第六章平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 课前·基础认知 1.向量与数量 续表 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 平行向量 方向相同或相反的非零向量， (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. (共线向量 向量a与b平行，记作a仍 2.向量的几何表示 规定：零向量与任意向量平行 (1)具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素： 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a=b 起点、方向、长度 (2)向量可以用有向线段AB来表示.向量AB的大 微思考两个相等的非零向量的起点与终点是否都 小称为向量AB的长度（或称模），记作AB1.向量也可以 分别重合？ 用字母a,b,c,…表示. 提示不一定，只要长度相等且方向相同的向量就是相 微挪究D(1)向量可以比较大小吗？ 等向量，与起点和终点的位置无关， (2)有向线段就是向量吗？ 微擦究2若AB∥C市，则从直线AB与CD的位置 提示(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较 关系和向量AB与C方的方向关系两个方面考虑有哪几种 大小 情况？ (2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是 提示分四种情况 向量 (I)直线AB和CD重合，AB与CD同向： 3.向量的有关概念 (2)直线AB和CD重合，AB与CD反向： 零向量 长度为0的向量，记作0 (3)直线ABCD,AB与CD同向： 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 (4)直线ABCD,AB与CD反向. 课堂·重难突破 向量的有关概念 规律总结1正确理解零向量和单位向量 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等】 典例剖析 (2)单位向量不一定相等，不要忽路其方向 1.判断下列说法是否正确，并说明理由. 2.正确理解共线向量与平行向量 (1)若向量a与b同向，且lal>lbl,则a>b: (1)平行向量也称为共线向量，两个说法没有区别， (2)若向量a与b满足|a=|b|,则a与b的长度相等 (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的直 且方向相同或相反： 线共线不同。 (3)对于任意向量a与b,la|=|b|,若a与b的方向相 (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行 同，则a=b: 不同 (4)由于0的方向不确定，故0不与任意向量平行： 提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量 (5)若向量a与b平行，则向量a与b方向相同或相反 的核心 方向和长度. 解(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和 二 向量的几何表示 方向，所以两个向量不能比较大小. (2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量的长度相等， 典例剖析 不能确定它们的方向关系. 2.如图，在坐标纸（每个小方格的边长为1）中，用直尺 (3)正确.因为|a|=|b|,且a与b同向，所以由两向量 和圆规画出下列向量： 相等的条件，可得a=b. (1)OA,使1OA1=42,点A在点0北偏东45方向： (4)不正确.依据规定：0与任意向量平行 (2)AB,使|AB|=4,点B在点A正东方向： (5)不正确.若向量a与向量b有一个是零向量，则其方 (3)BC,使|BC1=6,点C在点B北偏东30°方向. 向不确定
第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 课前·基础认知 1.向量与数量 (1)向量:既有 大小 又有 方向 的量叫做向量. (2)数量:只有 大小 没有 方向 的量称为数量. 2.向量的几何表示 (1)具有方向 的线段叫做有向线段.它包含三个要素: 起点 、方向 、长度 . (2)向量可以用 有向线段 A→B 来表示.向量A→B 的大 小称为向量A→B 的 长度 (或称模),记作|A→B|.向量也可以 用字母a,b,c,…表示. 微探究 1 (1)向量可以比较大小吗? (2)有向线段就是向量吗? 提示 (1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较 大小. (2)有向线段只是表示向量的一个图形工具,它不是 向量. 3.向量的有关概念 零向量 长度为0的向量,记作0 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 续 表 平行向量 (共线向量) 方向 相同或相反 的非零向量. 向量a与b平行,记作 a∥b . 规定:零向量与任意向量 平行 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量. 向量a与b相等,记作 a=b 微思考 两个相等的非零向量的起点与终点是否都 分别重合? 提示 不一定.只要长度相等且方向相同的向量就是相 等向量,与起点和终点的位置无关. 微探究 2 若A→B∥C→D,则从直线AB 与CD 的位置 关系和向量A→B 与C→D 的方向关系两个方面考虑有哪几种 情况? 提示 分四种情况 (1)直线AB 和CD 重合,A→B 与C→D 同向; (2)直线AB 和CD 重合,A→B 与C→D 反向; (3)直线AB∥CD,A→B 与C→D 同向; (4)直线AB∥CD,A→B 与C→D 反向. 课堂·重难突破 一 向量的有关概念 典例剖析 1.判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; (2)若向量a与b满足|a|=|b|,则a与b的长度相等 且方向相同或相反; (3)对于任意向量a与b,|a|=|b|,若a与b的方向相 同,则a=b; (4)由于0的方向不确定,故0不与任意向量平行; (5)若向量a与b平行,则向量a与b方向相同或相反. 解 (1)不正确.因为向量由两个因素来确定,即大小和 方向,所以两个向量不能比较大小. (2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量的长度相等, 不能确定它们的方向关系. (3)正确.因为|a|=|b|,且a与b同向,所以由两向量 相等的条件,可得a=b. (4)不正确.依据规定:0与任意向量平行. (5)不正确.若向量a与向量b有一个是零向量,则其方 向不确定. 1.正确理解零向量和单位向量 (1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等. (2)单位向量不一定相等,不要忽略其方向. 2.正确理解共线向量与平行向量 (1)平行向量也称为共线向量,两个说法没有区别. (2)共线向量所在直线可以平行,与平面几何中的直 线共线不同. (3)平行向量可以共线,与平面几何中的直线平行 不同. 提醒:解决与向量概念有关题目的关键是突出向量 的核心———方向和长度. 二 向量的几何表示 典例剖析 2.如图,在坐标纸(每个小方格的边长为1)中,用直尺 和圆规画出下列向量: (1)O→A,使|O→A|=42,点A 在点O 北偏东45°方向; (2)A→B,使|A→B|=4,点B 在点A 正东方向; (3)B→C,使|B→C|=6,点C 在点B 北偏东30°方向. 1
数学必修第二册 配人教A版 规律总结」向量表示的两种方法 (1)有向线段表示法：把以A为起点、B为终点的有 向线段记作AB,即向量AB.有向线段AB的长度为向 量A店的大小，箭头所指的方向为向量的方向. (2)字母表示法：可用字母a,b,c,…表示】 三 相等向量与共线向量 0 东 解(1)由于点A在点O北偏东45°方向，故在坐标纸中 典例剖析 点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等 3.如图所示，O是正六边形 又|OA1=42,小方格边长为1，故点A距点0的横向 ABCDEF的中心，且OA=a,OB= 小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确 b,OC=c. 定，画出向量OA如图所示 (1)写出图中与a长度相等、方 (2)由于点B在点A正东方向，且|AB|=4,故在坐 向相反的向量： 标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数 (2)写出图中与a共线的向量： 为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB如图 (3)请一一列出图中分别与a,b,c相等的向量. 所示。 解(1)与a长度相等、方向相反的向量有O心，BC (3)由于点C在，点B北偏东30°方向，且|BC|=6.故依 Aò，F2. 据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数 (2)与a共线的向量有E苹，B元.Oi,F正，C,Dò，Aò 为3.以点B为圆心，以6个小方格的长度为半径画弧，在弧 DA,AD. 上找到与点B横向距离为3个小方格的点，即为点C,于是 (3)与a相等的向量有E萨，D0,CB:与b相等的向量 点C的位置可以确定，画出向量B配如图所示 有DC,E可，Fi:与c相等的向量有F而，ED,AB 北 规律总结」相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段 长度相等的向量，再确定哪些同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段 平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要 漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为 终点的向量 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量。 课后·训练提升 B 基础·巩固 1.下列说法不正确的是( ) A.向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 答案C 答案D 解析由题意可知，每个小正方形的边长均为1，则其对角 解析根据向量的有关概念易判断，D项说法错误. 线长为√瓦，每个小正方形中存在两个与AB平行且模为 2.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一 点，这些向量的终点形成的轨迹是( √2的向量，一共有12个小正方形，故共有24个所求向量 ). 4.如图所示，在等边三角形ABC中，P. A.单位圆B.一段弧C.线段 D.直线 Q,R分别是线段AB,BC,AC的中点 答案A 则与向量PQ相等的向量是( ). 解析平面内到定，点距离等于定长的点的轨迹是圆 A.PR与QR 3.如图，在3×4的格点图（每个小方格都是单位正方形）中， B.A成与RC 若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB平行且模为 CRA与CR √2的向量共有(）. D.PA与Q求
数 学 必修 第二册 配人教 A版 O ! " 解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向,故在坐标纸中 点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等. 又|O→A|=42,小方格边长为1,故点A 距点O 的横向 小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A 的位置可以确 定,画出向量O→A 如图所示. (2)由于点B 在点A 正东方向,且|A→B|=4,故在坐 标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4,纵向小方格数 为0,于 是 点 B 的 位 置 可 以 确 定,画 出 向 量 A→B 如 图 所示. (3)由于点C 在点B 北偏东30°方向,且|B→C|=6,故依 据勾股定理可得:在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数 为3.以点B 为圆心,以6个小方格的长度为半径画弧,在弧 上找到与点B 横向距离为3个小方格的点,即为点C,于是 点C 的位置可以确定,画出向量B→C 如图所示. 向量表示的两种方法 (1)有向线段表示法:把以A 为起点、B 为终点的有 向线段记作A→B,即向量A→B.有向线段A→B 的长度为向 量A→B 的大小,箭头所指的方向为向量的方向. (2)字母表示法:可用字母a,b,c,…表示. 三 相等向量与共线向量 A B C E D O a b c F 典例剖析 3.如 图 所 示,O 是 正 六 边 形 ABCDEF 的中心,且O→A=a,O→B= b,O→C=c. (1)写出图中与a 长度相等、方 向相反的向量; (2)写出图中与a共线的向量; (3)请一一列出图中分别与a,b,c相等的向量. 解 (1)与a 长度相等、方向相反的向量有 O→D,B→C, A→O,F→E. (2)与a共线的向量有E→F,B→C,O→D,F→E,C→B,D→O,A→O, D→A,A→D. (3)与a 相等的向量有E→F,D→O,C→B;与b 相等的向量 有D→C,E→O,F→A;与c相等的向量有F→O,E→D,A→B. 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段 长度相等的向量,再确定哪些同向共线. (2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段 平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要 漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为 终点的向量. 提醒:与向量平行相关的问题中,不要忽视零向量. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列说法不正确的是( ). A.向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 答案 D 解析 根据向量的有关概念易判断,D项说法错误. 2.在同一平面内,把所有长度为1的向量的起点固定在同一 点,这些向量的终点形成的轨迹是( ). A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 答案 A 解析 平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆. 3.如图,在3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)中, 若起点和终点都在方格的顶点处,则与A→B 平行且模为 2的向量共有( ). A B A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 答案 C 解析 由题意可知,每个小正方形的边长均为1,则其对角 线长为 2,每个小正方形中存在两个与A→B 平行且模为 2的向量,一共有12个小正方形,故共有24个所求向量. P Q A B C R 4.如图所示,在等边三角形 ABC 中,P, Q,R 分别是线段AB,BC,AC 的中点, 则与向量P→Q 相等的向量是( ). A.P→R 与Q→R B.A→R 与R→C C.R→A 与C→R D.P→A 与Q→R 2
第六章平面向量及其应用 答案B (2)与Aò共线的向量有B萨，，D正】 解析向量相等要求模相等且方向相同，因此A应与R己 (3)与A0模相等的向量有Cd,D0,B0,BF,C下， 都是和P反相等的向量， AE,DE. 5.(多选题)下列条件中，能使a仍成立的有( (4)向量A0与C0不相等，因为它们的方向不相同. A.a=b B.la=b 11.已知一架飞机从A地沿北偏东30°方向飞行2000km后 C.a与b方向相反 D.la=0或lbl=0 到达B地，再从B地沿南偏东30°方向飞行2000km到 答案ACD 达C地，再从C地沿西南方向飞行1000√2km到达D 解析若a=b,则a与b长度相等且方向相同，所以a∥ 地.作出向量AB,B武，C方，并求出向量AD的模和方向. b:若|a|=|b|,则a与b的长度相等，方向不确定，因此 解以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y 不一定有α仍：方向相同或相反的向量都是平行向量，若 轴正方向建立直角坐标系」 a与b方向相反，则有a仍：零向量与任意向量都平行，所 据题设，B点在第一象限，C y北) 以若|a=0或|b|=0,则ah. 点在x轴正半轴上，D点在第四象 6.下列说法中，正确的是(). 限，向量AB,BC,Ci如图所示， A若a|=1,则a=士1 由已知可得，△ABC为正三 B.若|a|=|bl且ab,则a=b 角形，所以AC=2000km Cx(东) C.若a=b,则a仍 又∠ACD=45°，CD=10002km, D.若a0,则|a=0 所以△ADC为等腰直角三角 答案C 形，所以AD=1000反km,∠CAD=45°， 解析选项A中说法显然错误：两个向量的模相等且平 故向量AD的模为1000√2km,方向为东南方向. 行，但这两个向量的方向不一定相同，故选项B中说法错 误：a=b→向量a与b的方向相同→a仍，故选项C中说 拓展·提高 法正确：0与任一向量平行，故a0中|a|=0,选项D中说 1.若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①引a> 法错误」 1bl:②ah:③la>0:④lbl=±1，其中正确的是(). 7.已知|AB|=1,|AC|=2,若∠ABC=90°，则1BC1= A.①④ B.③ C.①② D.②③ 答案5 答案B 解析在R△ABC中，由勾股定理可知，BC=√AC2一AB= 解析因为a为任一非零向量，所以a>0. 5,故|BC1=√5. 2.(多选题)已知A={xx是与a共线的向量}，B={yly是与 8.设ao,b。是两个单位向量，则下列结论正确的是 a长度相等的向量}，C={zz是与a长度相等、方向相反的 (填序号). 向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是( A.C二A B.A∩B={a} ①ao=bo:②ao=-bo;③lao|+lbo=2;④aoha C.CCB D.(A∩B)2{a} 答案③ 答案ACD 解析因为ao,b。是单位向量，所以aol=1,lb|=l. 所以a。|+|b|=2. 解析因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向 9.将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当M正与 量，所以B中的关系错误 3.如图，在梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P,点 E萨是平行向量，且|M症|=21E苹1=2时，1M亦|= E,F分别在两腰AD,BC上，EF过点P,且EF∥AB,则 下列等式中成立的是( 答案3或1 解析当M庀与E萨同向时，M1=M正1+EF1=3: 当M正与E苹反向时，1M亦1=M正1-1E序1=1. 10.O是正方形ABCD对角线的交 点，四边形OAED,四边形 OCFB都是正方形，如图所示，在 A.AD=BC B.AC=BD 右图的向量中： C.PE=PF D.EP=PF (1)分别找出与AO,B0相等的向量： 答案D (2)找出与AO共线的向量： 解析根据相等向量的定义，分析可得，选项A,B中的等 (3)找出与AO模相等的向量： (4)向量Aò与C方是否相等？ 式不成立；选项C中，P它与P方向相反，故P序=P 解(1)Aò=B,Bò=A. 不成立：选项D中，EP与P下方向相同，且长度都等于线 段EF长度的一半，故E=P下成立
第六章 平面向量及其应用 答案 B 解析 向量相等要求模相等且方向相同,因此A→R 与R→C 都是和P→Q 相等的向量. 5.(多选题)下列条件中,能使a∥b成立的有( ). A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 答案 ACD 解析 若a=b,则a 与b 长度相等且方向相同,所以a∥ b;若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,方向不确定,因此 不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,若 a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量都平行,所 以若|a|=0或|b|=0,则a∥b. 6.下列说法中,正确的是( ). A.若|a|=1,则a=±1 B.若|a|=|b|且a∥b,则a=b C.若a=b,则a∥b D.若a∥0,则|a|=0 答案 C 解析 选项 A 中说法显然错误;两个向量的模相等且平 行,但这两个向量的方向不一定相同,故选项B中说法错 误;a=b⇒向量a与b的方向相同⇒a∥b,故选项C中说 法正确;0与任一向量平行,故a∥0⇒/|a|=0,选项D中说 法错误. 7.已知|A→B|=1,|A→C|=2,若∠ABC=90°,则|B→C|= . 答案 3 解析 在Rt△ABC中,由勾股定理可知,BC= AC2-AB2= 3,故|B→C|= 3. 8.设 a0,b0 是 两 个 单 位 向 量,则 下 列 结 论 正 确 的 是 (填序号). ①a0=b0;②a0=-b0;③|a0|+|b0|=2;④a0∥b0. 答案 ③ 解析 因为a0,b0 是单位向量,所以|a0|=1,|b0|=1. 所以|a0|+|b0|=2. 9.将向量用具有同一起点 M 的有向线段表示,当 M→E 与 E→F 是平行向量,且|M→E|=2|E→F|=2 时,|M→F|= . 答案 3或1 解析 当M→E 与E→F 同向时,|M→F|=|M→E|+|E→F|=3; 当M→E 与E→F 反向时,|M→F|=|M→E|-|E→F|=1. A B D C E F O 10.O 是正方形ABCD 对角线的交 点,四 边 形 OAED,四 边 形 OCFB 都是正方形,如图所示,在 右图的向量中: (1)分别找出与A→O,B→O 相等的向量; (2)找出与A→O 共线的向量; (3)找出与A→O 模相等的向量; (4)向量A→O 与C→O 是否相等? 解 (1)A→O=B→F,B→O=A→E. (2)与A→O 共线的向量有B→F,C→O,D→E. (3)与A→O 模相等的向量有C→O,D→O,B→O,B→F,C→F, A→E,D→E. (4)向量A→O 与C→O 不相等,因为它们的方向不相同. 11.已知一架飞机从A 地沿北偏东30°方向飞行2000km后 到达B 地,再从B 地沿南偏东30°方向飞行2000km到 达C 地,再从C 地沿西南方向飞行10002km 到达D 地.作出向量A→B,B→C,C→D,并求出向量A→D 的模和方向. 解 以A 为原点,正东方向为x 轴正方向,正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系. 据题设,B 点在第一象限,C 点在x 轴正半轴上,D 点在第四象 限,向量A→B,B→C,C→D 如图所示, 由已知可得,△ABC 为正三 角形,所以AC=2000km. 又∠ACD=45°,CD=10002km, 所以△ADC 为等腰直角三角 形,所以AD=10002km,∠CAD=45°. 故向量A→D 的模为10002km,方向为东南方向. 拓展 提高 1.若a为任一非零向量,b为模为1的向量,下列各式:①|a|> |b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1,其中正确的是( ). A.①④ B.③ C.①②③ D.②③ 答案 B 解析 因为a为任一非零向量,所以|a|>0. 2.(多选题)已知A={x|x是与a共线的向量},B={y|y是与 a长度相等的向量},C={z|z是与a长度相等、方向相反的 向量},其中a为非零向量,下列关系中正确的是( ). A.C⊆A B.A∩B={a} C.C⊆B D.(A∩B)⊇{a} 答案 ACD 解析 因为A∩B 中包含与a 长度相等且方向相反的向 量,所以B中的关系错误. 3.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点 E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF∥AB,则 下列等式中成立的是( ). A B D C E F P A.A→D=B→C B.A→C=B→D C.P→E=P→F D.E→P=P→F 答案 D 解析 根据相等向量的定义,分析可得,选项 A,B中的等 式不成立;选项 C中,P→E 与P→F 方向相反,故P→E=P→F 不成立;选项D中,E→P 与P→F 方向相同,且长度都等于线 段EF 长度的一半,故E→P=P→F 成立. 3
数学必修 第二册 配人教A版 4.若四边形ABCD满足AD=B元，且AC1=B可1，则四边 解析根据题意知，由点O,A,B,C,D可以构成20个向 形ABCD是 (填四边形ABCD的形状). 量，且它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T 答案矩形 中有12个元素. 解析AD=B式 7.如图，四边形ABCD和四边形ABDE都 ∴ADBC,且AD1=1BC1, 是平行四边形 .四边形ABCD是平行四边形. (1)与向量ED相等的向量有 又由AC|=B币1，知该平行四边形的对角线相等， (2)若AB1=3,则E元1=」 故四边形ABCD是矩形. 答案(1)AB,D心(2)6 5.已知A,B,C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行 解析(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和 向量，与BC是共线向量，则m= ABDE都是平行四边形，可知与向量E可相等的向量有 答案0 AB.D元. 解析平行向量又叫共线向量，因为A,B,C是不共线的 (2)因为1AB1=3,1EC1=21AB1,所以EC1=6. 三，点，所以AB与B武不共线，而与不共线向量A店，B 挑战·创新 都共线的向量只能是零向量， 6.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与 在平行四边形ABCD中，E, BD的交点，设点集M={O,A,B,C,D},向量的集合 F分别是CD,AB的中点， T={PIP,Q∈M,且P,Q不重合》，则集合T有 如图所示 个元素 (1)写出与向量F元共线的 向量； (2)求证：B=F (1)解与向量F元共线的向量有C萨，A它，E (2)证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥ CD,且AB=CD.又点E,F分别是CD,AB的中点，所以 答案12 EDBF,且ED=BF. 所以四边形BFDE是平行四边形，故B正=F市 6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 课前·基础认知 1.向量加法的定义 ·徽拓展三角形法则与平行四边形法则的区别与 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 联系 (2)对于零向量与任意向量a,规定a十0=0叶a=a 向量求和法则 三角形法则 平行四边形法则 2.向量求和的法则 满足条件 两向量“首尾相接” 两向量“共起点” 已知非零向量a,b,在平面内取 区别 任意一点A,作AB=a,B武= 适用范围 所有向量 不共线的两向量 角形法则 +0 b,则向量AC叫做a与b的和， 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这 记作a十b,即a+b=AB+ a 联系 两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解 BC=AC 决具体问题时视情况而定 ·微思考两个向量相加就是这两个向量的模相 平 a+b 加吗？ 提示不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加只 形 是数量的加法. 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为 3.a十b|与al,Ib|之间的关系 邻边作☐OACB,则以O为起点的向量O元就是向 一般地，我们有|a+bl≤1a|十|b1,当且仅当a,b 量a与b的和 方向相同时等号成立
数 学 必修 第二册 配人教 A版 4.若四边形ABCD 满足A→D=B→C,且|A→C|=|B→D|,则四边 形ABCD 是 (填四边形ABCD 的形状). 答案 矩形 解析 ∵A→D=B→C, ∴AD∥BC,且|A→D|=|B→C|, ∴四边形ABCD 是平行四边形. 又由|A→C|=|B→D|,知该平行四边形的对角线相等, 故四边形ABCD 是矩形. 5.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量A→B 是平行 向量,与B→C 是共线向量,则m= . 答案 0 解析 平行向量又叫共线向量,因为A,B,C 是不共线的 三点,所以A→B 与B→C 不共线,而与不共线向量A→B,B→C 都共线的向量只能是零向量. 6.如图所示,已知四边形ABCD 是矩形,O 为对角线AC 与 BD 的交点,设点集 M ={O,A,B,C,D},向量的集合 T={P→Q|P,Q ∈M,且 P,Q 不重 合},则 集 合 T 有 个元素. A B D C O 答案 12 解析 根据题意知,由点O,A,B,C,D 可以构成20个向 量,且它们有12个向量各不相等,由元素的互异性知T 中有12个元素. A B E D C 7.如图,四边形ABCD 和四边形ABDE 都 是平行四边形. (1)与向量E→D 相等的向量有 ; (2)若|A→B|=3,则|E→C|= . 答案 (1)A→B,D→C (2)6 解析 (1)根据向量相等的定义以及四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形,可知与向量E→D 相等的向量有 A→B,D→C. (2)因为|A→B|=3,|E→C|=2|A→B|,所以|E→C|=6. 挑战 创新 A B D E C F 在平行四边形ABCD 中,E, F 分别是CD,AB 的中点, 如图所示. (1)写出与向量F→C 共线的 向量; (2)求证:B→E=F→D. (1)解 与向量F→C 共线的向量有C→F,A→E,E→A. (2)证明 因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB∥ CD,且AB=CD.又点E,F 分别是CD,AB 的中点,所以 ED∥BF,且ED=BF. 所以四边形BFDE 是平行四边形,故B→E=F→D. 6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 课前·基础认知 1.向量加法的定义 (1)定义:求 两个向量和 的运算,叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a,规定a+ 0 =0+a=a . 2.向量求和的法则 三 角 形 法 则 已知非零向量a,b,在平面内取 任意一点 A,作 A→B=a,B→C= b,则向量A→C 叫做a与b的和, 记作 a+b ,即a+b=A→B+ B→C= A→C 平 行 四 边 形 法 则 以同一点O 为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB 为 邻边作▱OACB,则以O 为起点的向量 O→C 就是向 量a与b的和 微拓展 三角形法则与平行四边形法则的区别与 联系 向量求和法则 三角形法则 平行四边形法则 区别 满足条件 两向量“首尾相接” 两向量“共起点” 适用范围 所有向量 不共线的两向量 联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这 两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解 决具体问题时视情况而定 微思考 1 两个向量相加就是这两个向量的模相 加吗? 提示 不是,向量相加要考虑大小及方向,而模相加只 是数量的加法. 3.|a+b|与|a|,|b|之间的关系 一般地,我们有|a+b| ≤ |a|+|b|,当且仅当a,b 方向相同 时等号成立. 4
第六章平面向量及其应用 4.向量加法的运算律 微思考2向量加法的运算律与实数加法的运算律 (1)交换律：a十b=b十a 相同吗？ (2)结合律：(a十b)十c=a十(b十c) 提示相同. 课堂 重难突破 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相 连”，其向量的和为“起点指向终点”的向量：利用平行四 典例剖析 边形法则要注意两向量“共起点”，其向量的和为共起点 1.(1)如图，在△ABC中，D,E分 的“对角线”向量. 别是AB,AC上的点，F为线段DE延 提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形 长线上的点，DE∥BC,AB∥CF,连接 法则和平行四边形法则是统一的：(2)三角形法则作出的 CD,那么（在横线上只填一个向量）： 图形是平行四边形法则作出的图形的一半。 ①AB+DF= ②AD+F元= 二 向量的加法运算 ③AD+BC+F元= 典例剖析 答案①AC②AB③Ad 解析根据题图及已知可得四边形DFCB为平行四边 2.(1)化简： ①B武+AB:@Di+Ci+B元： 形，由向量加法的运算法则可知： ③AB+DF+CD+BC+FA. ①AB+DF=AB+BC=AC (2)如图，E,F,G,H分别是梯形 ②AD+F元=AD+Di=AB ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点， ③AD+BC+F元-AD+DF+F元-AC 化简下列各式： (2)①已知向量a,b,如图甲所示，求作向量a十b: ①DG+EA+CB: ②已知向量a,b,c,如图乙所示，求作向量a十b十c ②E元+d元+DA+EB (1)解DBC+AB=Ai+B元=AC: DB+CD+BC=BC+CD+DB-0; AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+ 甲 FA=0. 解①首先作向量OA=a,然后作向量AB=b,则向量 (2)解①D心+Ei+C=G元+B酝+C=G元+CB+ OB=a十b,如图所示. BE=GB+BE=GE; ②EG+C元+DA+E第=EG+Gi+DA+AE=Ei+ 6 0 A B DA+AE=EA+AE=0. ②方法一（三角形法则）：如图所示，首 先在平面内任取一点O,作向量OA=a, 规律总结☐向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形 再作向量AB=b,则向量O店=a十b,然后 的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的，实际 作向量BC=c,则向量OC=(a+b)十c= 上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的 a十b十c,即为所求. 方法二（平行四边形法则）：如图所 加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 示，首先在平面内任取一点O,作向量 (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换 Oi=a,Oi=b,O元=c,以OA,OB为邻 律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向 边作□OADB,连接OD,则OD=OA+ 量相加的顺序 Oi=a十b.再以OD,OC为邻边作 三 向量加法的实际应用 □ODEC,连接OE,则O龙=Oi+O元= a十b十c,即为所求， 典例剖析 规律总结1，向量求和的注意点 3.如图，用两根绳子把重10N的物 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. 体W吊在水平杆子AB上，∠ACW= (2)两个向量的和仍是一个向量. 150°，∠BCW=120°，求A处和B处所受150° 120 (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. 力的大小（绳子的质量忽略不计）
第六章 平面向量及其应用 4.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b= b+a . (2)结合律:(a+b)+c= a+(b+c). 微思考 2 向量加法的运算律与实数加法的运算律 相同吗? 提示 相同. 课堂·重难突破 一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 典例剖析 1.(1)如图,在△ABC 中,D,E 分 别是AB,AC 上的点,F 为线段DE 延 长线上的点,DE∥BC,AB∥CF,连接 CD,那么(在横线上只填一个向量): ①A→B+D→F= ; ②A→D+F→C= ; ③A→D+B→C+F→C= . 答案 ①A→C ②A→B ③A→C 解析 根据题图及已知可得四边形DFCB 为平行四边 形,由向量加法的运算法则可知: ①A→B+D→F=A→B+B→C=A→C. ②A→D+F→C=A→D+D→B=A→B. ③A→D+B→C+F→C=A→D+D→F+F→C=A→C. (2)①已知向量a,b,如图甲所示,求作向量a+b; ②已知向量a,b,c,如图乙所示,求作向量a+b+c. ! " 解 ①首先作向量O→A=a,然后作向量A→B=b,则向量 O→B=a+b,如图所示. ②方法一(三角形法则):如图所示,首 先在平面内任取一点O,作向量O→A=a, 再作向量A→B=b,则向量O→B=a+b,然后 作向量B→C=c,则向量O→C=(a+b)+c= a+b+c,即为所求. 方法二(平行四边形法则):如图所 示,首先在平面内任取一点 O,作向量 O→A=a,O→B=b,O→C=c,以OA,OB 为邻 边作▱OADB,连接OD,则O→D=O→A+ O→B =a+b.再 以 OD,OC 为 邻 边 作 ▱ODEC,连接OE,则O→E=O→D+O→C= a+b+c,即为所求. 1.向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. (2)两个向量的和仍是一个向量. (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. 2.利用三角形法则时,要注意两向量“首尾顺次相 连”,其向量的和为“起点指向终点”的向量;利用平行四 边形法则要注意两向量“共起点”,其向量的和为共起点 的“对角线”向量. 提醒:(1)当两个向量不共线时,向量加法的三角形 法则和平行四边形法则是统一的;(2)三角形法则作出的 图形是平行四边形法则作出的图形的一半. 二 向量的加法运算 典例剖析 2.(1)化简: ①B→C+A→B;②D→B+C→D+B→C; ③A→B+D→F+C→D+B→C+F→A. G H A B D C E F (2)如图,E,F,G,H 分别是梯形 ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点, 化简下列各式: ①D→G+E→A+C→B; ②E→G+C→G+D→A+E→B. (1)解 ①B→C+A→B=A→B+B→C=A→C; ②D→B+C→D+B→C=B→C+C→D+D→B=0; ③A→B+D→F+C→D+B→C+F→A=A→B+B→C+C→D+D→F+ F→A=0. (2)解 ①D→G+E→A+C→B=G→C+B→E+C→B=G→C+C→B+ B→E=G→B+B→E=G→E; ②E→G+C→G+D→A+E→B=E→G+G→D+D→A+A→E=E→D+ D→A+A→E=E→A+A→E=0. 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形 的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际 上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的 加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换 律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向 量相加的顺序. 三 向量加法的实际应用 典例剖析 3.如图,用两根绳子把重10N 的物 体W 吊在水平杆子 AB 上,∠ACW = 150°,∠BCW=120°,求A 处和B 处所受 力的大小(绳子的质量忽略不计). 5