人教版《高中数学》全程设计教师用书（A版必修第二册）PDF电子版B001-194（正文）

第六章平面向量及其应用 4.(多选题)对于菱形ABCD,下列各式中正确的是( 在△ABD中，AB=BD=1,∠ABD=120°，AB A.AB=BC BC=AB+CB=AB+BD=AD. B.1ABI=IBC 易求得AD=3,即AD1=5.故AB-B配1=5. C.IAB-CDI=IAD+BCI 7,已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，M是斜边 D.AD+Ci1=Ci-C第1 AB的中点，CM-a,CA=b.求证：(1)la-b|=|al: 答案BCD (2)la+(a-b)l=Ibl. 解析如图，在菱形ABCD中， 1AB1=|BC1,∴B中式子正确. 又AB-Ci1=AB+D元1= AB+ABI=21ABI, AD+BCI=AD+ADI=2ADI=21ABI. M C中式子正确； 证明图为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， AD+Ci1=|DA+D元I=|DB1.IC市-C第|= 所以CA=CB IBDI=IDBI. 又点M是斜边AB的中点， ∴D中式子正确：A中式子不正确，故选BCD 所以CM=AM=BM. 5.已知1OA1=a,|OB1=b(a>b),lAB1的取值范围是[5， (1)因为CM-CA=-AMi=a-b. 15],则a=」 ,b= 又lAM1=lCM1,所以|a-bl=lal. 答案105 (2)因为点M是斜边AB的中点，所以AMi=M店， 解析因为a-b=11OA1-1O11≤1OA-OB1= 所以a+(a-b)=CM+(CM-CA)=CM+AM= CM+MB=CB. AB1≤1OA1十1OB1=a+b,又|AB|的取值范围是 因为1CA1=|CB|,所以|a+(a-b)川=lbl. 6,片a化中有5华学化0 a-b=5, 挑战·创新 6.在△ABC中，已知1AB1=|BC1=1C1=1,则A店 如图所示，O是平行四边形ABCD BCI= 的对角线AC,BD的交点，若 答案5 AB=a,DA=b,OC=c,求证： 解析由题设条件知△ABC是边长为1的等边三角形， b十c-a=OA. 且BA与BC的夹角是60° 证明方法一：因为b十c=DA+OC=O元+C克=Oi, 如图，延长CB到点D,使CB=BD,连接AD. OA+a=OA+AB=OB, 所以b+c=OA十a,即b十c-a=Oi 方法二：OA=O元+C=OC+C第+Ci=c+Di+ 609 BA=b+c-AB=b十c-a. B 1209 方法三：图为c-a=元-AB=O元-D元=O元+ CD=O币=OA+AD=OA-DA=OA-b,所以b+c a=OA. 6.2.3 向量的数乘运算 课前·基础认知 1.向量的数乘运算 ③A(a十b)=Aa+b. (1)定义：一般地，我们规定实数入与向量a的积是一个 特别地，我们有(-入)a=一(aa)=入（一a), 向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入a,它的长度与方 A(a-b)=ia-ib 向规定如下： (3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性 ①laal=lala; 运算，向量线性运算的结果仍是向量，对于任意向量a,b, ②当入>0时，Aa的方向与a的方向相同： 以及任意实数入，142，恒有1(1a士42b)=1a士2b 当A<0时，Aa的方向与a的方向相反 微提罪实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行 (2)运算律：设入，4为实数，那么： 加减运算，例如入十a,入一a是没有意义的. ①λ(a)=()a: 微思考D向量的数乘与实数的乘法有什么区别？ ②(a十4)a=Aa十a_: 提示向量的数乘与实数的乘法是有区别的，前者的结 11

第六章 平面向量及其应用 4.(多选题)对于菱形ABCD,下列各式中正确的是( ). A.A→B=B→C B.|A→B|=|B→C| C.|A→B-C→D|=|A→D+B→C| D.|A→D+C→D|=|C→D-C→B| 答案 BCD 解析 如 图,在 菱 形 ABCD 中, |A→B|=|B→C|,∴B中式子正确. 又|A→B-C→D|=|A→B+D→C|= |A→B+A→B|=2|A→B|, |A→D+B→C|=|A→D+A→D|=2|A→D|=2|A→B|, ∴C中式子正确; |A→D+C→D|=|D→A+D→C|=|D→B|,|C→D-C→B|= |B→D|=|D→B|, ∴D中式子正确;A中式子不正确,故选BCD. 5.已知|O→A|=a,|O→B|=b(a>b),|A→B|的取值范围是[5, 15],则a= ,b= . 答案 10 5 解析 因为a-b=||O→A|-|O→B||≤|O→A-O→B|= |A→B|≤|O→A|+|O→B|=a+b,又|A→B|的取值范围是 [5,15],所以 a+b=15, a-b=5, 解得 a=10, b=5. 6.在△ABC 中,已知|A→B|=|B→C|=|C→A|=1,则|A→B￾B→C|= . 答案 3 解析 由题设条件知△ABC 是边长为1的等边三角形, 且B→A 与B→C 的夹角是60°. 如图,延长CB 到点D,使CB=BD,连接AD. 在△ABD 中,AB=BD=1,∠ABD=120°,A→B￾B→C=A→B+C→B=A→B+B→D=A→D. 易求得AD= 3,即|A→D|= 3.故|A→B-B→C|= 3. 7.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M 是斜边 AB 的中点,C→M=a,C→A=b.求证:(1)|a-b|=|a|; (2)|a+(a-b)|=|b|. 证明 因为△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°, 所以CA=CB. 又点M 是斜边AB 的中点, 所以CM=AM=BM. (1)因为C→M-C→A=A→M=a-b, 又|A→M|=|C→M|,所以|a-b|=|a|. (2)因为点M 是斜边AB 的中点,所以A→M=M→B, 所以a+(a-b)=C→M+(C→M-C→A)=C→M+A→M= C→M+M→B=C→B, 因为|C→A|=|C→B|,所以|a+(a-b)|=|b|. 挑战 创新 A B D C O 如图所示,O 是平行四边形ABCD 的对 角 线 AC,BD 的 交 点,若 A→B=a,D→A =b,O→C=c,求证: b+c-a=O→A. 证明 方法一:因为b+c=D→A+O→C=O→C+C→B=O→B, O→A+a=O→A+A→B=O→B, 所以b+c=O→A+a,即b+c-a=O→A. 方法二:O→A=O→C+C→A=O→C+C→B+C→D=c+D→A+ B→A=b+c-A→B=b+c-a. 方法三:因为c-a=O→C-A→B=O→C-D→C=O→C+ C→D=O→D=O→A+A→D=O→A-D→A=O→A-b,所以b+c￾a=O→A. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 6.2.3 向量的数乘运算 课前·基础认知 1.向量的数乘运算 (1)定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个 向量 ,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方 向规定如下: ①|λa|= |λ||a| ; ②当λ>0时,λa的方向与a的方向 相同 ; 当λ<0时,λa的方向与a的方向 相反 . (2)运算律:设λ,μ为实数,那么: ①λ(μa)= (λμ)a ; ②(λ+μ)a= λa+μa ; ③λ(a+b)= λa+λb . 特别地,我们有 (-λ)a= - (λa) = λ(-a) , λ(a-b)= λa-λb . (3)线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性 运算,向量线性运算的结果仍是 向量 .对于任意向量a,b, 以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b . 微提醒 实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行 加减运算,例如λ+a,λ-a是没有意义的. 微思考 1 向量的数乘与实数的乘法有什么区别? 提示 向量的数乘与实数的乘法是有区别的,前者的结 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 11

数学必修 第二册 配人教A版 果是一个向量，后者的结果是一个实数：要注意实数与向量可 数入，使b=a· 以求积，但是不能进行加减运算，而实数可以进行加减运算， 微思考2把定理中的“a≠0”去掉可以吗？ 2.共线向量定理 提示定理中a≠0不能去掉.若a=b=0,则实数入可 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实 以是任意实数；若a=0,b≠0，则不存在实数入，使得b=入a 课堂·重难突破 向量的线性运算 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则 典例剖析 和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量 1.化简下列各式： 关系，然后解关于所求向量的方程， (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a): 提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量 之间的数量关系」 (2)6[2(2a+8b)-4(4a-2b)], 三 解(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. 向量共线的判定及其应用 (②)原或=言（4a+160-1m+动)= (-12a+ 典例剖析 24b)=-2a+4b. 3.(1)已知e1,e2是两个不共线的向量，若AB=2e1 规律总结」向量数乘运算的方法 8e2,C克=e1十3e2,Ci-2e1-e2,求证：A,B,D三点共线； (2)已知A,B,P三点共线，O为直线外任意一点，若 向量的数乘运算可类似于多项式的代数运算，例如， OP=xOA+Oi(xy∈R),求x十y的值. 实数运算中的去括号、合并同类项、提取公因式等变形手 (1)证明Ci=e1十3e2,Ci=2e1-e2 段在数与向量的桑积中同样适用，但是这里的“同类项 :.BD=CD-CB=e1-4ex. “公因式”指向量，实数看作是向量的系数。 又AB=2e1-8e2=2(e1-4e2), 二 用已知向量表示未知向量 ∴.AB=2Bi, A,B,D三点共线。 典例剖析 (2)解A,B,P三点共线， 2.如图所示，四边形ABCD是一 M “向量A店，A下在同一直线上，由向量共线定理可知， 个等腰梯形，AB∥DC,M,N分别是 必定存在实数入使A下=入AB, DC,AB的中点，已知AB=a,AD= 即OP-OA=λ(Oi-Oi), b,D元=c,试用a,b,c表示B,M ∴.O=(1-λ)0A+λ0B. 解BC=BA+AD+D元= 又O=xOA+Oi, -a+b+c. x=1-λ，y=λ， :m=流+D成+，又M而=-号元i= 故x十y=1. 规律总结」1，证明或判断三点共线的方法 -市.AN=. (1)一般来说，要判定A,B,C三点是否共线，只需 :.MN-za-b-zc. 看是否存在实数入，使得AB=λAC(或B配=AAB等) 即可 规律总结」用已知向量表示其他向量的两种方法 (2)利用结论：若A,B,C三点共线，O为直线外一 (1)直接法 点台存在实数x,y,使OA=xOB+O元，且x十y=1. 2.利用向量共线求参数的方法 画图 结合图形的特征，把待求向量放在 三角形或平行四边形中 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定 理寻求唯一的实数入，使得a=入b(b≠0).而已知向量共 线求入，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相 结合向量的三角形法则或平行四边 表示 形法则及向量共线定理用已知向量 等求解.若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待 表示未知向量 定系数法建立方程（组），解方程（组）从而求得入的值.儿

数 学 必修 第二册 配人教 A版 果是一个向量,后者的结果是一个实数;要注意实数与向量可 以求积,但是不能进行加减运算,而实数可以进行加减运算. 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实 数λ,使 b=λa . 微思考 2 把定理中的“a≠0”去掉可以吗? 提示 定理中a≠0不能去掉.若a=b=0,则实数λ可 以是任意实数;若a=0,b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 课堂·重难突破 一 向量的线性运算 典例剖析 1.化简下列各式: (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2) 1 6 [2(2a+8b)-4(4a-2b)]. 解 (1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式 = 1 6 (4a+16b-16a+8b)= 1 6 (-12a+ 24b)=-2a+4b. 向量数乘运算的方法 向量的数乘运算可类似于多项式的代数运算.例如, 实数运算中的去括号、合并同类项、提取公因式等变形手 段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项” “公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 二 用已知向量表示未知向量 A B D M C N 典例剖析 2.如图所示,四边形ABCD 是一 个等腰梯形,AB∥DC,M,N 分别是 DC,AB 的中点,已知A→B=a,A→D= b,D→C=c,试用a,b,c表示B→C,M→N. 解 B→C =B→A +A→D +D→C = -a+b+c. ∵M→N=M→D+D→A+A→N,又 M→D=- 1 2 D→C,D→A= -A→D,A→N= 1 2 A→B, ∴M→N= 1 2 a-b- 1 2 c. 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 !"#$%&'，)*+,-./ 01$23456$7 8# !",-%01$9:23456 $9:;,-<=>?@AB,- CDEB,- CD (2)方程法 当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则 和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量 关系,然后解关于所求向量的方程. 提醒:用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量 之间的数量关系. 三 向量共线的判定及其应用 典例剖析 3.(1)已知e1,e2 是两个不共线的向量,若A→B=2e1- 8e2,C→B=e1+3e2,C→D=2e1-e2,求证:A,B,D 三点共线; (2)已知A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若 O→P=xO→A+yO→B(x,y∈R),求x+y的值. (1)证明 ∵C→B=e1+3e2,C→D=2e1-e2, ∴B→D=C→D-C→B=e1-4e2. 又A→B=2e1-8e2=2(e1-4e2), ∴A→B=2B→D, ∴A,B,D 三点共线. (2)解 ∵A,B,P 三点共线, ∴向量A→B,A→P 在同一直线上,由向量共线定理可知, 必定存在实数λ使A→P=λA→B, 即O→P-O→A=λ(O→B-O→A), ∴O→P=(1-λ)O→A+λO→B. 又O→P=xO→A+yO→B, ∴x=1-λ,y=λ, 故x+y=1. 1.证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说,要判定A,B,C 三点是否共线,只需 看是否存在实数λ,使得A→B=λA→C(或B→C=λA→B 等) 即可. (2)利用结论:若A,B,C 三点共线,O 为直线外一 点⇔存在实数x,y,使O→A=xO→B+yO→C,且x+y=1. 2.利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定 理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共 线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相 等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待 定系数法建立方程(组),解方程(组)从而求得λ的值. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 12

第六章平面向量及其应用 课后·训练提升 基础·巩固 解析对于A,有b=一a,则a与b共线：对于B,有b= -2a,则a与b共线； 1.若点O为平行四边形ABCD的中心，A店=2e1,BC= 对于C,有a=4b,则a与b共线：对于D,不存在实数 3e则c-e1=( 入，使b=a,故a与b不共线. A.BO B.AO c.co 6.设a,b不共线，AB=a十kb,AC=ma十b(k,m∈R),则 D.DO A,B,C三点共线时有(). 答案A A.k=m B.km-1=0C.km十1=0D.k十m=0 解析B=AD-A店=B武-AB=3e2-2e1,Bò= 答案B 2d-2-e 解析若A,B,C三点共线，则AB与AC共线， 2.(多选题)已知m,n是实数，a,b是向量，则下列结论中正 所以存在唯一实数入，使AB=AC 确的为(). 即a十kb=入(ma+b),即a十kb=ma十Ab A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na am=1, 所以《 所以km=1,即km一1=0. C.若ma=mb,则a=bD.若ma=a,则m=n =k. 答案AB 7.设a,b是两个不共线的向量.若向量ka十2b与8a十kb 解析A中结论正确，B中结论正确，C中结论错误，由 (k∈R)的方向相反，则k= ma=mb,得m(a一b)=0,当m=0时也成立，推不出a= 答案一4 b.D中结论错误，由ma=na,得(m一n)a=0,当a=0时 解析因为向量ka十2b与8a十kb的方向相反， 也成立，推不出m=n. 3.在四边形ABCD中，若AB=3a,CD=-5a,且|AD1= 所以如十2b=A(8a+kb)(其中X<0)→2=让，→ k=8 BC1,则四边形ABCD是(). A.平行四边形 B.菱形 2 C.等腰梯形 D.矩形 k=一4. 答案C 8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若O-3O+ 解析由条件可知，店=-立，故AB∥CD,且 20心=0，则1M店- IBCI A1≠C市1.又因为A市1=|BC1,所以四边形ABCD 答案2 为等腰梯形. 解析01-30店+20元=0. 4.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 .0i-0i=2(0元-0)，.AB=2BC. E第=(. A-子d B恋-d :2 IBCI 9.已知在△ABC中，点M满足M+M店+M元=0，若存在 C.B+A D.AB+3AC 实数m,使得AB+AC-mAM成立，则m= 答案A 答案3 解析如图所示，E第=ED+十 解析由i+M店+M心=0知，点M为△ABC的重心，设 成=2应+2成=× 点D为底边C的中点，则=号西=号×号+ 2(店+C)+合（店- AC)=子A店+AC),所以有A+AC=3A脑， AC)-3AB-1AC. 又AB+AC=mAM,故m=3 10.计算： 5.(多选题)下列非零向量a,b中，一定共线的是( (1)6(3a-2b)+9(-2a+b): A.a=2e,b=-2e B.a=e-e2,b=-2e1+2e2 a[+2)号a--[2a+(+]: 2 1 (3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c). C.a=4e-5exb=e-loez 解(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b. D.a=e1十e2,b=2e1-2e2 答案ABC (2)原式=2(a-号a+2b-b)-名（分a十 13

第六章 平面向量及其应用 课后·训练提升 基础 巩固 1.若点O 为平行四边形ABCD 的中心,A→B=2e1,B→C= 3e2,则 3 2 e2-e1=( ). A.B→O B.A→O C.C→O D.D→O 答案 A 解析 B→D =A→D -A→B =B→C-A→B =3e2 -2e1,B→O = 1 2 B→D= 3 2 e2-e1. 2.(多选题)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列结论中正 确的为( ). A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 答案 AB 解析 A 中结论正确,B中结论正确,C 中结论错误,由 ma=mb,得m(a-b)=0,当m=0时也成立,推不出a= b.D中结论错误,由ma=na,得(m-n)a=0,当a=0时 也成立,推不出m=n. 3.在四边形ABCD 中,若A→B=3a,C→D=-5a,且|A→D|= |B→C|,则四边形ABCD 是( ). A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.矩形 答案 C 解析 由 条 件 可 知,A→B = - 3 5 C→D,故 AB∥CD,且 |A→B|≠|C→D|.又因为|A→D|=|B→C|,所以四边形ABCD 为等腰梯形. 4.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则 E→B=( ). A. 3 4 A→B- 1 4 A→C B. 1 4 A→B- 3 4 A→C C. 3 4 A→B+ 1 4 A→C D. 1 4 A→B+ 3 4 A→C 答案 A A B D C E 解析 如图所示,E→B=E→D+ D→B= 1 2 A→D+ 1 2 C→B= 1 2 × 1 2 (A→B +A→C)+ 1 2 (A→B - A→C)= 3 4 A→B- 1 4 A→C. 5.(多选题)下列非零向量a,b中,一定共线的是( ). A.a=2e,b=-2e B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2 C.a=4e1- 2 5 e2,b=e1- 1 10 e2 D.a=e1+e2,b=2e1-2e2 答案 ABC 解析 对于 A,有b=-a,则a 与b 共线;对于B,有b= -2a,则a与b共线; 对于C,有a=4b,则a与b共线;对于D,不存在实数 λ,使b=λa,故a与b不共线. 6.设a,b不共线,A→B=a+kb,A→C=ma+b(k,m∈R),则 A,B,C 三点共线时有( ). A.k=m B.km-1=0 C.km+1=0 D.k+m=0 答案 B 解析 若A,B,C 三点共线,则A→B 与A→C 共线, 所以存在唯一实数λ,使A→B=λA→C, 即a+kb=λ(ma+b),即a+kb=λma+λb, 所以 λm=1, λ=k, 所以km=1,即km-1=0. 7.设a,b是两个不共线的向量.若向量ka+2b 与8a+kb (k∈R)的方向相反,则k= . 答案 -4 解析 因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反, 所以ka+2b=λ(8a+kb)(其中λ<0)⇒ 2=λk, k=8λ ⇒ λ=- 1 2 , k=-4. 8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若O→A-3O→B+ 2O→C=0,则 |A→B| |B→C| = . 答案 2 解析 ∵O→A-3O→B+2O→C=0, ∴O→B-O→A=2(O→C-O→B),∴A→B=2B→C, ∴ |A→B| |B→C| =2. 9.已知在△ABC 中,点M 满足M→A+M→B+M→C=0,若存在 实数m,使得A→B+A→C=mA→M 成立,则m= . 答案 3 解析 由M→A+M→B+M→C=0知,点M 为△ABC 的重心,设 点D 为底边BC 的中点,则A→M= 2 3 A→D= 2 3 × 1 2 (A→B+ A→C)= 1 3 (A→B+A→C),所以有A→B+A→C=3A→M. 又A→B+A→C=mA→M,故m=3. 10.计算: (1)6(3a-2b)+9(-2a+b); (2) 1 2 (3a+2b)- 2 3 a-b - 7 6 1 2 a+ 3 7 b+ 7 6 a ; (3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c). 解 (1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b. (2)原 式 = 1 2 3a- 2 3 a+2b-b - 7 6 1 2 a+ 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 13

数学必修 第二册 配人教A版 za+i6)-z(sa+8)-6(a+ib)-ta+ 20-名a-6=0 (3)原式=6a-6b十6c-4a十8b-4c十4a-2c= (6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b. 11.设两个非零向量e1,ez不共线，已知AB=2e1十ke2,C第= Aa-2动 B20-b e1十3e2,CD=2e1-e.问：是否存在实数k,使得A,B,D 三点共线？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由. C.a+zb n之tb 解设存在k∈R,使得A,B,D三点共线， 答案D :Di=Ci-Ci=(e1+3e2)-(2e1-e2)=-e1+ 解析连接CD,OD,如图， 4e2,AB=2e1十ke2 点C,D是半圆孤AB上的两 又A,B,D三点共线，AB=Di(A∈R), 个三等分点， ∴AC=CD,∠CAD=∠DAB= 2e1+kc2=a(-e+4e26=4.k=-8y 3×90°=309 故存在k=一8，使得A,B,D三点共线 OA=OD,∴.∠ADO=∠DAO=30°， 拓展·提高 .∠CAD=∠ADO,∴ACDO. 由AC=CD,得∠CDA=∠CAD=30°， 1设a,b都是非零向量.下列四个条件中，能使a一b成 a b ∠CDA=∠DAO,∴.CD∥AO. 立的是(). ∴四边形ACDO为平行四边形， A.a=-b B.a//b ∴市-0+=号+C 2a+b. C.a=2b D.ah且lal=lbl 4.如图，在平行四边形ABCD中， 答案C 解折合向分别表示与a,6月向的单位向量.对于A, AC与BD交于点O,E是线段OD 的中点，AE的延长线与CD交于 点F,若AC=a,BD=b,则AF 当a=-b时：合≠：对于B,当ah时.可能有a b 等于() -b,此时日≠合：对于C,当a=2b时日=品 a b 2b B. :对于D,当a仍且a=b1时，可能有a=一b,此时 b C.za+i 1 n号a+b 日≠合等上所选，只有a=2必能使品-合成立 b 答案D 2.如图，在△ABC中，A言=a, 餐析△DEFO△BEA器-器=台 AC=b.DC=3BD.AE=2EC, 则D龙等于(. ∴DF=号AB.-A市+D亦=A市+号. .AC=AB+AD=q,BD=AD-AB=b, D -2a-b)A市-a+b). 证=2a+b)+日a-b)=号a+ 2 1 C.ia+ib 5.如图，四边形ABCD是一个梯形， D-jet AB∥CD且|AB|=21C市1，点M, N分别是DC,AB的中点，已知 答案D AB=e1,AD=e2,试用e1,e2表示 解析成=心+正=是心+(-心)=是（心- 下列向量： (1)AC= )-C=-+0=-+b (2)MN= 1 1 3.如图，AB是⊙O的直径，C,D是半圆弧AB上的两个三 答案(1)e十2e1(2)4e1-e2 等分点，AB=a,AC=b,则AD等于(). 解析因为AB/C市.A1=21C市1，所以AB=2D元，即 14

数 学 必修 第二册 配人教 A版 1 2 a+ 3 7 b = 1 2 7 3 a+b - 7 6 a+ 3 7 b = 7 6 a+ 1 2 b- 7 6 a- 1 2 b=0. (3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c= (6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)=6a+2b. 11.设两个非零向量e1,e2 不共线,已知A→B=2e1+ke2,C→B= e1+3e2,C→D=2e1-e2.问:是否存在实数k,使得A,B,D 三点共线? 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. 解 设存在k∈R,使得A,B,D 三点共线, ∵D→B=C→B-C→D=(e1+3e2)-(2e1-e2)=-e1+ 4e2,A→B=2e1+ke2, 又A,B,D 三点共线,∴A→B=λD→B(λ∈R), ∴2e1+ke2=λ(-e1+4e2),∴ 2=-λ, k=4λ, ∴k=-8, 故存在k=-8,使得A,B,D 三点共线. 拓展 提高 1.设a,b都是非零向量.下列四个条件中,能使 a |a| = b |b| 成 立的是( ). A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b| 答案 C 解析 a |a| , b |b| 分别表示与a,b同向的单位向量.对于A, 当a=-b时, a |a| ≠ b |b| ;对于B,当a∥b 时,可能有a= -b,此时 a |a| ≠ b |b| ;对于 C,当a=2b 时, a |a| = 2b |2b| = b |b| ;对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时 a |a| ≠ b |b| .综上所述,只有a=2b能使 a |a| = b |b| 成立. A B D C E 2.如 图,在 △ABC 中,A→B =a, A→C=b,D→C=3B→D,A→E=2E→C, 则D→E 等于( ). A.- 1 3 a+ 3 4 b B. 5 12 a- 3 4 b C. 3 4 a+ 1 3 b D.- 3 4 a+ 5 12 b 答案 D 解析 D→E=D→C+C→E= 3 4 B→C+ - 1 3 A→C = 3 4 (A→C￾A→B)- 1 3 A→C=- 3 4 A→B+ 5 12 A→C=- 3 4 a+ 5 12 b. 3.如图,AB 是☉O 的直径,C,D 是半圆弧AB 上的两个三 等分点,A→B=a,A→C=b,则A→D 等于( ). B C D O A A.a- 1 2 b B. 1 2 a-b C.a+ 1 2 b D. 1 2 a+b 答案 D B C D O A 解析 连接CD,OD,如图. ∵点C,D 是半圆弧AB 上的两 个三等分点, ∴AC=CD,∠CAD=∠DAB= 1 3 ×90°=30°. ∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO=30°, ∴∠CAD=∠ADO,∴AC∥DO. 由AC=CD,得∠CDA=∠CAD=30°, ∴∠CDA=∠DAO,∴CD∥AO. ∴四边形ACDO 为平行四边形, ∴A→D=A→O+A→C= 1 2 A→B+A→C= 1 2 a+b. A B D C O E 4.如图,在平行四边形 ABCD 中, F AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于 点F,若 A→C=a,B→D=b,则 A→F 等于( ). A. 1 4 a+ 1 2 b B. 1 3 a+ 2 3 b C. 1 2 a+ 1 4 b D. 2 3 a+ 1 3 b 答案 D 解析 ∵△DEF∽△BEA,∴ DF AB = DE EB = 1 3 , ∴DF= 1 3 AB,∴A→F=A→D+D→F=A→D+ 1 3 A→B. ∵A→C=A→B+A→D=a,B→D=A→D-A→B=b, ∴A→B= 1 2 (a-b),A→D= 1 2 (a+b), ∴A→F= 1 2 (a+b)+ 1 6 (a-b)= 2 3 a+ 1 3 b. M A N B 5.如图,四边形 ABCD 是一个梯形, D C A→B∥C→D 且|A→B|=2|C→D|,点 M, N 分 别 是 DC,AB 的 中 点,已 知 A→B=e1,A→D=e2,试用e1,e2 表示 下列向量: (1)A→C= ; (2)M→N= . 答案 (1)e2+ 1 2 e1 (2) 1 4 e1-e2 解析 因为A→B∥C→D,|A→B|=2|C→D|,所以A→B=2D→C,即 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 14

第六章平面向量及其应用 D心=号A应 挑战·创新 (1AC=AD+DC=e:+2 1 在△ABC中，点D和E分别在BC, (2)=M+Di+=-元-茄+号= Ac上，且丽=}，C正=i, AD与BE相交于点R,求证：RD= 访 6.设向量a,b不平行，向量a十b与a十2b平行，则实数 证明设A求=mAD(m∈R). λ= 答案分 :市=A店+励=A店+号心=A+号(C- 解析：向量a,b不平行，∴a十2b≠0，又向量Aa十b与 =号应+号， a十2b平行，则存在唯一的实数4，使Aa十b=u(a十2b) 成立，即a十b=a十2b,则二解得入=4= 1 破-子成+好md 1=24, 7.如图所示，在平行四边形ABCD 成=i, 中，M是AB的中点，点N在BD 应=号ac 上，且BN=BD, 求证：M,N,C三点共线. 成=正-=号心-花成-旅-店 证明设BA=a,BC=b,则由向量减法的三角形法则可 (号m-1)+片md 知CM=B-BC-号-成=7a-b, B,R,E三点共线， ∴.B=nB(n∈R), 又点N在BD上，且BN=BD, 即（号m-l)+mC-子C-n。 酥=动=子武+i)=号a+b, (号m-1+)-(导-3m)流 武-武-成-专a+b)-b=方a-号6 A正与AC不共线， /层m-1+=0. 6 号（分a-b)小， m= 解得 :C矿=C成.又直线CN与CM有公共点C, 21 3-3m=0, n-7 ∴M,N,C三点共线. ∴成-茄励=过 6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量数量积的概念 课前·基础认知 1.两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a,b,O是 0[0,):当00时，0（受当m0=0时0=受 平面上的任意一点，作QA=a,OB=b,则 2.向量数量积的定义 ∠AOB=0(0≤)叫做向量a与b的夹角. 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我们把数量 0 (2)特例：①当0=0时，a与b同向： lallblcos0叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a· ②当0=元时，a与b反向； b,即a·b=|aIlb|cos0. ③当0=受时a与b垂直，i记作aLb. 规定：零向量与任一向量的数量积为0· 微思考向量数量积的运算结果与线性运算的结果 微提醒要注意夹角0的范图0∈[0，π]，当os>0时，有什么不同？ 15

第六章 平面向量及其应用 D→C= 1 2 A→B. (1)A→C=A→D+D→C=e2+ 1 2 e1. (2)M→N=M→D+D→A+A→N=- 1 2 D→C-A→D+ 1 2 A→B= - 1 4 e1-e2+ 1 2 e1= 1 4 e1-e2. 6.设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数 λ= . 答案 1 2 解析 ∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b 与 a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b) 成立,即λa+b=μa+2μb,则 λ=μ, 1=2μ, 解得λ=μ= 1 2 . A B D C M N 7.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,M 是AB 的中点,点 N 在BD 上,且BN= 1 3 BD. 求证:M,N,C 三点共线. 证明 设B→A=a,B→C=b,则由向量减法的三角形法则可 知C→M=B→M-B→C= 1 2 B→A-B→C= 1 2 a-b. 又点N 在BD 上,且BN= 1 3 BD, ∴B→N= 1 3 B→D= 1 3 (B→C+B→A)= 1 3 (a+b), ∴C→N=B→N -B→C= 1 3 (a+b)-b= 1 3 a- 2 3 b= 2 3 1 2 a-b , ∴C→N= 2 3 C→M,又直线CN 与CM 有公共点C, ∴M,N,C 三点共线. 挑战 创新 A B C D E R 在△ABC 中,点 D 和E 分别在BC, AC 上,且 B→D = 1 3 B→C,C→E= 1 3 C→A, AD 与BE 相交于点R,求证:R→D = 1 7 A→D. 证明 设A→R=mA→D(m∈R). ∵A→D=A→B+B→D=A→B+ 1 3 B→C=A→B+ 1 3 (A→C￾A→B)= 2 3 A→B+ 1 3 A→C, ∴A→R= 2 3 mA→B+ 1 3 mA→C. ∵C→E= 1 3 C→A, ∴A→E= 2 3 A→C, ∴B→E=A→E-A→B= 2 3 A→C-A→B,B→R=A→R-A→B= 2 3 m-1 A→B+ 1 3 mA→C. ∵B,R,E 三点共线, ∴B→R=nB→E(n∈R), 即 2 3 m-1 A→B+ 1 3 mA→C= 2 3 nA→C-nA→B, ∴ 2 3 m-1+n A→B= 2 3 n- 1 3 m A→C. ∵A→B 与A→C 不共线, ∴ 2 3 m-1+n=0, 2 3 n- 1 3 m=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m= 6 7 , n= 3 7 . 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴A→R= 6 7 A→D,R→D= 1 7 A→D. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量数量积的概念 课前·基础认知 1.两向量的夹角 θ a b A B O (1)定义:已知两个非零向量a,b,O 是 平面上的任意一点,作O→A=a,O→B=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)特例:①当θ=0时,a与b 同向 ; ②当θ=π时,a与b 反向 ; ③当θ= π 2 时,a与b 垂直 ,记作a⊥b. 微提醒 要注意夹角θ的范围θ∈[0,π],当cosθ>0时, θ∈ 0, π 2 ;当cosθ<0时,θ∈ π 2 ,π ,当cosθ=0时,θ= π 2 . 2.向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量 |a||b|cosθ叫做向量a 与b 的数量积(或内积),记作a· b,即a·b=|a||b|cosθ. 规定:零向量与任一向量的数量积为 0 . 微思考 向量数量积的运算结果与线性运算的结果 有什么不同? 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 15