第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 素养·目标定位 目标素养 知识概览 空间向量的 有关概念 空间向量的加法运算 1.了解空间向量的概念 空间向 空间向量的 线性运算 空间向量的减法运算 2.理解空间向量的线性运算及运算律」 量的概 3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用. 念及线 空间向量的数乘运算 性运算 空间向量共线的充要条件 空间向量共面的充要条件 课前·基础认知 1.空间向量的有关概念 续表 (1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 名称 定义 表示法 空间向量 与向量a长度相等而方向 (2)长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的长度 相反 或模。 向量 相反的向量，叫做a的相 -a 反向量 字母表示法：空间向量用字母a,b,c,…表示. 几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段 如果表示若干空间向量的有 表 (3) 的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终 向线段所在的直线互相平行 法 或重合，那么这些向量叫做 a//b 点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为 共线 al或AB1 向量 共线向量或平行向量 微思考空间向量的定义及表示方法与平面向量的 规定：零向量与任意向量 0/a 定义及表示方法有区别吗？ 平行 提示室间向量与平面向量的定义没有本质区别，表示 相等 方向相同且模相等的向 方法都一样 向量 量叫做相等向量 a=b或AB=CD 2.几类特殊的空间向量 3.空间向量的线性运算 名称 定义 表示法 (1)空间向量的加法、减法以及数乘运算 长度为0的向量叫做零 C 零向量 向量 0 单位 模为1的向量叫做单位 向量 向量 lal=1或AB1=1 ①
第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.了解空间向量的概念. 2.理解空间向量的线性运算及运算律. 3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用. 课前·基础认知 1.空间向量的有关概念 (1)定义:在空间,我们把具有 大小 和 方向 的量叫做 空间向量. (2)长度或模:空间向量的 大小 叫做空间向量的长度 或模. (3) 表 示 法 字母表示法:空间向量用字母 a,b,c,… 表示. 几何表示法:空间向量用 有向线段 表示,有向线段 的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终 点是B,则向量a 也可以记作 A→B ,其模记为 |a| 或 |A→B| . 微思考 空间向量的定义及表示方法与平面向量的 定义及表示方法有区别吗? 提示 空间向量与平面向量的定义没有本质区别,表示 方法都一样. 2.几类特殊的空间向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为 0 的向 量 叫 做 零 向量 0 单位 向量 模为 1 的向量 叫 做 单 位 向量 |a|=1或|A→B|=1 续 表 名称 定义 表示法 相反 向量 与向量a长度 相等 而方向 相反 的向量,叫做a 的相 反向量 -a 共线 向量 如果表示若干空间向量的有 向线段所在的直线互相平行 或重合,那么这些向量叫做 共线向量或平行向量 a∥b 规 定:零 向 量 与 任 意 向 量 平行 0∥a 相等 向量 方向 相同 且模 相等 的向 量叫做相等向量 a=b或A→B=C→D 3.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法以及数乘运算 ① 1
数学 选择性必修 第一册 配人教A版 Q IM 使得O币=a·我们把与向量a平行的非零向量称为直 1a(>0) 1a(1<0) 线1的方向向量 a N ② 由图①②知a+b=Oi+Ai=O店：a-b=Oi- 0 O元=C (3)与直线、平面平行的向量：如图，如果表示向量a的 当A>0时，Aa=aOi=P0:当入<0时，a= 有向线段OA所在的直线OA与直线1平行或重合，那 AOA=MN: 么称向量a平行于直线L.如果直线OA平行于平面a或 当A=0时，a=0 在平面a内，那么称向量a平行于平面a. (2)空间向量的线性运算满足以下运算律（其中入， a a∈R): A 交换律：a十b=b十a; a 结合律：a+(b+c)=(a+b)十c,A(a)=(r)a: 分配律：(A十4)a=λa十0，λ(a十b)=λa十Ab. Q 微训练化简：5(3a-2b)+4(2b-3a)=3a-2b (4)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面 4.共线向量与共面向量 (1)两个向量共线（平行）的充要条件：对任意两个空间向 向量 量a,b(b≠0)，a仍的充要条件是存在实数入，使a=b· (5)三个向量共面的充要条件：如果两个向量a,b不共 (2)直线的方向向量：如图，O是直线1上一点，在直线1 线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的 上取非零向量a,则对于直线1上任意一点P,存在实数入， 有序实数对(x,y),使p=xa土yb 课堂·重难突破 空间向量的有关概念 a=一b时，也有|a|=|b|,故③不正确：只要模相等、方向相 同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，故④ 典例剖析 不正确.故选B 1.下列说法正确的是() 二 空间向量的线性运算的应用 A.若la=lbl,则a,b的模相等，方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|=|b 典例剖析 C不相等的两个空间向量的模必不相等 2.如图，在平行六面体ABCD- D D.在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC A1B1CD1中，设AA1=a,AB=b, 答案B A=c,M,N,P分别是AA1,BC, 解析对于A,由a=b|,可知a,b的模相等，但方向 CD的中点，试用a,b,c表示以下各 不确定，故A错误：对于B,因为a=一b,所以a=|b|,故 向量： B正确：C显然错误；对于D,只有当四边形ABCD为平行 (1)AP;(2)A1:(3)M亦+NC 四边形时，才有AB+AD=AC,故D错误.故选B. 解(1)A市=AD,+D产=(AA+A)+A店=a十 学以致用 1.下列关于空间向量的说法中，正确的个数是( ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量： (2)AN=AA+AB+BN=-AA+AB+ ②平行且模相等的两个向量是相等向量： ③若a≠b,则|al≠|b|: 2d=-a+b+2c ④若两个向量相等，则它们的起点与终点相同 (3)MP+NCI=(MA+A D+D,P)+(NC+CC) A.0 B.1 =2+++而+ C.2 D.3 答案B +号+动 = 解析根据相等向量的定义知，长度相等、方向相同的 两个向量是相等向量，故①正确：平行且模相等的两个向量 =+b+2 可能是相等向量，也可能是相反向量，故②不正确：当 2
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 ② 由图①②知a+b=O→A+A→B= O→B ;a-b=O→AO→C= C→A . 当λ>0 时,λa=λO→A = P→Q ;当λ<0 时,λa= λO→A= M→N ; 当λ=0时,λa= 0 . (2)空间向量的线性运算满足以下运算律 (其中λ, μ∈R): 交换律:a+b=b+a; 结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a; 分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb. 微训练 化简:5(3a-2b)+4(2b-3a)= 3a-2b . 4.共线向量与共面向量 (1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向 量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 a=λb . (2)直线的方向向量:如图,O 是直线l上一点,在直线l 上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ, 使得O→P= λa .我们把与向量a 平行的非零向量称为直 线l的 方向向量 . (3)与直线、平面平行的向量:如图,如果表示向量a 的 有向线段O→A 所在的直线OA 与直线l 平行 或 重合 ,那 么称向量a平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α 或 在平面α内 ,那么称向量a平行于平面α. (4)共面向量:平行于 同一个平面 的向量,叫做共面 向量. (5)三个向量共面的充要条件:如果两个向量a,b 不共 线 ,那么向量p 与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的 有序实数对(x,y),使p= xa+yb . 课堂·重难突破 一 空间向量的有关概念 典例剖析 1.下列说法正确的是( ) A.若|a|=|b|,则a,b的模相等,方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b| C.不相等的两个空间向量的模必不相等 D.在四边形ABCD 中,一定有A→B+A→D=A→C 答案 B 解析 对于 A,由|a|=|b|,可知a,b的模相等,但方向 不确定,故 A错误;对于B,因为a=-b,所以|a|=|b|,故 B正确;C显然错误;对于 D,只有当四边形ABCD 为平行 四边形时,才有A→B+A→D=A→C,故D错误.故选B. 学以致用 1.下列关于空间向量的说法中,正确的个数是( ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量; ②平行且模相等的两个向量是相等向量; ③若a≠b,则|a|≠|b|; ④若两个向量相等,则它们的起点与终点相同. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 根据相等向量的定义知,长度相等、方向相同的 两个向量是相等向量,故①正确;平行且模相等的两个向量 可能是 相 等 向 量,也 可 能 是 相 反 向 量,故 ② 不 正 确;当 a=-b时,也有|a|=|b|,故③不正确;只要模相等、方向相 同,两个向量就是相等向量,与向量的起点与终点无关,故④ 不正确.故选B. 二 空间向量的线性运算的应用 典例剖析 2.如图,在 平 行 六 面 体 ABCDA1B1C1D1 中,设 AA1 →=a,A→B =b, A→D=c,M,N,P 分别是AA1,BC, C1D1 的中点,试用a,b,c表示以下各 向量: (1)A→P;(2)A1 →N;(3)M→P+NC1 →. 解 (1)A→P=AD1 →+D1 →P=(AA1 →+A→D)+ 1 2 A→B=a+ c+ 1 2 b. (2)A1 →N =A1 →A +A→B +B→N = -AA1 → +A→B + 1 2 A→D=-a+b+ 1 2 c. (3)M→P+NC1 →=(MA1 →+A1D1 →+D1 →P)+(N→C+CC1 →) = 1 2 AA1 →+A→D+ 1 2 A→B+ 1 2 A→D+AA1 → = 3 2 AA1 →+ 1 2 A→B+ 3 2 A→D = 3 2 a+ 1 2 b+ 3 2 c. 2
第一章空间向量与立体几何 规律总结」用已知向量表示未知向量时要注意两个 学以致用 方面： (1)熟练掌握空间向量的线性运算及运算律： 3.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，E在A1D1 (2)注意数形结合思想的运用」 上，且A正=2ED,F在A,C上且A=号F元.求证：E, 学以致用 F,B三点共线。 2.如图，在平行六面体ABCD D D AB,CD1中，O为AC的中点. E (1)化简：A0-号菇-号市， B (2)设E是棱DD1上的点，且 正=DD,试用A店，亦，A个表 A 示Ei. 证明设AB=a,AD=b,AA1=c. 解(1Ad-店-市=A0-2+市)= 图为A在=2ED.A市-号成 A10-A0=A1A 所以AE=子ADA正=号AC。 (2ò=Aò-A正-号(A花+市)-A市-号AA 诚-号市-. 所以A正-号市-号0， 三空间向量共线问题 AF=名(AC-M)=号A+市-aM=号a+ 典例剖析 3.如图，已知四边形ABCD是空 4 所以=A市-A正=a-0-c=(a 间四边形，E,H分别是边AB,AD的 中点，F,G分别是边CB,CD上的点， 3-e). 且=号.心=c.求证：四 又丽=E+A+A店=0-子b-c, 边形EFGH是梯形. 证明：E,H分别是边AB,AD的中点， 所以萨=弦，所以萨感 应-A-2市。 又E序与E有公共点E,所以E,F,B三点共线 四空间向量共面问题 :=A-A应=A心-A店=励 典例剖析 =2-=(2花-) 4.(1)已知A,B,M三点不共线，O为平面ABM外任 --本)= 意一点，判断在下列条件下，点P是否与点A,B,M共面. ①0M+Oi=30i-OA: Ei∥FG ②0P=40A-Oi-0M 且E=1F心≠F心. (2)已知A,B,C三点不共线，O为空间内任意一点，点 又点F不在直线EH上， M满足O城=Oi+0成+号元 ,四边形EFGH是梯形. ①M,M店，M元是否共面？ 规律总结」1.利用空间向量共线证明线线平行时，应 ②点M是否在平面ABC内？ 注意向量共线与两直线平行的区别. 解(1)①：OM+O店=30币-0i」 2.判断或证明两空间向量a,b(b≠0)共线，就是寻 ..OP=OM+(OA-OP)+(OB-OP)=OM+PA+ 找实数入，使a=λb成立，为此常结合题目图形，运用空 PB. 间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量 :.O币-OMi=PA+P,即M亦=PA+P, 表达a,b M亦，PA,P克共面，∴点P与点A,B,M共面。 ②OP=4OA-OB-OM, ..OP-OA=0A+(OA-OB)+(OA-OM), 3
第一章 空间向量与立体几何 用已知向量表示未知向量时要注意两个 方面: (1)熟练掌握空间向量的线性运算及运算律; (2)注意数形结合思想的运用. 学以致用 2.如图,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,O 为AC 的中点. (1)化简:A1 →O- 1 2 A→B- 1 2 A→D; (2)设 E 是棱DD1 上的点,且 D→E= 2 3 DD1 →,试用A→B,A→D,AA1 → 表 示E→O. 解 (1)A1 →O- 1 2 A→B- 1 2 A→D=A1 →O- 1 2 (A→B+A→D)= A1 →O-A→O=A1 →A. (2)E→O=A→O-A→E= 1 2 (A→B+A→D)-A→D- 2 3 AA1 →= 1 2 A→B- 1 2 A→D- 2 3 AA1 →. 三 空间向量共线问题 典例剖析 3.如图,已知四边形ABCD 是空 间四边形,E,H 分别是边AB,AD 的 中点,F,G 分别是边CB,CD 上的点, 且C→F= 2 3 C→B,C→G= 2 3 C→D.求证:四 边形EFGH 是梯形. 证明 ∵E,H 分别是边AB,AD 的中点, ∴A→E= 1 2 A→B,A→H= 1 2 A→D, ∴E→H=A→H-A→E= 1 2 A→D- 1 2 A→B= 1 2 B→D = 1 2 (C→D-C→B)= 1 2 3 2 C→G- 3 2 C→F = 3 4 (C→G-C→F)= 3 4 F→G. ∴E→H∥F→G, 且|E→H|= 3 4 |F→G|≠|F→G|. 又点F 不在直线EH 上, ∴四边形EFGH 是梯形. 1.利用空间向量共线证明线线平行时,应 注意向量共线与两直线平行的区别. 2.判断或证明两空间向量a,b(b≠0)共线,就是寻 找实数λ,使a=λb 成立,为此常结合题目图形,运用空 间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量 表达a,b. 学以致用 3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 在A1D1 上,且A1 →E=2ED1 →,F 在A1C 上,且A1 →F= 2 3 F→C.求证:E, F,B 三点共线. 证明 设A→B=a,A→D=b,AA1 →=c. 因为A1 →E=2ED1 →,A1 →F= 2 3 F→C, 所以A1 →E= 2 3 A1D1 →,A1 →F= 2 5 A1 →C, 所以A1 →E= 2 3 A→D= 2 3 b, A1 →F= 2 5 (A→C-AA1 →)= 2 5 (A→B+A→D-AA1 →)= 2 5 a+ 2 5 b- 2 5 c, 所以E→F=A1 →F-A1 →E= 2 5 a- 4 15 b- 2 5 c= 2 5 a- 2 3 b-c . 又E→B=EA1 →+A1 →A+A→B=a- 2 3 b-c, 所以E→F= 2 5 E→B,所以E→F∥E→B. 又E→F 与E→B 有公共点E,所以E,F,B 三点共线. 四 空间向量共面问题 典例剖析 4.(1)已知A,B,M 三点不共线,O 为平面ABM 外任 意一点,判断在下列条件下,点P 是否与点A,B,M 共面. ①O→M+O→B=3O→P-O→A; ②O→P=4O→A-O→B-O→M. (2)已知A,B,C 三点不共线,O 为空间内任意一点,点 M 满足O→M= 1 3 O→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C. ①M→A,M→B,M→C 是否共面? ②点M 是否在平面ABC 内? 解 (1)①∵O→M+O→B=3O→P-O→A, ∴O→P=O→M+(O→A-O→P)+(O→B-O→P)=O→M+P→A+ P→B, ∴O→P-O→M=P→A+P→B,即M→P=P→A+P→B, ∴M→P,P→A,P→B 共面,∴点P 与点A,B,M 共面. ②∵O→P=4O→A-O→B-O→M, ∴O→P-O→A=O→A+(O→A-O→B)+(O→A-O→M), 3
数学 选择性必修第一册 配人教A版 即A=Oi+Bi+M瓜」 G,B,P,D四点共面，求m的值 由空间向量共面的充要条件可知，若点P与点A,B,M 共面， 则AP=xBA+yMi,x,y∈R,又AP=OA+BA+ M,故点P与点A,B,M不共面. (2)①由已知得，Oi+Oi+O0元=30M, 则OA-OM=(OM-OB)+(OM-O元). B 即Mi=BM+CM=-Mi-M心 故i,M店，M心共面. 解因为AB=P形-PA,A店=D元 ②由①知，向量Mi,M店，M心共面， 所以DC=PB-PA 又M,M,M心有共同的起点M, 因为P元=Pi+D元 所以P心=P币+PB-PA=-Pi+PB+Pi. 且A,B,C三点不共线， 故M,A,B,C四点共面， 周为器=号 即点M在平面ABC内. 规律总结」利用向量证明空间四点P,A,B,M共面 所以殖=武=-成+丽+元， 的常用方法： 所以=丽-成=-耐+成+成】 (1)证明M=xMi+M (2)对于空间任意一点O,证明O=OM+xM+ 周为将 yMB. 所以店=mAi=一+罗+罗币 (3)对于空间任意一点O,证明O户=xOA+O+ OM,x十y十z=1 所以店=P+AG=(1-)Pi+贺P+婴P币. 学以致用 又G,B,P,D四点共面， 4.如图，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H 所以1-智=0，即m=子 3 为心上的点，且是-宁点G在AH上，且普=若 故m的值为4 随堂训练 1.如图，在正方体ABCD- 0 答案A ABCD1中，下列各式的运算 解析，G为CD的中点， 结果为AC:的共有( A ) B ①AB+BC+CC: 店+（励+武）=店+成=底 D ②AA+AD,+D,C: 4.已知点A,B,C不共线，对空间任意一点O,若O币= ③AB+BB1+BCi: +Oi+号父.则PAB.C四点(） ④AA,+A,B,+BC A.不共面 A1个 B.2个 C.3个 D.4个 B.共面 答案D C.不一定共面 2.已知向量a,b互为相反向量，|b|=3,则下列结论正确的 D.无法判断是否共面 是() 答案B A.a=b B.a十b=0 C.a与b方向相同 D.|a|=3 解析：0-oi+i+6心-ai+gai+ 答案D 解析因为向量a,b互为相反向量，所以a=一b,a十b= )+号Oi+0)=0i+号a+日AC, 0,a与b方向相反，la=3.故选D. 3.在空间四边形ABCD中，已知G为CD的中点，则AB+ 0市-i=+日花， 励+就)等于() 即=号专+号， C.BC A市，AB,A心共面. A.AG B.C店 D.7BC 又A户，AB,AC有公共点A
数 学 选择性必修 第一册 配人教 A版 即A→P=O→A+B→A+M→A. 由空间向量共面的充要条件可知,若点P 与点A,B,M 共面, 则A→P=xB→A+yM→A,x,y∈R,又A→P=O→A+B→A+ M→A,故点P 与点A,B,M 不共面. (2)①由已知得,O→A+O→B+O→C=3O→M, 则O→A-O→M=(O→M-O→B)+(O→M-O→C), 即M→A=B→M+C→M=-M→B-M→C, 故M→A,M→B,M→C 共面. ②由①知,向量M→A,M→B,M→C 共面, 又M→A,M→B,M→C 有共同的起点M, 且A,B,C 三点不共线, 故M,A,B,C 四点共面, 即点M 在平面ABC 内. 利用向量证明空间四点P,A,B,M 共面 的常用方法: (1)证明M→P=xM→A+yM→B. (2)对于空间任意一点O,证明O→P=O→M+xM→A+ yM→B. (3)对于空间任意一点O,证明O→P=xO→A+yO→B+ zO→M,x+y+z=1. 学以致用 4.如图,若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,H 为PC 上的点,且 PH HC = 1 2 ,点G 在AH 上,且 AG AH =m,若 G,B,P,D 四点共面,求m 的值. 解 因为A→B=P→B-P→A,A→B=D→C, 所以D→C=P→B-P→A. 因为P→C=P→D+D→C, 所以P→C=P→D+P→B-P→A=-P→A+P→B+P→D. 因为 PH HC = 1 2 , 所以P→H= 1 3 P→C=- 1 3 P→A+ 1 3 P→B+ 1 3 P→D, 所以A→H=P→H-P→A=- 4 3 P→A+ 1 3 P→B+ 1 3 P→D. 因为 AG AH =m, 所以A→G=mA→H=- 4m 3 P→A+ m 3 P→B+ m 3 P→D, 所以P→G=P→A+A→G= 1- 4m 3 P→A+ m 3 P→B+ m 3 P→D. 又G,B,P,D 四点共面, 所以1- 4m 3 =0,即m= 3 4 . 故m 的值为 3 4 . 随堂训练 1.如 图, 在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 中,下列各式的运算 结果为AC1 → 的共有( ) ①A→B+B→C+CC1 →; ②AA1 →+A1D1 →+D1C1 →; ③A→B+BB1 →+B1C1 →; ④AA1 →+A1B1 →+B1C1 →. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 D 2.已知向量a,b互为相反向量,|b|=3,则下列结论正确的 是( ) A.a=b B.a+b=0 C.a与b方向相同 D.|a|=3 答案 D 解析 因为向量a,b互为相反向量,所以a=-b,a+b= 0,a与b方向相反,|a|=3.故选D. 3.在空间四边形ABCD 中,已知G 为CD 的中点,则A→B+ 1 2 (B→D+B→C)等于( ) A.A→G B.C→G C.B→C D. 1 2 B→C 答案 A 解析 ∵G 为CD 的中点, ∴A→B+ 1 2 (B→D+B→C)=A→B+B→G=A→G. 4.已知点 A,B,C 不共线,对空间任意一点 O,若 O→P= 3 4 O→A+ 1 8 O→B+ 1 8 O→C,则P,A,B,C 四点( ) A.不共面 B.共面 C.不一定共面 D.无法判断是否共面 答案 B 解析 ∵O→P= 3 4 O→A+ 1 8 O→B+ 1 8 O→C= 3 4 O→A+ 1 8 (O→A+ A→B)+ 1 8 (O→A+A→C)=O→A+ 1 8 A→B+ 1 8 A→C, ∴O→P-O→A= 1 8 A→B+ 1 8 A→C, 即A→P= 1 8 A→B+ 1 8 A→C, ∴A→P,A→B,A→C 共面. 又A→P,A→B,A→C 有公共点A, 4
第一章空间向量与立体几何 .P,A,BC四点共面」 解析由2ke1十2e2与e1十ke2共线， 5.若非零空间向量e1,e2不共线，则使2ke1十2e2与e1十ke2 共线的k的值为」 得2e1十2e2=入(e1十ke2),即 2k=入，故k=士1. 2=λk, 答案士1 课后·训练提升 基础·巩固 解析：0成=0耐+号成+号元， 1.在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，向量D1A,DC, 且，点M在平面ABC内， AC是() x+1 A有相同起点的向量 3+3=1. B.模相等的向量 3故选D C.共面向量 D.不共面向量 5.在长方体ABCD-A1BC1D1中，E是AC1的中点，F是 答案C AE的三等分点，且AF=EF,则=(） 解析因为DC-DA=AC,且AC-A1C, 所以D1C-DA=A1C1 AA+号+号 又D1A与D1C不共线， B瓜+2店+号市 所以D1A,D1C,AC1是共面向量. 2.如图，在平行六面体ABCD-AB1CD1中，E,F,G,H, c号m++ P,Q分别是AA,AB,BC,CC1,CD1,D1A1的中点，则 () D号A+名+动 D 答案D A 解析由题意可知，A疗=子A正- 号网+a正)-号+号× A.E序+Gi+P戒=0 A,C=+合A,瓜+ B.EF-GH-PQ=0 CE乎+Gi-P=0 A可)=号d+日应+应， D.EF-GH+PQ=0 6如图，已知四面体ABCD,E,F,G分别为BC,CD,DB的 答案A 中点，则AB+G币+E元= 3.(多选题)给出下列四个说法，其中错误的是( A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.空间中任意两个单位向量必相等 答案ABD 答案A市 解析有向线段可以表示向量，但向量不是有向线段，向 解析E,F,G分别为BC,CD,DB的中点， 量的起，点和终点不确定，A错误；相等向量大小相等，方向 ∴Gi=E,Bi=E式， 相同，不相等的两个向量可能模相等，方向不同，B错误：C ..AB+GD+EC=AB+EF+BE=AF. 正确：空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一 7.已知A,B,P三点共线，O为空间任意一点，且点O与点 定相同，故不一定相等，D错误 4.已知点M在平面ABC内，点O在平面ABC外，若OM= A,B,P不共线，若O币=号O+日O.则日 0i+苑+号心则x的值为() A.1 B.0 C.3 答案号 解析A,B,P三点共线， 答案D ..AP=AB,..OP-OA=(OB-0A)
第一章 空间向量与立体几何 ∴P,A,B,C 四点共面. 5.若非零空间向量e1,e2 不共线,则使2ke1+2e2 与e1+ke2 共线的k的值为 . 答案 ±1 解析 由2ke1+2e2 与e1+ke2 共线, 得2ke1+2e2=λ(e1+ke2),即 2k=λ, 2=λk, 故k=±1. 课后·训练提升 基础 巩固 1.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 →A,D1 →C, A1C1 → 是( ) A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.共面向量 D.不共面向量 答案 C 解析 因为D1 →C-D1 →A=A→C,且A→C=A1C1 →, 所以D1 →C-D1 →A=A1C1 →. 又D1 →A 与D1 →C 不共线, 所以D1 →A,D1 →C,A1C1 → 是共面向量. 2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H, P,Q 分别是A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1 的中点,则 ( ) A.E→F+G→H+P→Q=0 B.E→F-G→H-P→Q=0 C.E→F+G→H-P→Q=0 D.E→F-G→H+P→Q=0 答案 A 3.(多选题)给出下列四个说法,其中错误的是( ) A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p D.空间中任意两个单位向量必相等 答案 ABD 解析 有向线段可以表示向量,但向量不是有向线段,向 量的起点和终点不确定,A错误;相等向量大小相等,方向 相同,不相等的两个向量可能模相等,方向不同,B错误;C 正确;空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一 定相同,故不一定相等,D错误. 4.已知点M 在平面ABC 内,点O 在平面ABC 外,若O→M= xO→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C,则x 的值为( ) A.1 B.0 C.3 D. 1 3 答案 D 解析 ∵O→M=xO→A+ 1 3 O→B+ 1 3 O→C, 且点M 在平面ABC 内, ∴x+ 1 3 + 1 3 =1, ∴x= 1 3 .故选D. 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 是A1C1 的中点,F 是 AE 的三等分点,且AF= 1 2 EF,则A→F=( ) A.AA1 →+ 1 2 A→B+ 1 2 A→D B. 1 2 AA1 →+ 1 2 A→B+ 1 2 A→D C. 1 2 AA1 →+ 1 6 A→B+ 1 6 A→D D. 1 3 AA1 →+ 1 6 A→B+ 1 6 A→D 答案 D 解析 由题意可知,A→F= 1 3 A→E= 1 3 (AA1 →+A1 →E)= 1 3 AA1 →+ 1 3 × 1 2 A1C1 →= 1 3 AA1 →+ 1 6 (A1B1 →+ A1D1 →)= 1 3 AA1 →+ 1 6 A→B+ 1 6 A→D. 6.如图,已知四面体ABCD,E,F,G 分别为BC,CD,DB 的 中点,则A→B+G→D+E→C= . 答案 A→F 解析 ∵E,F,G 分别为BC,CD,DB 的中点, ∴G→D=E→F,B→E=E→C, ∴A→B+G→D+E→C=A→B+E→F+B→E=A→F. 7.已知A,B,P 三点共线,O 为空间任意一点,且点O 与点 A,B,P 不 共 线,若 O→P= 1 3 O→A +β O→B,则 β = . 答案 2 3 解析 ∵A,B,P 三点共线, ∴A→P=λA→B,∴O→P-O→A=λ(O→B-O→A), 5