三位数 的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.648 答案 B 解析 0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900个三位数, 其中无重复数字的三位数有9×9×8=648(个),因此有 重复数字的三位数有900-648=252(个). 4.有5名乒乓球队员,其中2名是老队员,其他3名是新队 员.现从中选出3名队员参加团体比赛,则入选的3名队员 中至少有一名老队员的选法有 种.(用数字作答) 答案 9 解析 分为两类:第一类,入选的3名队员,有两名老队 员、一名新队员,有3种选法;第二类,入选的3名队员,有 两名新队员、一名老队员,有2×3=6种选法.依据分类加 法计数原理,共有6+3=9种不同选法. 5.如图,用4种不同的颜色给图中的矩形A,B, C,D 涂色,要求相邻的矩形颜色不同,则不同 的涂法有 种. 答案 108 解析 分四步完成:第一步,涂A,有4种涂法;第二步,涂 B,有3种涂法;第三步,涂C,有3种涂法;第四步,涂D, 有3种涂法.依据分步乘法计数原理,共有4×3×3×3= 108种涂法. 6.现有高一学生50名,高二学生42名,高三学生30名,参 加夏令营. (1)若从中选1人作为总负责人,共有多少种不同的选法? (2)若每年级各选1名负责人,共有多少种不同的选法? (3)若从中推选两人作为中心发言人,要求这两人要来自 不同的年级,则有多少种选法? 解 (1)分三类:第1类,从高一学生中选1人作总负责人 有50种选法;第2类,从高二学生中选1人作总负责人有 42种选法;第3类,从高三学生中选1人作总负责人有 30种选法.依据分类加法计数原理,共有50+42+30= 122种选法. (2)分三步完成:第一步,从高一学生中选1名负责人 有50种选法;第二步,从高二学生中选1名负责人有42种 选法;第三步,从高三学生中选1名负责人有30种选法.依 据分步乘法计数原理,共有50×42×30=63000种选法. (3)分三类:第1类,从高一年级和高二年级各选1人 作为中心发言人,有50×42=2100种选法;第2类,从高 二年级和高三年级各选1人作为中心发言人,有42× 30=1260种选法;第3类,从高一年级和高三年级各选 1人作为中心发言人,有50×30=1500种选法.依据分类 加法计数原理,共有2100+1260+1500=4860种选法. 4
第六章 计数原理 课后·训练提升 基础·巩固 或9，有4十4=8种，故方程(x-a)2十(y-b)2=r2可表 示不同的圆的个数共有4十4十4十4十4十4=24. 1.已知书架的第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不 5.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同 同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取 学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是() 1本书.不同的取法共有() A.56 A.120种 B.16种 B.65 C.64种 D.39种 C5X6X5×4X3×2 答案B 9 D.6×5×4×3×2 解析书架上有3十5十8=16本书，从中任取1本书，依 答案A 据分类加法计数原理，共有16种不同的取法 解析由题意可知每名同学都有5种选择，共有5X5X 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条 5×5×5×5=58种选择， 长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( 6.某人的电话号码为139××××××××，若前七位已定 A.7 B.12 C.64 D.81 好，最后四位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码 答案B 一共有( 解析要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件上衣 A.8个 B.16个 中任选一件，有4种不同的选法：第二步，选长裤，从3条 C.20个 D.32个 长裤中任选一条，有3种不同的选法.依据分步乘法计数 答案B 原理，共有4×3=12种不同的配法」 解析采用分步乘法计数原理，最后四位数字由6或8组 3.若x,y∈N‘,且x十y≤5，则有序自然数对(x,y)的个数 成，可分四步完成，每一步有两种方法，共有2X2X2× 为() 2=2=16个. A.6 B.8 C.9 D.10 7.从颜色分别为黄、白、红、橙的4盆菊花和颜色分别为紫、 答案D 粉红、白的3盆山茶花中任取3盆，其中至少有菊花、山茶 解析分四类，第1类，当x=1时，y=1,2,3,4,共构成 花各1盆，则不同的选法种数为( 4个有序自然数对： A.12 B.18 C.24 D.30 第2类，当x=2时，y=1,2,3,共构成3个有序自然 答案D 数对： 解析选出符合要求的3盆花可分为两类：第1类，先从 第3类，当x=3时，y=1,2,共构成2个有序自然 4盆菊花中选1盆，再从3盆山茶花中选2盆，有4×3= 数对； 12种选法：第2类，先从4盆菊花中选2盆，再从3盆山茶 第4类，当x=4时，y=1,共构成1个有序自然 花中选1盆，有6×3=18种选法.根据分类加法计数原 理，不同的选法种数为12十18=30. 数对. 根据分类加法计数原理，共有N=4十3十2十1= 8.某班元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单，但在 10个有序自然数对. 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节 目单中，那么不同方法的种数为 4.(多选题)已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则 方程(x一a)2十(y一b)2=r2可表示不同的圆的个数用式 答案110 子表示为() 解析分两步完成：第一步，先将其中一个节目插入原节 A.4十4+4十4+4十4 目单的9个节目形成的10个空中，有10种方法：第二步。 B.4+4+4+4 再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中，有 C.3×4 11种方法.依据分步乘法计数原理，共有10×11=110种 不同的方法 D.3×4×2 9.如图1，若在这个电路中，只合上一个开关可以接通电路， 答案AD 有 种不同的方法：如图2，若在这个电路中，合 解析（方法一）完成表示不同的圆这件事有三步：第1步， 上两个开关可以接通电路，有 种不同的方法。 确定a有3种不同的选取方法；第2步，确定b有4种不同 的选取方法；第3步，确定r有2种不同的选取方法， 由分步乘法计数原理，方程(x-a)2十(y一b)2=r2 可表示不同的圆的个数共有3×4X2=24, (方法二)由分类加法计数原理得，当a=1时，b=4, 5,6,7,r=8或9，有4十4=8种：当a=2时，b=4,5,6,7, 图 图2 r=8或9，有4十4=8种；当a=3时，b=4,5,6,7,r=8
第六章 计数原理 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知书架的第1层有3本不同的数学书,第2层有5本不 同的语文书,第3层有8本不同的英语书,现从中任取 1本书,不同的取法共有( ) A.120种 B.16种 C.64种 D.39种 答案 B 解析 书架上有3+5+8=16本书,从中任取1本书,依 据分类加法计数原理,共有16种不同的取法. 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,若一条 长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( ) A.7 B.12 C.64 D.81 答案 B 解析 要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从4件上衣 中任选一件,有4种不同的选法;第二步,选长裤,从3条 长裤中任选一条,有3种不同的选法.依据分步乘法计数 原理,共有4×3=12种不同的配法. 3.若x,y∈N* ,且x+y≤5,则有序自然数对(x,y)的个数 为( ) A.6 B.8 C.9 D.10 答案 D 解析 分四类,第1类,当x=1时,y=1,2,3,4,共构成 4个有序自然数对; 第2类,当x=2时,y=1,2,3,共构成3个有序自然 数对; 第3类,当x=3时,y=1,2,共构成2个有序自然 数对; 第4类,当x=4时,y=1,共构成 1个有序自然 数对. 根据分类加法计数原理,共有 N =4+3+2+1= 10个有序自然数对. 4.(多选题)已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则 方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不同的圆的个数用式 子表示为( ) A.4+4+4+4+4+4 B.4+4+4+4 C.3×4 D.3×4×2 答案 AD 解析 (方法一)完成表示不同的圆这件事有三步:第1步, 确定a有3种不同的选取方法;第2步,确定b有4种不同 的选取方法;第3步,确定r有2种不同的选取方法. 由分步乘法计数原理,方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不同的圆的个数共有3×4×2=24. (方法二)由分类加法计数原理得,当a=1时,b=4, 5,6,7,r=8或9,有4+4=8种;当a=2时,b=4,5,6,7, r=8或9,有4+4=8种;当a=3时,b=4,5,6,7,r=8 或9,有4+4=8种,故方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表 示不同的圆的个数共有4+4+4+4+4+4=24. 5.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同 学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( ) A.56 B.65 C. 5×6×5×4×3×2 2 D.6×5×4×3×2 答案 A 解析 由题意可知每名同学都有5种选择,共有5×5× 5×5×5×5=56 种选择. 6.某人的电话号码为139××××××××,若前七位已定 好,最后四位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码 一共有( ) A.8个 B.16个 C.20个 D.32个 答案 B 解析 采用分步乘法计数原理,最后四位数字由6或8组 成,可分四步完成,每一步有两种方法,共有2×2×2× 2=24=16个. 7.从颜色分别为黄、白、红、橙的4盆菊花和颜色分别为紫、 粉红、白的3盆山茶花中任取3盆,其中至少有菊花、山茶 花各1盆,则不同的选法种数为( ) A.12 B.18 C.24 D.30 答案 D 解析 选出符合要求的3盆花可分为两类:第1类,先从 4盆菊花中选1盆,再从3盆山茶花中选2盆,有4×3= 12种选法;第2类,先从4盆菊花中选2盆,再从3盆山茶 花中选1盆,有6×3=18种选法.根据分类加法计数原 理,不同的选法种数为12+18=30. 8.某班元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单,但在 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节 目单中,那么不同方法的种数为 . 答案 110 解析 分两步完成:第一步,先将其中一个节目插入原节 目单的9个节目形成的10个空中,有10种方法;第二步, 再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中,有 11种方法.依据分步乘法计数原理,共有10×11=110种 不同的方法. 9.如图1,若在这个电路中,只合上一个开关可以接通电路, 有 种不同的方法;如图2,若在这个电路中,合 上两个开关可以接通电路,有 种不同的方法. 图1 图2 5