数学必修第二册 配人教A版 解如图所示，设C正，C京分别表示A, 规律总结」利用向量的加法解决实际问题的三个步骤 B处所受的力，10N的重力用C心表示，则 C正+C序=C在.由题意可得∠ECG=180° 表示 用向量表示实际问题中既有大小又有方向 的量 150°=30°，∠F0G=180°-120°=60° .1Ci1=1G·cos30=10× 3 运算 利用平行四边形法则或三角形法则求向量 的和，利用直角三角形等知识解决问题 55,1C1=1花1·c0s60-10×2 =5.A处所受的力 的大小为55N,B处所受的力的大小为5N 作答 根据题意作答 课后·训练提升 基础·巩固 解析：在平行四边形ABCD中，AB十C)=0, B武十DA=0,∴a为零向量，零向量和任意向量都平 1(多选题)下列各式中一定成立的是( ). 行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴.①③中 A.a+b=b+a B.0十a=a 的结论正确，②④中的结论错误， C.AC+C克=AB D.la+bl=lal+lb 6.在平行四边形ABCD中，若1BC+BA1=|BC+AB1,则 答案ABC 四边形ABCD是 解析因为A,B,C项满足运算律及运算法则，所以一定 答案矩形 成立.而D项不一定成立，因为a十b|≤|a|十|b|,只有 解析：IBC+BA1=|B丽1,1BC+AB1=|AC1,且 当a,b同向时等号才成立. IBC+BAI=BC+ABI,..IBDI=IACI. 2.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为BC的 又四边形ABCD是平行四边形， 是(). ,四边形ABCD是矩形. A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC 7.如图所示，若点P为△ABC的外心，且P+P第=P元 C.AB+Bd+D元 D.DC+BA+AD 则∠ACB= 答案C 解析在A中，BA+AD+D元=BD+DC=BC:在B中， BD+DA+AC=BA+AC=BC:在C中，AB+BD+ DC=AD+DC=AC:在D中，DC+BA+AD=DC+ BD=BD+D元=BC 答案120° 3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA+C市+E萨等于( 解析因为PA+PB=P心，所以四边形APBC是平行四 边形.因为点P为△ABC的外心，所以PA=PB=PC 所以四边形PACB是菱形，且△PAC与△PBC是全等 的等边三角形.所以∠ACB=120°， 8.已知在菱形ABCD中，∠DAB=60°，A1=1,则IBC+ CDI= 答案1 A.0 B.BE C.A市 D.CF 解析在△ABD中，AD=AB=1,∠DAB=60°， 答案D 解析BA+C市+E萨=D正+Ci+E序=C+E萨-C序 则BD=1,则|BC+C方1=|B元1=1. 4.(AB+M店)+(Bò+BC)+OM等于( 9.已知正方形ABCD的边长为1，AB=a,AC=b,BC=c 则|a十b+cl= A.BC B.AB C.AC D.A⑦ 答案2瓦 答案C 解析原式=AB+M店+Bò+BC+OM=(AB+BC)+ 解析因为正方形ABCD的边长为1，所以AC=√2，所以 (MB+BO+OM)=AC+0=AC. la+b+c=AB+AC+BCI=AB+BC+ACI= 5.已知平行四边形ABCD,设AB+Ci+BC+DA=a,且 AC+AC1=21AC1=2√2. b是一非零向量，则下列结论：①a%:②a十b=a:③a十 10.如图.在平行四边形ABCD中， D b=b:④la+b|<la+|bl.其中正确的是(). 对角线AC与BD相交于点O, A.①③B.②③C.②④ D.①② P为平面内任意一点. 答案A 求证：P+Pi+P心+Pi=4P
数 学 必修 第二册 配人教 A版 解 如图所示,设C→E,C→F 分别表示A, B 处所受的力,10N的重力用C→G 表示,则 C→E+C→F=C→G.由题意可得∠ECG=180°- 150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°. ∴|C→E|=|C→G|·cos30°=10× 3 2 = 53,|C→F|=|C→G|·cos60°=10× 1 2 =5.∴A 处所受的力 的大小为53N,B 处所受的力的大小为5N. 利用向量的加法解决实际问题的三个步骤 !" #$%!"&'()*+,-./,0$ 1% 23 45)623 78 9#:;<=>?@ABC>?@D$% 1E，9#GCBC>HIJKL() 课后·训练提升 基础 巩固 1.(多选题)下列各式中一定成立的是( ). A.a+b=b+a B.0+a=a C.A→C+C→B=A→B D.|a+b|=|a|+|b| 答案 ABC 解析 因为 A,B,C项满足运算律及运算法则,所以一定 成立.而D项不一定成立,因为|a+b|≤|a|+|b|,只有 当a,b同向时等号才成立. 2.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为B→C 的 是( ). A.B→A+A→D+D→C B.B→D+D→A+A→C C.A→B+B→D+D→C D.D→C+B→A+A→D 答案 C 解析 在A中,B→A+A→D+D→C=B→D+D→C=B→C;在B中, B→D+D→A+A→C=B→A+A→C=B→C;在 C中,A→B+B→D+ D→C=A→D+D→C=A→C;在 D 中,D→C+B→A+A→D=D→C+ B→D=B→D+D→C=B→C. 3.如图,在正六边形ABCDEF 中,B→A+C→D+E→F 等于( ). B A C D E F A.0 B.B→E C.A→D D.C→F 答案 D 解析 B→A+C→D+E→F=D→E+C→D+E→F=C→E+E→F=C→F. 4.(A→B+M→B)+(B→O+B→C)+O→M 等于( ). A.B→C B.A→B C.A→C D.A→M 答案 C 解析 原式=A→B+M→B+B→O+B→C+O→M=(A→B+B→C)+ (M→B+B→O+O→M)=A→C+0=A→C. 5.已知平行四边形ABCD,设A→B+C→D+B→C+D→A=a,且 b是一非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;③a+ b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是( ). A.①③ B.②③ C.②④ D.①② 答案 A 解析 ∵ 在 平 行 四 边 形 ABCD 中,A→B +C→D =0, B→C+D→A=0,∴a 为零向量,∵零向量和任意向量都平 行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,∴①③中 的结论正确,②④中的结论错误. 6.在平行四边形ABCD 中,若|B→C+B→A|=|B→C+A→B|,则 四边形ABCD 是 . 答案 矩形 解析 ∵|B→C+B→A|=|B→D|,|B→C+A→B|=|A→C|,且 |B→C+B→A|=|B→C+A→B|,∴|B→D|=|A→C|. 又四边形ABCD 是平行四边形, ∴四边形ABCD 是矩形. 7.如图所示,若点P 为△ABC 的外心,且P→A+P→B=P→C, 则∠ACB= . 答案 120° 解析 因为P→A+P→B=P→C,所以四边形APBC 是平行四 边形.因为点P 为△ABC 的外心,所以PA=PB=PC. 所以四边形PACB 是菱形,且△PAC 与△PBC 是全等 的等边三角形.所以∠ACB=120°. 8.已知在菱形ABCD 中,∠DAB=60°,|A→B|=1,则|B→C+ C→D|= . 答案 1 解析 在△ABD 中,AD=AB=1,∠DAB=60°, 则BD=1,则|B→C+C→D|=|B→D|=1. 9.已知正方形ABCD 的边长为1,A→B=a,A→C=b,B→C=c, 则|a+b+c|= . 答案 22 解析 因为正方形ABCD 的边长为1,所以AC= 2,所以 |a+b+c|=|A→B+A→C+B→C|=|A→B+B→C+A→C|= |A→C+A→C|=2|A→C|=22. A B D C O P 10.如图,在平行四边形ABCD 中, 对角线AC 与BD 相交于点O, P 为平面内任意一点. 求证:P→A+P→B+P→C+P→D=4P→O. 6
第六章平面向量及其应用 证明：PA+PB+P心+Pi=P6+OA+P心+OB+ 中等式不成立 Pi+O元+Pò+Oi=4Pi+(OA+OB+O元+Oi)= 3.若在△ABC中，AB=a,BC=b,且|a|=|b|=1, 4P0+(OA+O元)+(OB+Oi)=4P0+0+0=4P0. |a十b|=√2，则△ABC的形状是(). ..PA+PB+PC+PD=4PO. A.等边三角形 B.锐角三角形 11.如图(1)(2).已知向量a,b,c,求作向量a+b和a十b+c. C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案D 解析因为1AB1=la|=1,1BC1=|b|=1,AC1=|a+ b|=√2，所以△ABC为等腰直角三角形.故选D. 4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足 (1) (2) PA+P克=P心，则下列结论正确的是(). 解(1)作法：在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b, A.点P在△ABC的内部 B.点P在△ABC的边AB上 则OB=a十b. C.点P在AB边所在的直线上 0 D.点P在△ABC的外部 答案D 解析P+P店=P心，根据平行四 (2)在平面内任意取一点O,作O=b,B武=c, 边形法则，如图所示，可知点P在 Ci=a,则OA=a十b+c. △ABC的外部. 5.已知点G是△ABC的重心，则GA+G+G元= 答案0 解析如图，延长AG交BC于点E, 则点E为BC的中点，延长GE到 点D,使GE=ED,则G第+G元= 拓展·提高 GD,GD+GA=0,故GA+GB+ G元=0. 1.(多选题)向量a,b均为非零向量，下列说法中正确的 6.如图所示，已知电线AO与天花板 是(). 60 的夹角为60°，电线AO所受拉力 A.若向量a与b反向，且|a|>|b|,则向量a十b的方向 |F,|=24N,绳BO与墙壁垂直， 与a的方向相同 所受拉力|F2|=12N.求F1和 B.若向量a与b反向，且|a|<|b|,则向量a十b的方向 F,的合力大小 与a的方向相同 解如图，根据向量加法的平行四 C.若向量a与b同向，则向量a十b的方向与a的方向相同 60 D.若向量a与b同向，则向量a十b的方向与b的方向相同 边形法则，得到合力F=F1十F2= 答案ACD 0元. 解析当向量a与b反向，且|a|<|b|时，向量a十b的方 在△OCA中，1OA1=24. 1〡AC1=12,∠OAC=60°， 向与b的方向相同，只有B项说法错误，A,C,D项中的说 ∴.∠OCA=90°，.|O元1= 法都正确 2.(多选题)如图，D,E,F分别是 125..F1与F2的合力大小为 △ABC的边AB,BC,CA的中点， 125N,方向与F2成90°角竖直向上. 则下列等式成立的是( 挑战·创新 A.FD+DA+DE=0 B.AD+BE+CF=0 如图所示，P,Q是△ABC的边BC上 C.Fi+DE+AD=A店 的两点，且BP=QC.求证：AB+ D.AD+EC+FD=BD AC=A下+A反. 答案ABC 证明AB=A市+P克，AC=A+ 解析FD+DA+DE-FA+DE=0,故A中等式成立： oC. A市+B正+C京=AD+D京+F=0,故B中等式成立： ∴.AB+AC=AP+PB+AQ+QC Fi+D+AD=FE+AD=AD+D成=AB,故C中等 :P克与QC长度相等，方向相反，∴Pi+QC=0, 式成立：AD+E元+Fi=AD+0=AD=Di≠BD,故D *AB+AC=AP+AQ+0=AP+AQ
第六章 平面向量及其应用 证明 ∵P→A+P→B+P→C+P→D=P→O+O→A+P→O+O→B+ P→O+O→C+P→O+O→D=4P→O+(O→A+O→B+O→C+O→D)= 4P→O+(O→A+O→C)+(O→B+O→D)=4P→O+0+0=4P→O, ∴P→A+P→B+P→C+P→D=4P→O. 11.如图(1)(2),已知向量a,b,c,求作向量a+b和a+b+c. 解 (1)作法:在平面内任取一点O,作O→A=a,A→B=b, 则O→B=a+b. (2)在平面内任意取一点 O,作 O→B=b,B→C=c, C→A=a,则O→A=a+b+c. 拓展 提高 1.(多选题)向量a,b 均为非零向量,下列说法中正确的 是( ). A.若向量a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b的方向 与a的方向相同 B.若向量a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b 的方向 与a的方向相同 C.若向量a与b同向,则向量a+b的方向与a的方向相同 D.若向量a与b同向,则向量a+b的方向与b的方向相同 答案 ACD 解析 当向量a与b反向,且|a|<|b|时,向量a+b的方 向与b的方向相同,只有B项说法错误,A,C,D项中的说 法都正确. A B C D F E 2.(多选题)如图,D,E,F 分 别 是 △ABC 的边AB,BC,CA 的中点, 则下列等式成立的是( ). A.F→D+D→A+D→E=0 B.A→D+B→E+C→F=0 C.F→D+D→E+A→D=A→B D.A→D+E→C+F→D=B→D 答案 ABC 解析 F→D+D→A+D→E=F→A+D→E=0,故 A中等式成立; A→D+B→E+C→F=A→D+D→F+F→A=0,故 B中等式成立; F→D+D→E+A→D=F→E+A→D=A→D+D→B=A→B,故C中等 式成立;A→D+E→C+F→D=A→D+0=A→D=D→B≠B→D,故 D 中等式不成立. 3.若在 △ABC 中,A→B =a,B→C =b,且|a|=|b|=1, |a+b|= 2,则△ABC 的形状是( ). A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案 D 解析 因为|A→B|=|a|=1,|B→C|=|b|=1,|A→C|=|a+ b|= 2,所以△ABC 为等腰直角三角形.故选D. 4.已知△ABC 的三个顶点A,B,C 及平面内一点P,满足 P→A+P→B=P→C,则下列结论正确的是( ). A.点P 在△ABC 的内部 B.点P 在△ABC 的边AB 上 C.点P 在AB 边所在的直线上 D.点P 在△ABC 的外部 答案 D C A B P 解析 P→A+P→B=P→C,根据平行四 边形法则,如图所示,可知点 P 在 △ABC 的外部. 5.已知 点 G 是 △ABC 的 重 心,则 G→A +G→B +G→C = . 答案 0 A B C D E G 解析 如图,延长AG 交BC 于点E, 则点E 为BC 的中点,延长GE 到 点D,使GE=ED,则G→B+G→C= G→D,G→D +G→A=0,故 G→A +G→B+ G→C=0. 6.如图所示,已知电线AO 与天花板 的夹角为60°,电线AO 所受拉力 |F1|=24N,绳BO 与墙壁垂直, 所受拉力|F2|=12N.求F1 和 F2 的合力大小. 解 如图,根据向量加法的平行四 边形法则,得到合力F=F1+F2= O→C. 在 △OCA 中,∵|O→A|=24, |A→C|=12,∠OAC=60°, ∴∠OCA =90°,∴|O→C|= 123.∴F1 与 F2 的合力大小为 123N,方向与F2 成90°角竖直向上. 挑战 创新 A B P Q C 如图所示,P,Q 是△ABC 的边BC 上 的两 点,且 BP =QC.求 证:A→B + A→C=A→P+A→Q. 证明 ∵A→B=A→P+P→B,A→C=A→Q+ Q→C, ∴A→B+A→C=A→P+P→B+A→Q+Q→C. ∵P→B 与Q→C 长度相等,方向相反,∴P→B+Q→C=0, 故A→B+A→C=A→P+A→Q+0=A→P+A→Q. 7
数学 必修第二册 配人教A版 6.2.2向量的减法运算 课前·基础认知 1.相反向量 提示如图所示，在平行四边 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫 形ABCD中，AB=a,AD=b,则 做a的相反向量，记作一a· a十b=AC,a-b=DB. A (2)性质：①a与-a互为相反向量，-(-a)=a_, 微思考2已知向量a,b,那么|a|-|b|与la士bl及 ②由两个向量和的定义易知a十（一a)=(一a)十a=0 |a|十|b|三者之间具有什么样的关系？ ③如果a,b互为相反向量，那么a=一bb=一a, 提示它们之间的关系为l川a|一Ib||≤a士b|≤a十 a十b=0. bl. ④零向量的相反向量仍是零向量 (1)当a,b有一个为零向量时，不等式显然成立. 2.向量的减法 (2)当a,b不共线时，作OA=a,AB=b,则a十b= (1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即 O店，如图①所示，根据三角形的性质，有|川a|一|b|1< a一b=a十（一b).求两个向量差的运算叫做向量的减法 la+bl<la|+|bl.同理可证11a|-|b11<|a-b|< (2)作法：在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则 lal+b1. 向量BA=a-b,如图所示. (3)当a,b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法 同上，如图②所示，此时|a十b|=|a|十|bl.②当向量a,b 反向时，不妨设a>|b,作法同上，如图③所示，此时|a十 bl=lal-1bl. 6 微提醒在用三角形法则作向量减法时，要注意“差 向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”，解题时要结合 aib o a A b B 图形，准确判断，防止混淆 微思考D在什么条件下，la-b|=la|+b|? 图① 图② 提示当向量a,b至少有一者为0或a,b均为非零向 o ab Bb A 量且方向相反时成立， 微探究以向量加法的平行四边形法则为基础，能 图③ 否构造一个图形，使a十b和a一b均在这个图形中？ 综上所述，得不等式Ila|-lbl≤a土b|≤la|+lbl. 课堂·重难突破 向量减法的儿何意义 解法二（定义法）如图②所示，在平面内任取一点O,作 OA=a,AB=b,则O=a十b,再作B武=-c,连接OC,则 典例剖析 QC=a+b-c. 1(1)如图，AB+BC-AD等于(). a+b-c aib a+b a+b-c R A.A市 B.D元 C.DB D.A正 图① 图② 答案B 解析AB+BC-AD=AC-AD=-D元. 规律总结」求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如求作a一b,可 (2)如图所示，已知向量a,b,c不共 线，求作向量a十b一c. 以先作a,一b,然后作a十（一b)即可. 解法一（几何意义法）如图①所示，在 (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量 的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减 平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,则 向量的终点的向量， O=a十b,再作O元=c,则CB=a十b-c
数 学 必修 第二册 配人教 A版 6.2.2 向量的减法运算 课前·基础认知 1.相反向量 (1)定义:与向量a长度 相等 ,方向 相反 的向量,叫 做a的相反向量,记作 -a . (2)性质:①a与-a互为 相反向量 ,-(-a)= a . ②由两个向量和的定义易知a+(-a)=(-a)+a=0. ③如果a,b互为相反向量,那么a= -b ,b=-a, a+b= 0 . ④零向量的相反向量仍是 零向量 . 2.向量的减法 (1)定义:向量a加上b的 相反向量 ,叫做a与b的差,即 a-b=a+(-b).求 两个向量差 的运算叫做向量的减法. (2)作法:在平面内任取一点O,作O→A=a,O→B=b,则 向量 B→A =a-b,如图所示. O A B b a a-b 微提醒 在用三角形法则作向量减法时,要注意“差 向量连接两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合 图形,准确判断,防止混淆. 微思考 1 在什么条件下,|a-b|=|a|+|b|? 提示 当向量a,b至少有一者为0或a,b 均为非零向 量且方向相反时成立. 微探究1以向量加法的平行四边形法则为基础,能 否构造一个图形,使a+b和a-b均在这个图形中? 提示 如图所示,在平行四边 形ABCD 中,A→B=a,A→D =b,则 a+b=A→C,a-b=D→B. 微思考 2 已知向量a,b,那么|a|-|b|与|a±b|及 |a|+|b|三者之间具有什么样的关系? 提示 它们之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+ |b|. (1)当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立. (2)当a,b 不共线时,作O→A=a,A→B=b,则a+b= O→B,如图①所示,根据三角形的性质,有||a|-|b||< |a+b|<|a|+|b|.同理可证||a|-|b||<|a-b|< |a|+|b|. (3)当a,b非零且共线时,①当向量a与b同向时,作法 同上,如图②所示,此时|a+b|=|a|+|b|.②当向量a,b 反向时,不妨设|a|>|b|,作法同上,如图③所示,此时|a+ b|=|a|-|b|. 综上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 课堂·重难突破 一 向量减法的几何意义 典例剖析 1.(1)如图,A→B+B→C-A→D 等于( ). A.A→D B.D→C C.D→B D.A→B 答案 B 解析 A→B+B→C-A→D=A→C-A→D=D→C. a b c (2)如图所示,已知向量a,b,c 不共 线,求作向量a+b-c. 解法一 (几何意义法)如图①所示,在 平面内任取一点O,作O→A=a,A→B=b,则 O→B=a+b,再作O→C=c,则C→B=a+b-c. 解法二 (定义法)如图②所示,在平面内任取一点O,作 O→A=a,A→B=b,则O→B=a+b,再作B→C=-c,连接OC,则 O→C=a+b-c. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如求作a-b,可 以先作a,-b,然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量 的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减 向量的终点的向量. 8
第六章平面向量及其应用 二向量的减法运算及简单应用 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆 向应用 典例剖析 3.与图形相关的向量运算化简 2.(1)如图所示： 首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分 ①用a,b表示Di 析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助 ②用b,c表示EC 化简运算 (2)化简： 三向量减法的应用 ①AB+BC-Ai: ②(AB-CD)-(AC-Bi)】 典例剖析 解(I)由题意知B武=a,Ci=b,D正=c. 3.(1)在四边形ABCD中，A=D元，若|AD-AB1= DDB=CB-CD=-BC-CD=-a-b. B元-BAI,则四边形ABCD是(). @EC=-CE=-(CD+DE)=-b-c. A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 (2)DAB+BC-AD=AC-AD=DC 答案B ②方法一：原式=AB-Ci-AC+BD=(AB+B丽) (AC+CD)=AD-AD=0: 解析：AB=D元，∴四边形ABCD为平行四边形， 方法二：原式=A店-Ci-AC+B丽=(AB-AC)十 AD-ABI=IBC-BAI...IBDI=IACI. (D元-Di)=Ci+BC=0. ,.四边形ABCD为矩形. (2)已知A1=6,AD1=9,求AB-AD1的取值范围. 规律总结 1,向量减法运算的常用方法 解：1IAB1-AD11≤1A店-AD1≤1AB1+AD1, 可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算 且1AD1=9,1AB1=6,∴3≤1AB-AD1≤15. 当AD与B同向时，AB-AD1=3: 常 运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有 当AD与A店反向时，AB-A心1=15. 方 共同的起点 .AB-AD1的取值范国为[3,15]. 引人点O,逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点 统 规律总结」用向量法解决平面儿何问题的步骤 (1)建立平面儿何与向量的联系，用向量表示问题中 2.向量加减法化简的两种形式 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 (1)首尾相连且为和. (2)通过向量运算，研究几何元素的关系， (2)起点相同且为差. (3)把运算结果“翻译”成儿何关系. 课后·训练提升 基础·巩固 3.(多选题)下列各式中能化简为AD的是( A.(AB-DC)-CB L.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( B.AD-(CD+D元) A.AB-DC=0 B.AD-BA=AC C.-(C第+M元)-(DA+B) C.AB-AD=BD D.AD+C克=0 D.-BM-DA+MB 答案C 答案ABC 解析因为四边形ABCD是平行四边形， 解析选项A中，(AB-D元)-C官=AB+C+B元 所以AB=D心，A店-D元=0，AD-BA=A市+ AB+BC+Ci=AD:选项B中，AD-(Ci+D元)= AB=AC.AB-Ai=D克，AD+CB=AD+DA=0,故 AD-0=AD:选项C中，-(C第+M心)-(DA+BM)= 只有C中结论错误. -CB-M心-DA-BM=BC+CM+AD+M店= 2.在△ABC中，BC=a,CA=b,则AB等于( (M店+B元+CM)+AD=AD:选项D中，-BM-Di+ A.a+b B.-a+(-b) Mi=M店+AD+Mi=2M花+AD C.a-b D.b-a 4.(多选题)若a,b为非零向量，则下列结论正确的是( 答案B A.若|a|+lb|=la十bl,则a与b方向相同 解析如图，A=-C+(-B心)=-b-a. B.若la|+lbl=a-bl,则a与b方向相反 C.若|al+lbl=la-bl,则la|=lbl D.若Ila-lb1=|a-bl,则a与b方向相同 答案ABD 解析对于选项A,若|a|十|b|=|a十b|,则a与b方向 9
第六章 平面向量及其应用 二 向量的减法运算及简单应用 典例剖析 2.(1)如图所示: ①用a,b表示D→B; ②用b,c表示E→C. (2)化简: ①A→B+B→C-A→D; ②(A→B-C→D)-(A→C-B→D). 解 (1)由题意知B→C=a,C→D=b,D→E=c. ①D→B=C→B-C→D=-B→C-C→D=-a-b. ②E→C=-C→E=-(C→D+D→E)=-b-c. (2)①A→B+B→C-A→D=A→C-A→D=D→C. ②方法一:原式=A→B-C→D-A→C+B→D=(A→B+B→D)- (A→C+C→D)=A→D-A→D=0; 方法二:原式=A→B-C→D-A→C+B→D=(A→B-A→C)+ (D→C-D→B)=C→B+B→C=0. 1.向量减法运算的常用方法 ! " # $ %&'()*+,，.+,/$0123456$12 1"+,/$0789$:，;<=>?@A+,=B CD0EF GHF ，I"+,/$0789$:，JK+,EF LM O 2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆 向应用. 3.与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律,其次要分 析图形的性质,通过图形中向量的相等、平行等关系辅助 化简运算. 三 向量减法的应用 典例剖析 3.(1)在四边形ABCD 中,A→B=D→C,若|A→D-A→B|= |B→C-B→A|,则四边形ABCD 是( ). A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 答案 B 解析 ∵A→B=D→C,∴四边形ABCD 为平行四边形, 又|A→D-A→B|=|B→C-B→A|,∴|B→D|=|A→C|. ∴四边形ABCD 为矩形. (2)已知|A→B|=6,|A→D|=9,求|A→B-A→D|的取值范围. 解 ∵||A→B|-|A→D||≤|A→B-A→D|≤|A→B|+|A→D|, 且|A→D|=9,|A→B|=6,∴3≤|A→B-A→D|≤15. 当A→D 与A→B 同向时,|A→B-A→D|=3; 当A→D 与A→B 反向时,|A→B-A→D|=15. ∴|A→B-A→D|的取值范围为[3,15]. 用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中 涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算,研究几何元素的关系. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 课后·训练提升 基础 巩固 1.在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( ). A.A→B-D→C=0 B.A→D-B→A=A→C C.A→B-A→D=B→D D.A→D+C→B=0 答案 C 解析 因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以A→B=D→C,A→B -D→C=0,A→D -B→A =A→D + A→B=A→C,A→B-A→D=D→B,A→D+C→B=A→D+D→A=0,故 只有C中结论错误. 2.在△ABC 中,B→C=a,C→A=b,则A→B 等于( ). A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 答案 B 解析 如图,A→B=-C→A+(-B→C)=-b-a. 3.(多选题)下列各式中能化简为A→D 的是( ). A.(A→B-D→C)-C→B B.A→D-(C→D+D→C) C.-(C→B+M→C)-(D→A+B→M) D.-B→M-D→A+M→B 答案 ABC 解析 选项 A 中,(A→B-D→C)-C→B=A→B+C→D+B→C= A→B+B→C+C→D=A→D;选项 B 中,A→D-(C→D +D→C)= A→D-0=A→D;选项C中,-(C→B+M→C)-(D→A+B→M)= -C→B -M→C -D→A -B→M =B→C +C→M +A→D +M→B = (M→B+B→C+C→M)+A→D=A→D;选项 D中,-B→M-D→A+ M→B=M→B+A→D+M→B=2M→B+A→D. 4.(多选题)若a,b为非零向量,则下列结论正确的是( ). A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同 B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反 C.若|a|+|b|=|a-b|,则|a|=|b| D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同 答案 ABD 解析 对于选项 A,若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向 9
数学必修第二册 配人教A版 相同，结论正确：对于选项B,若|a|十|b|=|a一b|,则a 与b方向相反，结论正确：对于选项C,若|a十|b|=a一 b|,则a与b方向相反，但a与b的模不一定相等，结论错 误；对于选项D,若1la|-|b|=la-bl,则a与b方向 a-b 相同，结论正确. 5.如图，在四边形ABCD中，设AB=a, AD=b,BC=c,则DC等于( ① Aa-b十c 方法二：先作一b,一c,再作a十（一b)十（一c),如图② B.b-(a十c) 作AB=-b,BC=-c; C.a+b+c 作O=a,连接OC,则OC=a-b-c. D.b-a+c 10.设O是△ABC内一点，且Oi=a,O克=b,O心=c,若以 答案A 线段OA,OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D,再 解析由题意可知，DC=DA+AB+BC=一b十a十c.故 以线段OC,OD为邻边作平行四边形，第四个顶点为H. 选A. 试用a,b,c表示D心，Oi,Bi. 6.如图，在△ABC中，若D是边BC的 解由题意可知四边形OADB为平行四边形， 中点，E是边AB上一点，则BE ∴.O元=OA+OB=a+b, DC+ED= ∴.DC=O元-Oi=c-(a+b)=c-a-b. 答案0 B4 又四边形ODHC为平行四边形， 解析图为D是边BC的中点，所以B正-D元+E市= ∴.Oi=O元+Od=c+a+b, Bi+ED-D元=Bd-DC=0. ..BH=OH-OB=c+a+b-b=a+c. 7.已知Oi=a,Oi=b,若|OA1=12,|O形1=5，且 ∠AOB=90°，则|a-b1= 拓展·提高 答案13 1.平面内有四边形ABCD和点O,若OA+O心=O克+O市 解析：1OA1=12,1OB1=5,∠AOB=90°， 则四边形ABCD的形状是(). .1OA12+1OB12=AB12, A.梯形 B.平行四边形 .1AB1=13. C.矩形 D.菱形 .OA=a,OB=b, 答案B ∴.a-b=OA-OB=Bi 解析因为OA+O心=O店+O心，所以Oi-O店=O市- .la-b1=|BA1=13. O心，即BA=CD,所以AB LCD,故四边形ABCD是平 8.设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且IBC1= 行四边形 4,AB+AC1=1AB-AC1,则1AM=」 2.若AB1=5,AC1=8,则1BC1的取值范围是(). 答案2 A.[3,8] B.(3,8) 解析以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由向 C.[3,13] D.(3,13) 量加减法几何意义可知，AD=A店+AC,C克=A店-A心 答案C .AB+ACI=IAB-ACI, 解析：1BC1=|AC-AB1,且|1AC1一|AB1川≤ ∴AD1=CB1. AC-AB1≤IAC1+1AB1. 又|BC|=4,M是线段BC的中点， ∴.3≤1AC-AB1≤13，即3≤1BC1≤13. 1Ai=21=21BC1=2 3.已知平面上有三点A,B,C,设m=AB+B元，n= AB-BC,若m,n的长度恰好相等，则有(）. 9.如图，已知向量a,b,c,求作向量a一b-c. A.A,B,C三点必在同一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形，且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形，且∠B=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 答案C 解析：m=AB+BC,n=A店-BC,m与n的长度相等， 解方法一：先作a一b,再作a一b一c即可. ..IAB+BCI=IAB-BCI. 如图①所示，以A为起点分别作向量AB和AC,使 以AB,BC为邻边作平行四边形ABCD(图略)，则 AB=a,AC=b.连接CB,得向量CB=a-b,再以C为 AB+BC=AC.AB-BC=AB-AD=DB, 起点作向量CD,使CD=c,连接DB,得向量DB.则向量 ∴AC=DB,平行四边形ABCD为矩形，则△ABC DB即为所求作的向量a一b一c. 为直角三角形，∠ABC=90° 10
数 学 必修 第二册 配人教 A版 相同,结论正确;对于选项B,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b方向相反,结论正确;对于选项C,若|a|+|b|=|ab|,则a与b方向相反,但a与b的模不一定相等,结论错 误;对于选项D,若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向 相同,结论正确. 5.如图,在四边形ABCD 中,设A→B=a, A→D=b,B→C=c,则D→C 等于( ). A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 答案 A 解析 由题意可知,D→C=D→A+A→B+B→C=-b+a+c.故 选 A. 6.如图,在△ABC 中,若D 是边BC 的 中点,E 是边AB 上一点,则 B→ED→C+E→D= . 答案 0 解析 因为 D 是边BC 的中点,所以B→E-D→C+E→D= B→E+E→D-D→C=B→D-D→C=0. 7.已 知 O→A =a,O→B =b,若|O→A|=12,|O→B|=5,且 ∠AOB=90°,则|a-b|= . 答案 13 解析 ∵|O→A|=12,|O→B|=5,∠AOB=90°, ∴|O→A|2+|O→B|2=|A→B|2, ∴|A→B|=13. ∵O→A=a,O→B=b, ∴a-b=O→A-O→B=B→A, ∴|a-b|=|B→A|=13. 8.设M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,且|B→C|= 4,|A→B+A→C|=|A→B-A→C|,则|A→M|= . 答案 2 解析 以AB,AC 为邻边作平行四边形ACDB(图略),由向 量加减法几何意义可知,A→D=A→B+A→C,C→B=A→B-A→C. ∵|A→B+A→C|=|A→B-A→C|, ∴|A→D|=|C→B|. 又|B→C|=4,M 是线段BC 的中点, ∴|A→M|= 1 2 |A→D|= 1 2 |B→C|=2. 9.如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c. a b c 解 方法一:先作a-b,再作a-b-c即可. 如图①所示,以A 为起点分别作向量A→B 和A→C,使 A→B=a,A→C=b.连接CB,得向量C→B=a-b,再以C 为 起点作向量C→D,使C→D=c,连接DB,得向量D→B.则向量 D→B 即为所求作的向量a-b-c. a b c a-b a b c - - -b -c A B C D O C A B a a b c - - ① ② 方法二:先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②. 作A→B=-b,B→C=-c; 作O→A=a,连接OC,则O→C=a-b-c. 10.设O 是△ABC 内一点,且O→A=a,O→B=b,O→C=c,若以 线段OA,OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再 以线段OC,OD 为邻边作平行四边形,第四个顶点为H. 试用a,b,c表示D→C,O→H,B→H. 解 由题意可知四边形OADB 为平行四边形, ∴O→D=O→A+O→B=a+b, ∴D→C=O→C-O→D=c-(a+b)=c-a-b. 又四边形ODHC 为平行四边形, ∴O→H=O→C+O→D=c+a+b, ∴B→H=O→H-O→B=c+a+b-b=a+c. 拓展 提高 1.平面内有四边形ABCD 和点O,若O→A+O→C=O→B+O→D, 则四边形ABCD 的形状是( ). A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 答案 B 解析 因为O→A+O→C=O→B+O→D,所以O→A-O→B=O→DO→C,即B→A=C→D,所以ABCD,故四边形ABCD 是平 行四边形. 2.若|A→B|=5,|A→C|=8,则|B→C|的取值范围是( ). A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 答案 C 解析 ∵|B→C|=|A→C-A→B|,且||A→C|-|A→B||≤ |A→C-A→B|≤|A→C|+|A→B|. ∴3≤|A→C-A→B|≤13,即3≤|B→C|≤13. 3.已 知 平 面 上 有 三 点 A,B,C,设 m =A→B +B→C,n= A→B-B→C,若m,n的长度恰好相等,则有( ). A.A,B,C 三点必在同一条直线上 B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角 C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90° D.△ABC 必为等腰直角三角形 答案 C 解析 ∵m=A→B+B→C,n=A→B-B→C,m 与n的长度相等, ∴|A→B+B→C|=|A→B-B→C|. 以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD(图略),则 A→B+B→C=A→C,A→B-B→C=A→B-A→D=D→B, ∴A→C=D→B,平行四边形 ABCD 为矩形,则△ABC 为直角三角形,∠ABC=90°. 10