第九章解三角形 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1正弦定理 第1课时 正孩定理 1.理解正弦定理及其相关变式的推导过程 课标定位 2.能应用正弦定理解三角形 素养阐释 3.加强逻辑推理与数学运算能力的培养 课前·基础认知 正弦定理 4.做一做： 【问题思考】 (1)在△ABC中，若A=60°，B=45,BC=32,则AC= b 1在R△ABC中，若C=90,则有nA=nB=c= (2)在△4BC中，若a=3,b=5,A=号，则C= sC:若△ABC为斜三角形，式子nA-snB一nC成 立吗？ 提示成立。 解析(1)由正弦定理得3，巨 AC sin60°sin45, 2.填空： 3√2·sin45 =2√3 (1)正弦定理 所以AC= sin60° (2)由正弦定理得3 图示 sin 3 又因为a>b,所以A>B, 正弦定理 则B=若C=x-(受+若)=受 文字 在一个三角形中，各边的长和它 语言 所对角的正弦的比相等 答案(125(2)号 符号 【思考辨析】 语言 sinA sin B sin C 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里画 (2)面积公式 “√”，错误的画“X”. S= 2absin C= 2acsin B= (1)正弦定理适用于任何三角形 (√) 2bcsin A. (2)在△ABC中，等式bsin A=asin B一定成立.（√/） (3)解三角形 (3)在△ABC中，a:b:c=simA:sinB:sinC. 三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知 (√/) 三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。 (4)在△ABC中，若sinA=sinC,则△ABC必为等腰 3.在一个三角形中，若只知道三个角，能解这个三角形吗？ 三角形. (√) 提示不能 (5)SAnc=absin C=bcsin A. (×)
第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第1课时 正弦定理 课标定位 素养阐释 1.理解正弦定理及其相关变式的推导过程. 2.能应用正弦定理解三角形. 3.加强逻辑推理与数学运算能力的培养. 课前·基础认知 正弦定理 【问题思考】 1.在Rt△ABC 中,若C=90°,则有 a sinA = b sinB =c= c sinC ;若△ABC 为斜三角形,式子 a sinA = b sinB = c sinC 成 立吗? 提示 成立. 2.填空: (1)正弦定理 (2)面积公式 S= 1 2 absinC= 1 2 acsinB= 1 2 bcsinA. (3)解三角形 三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素,已知 三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 3.在一个三角形中,若只知道三个角,能解这个三角形吗? 提示 不能. 4.做一做: (1)在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=32,则AC= . (2)在 △ABC 中,若a=3,b= 3,A = π 3 ,则 C= . 解析 (1)由正弦定理得 32 sin60° = AC sin45° , 所以AC= 32·sin45° sin60° =23. (2)由正弦定理得 3 sin π 3 = 3 sinB ,sinB= 1 2 . 又因为a>b,所以A>B, 则B= π 6 ,C=π- π 3 + π 6 = π 2 . 答案 (1)23 (2) π 2 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)正弦定理适用于任何三角形. (√) (2)在△ABC 中,等式bsinA=asinB 一定成立.(√) (3)在△ABC 中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. (√) (4)在△ABC 中,若sinA=sinC,则△ABC 必为等腰 三角形. (√) (5)S△ABC=absinC=bcsinA. (×) 1
数学 必修 第四册 配人教B版 课堂·重难突破 63 探究一已知三角形两角和任一边解三角形 再由 b 可得b 1×65_ sin A sin B 3 3 【例1】在△ABC中，已知A=45°，B=30°，a=2,解此 三角形 分析利用A十B十C=180°及正弦定理求解. 蓄案(1(2器 解根据三角形内角和定理知 探究二已知三角形两边和其中一边的对角 C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105° 解三角形 由正弦定理得6=asin B_2sim30° 2×2 sin A sin45°= =√2， 2 【例2】(1)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 2 a,b,c.已知A=60°，a=45,b=42,则B= 2x6+2 (2)在△ABC中，已知a=2√5，b=6.A=30°，求B.C c=asin C2sin 105 2sin 75 4 =/3+1. 和c. sin45° sin 45 分析(1)由正弦定理的特点直接求解，注意三角形解 曾延伸探究 的个数问题 本例变为：在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c= (2)利用正弦定理及内角和定理求解，注意三角形解的 √5+1，解此三角形. 个数问题 解由已知可得C=180°-A-B=105°， 1)解析由正弦定理得a b sin A sin B' 由正弦定理得a C sin A sin C' 把A=60°，a=4V5,b=4V2代入， 所以a=esinA-5+1)n45°=2. sin C sin 105 解释血B=号， 同理，b=asin B_2sim30° ∴.B=45°或B=135° sin A sin45°=2. b<a,∴B<A. 反思感悟 .B=45°. 已知两角与一边解三角形的步骤： 答案45° (1)由三角形内角和定理求出第三个角： (2②)解由正孩定理得品AB b (2)由正弦定理求另外两边 【变式训练1】(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分 则sinB=bsin A_6sin30°_5 25 -2 别为a6c,若a=5.smB=分C=若则6= 又a=25,b=6,a<b, (2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 ∴.B=60°或B=120°. sA=号C=品a=1,则6= 当B=60°时，C=90°， a 解析(1在△ABC中，由smB=子，可得B=管或 由正弦定理得 sin C-sin A' B= 6 则c=asin C=25sin90 sin30° =4√3： sin A 因为C=晋， 当B=120°时，C=30，°c=asin C_25sin30° sin A sin30° 25. 所以B=吾从而A 3 综上，B=60°，C=90°，c=43或B=120°，C=30°，c= 由品品B可得61 25. 飞反思感悟 (②南已可得A-号C= 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的 方法： 则B=(A+0)=号×是+号×是-器， (1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值 2
数 学 必修 第四册 配人教B版 课堂·重难突破 探究一 已知三角形两角和任一边解三角形 【例1】在△ABC 中,已知A=45°,B=30°,a=2,解此 三角形. 分析 利用A+B+C=180°及正弦定理求解. 解 根据三角形内角和定理知 C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°. 由正弦定理得b= asinB sinA = 2sin30° sin45° = 2× 1 2 2 2 = 2, c= asinC sinA = 2sin105° sin45° = 2sin75° sin45° = 2× 6+ 2 4 2 2 = 3+1. 本例变为:在 △ABC 中,已知 A =45°,B=30°,c= 3+1,解此三角形. 解 由已知可得C=180°-A-B=105°, 由正弦定理得 a sinA = c sinC , 所以a= csinA sinC = (3+1)sin45° sin105° =2, 同理,b= asinB sinA = 2sin30° sin45° = 2. 已知两角与一边解三角形的步骤: (1)由三角形内角和定理求出第三个角; (2)由正弦定理求另外两边. 【变式训练1】(1)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,若a= 3,sinB= 1 2 ,C= π 6 ,则b= . (2)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 cosA= 4 5 ,cosC= 5 13 ,a=1,则b= . 解析 (1)在△ABC 中,由sinB= 1 2 ,可得B= π 6 或 B= 5π 6 , 因为C= π 6 , 所以B= π 6 ,从而A= 2π 3 , 由 a sinA = b sinB ,可得b=1. (2)由已知可得sinA= 3 5 ,sinC= 12 13 , 则sinB=sin(A+C)= 3 5 × 5 13 + 4 5 × 12 13 = 63 65 , 再由 a sinA = b sinB 可得b= 1× 63 65 3 5 = 21 13 . 答案 (1)1 (2) 21 13 探究二 已知三角形两边和其中一边的对角 解三角形 【例2】(1)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知A=60°,a=43,b=42,则B= . (2)在△ABC 中,已知a=2 3,b=6,A=30°,求B,C 和c. 分析 (1)由正弦定理的特点直接求解,注意三角形解 的个数问题. (2)利用正弦定理及内角和定理求解,注意三角形解的 个数问题. (1)解析 由正弦定理得 a sinA = b sinB . 把A=60°,a=43,b=42代入, 解得sinB= 2 2 , ∴B=45°或B=135°. ∵b<a,∴B<A. ∴B=45°. 答案 45° (2)解 由正弦定理得 a sinA = b sinB , 则sinB= bsinA a = 6sin30° 23 = 3 2 . 又a=23,b=6,a<b, ∴B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=90°, 由正弦定理得 c sinC = a sinA , 则c= asinC sinA = 23sin90° sin30° =43; 当B=120°时,C=30°,c= asinC sinA = 23sin30° sin30° =23. 综上,B=60°,C=90°,c=43或B=120°,C=30°,c= 23. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的 方法: (1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值. 2
第九章 解三角形 且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状】 (2)当已知的角为大边所对的角时，由三角形中大 b 边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角 解法一由正弦定理可知nA一sinB一sinC 为锐角，由正弦值可求唯一锐角。 .sinA=sin'B+sinC,..a2=62+c2, (3)当已知的角为小边所对的角时，不能判断另一 ∴.A是直角，B+C=90°. 边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，并分 .'.2sin Bcos C=2sin Bcos(90-B)=2sinB=sin A= 类讨论 1血8-号 【变式训练2】在△ABC中，c=6,C= 3a=2,求 0°<B<90°，.B=45°，C=45°， ∴.△ABC是等腰直角三角形 A,B,6. 解法二根据正弦定理， 解“A-茹C a b mA=如C-号A=或A- 得nA-sinB-sinC 4 .'sin2A=sin2B+sin2C. 又c>aC>AA=子B=0 ∴.a2=b2+c2,∴.A是直角. .A=180-(B+C),sin A=2sin Bcos C, 而血晋=(--)=如（+）-× .'sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴.sin(B-C)=0. π 又-90°<B-C<90°， 21 2+号×2=6+2 ,6=csin B 6Xsin 12 .B-C=0°，B=C. =√3+1 4 sin C sin3 ∴.△ABC是等腰直角三角形， 思想方法 探究三判断三角形的形状 用分类讨论的方法解三角形 【例3】在△ABC中，已知acosA=bcos B,试判断三 【典例】在△ABC中，已知B=30°，b=505,c=150, 角形的形状」 求a. 分析判断三角形形状通常从三角形内角的关系入手， b 也可以从三角形三边关系入手，本题由条件式可考虑首先应 解由茹C-品B得 用正弦定理把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然 sin C=csin B150sin 303 后予以判定 b 50W3 2 因为0°<C<150°.所以C=60°或C=120° 解由正弦定理得 b sin B' 当C=60时，A=180°-B-C=90°， 已知acos A=bcos B,即g=cosB 于是a=√62+c2=√(505)2+1502=1005： b cos A' 当C=120时，A=180°-B-C=30°， 所以sinA_cosB sin B cos A' 于是a=b=50√3. 即sin Acos A=sin Bcos B,则sin2A=sim2B. 综上所述，a=505或a=1005. 所以2A=2B或2A=π-2B」 ①方法点睛 由正弦定理解三角形时，若求出某角的正弦值，则 可得A=B或A十B=2 要讨论该角为锐角和钝角两种情况.有时也可以根据 因此△ABC是等腰三角形或直角三角形 “大边对大角”确定角的值 反思感悟 判断三角形形状有两种思路： 【变式训练】在△ABC中，已知a=2,b=2,A= (1)化边为角：①利用边角互化公式，将题目中的 30°，解此三角形. 边化为角；②利用三角恒等变换整理得到内角关系； 解由品入一品B样血B=如4-如0 b ③结合三角函数单调性确定角的关系，进而确定三角 a 瓦 2 形形状 .ab,∴.B>A=30° (2)化角为边：①利用边角互化公式将题目中的角 .B=45°或B=135 化为边：②利用分解因式、配方法等得到a,b,c的关系 当B=45时，C=180°-(A十B)=180°-(30°+45)= (如a=b,a2十b2=c2);③确定三角形形状. 105°. C 【变式训练3】在△ABC中，若sinA=2 sin Bcos C, 又snC=simA' 3
第九章 解三角形 (2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大 边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角 为锐角,由正弦值可求唯一锐角. (3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一 边所对的角为锐角,这时由正弦值可求出两个角,并分 类讨论. 【变式训练2】在△ABC 中,c= 6,C= π 3 ,a=2,求 A,B,b. 解 ∵ a sinA = c sinC , ∴sinA= asinC c = 2 2 ,∴A= π 4 或A= 3π 4 . 又c>a,∴C>A,∴A= π 4 ,∴B= 5π 12 , 而sin 5π 12 =sin π- π 3 - π 4 =sin π 3 + π 4 = 3 2 × 2 2 + 1 2 × 2 2 = 6+ 2 4 ,b= csinB sinC = 6×sin 5π 12 sin π 3 = 3+1. 探究三 判断三角形的形状 【例3】在△ABC 中,已知acosA=bcosB,试判断三 角形的形状. 分析 判断三角形形状通常从三角形内角的关系入手, 也可以从三角形三边关系入手.本题由条件式可考虑首先应 用正弦定理把边化为角,寻找三角形角与角之间的关系,然 后予以判定. 解 由正弦定理得 a b = sinA sinB . 已知acosA=bcosB,即 a b = cosB cosA , 所以 sinA sinB = cosB cosA , 即sinAcosA=sinBcosB,则sin2A=sin2B. 所以2A=2B 或2A=π-2B. 可得A=B 或A+B= π 2 . 因此△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 判断三角形形状有两种思路: (1)化边为角:①利用边角互化公式,将题目中的 边化为角;②利用三角恒等变换整理得到内角关系; ③结合三角函数单调性确定角的关系,进而确定三角 形形状. (2)化角为边:①利用边角互化公式将题目中的角 化为边;②利用分解因式、配方法等得到a,b,c的关系 (如a=b,a2+b2=c2);③确定三角形形状. 【变式训练3】在△ABC 中,若sinA=2sinBcosC, 且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC 的形状. 解法一 由正弦定理可知 a sinA = b sinB = c sinC , ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2, ∴A 是直角,B+C=90°, ∴2sinBcosC=2sinBcos(90°-B)=2sin2B=sinA= 1,∴sinB= 2 2 . ∵0°<B<90°,∴B=45°,C=45°, ∴△ABC 是等腰直角三角形. 解法二 根据正弦定理, 得 a sinA = b sinB = c sinC , ∵sin2A=sin2B+sin2C, ∴a2=b2+c2,∴A 是直角. ∵A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC, ∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC, ∴sin(B-C)=0. 又-90°<B-C<90°, ∴B-C=0°,∴B=C, ∴△ABC 是等腰直角三角形. 思 想 方 法 用分类讨论的方法解三角形 【典例】在△ABC 中,已知B=30°,b=503,c=150, 求a. 解 由 c sinC = b sinB 得 sinC= csinB b = 150sin30° 503 = 3 2 . 因为0°<C<150°,所以C=60°或C=120°. 当C=60°时,A=180°-B-C=90°, 于是a= b2+c2 = (503)2+1502 =1003; 当C=120°时,A=180°-B-C=30°, 于是a=b=503. 综上所述,a=503或a=1003. 由正弦定理解三角形时,若求出某角的正弦值,则 要讨论该角为锐角和钝角两种情况.有时也可以根据 “大边对大角”确定角的值. 【变式训练】在△ABC 中,已知a= 2,b=2,A= 30°,解此三角形. 解 由 a sinA = b sinB 得sinB= bsinA a = 2sin30° 2 = 2 2 , ∵a<b,∴B>A=30°, ∴B=45°或B=135°. 当B=45°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)= 105°, 又 c sinC = a sinA , 3
数学 必修 第四册 配人教B版 c=asmC-2sim10s°_巨sim75 2x6+3 故△ABC为等腰三角形. 4 答案B sin A sin30° sin30° 2 3.在△ABC中，AB=5,A=45°，B=60°，则BC= 3+1. 解析利用正弦定理BC=AB sin A sin C' 当B=135°时，C=180°一(4+B)=180°一(30°+ 而C=180°-(A+B)=75°， 135)=15°， Ex6-② 故BC=ABsinA-V3sim45° c=asin C-2sinl5° sin C 4 sin75°=3-5. sin A sin30° 1 =5-1. 答案3-5 2 4.在△ABC中，若a=15,b=10,A=60°，则c0sB= .B=45°，C=105°，c=5+1或B=135°，C=15°，c= b 解析由正弦定理 5-1. sin A sin B' 随堂训练。。·。·。。 得o=nB…sB3 10 3 :b<a,∴B<A.故角B为锐角， 1.在△ABC中，若sinA>sinB,则A与B的大小关系 为(). A.A>B sB=vm五(- B.A<B 答案 C.A≥B D.A,B的大小关系不能确定 5在△ABC中，A=60,simB=之a=3,求三角形中其他 答案A 边与角的大小。 2.在△ABC中，若c=2 cos B,则△ABC的形状为( 解A=60°，.0°<B<120, A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形 又sinB= 1 2 解析，c=2 acos B, ∴.B=30°，C=90° ∴.sinC=2 sin Acos B,又sinC=sin(A+B)= C sin Acos B+cos Asin B, 由正弦定理得6 sin B sin C sin A' ,∴，2 sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, sin B 故b sin30° sin Acos B-cos Asin B=0, sinA·a sin 60X3=3, ∴sin(A-B)=0.又-π<A-B<π， sin C sinA·a sin90° C= ∴.A-B=0,.A=B. sin60X3=23. 课后·训练提升 1.在△ABC中，如果a=√2，b=5,B=60°，那么A等 于(). B∈0，）mB≠0∴mA- A.135 B.90° C.45° D.30° 又A∈(，号)A=号故选A 解析a b sin Asin B" 答案A .'.sin A=asin B x 3.在△ABC中，如果acos B=bcos A,那么△ABC一定 2 是(). b A.锐角三角形 B.钝角三角形 a<b,A<B,∴.A=45° C.直角三角形 D.等腰三角形 答案C 解析，由正弦定理和已知条件可得sin Acos B= 2.在锐角三角形ABC中，A,B所对的边分别为a,b.若 sin Bcos A, 2 asin B=3b,则A等于(). .sin(A-B)=0,∴.A=B. A号 Co D登 该三角形是等腰三角形 答案D 解析由正弦定理和已知条件可得2 sin Asin B=3sinB,4.△ABC的三个内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若
数 学 必修 第四册 配人教B版 ∴c= asinC sinA = 2sin105° sin30° = 2sin75° sin30° = 2× 6+ 2 4 1 2 = 3+1. 当B=135°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+ 135°)=15°, ∴c= asinC sinA = 2sin15° sin30° = 2× 6- 2 4 1 2 = 3-1. ∴B=45°,C=105°,c= 3+1或B=135°,C=15°,c= 3-1. 随堂训练 1.在△ABC 中,若sinA>sinB,则 A 与B 的大小关系 为( ). A.A>B B.A<B C.A≥B D.A,B 的大小关系不能确定 答案 A 2.在△ABC 中,若c=2acosB,则△ABC 的形状为( ). A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形 解析 ∵c=2acosB, ∴sinC=2sinAcosB,又sinC=sin(A +B)= sinAcosB+cosAsinB, ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB, 即sinAcosB-cosAsinB=0, ∴sin(A-B)=0.又-π<A-B<π, ∴A-B=0,∴A=B. 故△ABC 为等腰三角形. 答案 B 3.在△ABC 中,AB= 3,A=45°,B=60°,则BC= . 解析 利用正弦定理 BC sinA = AB sinC , 而C=180°-(A+B)=75°, 故BC= ABsinA sinC = 3sin45° sin75° =3- 3. 答案 3- 3 4.在△ABC中,若a=15,b=10,A=60°,则cosB= . 解析 由正弦定理 a sinA = b sinB , 得 15 sin60° = 10 sinB ,∴sinB= 3 3 , ∵b<a,∴B<A.故角B 为锐角, ∴cosB= 1-sin2B= 1- 3 3 2 = 6 3 . 答案 6 3 5.在△ABC 中,A=60°,sinB= 1 2 ,a=3,求三角形中其他 边与角的大小. 解 ∵A=60°,∴0°<B<120°, 又sinB= 1 2 , ∴B=30°,C=90°. 由正弦定理得 b sinB = c sinC = a sinA , 故b= sinB sinA ·a= sin30° sin60° ×3= 3, c= sinC sinA ·a= sin90° sin60° ×3=23. 课后·训练提升 1.在△ABC 中,如果a= 2,b= 3,B=60°,那么 A 等 于( ). A.135° B.90° C.45° D.30° 解析 ∵ a sinA = b sinB , ∴sinA= asinB b = 2× 3 2 3 = 2 2 . ∵a<b,∴A<B,∴A=45°. 答案 C 2.在锐角三角形 ABC 中,A,B 所对的边分别为a,b.若 2asinB= 3b,则A 等于( ). A. π 3 B. π 4 C. π 6 D. π 12 解析 由正弦定理和已知条件可得2sinAsinB= 3sinB, ∵B∈ 0, π 2 ,∴sinB≠0,∴sinA= 3 2 . 又A∈ 0, π 2 ,∴A= π 3 ,故选 A. 答案 A 3.在△ABC 中,如果acosB=bcosA,那么△ABC 一定 是( ). A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 解析 ∵ 由 正 弦 定 理 和 已 知 条 件 可 得 sinAcosB = sinBcosA, ∴sin(A-B)=0,∴A=B. ∴该三角形是等腰三角形. 答案 D 4.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边边长分别为a,b,c,若 4
第九章解三角形 a= Fb,A=2B,则cosB=( 8在△4BC中，A=行a=5c,则2 5 解析由正弦定理知血A=“=5】 3 4 C. sin Cc 5 2π 解析a= b,A=2B. 即sinC= sin 3 1 -2 由正弦定理知“ b b 又a>c,∴C=r sin A-sin Bsin 2B-sin B" .cos B=5 ∴6=c,即2=1. 4 答案1 答案B 5.在△ABC中，若a=5,b=√2，B=45°，则A=( ). 9在△ABC中，B=45AC=0,msC-25 求BC的长 5 A30° B.30°或105°C.60° D.60°或120° 解由asC=25浮如C=-mC-5 51 解析：sinA=asin B_ b2 2 sinA=sin(180°-45°-C)=2 乞(cosC+sin C)= 又asin B<b<a,.该三角形有两解. 30 A=60°或A=120°. 101 答案D 6.在△ABC中，若(3b-c)cosA=acos C,则cosA= 由正弦定理，得=AC4V而x3@ 10 sin B =32. ② 解析由正弦定理和已知条件可得 (3sin B-sin C)cos A=sin Acos C, 10.在△ABC中，cosA= 13c0sB=3 .'.3sin Bcos A-sin Ccos A=sin Acos C. (1)求sinC的值： .3sin Bcos A=sin(A++C)=sin B, (2)设BC=5,求△ABC的面积. fom 解(1)由cosA= 得sinA= 5 13 3 答率号 由mB=子得mB=号 sinC=sin(π-A-B)=sin(A十B)=sin Acos B+ 7.在锐角三角形ABC中，已知a=4 bsin A,则cosB= cos Asin B=16 51 解析：a=4 bsin A.46=sin Asin B b 咖8= 四E花充，将CC急_x子只 sin A 12 3 13 :△ABC是锐角三角形， 故△ABC的面积S= B=品- zBC·AC·sinC= 十 5x3×6=8 答案 3653 第2课时 正孩定理的应用 课标定位 1.掌握正弦定理及三角形的面积公式 2.能够灵活应用正弦定理解决有关三角形解的个数问题、三角形中的证明问题等. 素养阐释 3.加强逻辑推理和数学运算能力的培养】
第九章 解三角形 a= 5 2 b,A=2B,则cosB=( ). A. 5 3 B. 5 4 C. 5 5 D. 5 6 解析 ∵a= 5 2 b,A=2B, 由正弦定理知 a sinA = b sinB ,∴ 5 2 b sin2B = b sinB , ∴cosB= 5 4 . 答案 B 5.在△ABC 中,若a= 3,b= 2,B=45°,则A=( ). A.30° B.30°或105°C.60° D.60°或120° 解析 ∵sinA= asinB b = 3× 2 2 2 = 3 2 , 又asinB<b<a,∴该三角形有两解. ∴A=60°或A=120°. 答案 D 6.在△ABC 中,若(3b-c)cosA=acosC,则cosA= . 解析 由正弦定理和已知条件可得 (3sinB-sinC)cosA=sinAcosC, ∴ 3sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC. ∴ 3sinBcosA=sin(A+C)=sinB, ∴cosA= 3 3 . 答案 3 3 7.在锐角三角形 ABC 中,已知a=4bsinA,则cosB= . 解析 ∵a=4bsinA,∴4b= a sinA = b sinB , ∴sinB= 1 4 . ∵△ABC 是锐角三角形, ∴cosB= 1- 1 16 = 15 4 . 答案 15 4 8.在△ABC 中,A= 2π 3 ,a= 3c,则 b c = . 解析 由正弦定理知 sinA sinC = a c = 3, 即sinC= sin 2π 3 3 = 1 2 , 又a>c,∴C= π 6 ,∴B=π- 2π 3 - π 6 = π 6 =C, ∴b=c,即 b c =1. 答案 1 9.在△ABC中,B=45°,AC= 10,cosC= 25 5 ,求BC的长. 解 由cosC= 25 5 ,得sinC= 1-cos2C= 5 5 . sinA=sin(180°-45°-C)= 2 2 (cosC+sinC)= 3 10 10 . 由正弦定理,得BC= ACsinA sinB = 10× 3 10 10 2 2 =32. 10.在△ABC 中,cosA=- 5 13 ,cosB= 3 5 . (1)求sinC 的值; (2)设BC=5,求△ABC 的面积. 解 (1)由cosA=- 5 13 ,得sinA= 12 13 . 由cosB= 3 5 ,得sinB= 4 5 . sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+ cosAsinB= 16 65 . (2)由正弦定理,得AC= BC·sinB sinA = 5× 4 5 12 13 = 13 3 , 故△ABC 的面积S= 1 2 BC·AC·sinC= 1 2 × 5× 13 3 × 16 65 = 8 3 . 第2课时 正弦定理的应用 课标定位 素养阐释 1.掌握正弦定理及三角形的面积公式. 2.能够灵活应用正弦定理解决有关三角形解的个数问题、三角形中的证明问题等. 3.加强逻辑推理和数学运算能力的培养. 5