数学 必修第二册 配人教A版 提示两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线 4.向量数量积的性质 性运算的结果是一个向量， 设a,b是非零向量，它们的夹角是0，e是与b方向相同 3.投影向量 的单位向量，则： 设a,b是两个非零向量，AB=a, (1)a·e=e·a=lacos0. C=b,过AB的起点A和终点B,分别作 a (2)a⊥b台a·b=0. CD所在直线的垂线，垂足分别为A1,B1, A (3)当a与b同向时，a·b=albL: 得到A1B1,我们称这种变换为向量a向向 当a与b反向时，a·b=-albL 量b投影，A1B,叫做向量a在向量b上 特别地，a·a=a或|a=-√a·a CA 的投影向量： (4)la·bl≤lallbl. 课堂·重难突破 向量的夹角问题 规律总结」 对于解决投影问题要严格运用向量数量积 典例剖析 的几何意义来求解。 1.已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°，则a十b 三 求向量的数量积 与a的夹角是多少？a一b与a的夹角又是多少？ 解如图所示，作OA=a,OB=b,且 典例剖析 ∠AOB=60°. 3.已知等边三角形ABC的边长为1，求： 以OA,OB为邻边作平行四边形 (1)AB.AC; OACB,则C=a十b,BA=a-b. (2)AB·BC: 因为|a|=|b|=2,所以平行四边形OACB是菱形，又 (3)BC.AC ∠AOB=60°，所以0C与OA的夹角为30°，BA与OA的夹 解(1)AB与AC的夹角为60°， 角为60°.即a十b与a的夹角是30°，a-b与a的夹角是60°， l6os 60'=1X1x 二数量积的定义及儿何意义 (2)AB与B元的夹角为120° 典例剖析 店.武=11ms120°=1X1x(-）=-号 2已知la1=号b1= ，a与b的夹角0=120 (3)BC与AC的夹角为60°， (1)求a·b: 成.花=成1es60=1X1x分-2 (2)求a在b上的投影向量. 规律总结 解（1Da·b=0=号×号×am120= 2 3 求平面向量数量积的步骤 (1)求出向量a与b的夹角0,0∈[0，π]： (2)设e为与b同方向的单位向量，则a在b上的投影 (2)分别求出a和bl. 3 (3)求数量积，即a·b=|a|bcos0,要特别注意书 向量为acos 0e=a:b. 55 3 e=2 “e= 写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“X”连 接，也不能省略. 11 课后·训练提升 1.已知a,b为单位向量，a与b的夹角为60°，则a·b=( ). A c号 A司 C.1 答案C 答案A a·b21 解折a·b=1X1Xces60=之 解析由条件可知，cos0=1a1b-X4于2 又9∈[0，]，故0= 2.已知向量a,b满足|a=1,b|=4,且a·b=2,则a与b 3 的夹角0为(). 3.若lm=4,n=6,m与n的夹角0为45，则m·n=( A.12 B.122C.-122D.-12 16
数 学 必修 第二册 配人教 A版 提示 两个向量数量积的运算结果是一个数量,向量线 性运算的结果是一个向量. 3.投影向量 设a,b 是 两 个 非 零 向 量,A→B =a, C→D=b,过A→B 的起点A 和终点B,分别作 C→D 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1, 得到A1B1 →,我们称这种变换为向量a向向 量b 投影 ,A1B1 → 叫做向量a 在向量b 上 的 投影向量 . 4.向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同 的单位向量,则: (1)a·e=e·a=|a|cosθ. (2)a⊥b⇔ a·b =0. (3)当a与b同向时,a·b= |a||b| ; 当a与b反向时,a·b= -|a||b| . 特别地,a·a=|a|2 或|a|= a·a . (4)|a·b| ≤ |a||b|. 课堂·重难突破 一 向量的夹角问题 典例剖析 1.已知|a|=|b|=2,且a 与b 的夹角为60°,则a+b 与a的夹角是多少? a-b与a的夹角又是多少? 解 如图所示,作O→A=a,O→B=b,且 ∠AOB=60°. 以OA,OB 为邻 边 作 平 行 四 边 形 OACB,则O→C=a+b,B→A=a-b. 因为|a|=|b|=2,所以平行四边形OACB 是菱形,又 ∠AOB=60°,所以O→C 与O→A 的夹角为30°,B→A 与O→A 的夹 角为60°.即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°. 二 数量积的定义及几何意义 典例剖析 2.已知|a|= 3 5 ,|b|= 2 11 ,a与b的夹角θ=120°. (1)求a·b; (2)求a在b上的投影向量. 解 (1)a·b=|a||b|cosθ= 3 5 × 2 11 ×cos120°=- 3 55 . (2)设e为与b同方向的单位向量,则a 在b上的投影 向量为|a|cosθe= a·b |b| ·e= - 3 55 2 11 e=- 3 10 e. 对于解决投影问题要严格运用向量数量积 的几何意义来求解. 三 求向量的数量积 典例剖析 3.已知等边三角形ABC 的边长为1,求: (1)A→B·A→C; (2)A→B·B→C; (3)B→C·A→C. 解 (1)∵A→B 与A→C 的夹角为60°, ∴A→B·A→C=|A→B||A→C|cos60°=1×1× 1 2 = 1 2 . (2)∵A→B 与B→C 的夹角为120°, ∴A→B·B→C=|A→B||B→C|cos120°=1×1× - 1 2 =- 1 2 . (3)∵B→C 与A→C 的夹角为60°, ∴B→C·A→C=|B→C||A→C|cos60°=1×1× 1 2 = 1 2 . 求平面向量数量积的步骤 (1)求出向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π]. (2)分别求出|a|和|b|. (3)求数量积,即a·b=|a||b|cosθ,要特别注意书 写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连 接,也不能省略. 课后·训练提升 1.已知a,b为单位向量,a与b的夹角为60°,则a·b=( ). A. 1 2 B. 3 2 C.1 D.- 1 2 答案 A 解析 a·b=1×1×cos60°= 1 2 . 2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b 的夹角θ为( ). A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 答案 C 解析 由条件可知,cosθ= a·b |a||b| = 2 1×4 = 1 2 , 又θ∈[0,π],故θ= π 3 . 3.若|m|=4,|n|=6,m 与n的夹角θ为45°,则m·n=( ). A.12 B.122 C.-122 D.-12 16
第六章平面向量及其应用 答案B 8.在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，则向量AB与向 解析由已知条件得m·n=mcos0=4X6x 量BC的夹角为」 答案135° 122 9.已知a,b的夹角为0，la|=2,|b|=3,若a⊥b,则a·b= 4.已知|a=6,|b=3,a·b=一12，且e是与b方向相同的 单位向量，则向量α在向量b方向上的投影向量为( 答案0 A.-4e B.4e C.-2e D.2e 10.已知在△ABC中，AB=AC=4,AB·AC=8,则△ABC 答案A 的形状是」 解析根据投影向量的定义，设a,b的夹角为0，可得向量 答案等边三角形 a在向童b方向上的授影向量为lalcos e=a:b. 解析AB.AC=|AB1IAC1cos∠BAC, lb·e= 一4e.故选A 即8=4X4Xos∠BAC,于是os∠BAC=2 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=60° 5.已知la|=10,|b|=12,且(3a)· (b)=-36,则a与b 又AB=AC,故△ABC是等边三角形. 的夹角为( 11.已知a·b=一9，向量a在向量b上的投影向量为-3e1 A.60° B.120° C.135 D.150° (e1是与b方向相同的单位向量)，向量b在向量a上的 答案B 3 解析设a与b的夹角为0。 投影向量为一e2(e:是与a方向相同的单位向量)，求 a与b的夹角0. 由(3a)·(后b)=-36,得ab=-60, lalcos 0=-3, 即lallblcos0=-60,已知|a|=10,lb|=12,解得 解由题意可知 3 1blcos 0=- 2 cc0=-7又0≤0≤180，故夫角9为120 a·b =一3， -9 =-3. 6.已知平面上三点A,B,C,满足AB1=3.BC1=4,C1= b b (lal=6. 5,则AB.BC+BC.CA+CA·AB的值等于(. -=- 3 -9 3 bl=3. A.-7 B.7 C.25 D.-25 a·b 一91 答案D ms0=aia0x83-受又0eo0- 解析由条件知∠ABC=90°，所以原式=0十4X5X 12.如图，已知△ABC是等边三角形 cos(180°-C)+5X3Xcos(180°-A)=-20cosC- (1)求向量AB与向量BC的夹角； 15c0sA=-20X号-15×g=-16-9=-25 (2)若E为BC的中点，求向量A正与E心 5 的夹角 3 7.已知b=3,向量a在向量b方向上的投影向量为2e(其 解(1)：△ABC为等边三角形， 中e是与b方向相同的单位向量)，则a·b的值为(). ∠ABC=60. 如图，延长AB至点D,使AB= A.3 B号 C.2 D. BD,则AB=BD,∴.∠DBC为向量 答案B AB与向量BC的夹角. 解析设a与b的夹角为0. 又∠DBC=120°，.向量AB与D 向量BC的夹角为120°. ".lal cos 0e=- 7e,即1 ale0=3 2 (2)点E为BC的中点， ∴.AE⊥BC, ÷.ab=-lallb1cos0=3×2=2 39 A正与EC的夹角为90° 第2课时 向量数量积的应用 课前·基础认知 1.向量数量积的运算律 (3)(a+b)·c=a·c+b·c. (1)a·b=b·a. 微思悬考(a·b)c=a(b·c)成立吗？ (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(ab). 提示不一定.如当a=b=c时，有(a·b)c=a(b·c) 17
第六章 平面向量及其应用 答案 B 解析 由已知条件得m·n=|m||n|cosθ=4×6× 2 2 = 122. 4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,且e是与b方向相同的 单位向量,则向量a在向量b方向上的投影向量为( ). A.-4e B.4e C.-2e D.2e 答案 A 解析 根据投影向量的定义,设a,b的夹角为θ,可得向量 a在向量b方向上的投影向量为|a|cosθe= a·b |b| ·e= -4e.故选 A. 5.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)· 1 5 b =-36,则a与b 的夹角为( ). A.60° B.120° C.135° D.150° 答案 B 解析 设a与b的夹角为θ. 由(3a)· 1 5 b =-36,得a·b=-60, 即|a||b|cosθ=-60,已知|a|=10,|b|=12,解得 cosθ=- 1 2 ,又0°≤θ≤180°,故夹角θ为120°. 6.已知平面上三点A,B,C,满足|A→B|=3,|B→C|=4,|C→A|= 5,则A→B·B→C+B→C·C→A+C→A·A→B 的值等于( ). A.-7 B.7 C.25 D.-25 答案 D 解析 由条件知 ∠ABC=90°,所以原式 =0+4×5× cos(180°-C)+5×3×cos(180°-A)= -20cosC- 15cosA=-20× 4 5 -15× 3 5 =-16-9=-25. 7.已知|b|=3,向量a在向量b方向上的投影向量为 3 2 e(其 中e是与b方向相同的单位向量),则a·b的值为( ). A.3 B. 9 2 C.2 D. 1 2 答案 B 解析 设a与b的夹角为θ. ∵|a|cosθe= 3 2 e,即|a|cosθ= 3 2 , ∴a·b=|a||b|cosθ=3× 3 2 = 9 2 . 8.在等腰直角三角形ABC 中,∠A=90°,则向量A→B 与向 量B→C 的夹角为 . 答案 135° 9.已知a,b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,若a⊥b,则a·b= . 答案 0 10.已知在△ABC 中,AB=AC=4,A→B·A→C=8,则△ABC 的形状是 . 答案 等边三角形 解析 A→B·A→C=|A→B||A→C|cos∠BAC, 即8=4×4×cos∠BAC,于是cos∠BAC= 1 2 . 因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°. 又AB=AC,故△ABC 是等边三角形. 11.已知a·b=-9,向量a在向量b上的投影向量为-3e1 (e1 是与b方向相同的单位向量),向量b在向量a 上的 投影向量为- 3 2 e2(e2 是与a 方向相同的单位向量),求 a与b的夹角θ. 解 由题意可知 |a|cosθ=-3, |b|cosθ=- 3 2 , ∴ a·b |b| =-3, a·b |a| =- 3 2 , 即 -9 |b| =-3, -9 |a| =- 3 2 , ∴ |a|=6, |b|=3. ∴cosθ= a·b |a||b| = -9 6×3 =- 1 2 .又θ∈[0,π],∴θ= 2π 3 . A B E C 12.如图,已知△ABC 是等边三角形. (1)求向量A→B 与向量B→C 的夹角; (2)若E 为BC 的中点,求向量A→E 与E→C 的夹角. 解 (1)∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60°. A B C E D 如图,延长AB 至点D,使AB= BD,则A→B=B→D,∴∠DBC 为向量 A→B 与向量B→C 的夹角. 又∠DBC=120°,∴向量A→B 与 向量B→C 的夹角为120°. (2)∵点E 为BC 的中点, ∴AE⊥BC, ∴A→E 与E→C 的夹角为90°. 第2课时 向量数量积的应用 课前·基础认知 1.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 微思考 (a·b)c=a(b·c)成立吗? 提示 不一定.如当a=b=c时,有(a·b)c=a(b·c) 17
数学必修 第二册 配人教A版 成立，但当a,c不共线时，因为a·b,b·c是数量积，是实 续表 数，不是向量，所以(a·b)c与向量c共线，a(b·c)与向量 多项式乘法 向量数量积 a共线.因此，(a·b)c≠a(b·c). 2.向量数量积的运算性质 (a+b)(a-b)=a2-b (a十b)·(a-b)=a2-b2 多项式乘法 向量数量积 (a+b+c)2=a2+b2+c2+ (a+b+c)2=a2+b2+c2+ (a+b)2=a2+2ab+b (a+b)2=a2+2a·b+b 2ab+2bc+2ca 2a·b+2b·c+2c·a (a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2 课堂 重难突破 向量数量积的运算性质 规律总结」求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一殼转化为求模的平方，与向量数量积 典例剖析 联系，并灵活应用a2=a|2,勿忘记开方 1.设a,b,c是任意的非零向量，且相互之间不共线，给 (2)a·a=a2=|a|2或|a|=√a2,此性质可用来求 出下列结论： 向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 ①a·c-b·c=(a-b)·c:②(b·c)a-(c·a)b不 (3)一些常见的等式应熟记，如(a士b)2=a2士2a· 与c垂直：③la-|b|<la-bl:④(3a+2b)·(3a-2b)= b+b2,(a十b)·(a-b)=a2-b2等， 9la2-4lb12. 三 与向量垂直、夹角有关的问题 其中正确的是 (填序号) 答案①③④ 典例剖析 解析根据向量数量积的分配律知①中结论正确： 3.(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向 [(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)·(a·c)-(c· 量e,十ke,与ke1十e,的夹角为锐角，则k的取值范围为 a)·(b·c)=0, ∴，(b·c)a一(c·a)b与c垂直，故②中结论错误； 答案(0,1)U(1,十∞) .a,b不共线 解析，e1十ke2与ke1十e2的夹角为锐角，e1与e2是 lal,lbl,la-b组成三角形的三条边， 两个互相垂直的单位向量，∴.(e1十ke2)·(ke1十e2)=ke十 ∴la|-|b|<|a-b|成立，③中结论正确： ke+(k2+1)e1·e2=2k>0,k>0. ④中结论正确.故正确结论的序号是①③④. 当k=1时，e1十ke2=ke1十e2,它们的夹角为0°，不符合 题意，舍去，综上，k的取值范国为k>0且k≠1 二求向量的模 (2)已知非零向量a,b满足a十3b与7a-5b互相垂 直，a-4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角0. 典例剖析 2.(1)已知向量a,b的夹角为60°，|a|=2,1b|=1,则 备当2多件件侣0：阳- 7a2+16a·b-15b2=0. ① la+2b|=」 答案2 即7a2-30ab+8b2=0: ② ②-①得，23b2-46a·b=0. 解析1a十2b12=(a+2b)2=|a2+2·la|·|2b|· .2a·b=b2,代入①得a2=b2 cs60+(21b12=2+2x2×2X号+2=4+4+4=12. 262 故|a+2b|=√12=25. al=lb1is0=i流-部-宁 1 (2)已知向量a与b夹角为45°，且1|a|=1,|2a十b|= 9e[0小0=f √0，求bl 解因为|2a十b|=√10，所以(2a十b)2=10, 规律总结1.求向量a与b夹角的思路 (1)求向量夹角0的关键是计算a·b及|albl,然 即4a2+4a·b+b2=10. a·b 又向量a与b的夹角为45°，且|a|=1, 后利用cos0=a6求出cos8的值，最后借助0E[0, 所以4X1+4X1X1b1×号+1o=10 π]，求出0的值 (2)在个别含有|a|,Ib|与a·b的等量关系式中 整理得b2+221b1-6=0, 常利用消元法计算cos0的值. 2.利用夹角为锐角（或钝角）求参数的取值范围问题 解得|b=2或|b|=-32(舍去)，故|b的值为√2. 要注意排除两个向量共线的情况。 18
数 学 必修 第二册 配人教 A版 成立,但当a,c不共线时,因为a·b,b·c是数量积,是实 数,不是向量,所以(a·b)c与向量c共线,a(b·c)与向量 a共线.因此,(a·b)c≠a(b·c). 2.向量数量积的运算性质 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a+b)2=a 2+2a·b+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2a·b+b 2 续 表 多项式乘法 向量数量积 (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)·(a-b)=a 2-b 2 (a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+ 2a·b+2b·c+2c·a 课堂·重难突破 一 向量数量积的运算性质 典例剖析 1.设a,b,c是任意的非零向量,且相互之间不共线,给 出下列结论: ①a·c-b·c=(a-b)·c;②(b·c)a-(c·a)b 不 与c垂直;③|a|-|b|<|a-b|;④(3a+2b)·(3a-2b)= 9|a|2-4|b|2. 其中正确的是 (填序号). 答案 ①③④ 解析 根据向量数量积的分配律知①中结论正确; ∵[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)·(a·c)-(c· a)·(b·c)=0, ∴(b·c)a-(c·a)b与c垂直,故②中结论错误; ∵a,b不共线, ∴|a|,|b|,|a-b|组成三角形的三条边, ∴|a|-|b|<|a-b|成立,③中结论正确; ④中结论正确.故正确结论的序号是①③④. 二 求向量的模 典例剖析 2.(1)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则 |a+2b|= . 答案 23 解析 |a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+2·|a|·|2b|· cos60°+(2|b|)2=22+2×2×2× 1 2 +22=4+4+4=12, 故|a+2b|= 12=23. (2)已知向量a与b夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|= 10,求|b|. 解 因为|2a+b|= 10,所以(2a+b)2=10, 即4a2+4a·b+b2=10. 又向量a与b的夹角为45°,且|a|=1, 所以4×12+4×1×|b|× 2 2 +|b|2=10, 整理得|b|2+22|b|-6=0, 解得|b|= 2或|b|=-32(舍去),故|b|的值为 2. 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积 联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2 或|a|= a2 ,此性质可用来求 向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. (3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a· b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2 等. 三 与向量垂直、夹角有关的问题 典例剖析 3.(1)已知e1 与e2 是两个互相垂直的单位向量,若向 量e1+ke2 与ke1+e2 的夹角为锐角,则k 的取值范围为 . 答案 (0,1)∪(1,+∞) 解析 ∵e1+ke2 与ke1+e2 的夹角为锐角,e1 与e2 是 两个互相垂直的单位向量,∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=ke 2 1+ ke 2 2+(k2+1)e1·e2=2k>0,∴k>0. 当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0°,不符合 题意,舍去.综上,k的取值范围为k>0且k≠1. (2)已知非零向量a,b 满足a+3b 与7a-5b 互相垂 直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角θ. 解 由已知条件得 (a+3b)·(7a-5b)=0, (a-4b)·(7a-2b)=0, 即 7a2+16a·b-15b2=0, ① 7a2-30a·b+8b2=0, ② ②-①得,23b2-46a·b=0, ∴2a·b=b2,代入①得a2=b2, ∴|a|=|b|,∴cosθ= a·b |a||b| = 1 2 b2 |b|2= 1 2 . ∵θ∈[0,π],∴θ= π 3 . 1.求向量a与b夹角的思路 (1)求向量夹角θ的关键是计算a·b 及|a||b|,然 后利用cosθ= a·b |a||b| 求出cosθ的值,最后借助θ∈[0, π],求出θ的值. (2)在个别含有|a|,|b|与a·b 的等量关系式中, 常利用消元法计算cosθ的值. 2.利用夹角为锐角(或钝角)求参数的取值范围问题 要注意排除两个向量共线的情况. 18
第六章平面向量及其应用 课后·训练提升 基础·巩固 案号 1.已知向量a,b和实数λ，下列选项错误的是( 解析，a⊥b,∴a·b=0, A.lal=√a…a (a+2b)·(a-2b)=a2-4h2, B.la·b|>-lallbl |a+2b|=√a2+4a·b+4b2=√a2+4b2, C.λ(a·b)=λa·b la-2b|=√a2-4a·b+4b2=√a2+4b2, D.la·b|≤lalbl 答案B ∴a2-4b2=Va2+4b×√a2+4 Xcos120°， 2.已知a⊥b,la|=2,lb|=3,且3a十2b与λa-b垂直，则 化简得号a2-2=0, 实数入等于(). 治9 c±号 D.1 7.已知非零向量a,b满足1a=1.且(a-b).(a+b)=子 答案A (1)求|b: 解析由题意知(3a十2b)·(aa-b)=3Aa2+(2入-3)a· (2)当a·b=-时，求向量a与a+2b的夹角0的值. b-2b2-3xa2-2b2=12以-18=0，解得入=2 3 解(1)因为(a-b)·(a+b)= 4 3.已知向量a,b满足|a|=5,1b|=2,a·b=-3,则 la+2bl=(). 即1a1:-1br=子，又al=1 A.1 B.7 所以161=a-子=1-子= C.4+5 D.27 答案B 故161=号 解析根据题意，得引a十2b|=√a+4a·b十4b2=√7. (2)由题意可知la十2b2=|a2+4a·b+12b|2= 故选B. 1-1+1=1. 4.若向量a与b的夹角为60°，1b|=4,(a+2b)·(a- 故|a+2b|=1. 3b)=-72,则1a|=(). 又周为a.(a+2b)=la1+2ab=1-方-2 A.2 B.4 C.6 a·(a+2b)1 D.12 所以cos0=a·1a+2h=2 答案C 解析：(a十2b)·(a-3b)=|a12-|a|b|cos60°- 又9e[0,故0=号 6lb|2=|al2-2la|-96, 拓展·提高 又(a+2b)·(a-3b)=-72. ∴.lal2-2la|-96=-72, 解得|al=6或lal=-4(舍去)， 1若非零向量a,b满足1a=216,且(a-b)1 3 ∴lal=6. (3a十2b),则a与b的夹角为(). .1 5.已知单位向量e1,e:的夹角为a,且cosa=3,若向量a一 B 3e1-2e2,则la= 答案3 c晋 D.π 解析，|a12=(3e1-2ez)·(3e1-2e2)=9ei- 答案A 解析设a与b的夹角为0， 12e,~e:+ie3=9-12X1X1×号+4=9， 因为(a-b)⊥(3a十2b), ∴.lal=3. 所以(a-b)·(3a+2b)=0, 6.已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a十2b与a一2b的夹角 p3la 12-lallblcos 0-21b12=0, 为120，则 再la1-2号1b1,得号1bP-2号1bPm0- 19
第六章 平面向量及其应用 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知向量a,b和实数λ,下列选项错误的是( ). A.|a|= a·a B.|a·b|>|a||b| C.λ(a·b)=λa·b D.|a·b|≤|a||b| 答案 B 2.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则 实数λ等于( ). A. 3 2 B.- 3 2 C.± 3 2 D.1 答案 A 解析 由题意知(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a· b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0,解得λ= 3 2 . 3.已知向量a,b 满足|a|= 3,|b|=2,a·b=-3,则 |a+2b|=( ). A.1 B.7 C.4+ 3 D.27 答案 B 解析 根据题意,得|a+2b|= a2+4a·b+4b2 = 7. 故选B. 4.若向量a 与b 的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a- 3b)=-72,则|a|=( ). A.2 B.4 C.6 D.12 答案 C 解析 ∵(a+2b)·(a-3b)=|a|2-|a||b|cos60°- 6|b|2=|a|2-2|a|-96, 又(a+2b)·(a-3b)=-72, ∴|a|2-2|a|-96=-72, 解得|a|=6或|a|=-4(舍去), ∴|a|=6. 5.已知单位向量e1,e2 的夹角为α,且cosα= 1 3 ,若向量a= 3e1-2e2,则|a|= . 答案 3 解析 ∵|a|2 = (3e1 -2e2)· (3e1 -2e2)=9e2 1 - 12e1·e2+4e2 2=9-12×1×1× 1 3 +4=9, ∴|a|=3. 6.已知非零向量a,b,满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角 为120°,则 |a| |b| = . 答案 23 3 解析 ∵a⊥b,∴a·b=0, (a+2b)·(a-2b)=a2-4b2, |a+2b|= a2+4a·b+4b2 = a2+4b2 , |a-2b|= a2-4a·b+4b2 = a2+4b2 , ∴a2-4b2= a2+4b2 × a2+4b2 ×cos120°, 化简得 3 2 a2-2b2=0, ∴ |a| |b| = 23 3 . 7.已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)= 3 4 . (1)求|b|; (2)当a·b=- 1 4 时,求向量a与a+2b的夹角θ的值. 解 (1)因为(a-b)·(a+b)= 3 4 , 即|a|2-|b|2= 3 4 ,又|a|=1, 所以|b|2=|a|2- 3 4 =1- 3 4 = 1 4 , 故|b|= 1 2 . (2)由题意可知|a+2b|2=|a|2+4a·b+|2b|2= 1-1+1=1, 故|a+2b|=1. 又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1- 1 2 = 1 2 , 所以cosθ= a·(a+2b) |a|·|a+2b| = 1 2 , 又θ∈[0,π],故θ= π 3 . 拓展 提高 1.若非零向量a,b 满足|a|= 22 3 |b|,且 (a-b)⊥ (3a+2b),则a与b的夹角为( ). A. π 4 B. π 2 C. 3π 4 D.π 答案 A 解析 设a与b的夹角为θ, 因为(a-b)⊥(3a+2b), 所以(a-b)·(3a+2b)=0, 即3|a|2-|a||b|cosθ-2|b|2=0, 再由|a|= 22 3 |b|,得 8 3 |b|2- 22 3 |b|2cosθ- 19
数学 必修 第二册 配人教A版 21b12=0,得c0s0= 又a-b=Bd-B元=Ci,(a-b)⊥c,∴.CD⊥CA, 2 ∴，△ABC是等腰直角三角形 又9[0，，所以9=于 lal=1, ∴.lb|=1,lcl=2, 2.已知lal=|b|=|c|=1,且满足3a+mb+7c=0,其中a, ∴.la|2+lb|2+lcl2=4. b的夹角为60°，则实数m= 5.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1，它们相互之间的 答案5或-8 夹角为120°.若|ka+b+c|>1(k∈R),则k的取值范围 解析因为3a十mb十7c=0,所以3a十mb=一7c, 为 所以(3a十mb)2=(-7c)2,即9十m2+6ma·b=49, 答案{k|k<0或k>2 又ab=60=2 解析因为|ka十b十c>1, 所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8. 所以(ka十b十c)·(ka十b十c)>1, 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1. 3.已知a|=2引b|=2,e是与b方向相同的单位向量，且向 量a在向量b上的投影向量为一e. 因为a·b=a·c=bc=cos120°=-7， (1)a与b的夹角0= (2)若向量a十b与向量a一劲互相睡直，则λ= 所以k2一2k>0,所以 答案号(2)月 k<0或k>2,即k的取值范图是{kk<0或k>2. 解析(1)由题意知a|=2,lb=1. 挑战·创新 又因为向量a在向量b上的投影向量为|a l cos de= 在四边形ABCD中，已知AB=9,BC=6,C克=2Pi】 -e,所以c0s0=一2 1 (1)若四边形ABCD是矩形，求A户.B丽的值： (2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP·BP=6,求 又0∈[0，]，所以0= 3 AB与AD夹角的余弦值. 解(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD.DC=0,由 (2)由(1)可知，0=2x 3 =2成，得亦=成.=号=-号d 2π 故a·b=lablco3=-1. 所以A市.B丽=(AD+D)·(BC+C序)=(AD+ 又因为a十b与a一3b互相垂直，所以(a十b)· (a-3b)=λa2-3a·b十b·a-3b2=4λ+3入-1-3= )·(庙-)=迹-市.心-衣 7公-4=0，所以X=兰 36-号×81=18 4.设向量a,b,c满足a十b十c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若 lal=1,则|a2+lb2+lc2的值是」 (2)由题意，A=AD+D币=A心+子D元=A心十 答案4 解析方法一：由a十b十c=0,得c=一a一b. 店，丽=武+=成+号市=市-号店， 又(a-b)⊥c, 所以A正.B成=（市+A)·(市-子A)= .(a-b)·c=0, ∴.(a-b)·(-a-b)=0, 市-号店.市-号=36-号店.市-18= 即a2=b2,la|=lb|=1. a⊥b,a·b=0, 18-A亩.市 .lcl2=c2=(-a-b)2=(a+b)2=a2+b2+2a· b=a2+b2=2,..lal2+lb12+lc12=4. 又A市.前=6，所以18-了A店·市=6，所以 方法二：如图，作AB=BD=a. AB.AD=36. 设AB与AD的夹角为0，又AB·AD=|AB1· 1AD1cos0=9X6Xcos0=54cos0,所以54cos0=36,即 c0s0=3 2 BC=b,则C=c. a⊥b,∴.AB⊥BC, 所以店与西夹商的余孩值为号 20
数 学 必修 第二册 配人教 A版 2|b|2=0,得cosθ= 2 2 , 又θ∈[0,π],所以θ= π 4 . 2.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足3a+mb+7c=0,其中a, b的夹角为60°,则实数m= . 答案 5或-8 解析 因为3a+mb+7c=0,所以3a+mb=-7c, 所以(3a+mb)2=(-7c)2,即9+m2+6ma·b=49, 又a·b=|a||b|cos60°= 1 2 , 所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8. 3.已知|a|=2|b|=2,e是与b 方向相同的单位向量,且向 量a在向量b上的投影向量为-e. (1)a与b的夹角θ= ; (2)若向量λa+b与向量a-3b互相垂直,则λ= . 答案 (1) 2π 3 (2) 4 7 解析 (1)由题意知|a|=2,|b|=1. 又因为向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθe= -e,所以cosθ=- 1 2 , 又θ∈[0,π],所以θ= 2π 3 . (2)由(1)可知,θ= 2π 3 , 故a·b=|a||b|cos 2π 3 =-1. 又因为λa+b 与a-3b 互相垂直,所以(λa+b)· (a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3= 7λ-4=0,所以λ= 4 7 . 4.设向量a,b,c 满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若 |a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2 的值是 . 答案 4 解析 方法一:由a+b+c=0,得c=-a-b. 又∵(a-b)⊥c, ∴(a-b)·c=0, ∴(a-b)·(-a-b)=0, 即a2=b2,|a|=|b|=1. ∵a⊥b,∴a·b=0, ∴|c|2=c2=(-a-b)2=(a+b)2=a2+b2+2a· b=a2+b2=2,∴|a|2+|b|2+|c|2=4. 方法二:如图,作A→B=B→D=a. A B C D B→C=b,则C→A=c. ∵a⊥b,∴AB⊥BC, 又a-b=B→D-B→C=C→D,(a-b)⊥c,∴CD⊥CA, ∴△ABC 是等腰直角三角形. ∵|a|=1, ∴|b|=1,|c|= 2, ∴|a|2+|b|2+|c|2=4. 5.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的 夹角为120°.若|ka+b+c|>1(k∈R),则k 的取值范围 为 . 答案 {k|k<0或k>2} 解析 因为|ka+b+c|>1, 所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1, 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1. 因为a·b=a·c=b·c=cos120°=- 1 2 , 所以k2 -2k>0,所以 k>0, k-2>0 或 k<0, k-2<0, 解得 k<0或k>2,即k的取值范围是{k|k<0或k>2}. 挑战 创新 在四边形ABCD 中,已知AB=9,BC=6,C→P=2P→D. (1)若四边形ABCD 是矩形,求A→P·B→P 的值; (2)若四边形ABCD 是平行四边形,且A→P·B→P=6,求 A→B 与A→D 夹角的余弦值. 解 (1)因为四边形ABCD 是矩形,所以A→D·D→C=0,由 C→P=2P→D,得D→P= 1 3 D→C,C→P= 2 3 C→D=- 2 3 D→C. 所以A→P·B→P=(A→D+D→P)·(B→C+C→P)= A→D+ 1 3 D→C · A→D- 2 3 D→C =A→D2- 1 3 A→D·D→C- 2 9 D→C2= 36- 2 9 ×81=18. (2)由题意,A→P=A→D+D→P=A→D+ 1 3 D→C=A→D+ 1 3 A→B,B→P=B→C+C→P=B→C+ 2 3 C→D=A→D- 2 3 A→B, 所以A→P·B→P= A→D+ 1 3 A→B · A→D- 2 3 A→B = A→D2- 1 3 A→B·A→D- 2 9 A→B2=36- 1 3 A→B·A→D-18= 18- 1 3 A→B·A→D. 又A→P·B→P=6,所以18- 1 3 A→B·A→D =6,所以 A→B·A→D=36. 设A→B 与A→D 的夹角为θ,又 A→B·A→D=|A→B|· |A→D|cosθ=9×6×cosθ=54cosθ,所以54cosθ=36,即 cosθ= 2 3 . 所以A→B 与A→D 夹角的余弦值为 2 3 . 20