第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 第1课时集合的相关概念 课前·基础认知 1,元素与集合的相关概念 2.元素与集合的关系 ()元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写 关系 概念 记法 读法 拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合：一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）， 如果a是集合A的元 属于 a∈A “a属于A” 常用大写拉丁字母A,B,C,…表示 素，就说a属于集合A (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就 如果a不是集合A的元 不属于 aGA “a不属于A” 称这两个集合是相等的. 素，就说a不属于集合A (4)集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性， 微解读(1)符号“∈”“任”刻画的是元素与集合之间 微思考某班身高高于175厘米的男生能否组成一 的关系.对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A” 个集合？ 与“a任A”这两种结果 提示某班身高高于175厘米的男生能组成一个集合， (2)“∈”和“任”具有方向性，左边是元素，右边是集合， 因为标准确定 形如R∈0是错误的。 微训练英语单词mathematics(数学)中所有英文字 3.常用的数集及其记法 母构成的集合有 _个元素 非负整数集 数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 答案8 (自然数集) 记法 N N'或N R 课堂 重难突破 集合的基本概念 规律总结」判断一组对象能不能组成一个集合的依据 及切入点 典例剖析 (1)依据：元素的确定性是判断的依据.如果考察的 1判断下列说法是否正确，并说明理由： 对象是确定的，那么它们就能组成一个集合，否则不能组 (1)某个公司里所有的年轻人组成一个集合： 成一个集合 ②)由1，号号-引，号组成的集合中有5个 (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特 征，即确定性、互异性和无序性」 元素； (3)当a,b,c互不相等时，由a,b,c组成的集合与由b, 二 元素与集合的关系 a,c组成的集合是相等的. 典例剖析 解(1)不正确.因为“年轻人”没有确定的标准，对象不 具有确定性，所以不能组成一个集合 2.(1)下列所给关系正确的有()个 不正确由于=只引=由合中元准 ①π∈R:②2tQ:③0∈N':④|-5|tN" A.1 B.2C.3 D.4 的豆异性知，这个条合是由1，子宁这3个元素组成的。 (2)满足“a∈A,且4-a∈A,a∈N,且4-a∈N",有且 只有2个元素的集合A的个数是() (3)正确.集合中的元素相同，只是顺序不同，所以它们 A.0 B.1 组成的集合是相等的. C.2 D.3
第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第1课时 集合的相关概念 课前·基础认知 1.元素与集合的相关概念 (1)元素:一般地,把 研究对象 统称为元素,常用小写 拉丁字母 a,b,c,… 表示. (2)集合:一些 元素 组成的总体叫做集合(简称为集), 常用大写拉丁字母 A,B,C,… 表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的元素是 一样 的,就 称这两个集合是相等的. (4)集合中元素的特征:确定性 、互异性 和 无序性 . 微思考 某班身高高于175厘米的男生能否组成一 个集合? 提示 某班身高高于175厘米的男生能组成一个集合, 因为标准确定. 微训练 英语单词 mathematics(数学)中所有英文字 母构成的集合有 个元素. 答案 8 2.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a 是 集合A 的元 素,就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a 不是 集合A 的元 素,就说a不属于集合A a∉A “a不属于A” 微解读 (1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间 的关系.对于一个元素a 与一个集合A 而言,只有“a∈A” 与“a∉A”这两种结果. (2)“∈”和“∉”具有方向性,左边是元素,右边是集合, 形如R∈0是错误的. 3.常用的数集及其记法 数集 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N *或N+ Z Q R 课堂·重难突破 一 集合的基本概念 典例剖析 1.判断下列说法是否正确,并说明理由: (1)某个公司里所有的年轻人组成一个集合; (2)由 1, 3 2 , 6 4 , - 1 2 , 1 2 组 成 的 集 合 中 有 5 个 元素; (3)当a,b,c互不相等时,由a,b,c组成的集合与由b, a,c组成的集合是相等的. 解 (1)不正确.因为“年轻人”没有确定的标准,对象不 具有确定性,所以不能组成一个集合. (2)不正确.由于 3 2 = 6 4 , - 1 2 = 1 2 ,由集合中元素 的互异性知,这个集合是由1, 3 2 , 1 2 这3个元素组成的. (3)正确.集合中的元素相同,只是顺序不同,所以它们 组成的集合是相等的. 判断一组对象能不能组成一个集合的依据 及切入点 (1)依据:元素的确定性是判断的依据.如果考察的 对象是确定的,那么它们就能组成一个集合,否则不能组 成一个集合. (2)切入点:解答此类问题的切入点是集合元素的特 征,即确定性、互异性和无序性. 二 元素与集合的关系 典例剖析 2.(1)下列所给关系正确的有( )个. ①π∈R;② 2∉Q;③0∈N* ;④|-5|∉N* . A.1 B.2 C.3 D.4 (2)满足“a∈A,且4-a∈A,a∈N,且4-a∈N”,有且 只有2个元素的集合A 的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1
数学 必修第一册 配人教A版 答案(1)B(2)C 三 集合中元素的特征及其应用 解析(1)①π是实数，所以π∈R正确： ②2是无理数，所以√2庄Q正确：③0不是正整数，所以0∈ 典例剖析 N”错误：④引一5=5为正整数，所以川一5任N“错误故选B 3.已知集合A中含有2个元素1和a2,若a∈A,求实 (2)因为a∈A,且4-a∈A,a∈N,且4-a∈N, 数a的值 所以，若a=0,则4一a=4,此时集合A中有0,4两个 解由题意可知，a=1或a2=a, 元素，满足要求；若a=1,则4一a=3,此时集合A中有13 若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾，故a≠1. 两个元素，满足要求：若a=2,则4一a=2,此时集合A只含 若a2=a,则a=0或a=1(舍去).当a=0时，A中含 有1个元素，不满足要求，故有且只有2个元素的集合A有2个 有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.综上可 规律总结」判断元素与集合关系的两种方法 知，实数a的值为0. (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要 规律总结」1.解决集合中元素含有字母的问题，常用 判断该元素在已知集合中是否出现即可， 到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类 (2)推理法：对于一些没有直接表示出来的集合，只 标准. 要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可， 2.本题在求得a的值后，常因忘记验证集合中元素 此时应明确已知集合中的元素具有什么特征】 的互异性，而造成过程性失分」 课后·训练提升 基础：巩固 -个元素0.当a0时，v厅=la=仁，a0.所以- a,a>0, 1.下列各组对象能组成集合的是() 定与a或一a中的一个相等.故组成的集合中有2个元 ①一切很大的书： 素.故选B ②所有的等腰三角形： 6.若集合A中含有3个元素a一3,2a一1，a2一4，且一3 ③函数y=2x一10的图象上的所有点， A,则实数a的值为 A①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案0或1 答案B 解析①若a一3=一3，则a=0,此时集合A中元素为 2.已知集合A中有4个元素0,1,2,3，集合B中有3个元素 一3，一1，一4，满足题意. 0,l,2,且元素a∈A,a年B,则a的值为() ②若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A中元素为 A.0 B.1 C.2 D.3 一4，一3，一3，不满足元素的互异性 答案D ③若a2一4=一3，则a=士1.当a=1时，A中元素为 3.已知集合A中只含有元素1和a2+a十1，且3∈A,则a 一2,1，一3，满足题意：当a=一1时，由②知不符合题意. 的值为( 综上可知，a=0或a=l. A.1 B.-2 C.1或-2D.-1或2 7.已知方程x2一2x一3=0的解与集合A中的元素相同，若 答案C 集合A中的元素是a,b,则a十b= 解析由题意得a2十a十1=3，解得a=1或a=一2故选C 答案2 4.已知集合M中含有2个元素x十1x2-2x一3，则x满足 解析由题意知，a十b的值为方程x2-2x一3=0的两根 的条件是() 之和，故a十b=2. A.x≠一1 B.x≠4 拓展·提高 C.x=一1或x=4 D.x≠一1，且x≠4 答案D 1.由a2,2-a,4组成一个集合A,若A中含有3个元素，则 实数a可以是( ) 解析由集合中元素的互异性知，x十1≠x2一2x一3，解 A.1 B.-2 C.6 D.2 得x≠一1，且x≠4.故选D 答案C 5.由实数一a,a,la|,√a所组成的集合最多含有的元素个 解析由题设知a2,2一a,4互不相等， 数是( 1a2≠2-a, A.1 B.2 C.3 D.4 即a2≠4，解得a≠-2，a≠1，且a≠2.结合四个 答案B 2-a≠4， 解析当a=0时，这4个数都是0，所组成的集合只含有 选项可知，选C
数 学 必修 第一册 配人教 A版 答案 (1)B (2)C 解析 (1)①π是实数,所以π∈R正确; ② 2是无理数,所以2∉Q正确;③0不是正整数,所以0∈ N*错误;④|-5|=5为正整数,所以|-5|∉N*错误.故选B. (2)因为a∈A,且4-a∈A,a∈N,且4-a∈N, 所以,若a=0,则4-a=4,此时集合A 中有0,4两个 元素,满足要求;若a=1,则4-a=3,此时集合A 中有1,3 两个元素,满足要求;若a=2,则4-a=2,此时集合A 只含 有1个元素,不满足要求.故有且只有2个元素的集合A 有2个. 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要 判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法:对于一些没有直接表示出来的集合,只 要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可, 此时应明确已知集合中的元素具有什么特征. 三 集合中元素的特征及其应用 典例剖析 3.已知集合A 中含有2个元素1和a2,若a∈A,求实 数a的值. 解 由题意可知,a=1或a2=a, 若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1. 若a2=a,则a=0或a=1(舍去).当a=0时,A 中含 有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可 知,实数a的值为0. 1.解决集合中元素含有字母的问题,常用 到分类讨论的思想,在进行分类讨论时,务必明确分类 标准. 2.本题在求得a 的值后,常因忘记验证集合中元素 的互异性,而造成过程性失分. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列各组对象能组成集合的是( ) ①一切很大的书; ②所有的等腰三角形; ③函数y=2x-10的图象上的所有点. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案 B 2.已知集合A 中有4个元素0,1,2,3,集合B 中有3个元素 0,1,2,且元素a∈A,a∉B,则a的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 3.已知集合A 中只含有元素1和a2+a+1,且3∈A,则a 的值为( ) A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1或2 答案 C 解析 由题意得a2+a+1=3,解得a=1或a=-2.故选C. 4.已知集合M 中含有2个元素x+1,x2-2x-3,则x 满足 的条件是( ) A.x≠-1 B.x≠4 C.x=-1或x=4 D.x≠-1,且x≠4 答案 D 解析 由集合中元素的互异性知,x+1≠x2-2x-3,解 得x≠-1,且x≠4.故选D. 5.由实数-a,a,|a|, a2 所组成的集合最多含有的元素个 数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 当a=0时,这4个数都是0,所组成的集合只含有 一个元素0.当a≠0时, a2 =|a|= a,a>0, -a,a<0, 所以一 定与a或-a 中的一个相等.故组成的集合中有2个元 素.故选B. 6.若集合A 中含有3个元素a-3,2a-1,a2-4,且-3∈ A,则实数a的值为 . 答案 0或1 解析 ①若a-3=-3,则a=0,此时集合A 中元素为 -3,-1,-4,满足题意. ②若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A 中元素为 -4,-3,-3,不满足元素的互异性. ③若a2-4=-3,则a=±1.当a=1时,A 中元素为 -2,1,-3,满足题意;当a=-1时,由②知不符合题意. 综上可知,a=0或a=1. 7.已知方程x2-2x-3=0的解与集合A 中的元素相同,若 集合A 中的元素是a,b,则a+b= . 答案 2 解析 由题意知,a+b的值为方程x2-2x-3=0的两根 之和,故a+b=2. 拓展 提高 1.由a2,2-a,4组成一个集合A,若A 中含有3个元素,则 实数a可以是( ) A.1 B.-2 C.6 D.2 答案 C 解析 由题设知a2,2-a,4互不相等, 即 a2≠2-a, a2≠4, 2-a≠4, 解得a≠-2,a≠1,且a≠2.结合四个 选项可知,选C. 2
第一章」 集合与常用逻辑用语 2.已知集合A中的元素x满足x=2k十1(k∈Z),则下列关 6>0时，al+16l+l6l =-1+1-1=-1:当a>0 系正确的是( a b ab A.-1EA B.2∈A C.3∈A <0时，a+b+b-1-1-1=-1.所以桑合M b ab 答案C 中的元素是-1,3.所以一1∈M.故选B. 解析令2k十1=一1，解得k=一1∈Z,所以一1∈A,故 6.已知集合P中元素x满足：x∈N,且2<x<a,又集合P 中恰有3个元素，则整数a= A不正确：令2k十1=2，解得及=宁年Z所以2EA,故B 答案6 不正确：令2k十1=3，解得k=1∈Z,所以3∈A,故C正 解析因为x∈N,2<x<a, 确：令2张十1=号解得及=EZ.所以弓EA,故D不正确 且集合P中恰有3个元素，所以整数a为6. 7.已知集合A中含有3个元素1，a十b,a,集合B中含有3 3.已知集合M是关于x的方程x2一x十m=0的解组成的 集合，若2∈M,则下列结论正确的是() 个元素0,2，h.若集合A与集合B相等，则6一a的值为 A.0∈M B.1∈MC.-2∈MD.-1∈M 答案D 答案2 解析由2∈M知，2是关于x的方程x2-x十m=0的 解析由题意可知，a十b=0,且a≠0，则a=一b, 个解，则4一2十m=0,解得m=一2.所以原方程为x2 x一2=0，所以该方程的另一根为-1，所以-1∈M,故选D 因而上」 =-1,于是a=-1,b=1.故b-a=2. 4.已知集合P中含有1,2,3三个元素，集合Q中含有4,5,6 挑战·创新 三个元素.定义集合P十Q中的元素为a十b,其中a∈P, b∈Q,则集合P十Q中的元素个数是() 已知集合A中共有3个元素一4,2a一1，a2,集合B中共 A.5 B.6 C.8 D.9 有3个元素9，a-5,1-a,现知9∈A,且集合B中再没有 答案A 其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数α的值？若 解析由已知得a十b的值依次为5,6,7：6,7,8：7,8,9.根 能，则求出α的值；若不能，则说明理由. 据集合中元素的互异性可知集合P十Q中的元素个数是5. 解9∈A,∴.2a-1=9或a2=9,若2a-1=9,则a=5, 5.已知a,6是非零的实数，代数式al十么+ll的值组 此时集合A中的元素为-4,9,25，集合B中的元素为9， a b ab 0,一4，显然一4∈A,且一4∈B,与已知矛盾，故舍去. 成的集合是M,则下列结论正确的是( 若a2=9,则a=士3，当a=3时，集合A中的元素为 A.0∈M B.-1∈MC.3任M D.1∈M -4,5,9,集合B中的元素为9，一2，一2，集合B中有两 答案B 个一2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去 解析当>0，b>0时，lal+lh+lah=3:当a<0. 当a=一3时，集合A中的元素为一4，一7,9，集合B b ab 中的元素为9，一8,4，符合题意 60时，l+6+=-1-1十1=-1，当a<0. 综上所述，满足条件的a存在，且a=一3. a b ab 第2课时 集合的表示方法 课前·基础认知 1.列举法 这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ 竖线，写成{x∈A:P(x)}或{x∈A:P(x)} 括起来表示集合的方法叫做列举法。 (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 微训练D用列举法表示方程x2-7x+10=0的根 一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线 组成的集合为( 后写出这个集合中元素所具有的共同特征， A.{2,5} B.{x2-7x十10=0} 微恩考(1)不等式x一2<3的解集中的元素有什么 C.{(2,5)} D.{-2,-5} 共同特征？ 答案A (2)如何用描述法表示不等式x一2<3的解集？ 2.描述法 提示(1)元素的共同特征为x∈R,且x<5. (1)定义：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有 (2){x∈R|x<5}. 共同特征Px)的元素x所组成的集合表示为{z∈AP(x)》, 微训练2用描述法表示不等式x一1>0的整数解
第一章 集合与常用逻辑用语 2.已知集合A 中的元素x 满足x=2k+1(k∈Z),则下列关 系正确的是( ) A.-1∉A B.2∈A C.3∈A D. 5 2 ∈A 答案 C 解析 令2k+1=-1,解得k=-1∈Z,所以-1∈A,故 A不正确;令2k+1=2,解得k= 1 2 ∉Z,所以2∉A,故B 不正确;令2k+1=3,解得k=1∈Z,所以3∈A,故C正 确;令2k+1= 5 2 ,解得k= 3 4 ∉Z,所以 5 2 ∉A,故D不正确. 3.已知集合M 是关于x 的方程x2-x+m=0的解组成的 集合,若2∈M,则下列结论正确的是( ) A.0∈M B.1∈M C.-2∈M D.-1∈M 答案 D 解析 由2∈M 知,2是关于x 的方程x2-x+m=0的一 个解,则4-2+m=0,解得m=-2.所以原方程为x2- x-2=0,所以该方程的另一根为-1,所以-1∈M.故选D. 4.已知集合P 中含有1,2,3三个元素,集合Q 中含有4,5,6 三个元素.定义集合P+Q 中的元素为a+b,其中a∈P, b∈Q,则集合P+Q 中的元素个数是( ) A.5 B.6 C.8 D.9 答案 A 解析 由已知得a+b的值依次为5,6,7;6,7,8;7,8,9.根 据集合中元素的互异性可知集合P+Q 中的元素个数是5. 5.已知a,b是非零的实数,代数式 |a| a + |b| b + |ab| ab 的值组 成的集合是M,则下列结论正确的是( ) A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M 答案 B 解析 当a>0,b>0时, |a| a + |b| b + |ab| ab =3;当a<0, b<0时, |a| a + |b| b + |ab| ab =-1-1+1=-1;当a<0, b>0时, |a| a + |b| b + |ab| ab =-1+1-1=-1;当a>0, b<0时, |a| a + |b| b + |ab| ab =1-1-1=-1.所以集合 M 中的元素是-1,3.所以-1∈M.故选B. 6.已知集合P 中元素x 满足:x∈N,且2<x<a,又集合P 中恰有3个元素,则整数a= . 答案 6 解析 因为x∈N,2<x<a, 且集合P 中恰有3个元素,所以整数a为6. 7.已知集合A 中含有3个元素1,a+b,a,集合B 中含有3 个元素0, b a ,b.若集合A 与集合B 相等,则b-a的值为 . 答案 2 解析 由题意可知,a+b=0,且a≠0,则a=-b, 因而 b a =-1,于是a=-1,b=1.故b-a=2. 挑战 创新 已知集合A 中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B 中共 有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A,且集合B 中再没有 其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值? 若 能,则求出a的值;若不能,则说明理由. 解 ∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9,若2a-1=9,则a=5, 此时集合A 中的元素为-4,9,25,集合B 中的元素为9, 0,-4,显然-4∈A,且-4∈B,与已知矛盾,故舍去. 若a2=9,则a=±3,当a=3时,集合A 中的元素为 -4,5,9,集合B 中的元素为9,-2,-2,集合B 中有两 个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去. 当a=-3时,集合A 中的元素为-4,-7,9,集合B 中的元素为9,-8,4,符合题意. 综上所述,满足条件的a存在,且a=-3. 第2课时 集合的表示方法 课前·基础认知 1.列举法 把集合的所有元素 一一列举 出来,并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法. 微训练 1 用列举法表示方程x2-7x+10=0的根 组成的集合为( ) A.{2,5} B.{x2-7x+10=0} C.{(2,5)} D.{-2,-5} 答案 A 2.描述法 (1)定义:一般地,设A 是一个集合,把集合A 中所有具有 共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 {x∈A|P(x)}, 这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替 竖线,写成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}. (2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的 一般符号 及 取值(或变化)范围 ,再画一条竖线,在竖线 后写出这个集合中元素所具有的 共同特征 . 微思考 (1)不等式x-2<3的解集中的元素有什么 共同特征? (2)如何用描述法表示不等式x-2<3的解集? 提示 (1)元素的共同特征为x∈R,且x<5. (2){x∈R|x<5}. 微训练 2 用描述法表示不等式x-1>0的整数解 3
数学 必修 第一册 配人教A版 组成的集合为( C.{x∈Zlx>1} D.{2,3,4,…} A.{x-1>0} B.{x∈Rlx>1V 答案C 课堂·重难突破 一 用列举法表示集合 一个为0，即xy=0,故在平面直角坐标系中，坐标轴上的点 组成的集合可表示为{(x,y)xy=O}, 典例剖析 (4)由不等式3x一2<4，解得x<2 所以不等式3x-2<4的解集为{x|x<2. 1.用列举法表示下列集合： (1)大于3且小于15的偶数组成的集合： 规律总结」用描述法表示集合应注意的3点 (2)所有正整数组成的集合： (I)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性， (3)方程组十y=3的解集 是数集、点集还是其他的类型。一般地，数用一个字母表 x-y=1 示，而点则用一个有序数对来表示 解(1)因为大于3且小于15的偶数有4,6,8,10,12， (2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号 14,所以该集合可表示为{4,6,8,10,12,14. 以外的字母，则要对新字母说明其含义或取值范围」 (2)因为所有正整数为1,2,3，…，所以该集合可表示为 (3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描 {1,2,3,…. 述的内容都要写在集合内， (3)因为方程组 x+y=3, 的解为 x=2, 所以该集合 三 集合表示方法的综合应用 x-y=1 可表示为{(2,1)》. 典例剖析 规律总结」用列举法表示集合的4个注意点 3.(1)若集合A={x|ax2-8x十16=0，a∈R}中只有 (1)用列举法表示集合，要注意集合是数集还是点 一个元素，则a的值为( 集，或其他形式的集合 A.1 B.4 C.0 D.0或1 (2)元素与元素之间必须用“，”隔开. (2)已知集合A={x|kx十2>0，k∈R},若-2∈A,则 (3)集合中的元素不能重复，且无顺序。 k的取值范围是 (4)集合中的元素不能遗漏。 答案(1)D(2)k<1 二 用描述法表示集合 解析(1)①当a=0时，原方程为16一8x=0, 解得x=2,此时A={2}: 典例剖析 ②当a≠0时，由集合A中只有一个元素 知方程ax2一8x十16=0有两个相等实根， 2.用描述法表示下列集合： 则△=64-64a=0,解得a=1.从而方程x2-8x十 (1)正偶数集： 16=0的根为x1=x2=4,故集合A={4}: (2)被3除余2的正整数组成的集合： 综上所述，实数a的值为0或1. (3)在平面直角坐标系中，坐标轴上的点组成的集合： (2)-2∈A,.一2k十2>0，解得k<1 (4)不等式3x一2<4的解集 解(1)偶数可用式子x=21m∈Z表示，但此题要求为正偶 规律总结 1.若已知集合是用描述法给出的，则读懂 数，故限定n∈N”,所以正偶数集可表示为{xx=2,n∈N. 集合的代表元素及其属性是解题的关键， (2)设被3除余2的数为x,则x=3m十2，n∈Z,但元素 2.与方程ax2-8x十16=0的根有关的问题易忽视 为正整数，故x=3m十2，n∈N,所以被3除余2的正整数组 a=0的情况. 成的集合可表示为{x|x=3m十2，n∈N. (3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有 课后·训练提升 基础·巩固 2.若集合M={xlx-1<√2}，则() A.2∈M,-2∈M B.2∈M,-2EM 1.下列集合恰有两个元素的是() C.2任M,-2tM D.2tM,-2∈M A.{x2-x=0} B.(rly=r2-x) 答案A C.(yly2-y=0) D.(yly=r2-x) 解析若x=2,则x一1=1<2，所以2∈M:若x=一2， 答案C
数 学 必修 第一册 配人教 A版 组成的集合为( ) A.{x-1>0} B.{x∈R|x>1} C.{x∈Z|x>1} D.{2,3,4,…} 答案 C 课堂·重难突破 一 用列举法表示集合 典例剖析 1.用列举法表示下列集合: (1)大于3且小于15的偶数组成的集合; (2)所有正整数组成的集合; (3)方程组 x+y=3, x-y=1 的解集. 解 (1)因为大于3且小于15的偶数有4,6,8,10,12, 14,所以该集合可表示为{4,6,8,10,12,14}. (2)因为所有正整数为1,2,3,…,所以该集合可表示为 {1,2,3,…}. (3)因为方程组 x+y=3, x-y=1 的解为 x=2, y=1, 所以该集合 可表示为{(2,1)}. 用列举法表示集合的4个注意点 (1)用列举法表示集合,要注意集合是数集还是点 集,或其他形式的集合. (2)元素与元素之间必须用“,”隔开. (3)集合中的元素不能重复,且无顺序. (4)集合中的元素不能遗漏. 二 用描述法表示集合 典例剖析 2.用描述法表示下列集合: (1)正偶数集; (2)被3除余2的正整数组成的集合; (3)在平面直角坐标系中,坐标轴上的点组成的集合; (4)不等式3x-2<4的解集. 解 (1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶 数,故限定n∈N*,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N*}. (2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素 为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正整数组 成的集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}. (3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有 一个为0,即xy=0,故在平面直角坐标系中,坐标轴上的点 组成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}. (4)由不等式3x-2<4,解得x<2, 所以不等式3x-2<4的解集为{x|x<2}. 用描述法表示集合应注意的3点 (1)用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性, 是数集、点集还是其他的类型.一般地,数用一个字母表 示,而点则用一个有序数对来表示. (2)用描述法表示集合时,若描述部分出现元素记号 以外的字母,则要对新字母说明其含义或取值范围. (3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描 述的内容都要写在集合内. 三 集合表示方法的综合应用 典例剖析 3.(1)若集合A={x|ax2-8x+16=0,a∈R}中只有 一个元素,则a的值为( ) A.1 B.4 C.0 D.0或1 (2)已知集合A={x|kx+2>0,k∈R},若-2∈A,则 k的取值范围是 . 答案 (1)D (2)k<1 解析 (1)①当a=0时,原方程为16-8x=0, 解得x=2,此时A={2}; ②当a≠0时,由集合A 中只有一个元素, 知方程ax2-8x+16=0有两个相等实根, 则Δ=64-64a=0,解得a=1.从而方程x2-8x+ 16=0的根为x1=x2=4,故集合A={4}. 综上所述,实数a的值为0或1. (2)∵-2∈A,∴-2k+2>0,解得k<1. 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂 集合的代表元素及其属性是解题的关键. 2.与方程ax2-8x+16=0的根有关的问题易忽视 a=0的情况. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列集合恰有两个元素的是( ) A.{x2-x=0} B.{x|y=x2-x} C.{y|y 2-y=0} D.{y|y=x2-x} 答案 C 2.若集合M={x|x-1< 2},则( ) A.2∈M,-2∈M B.2∈M,-2∉M C.2∉M,-2∉M D.2∉M,-2∈M 答案 A 解析 若x=2,则x-1=1< 2,所以2∈M;若x=-2, 4
第一章集合与常用逻辑用语 则x一1=-3<瓦，所以-2∈M.故选A 答案{1,3} 3.(多选题)下列集合的表示方法正确的是( 解析由题意知，-5是方程x2-ax-5=0的一个根，则 A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)川xy≤0，x∈ (-5)2+5a-5=0,解得a=-4,于是方程x2+a.r十3= R,y∈R} 0,即x2-4x十3=0，解得x=1或x=3, B.不等式x-1<4的解集为{xlx<5} 所以{x|x2-4x十3=0}={1,3}. C.{全体整数} D.实数集可表示为R 拓展·提高 答案BD 1.已知集合A={yly=x2+1,x∈R},B={(x,y)ly= 解析选项A中应是xy<O;选项B符合描述法的规范格 x2十1，x∈R,y∈R},则选项中元素与集合的关系都正确 式，正确：选项C的“{}”与“全体”意思重复 的是() 选项D显然正确 A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B x十y=1, C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B 4.方程组2-y2=9 解集是( ) 答案C A.(-5,4) B.(5,-4) 解析因为集合A中的元素是实数，不是点，集合B中的 C.{(-5,4)》 D.{(5,-4)} 元素是点而不是实数，所以(1,2)∈A,(3.10)∈A,2∈B 答案D 不正确，故选C 解析解方程组 x+y=1, 得 x2-y2=9, 红=5，故所求解集为 2.集合{(x,y)川x十y=4,x∈N“,y∈N}用列举法可表示 y=-4, 为() {(5,-4)} A.{1,2,3,4} B.{(1,3),(2,2)} 5.已知集合M={a2-a,0},若a∈M,则实数a的值为 C.{(3,1),(2,2)} D.{(1,3).(2.2).(3,1)》 答案D A.0 B.2 3.已知集合A={1,2,4},B={ ,x∈A,y∈A},则 C.2或0 D.2或-2 答案B 集合B中元素的个数是( 解析由a∈M,可得a2-a=a或a=0.解得a=0或a= A.4 B.5 C.6 D.7 2.当a=0时，a2一a=0,不满足集合中元素的互异性，故 答案B 舍去a=0,故选B. 解析依题意，可用列举法表示出集合B,B=1,2, 11 6.已知集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈ A},则集合B等于() 2,4.故选B. A.{-4,0,4} B.{-4,4} 4.定义PQ={abla∈P,b∈Q},若P={0,1,2},Q={1, C.{-4,0} D.{0} 2,3},则P*Q中元素的个数是( 答案A A.6 B.7 C.8 D.9 解析当x=一2，y=一2时，m=一4；当x=2,y=2时， 答案A m=4:当x=一2，y=2或x=2,y=-2时，m=0.所以 解析若a=0,则ab=0:若a=1,则ab=1或2或3：若 集合B={-4,0,4}.故选A a=2,则ab=2或4或6.故PQ={0,1,2,3,4,6},共6 7.已知集合M={yly=x2},用自然语言描述M应为 个元素 5.已知集合A={-1,0,1},B={y|y=|x|,x∈A},则 A.满足y=x2的所有函数值y组成的集合 B= B.满足y=x2的所有自变量x的取值组成的集合 答案{0,1} C.函数y=x2图象上的所有点组成的集合 D.函数y=x2的图象 解析，x∈A,∴.当x=-1时，y=x=1;当x=0时， 答案A y=lx|=0;当x=1时y=|x|=1..B={0,1. 6.用描述法表示图中阴影部分的点组成的集合为 8.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若A=B, 则实数a= 答案1 解析由集合相等的概念，得 a2-1=0. a2-3a=-2. 解得a=1. 9.若-5∈{x|x2-a.x-5=0,a∈R},则集合{xx2十ax十 3=0,a∈R}= 答案{(xy)0≤x≤2,0≤y≤1}
第一章 集合与常用逻辑用语 则x-1=-3< 2,所以-2∈M.故选 A. 3.(多选题)下列集合的表示方法正确的是( ) A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈ R,y∈R} B.不等式x-1<4的解集为{x|x<5} C.{全体整数} D.实数集可表示为R 答案 BD 解析 选项 A中应是xy<0;选项B符合描述法的规范格 式,正确;选项C的“{ }”与“全体”意思重复. 选项D显然正确. 4.方程组 x+y=1, x2-y 2=9 的解集是( ) A.(-5,4) B.(5,-4) C.{(-5,4)} D.{(5,-4)} 答案 D 解析 解方程组 x+y=1, x2-y 2=9, 得 x=5, y=-4, 故所求解集为 {(5,-4)}. 5.已知集合M={a2-a,0},若a∈M,则实数a的值为 ( ) A.0 B.2 C.2或0 D.2或-2 答案 B 解析 由a∈M,可得a2-a=a或a=0.解得a=0或a= 2.当a=0时,a2-a=0,不满足集合中元素的互异性,故 舍去a=0,故选B. 6.已知集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈ A},则集合B 等于( ) A.{-4,0,4} B.{-4,4} C.{-4,0} D.{0} 答案 A 解析 当x=-2,y=-2时,m=-4;当x=2,y=2时, m=4;当x=-2,y=2或x=2,y=-2时,m=0.所以 集合B={-4,0,4}.故选 A. 7.已知集合M={y|y=x2},用自然语言描述M 应为 ( ) A.满足y=x2 的所有函数值y组成的集合 B.满足y=x2 的所有自变量x 的取值组成的集合 C.函数y=x2 图象上的所有点组成的集合 D.函数y=x2 的图象 答案 A 8.设集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若A=B, 则实数a= . 答案 1 解析 由集合相等的概念,得 a2-1=0, a2-3a=-2, 解得a=1. 9.若-5∈{x|x2-ax-5=0,a∈R},则集合{x|x2+ax+ 3=0,a∈R}= . 答案 {1,3} 解析 由题意知,-5是方程x2-ax-5=0的一个根,则 (-5)2+5a-5=0,解得a=-4,于是方程x2+ax+3= 0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3, 所以{x|x2-4x+3=0}={1,3}. 拓展 提高 1.已知集合A={y|y=x2+1,x∈R},B={(x,y)|y= x2+1,x∈R,y∈R},则选项中元素与集合的关系都正确 的是( ) A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B 答案 C 解析 因为集合A 中的元素是实数,不是点,集合B 中的 元素是点而不是实数,所以(1,2)∈A,(3,10)∈A,2∈B 不正确,故选C. 2.集合{(x,y)|x+y=4,x∈N* ,y∈N* }用列举法可表示 为( ) A.{1,2,3,4} B.{(1,3),(2,2)} C.{(3,1),(2,2)} D.{(1,3),(2,2),(3,1)} 答案 D 3.已知集合A={1,2,4},B= z z= x y ,x∈A,y∈A ,则 集合B 中元素的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 解析 依题意,可用列举法表示出集合B,B= 1, 1 2 , 1 4 , 2,4 .故选B. 4.定义P*Q={ab|a∈P,b∈Q},若P={0,1,2},Q={1, 2,3},则P*Q 中元素的个数是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 A 解析 若a=0,则ab=0;若a=1,则ab=1或2或3;若 a=2,则ab=2或4或6.故P*Q={0,1,2,3,4,6},共6 个元素. 5.已知集合A={-1,0,1},B={y|y=|x|,x∈A},则 B= . 答案 {0,1} 解析 ∵x∈A,∴当x=-1时,y=|x|=1;当x=0时, y=|x|=0;当x=1时,y=|x|=1.∴B={0,1}. 6.用描述法表示图中阴影部分的点组成的集合为 . 答案 {(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1} 5