第二单元 洛必达法则与泰勒公式
第二单元 洛必达法则与泰勒公式
本单元的内容要点 1用洛必达法则求与一型的极限; 2泰勒中值定理 3泰勒公式与麦克劳林公式、拉格朗日型余项及佩亚诺 型余项 下
一、本单元的内容要点 1.用洛必达法则求 与 型的极限； 0 0 ∞ ∞ 2.泰勒中值定理 3.泰勒公式与麦克劳林公式、拉格朗日型余项及佩亚诺 型余项
本单元的教学要求 1会用洛必达法则求未定式极限,其中 1)对0∞0,∞o型未定式,可通过变换化为型或一型; (2)对0,1∞等幂指型未定式,可取对数化为或 型 2理解泰勒中值定理,并会用泰勒定理证明一些相关的 命题 下
二、本单元的教学要求 1.会用洛必达法则求未定式极限，其中 ⑴对0· ∞，∞±∞型未定式，可通过变换化为 型或 型； 0 0 ∞ ∞ ⑵对 0 0，1 ∞等幂指型未定式，可取对数化为 或 型． 0 0 ∞ ∞ 2.理解泰勒中值定理，并会用泰勒定理证明一些相关的 命题 ．
本单元教学的重点与难点 1用洛必达法则式求型与—型未定式极限,是求极限 0 的一种特殊方法,并非一般方法尤其注意,只有满 足条件1m(x存在或为(这时称1m/(x)有 x→aF x→a F'(x) 确定意义),用洛必达法则求得的极限才是正确的 2要正确理解:洛必达法则的条件是未定式存在极限的 充分而非必要条件,换言之,当1m(x)不存在或也 F'(x) 不为∞时,lim f(x) 仍然可能是确定的 x→aF(x) 下
三、本单元教学的重点与难点 1.用洛必达法则式求型 与 型未定式极限，是求极限 的一种特殊方法，并非一般方法.．尤其注意，只有满 足条件—— 存在或为 ∞ (这时称 有 确定意义 )，用洛必达法则求得的极限才是正确的. 0 0 ∞ ∞ ( ) li m ( ) x a f x → F x ′ ′ ( ) li m ( ) x a f x → F x ′ ′ 2.要正确理解：洛必达法则的条件是未定式存在极限的 充分而非必要条件，换言之，当 不存在或也 不为 ∞时， 仍然可能是确定的． ( ) li m ( ) x a f x → F x ′ ′ ( ) li m ( ) x a f x → F x
3应注意,洛必达法则不是求型与一型未定式的唯 方法读者在计算时应该结合等价无穷小的替换、带有 佩亚诺余项余项的泰勒公式等方法,以使计算简便、准 确 δ4要懂得泰勒中值定理是罗尔中值定理与拉格朗日中值 定理的进一步的推广,即拉格朗日中值定理是泰勒中值 定理当=0时的特例;并懂得函数在一点x的泰勒多项 式是该函数在x附近的近似表达式,比起函数的一次近 似,高阶泰勒多项式有更好的近似精度 下
3.应注意，洛必达法则不是求 型与 型未定式的唯 一方法.读者在计算时应该结合等价无穷小的替换、带有 佩亚诺余项余项的泰勒公式等方法，以使计算简便、准 确． 0 0 ∞ ∞ 4.要懂得泰勒中值定理是罗尔中值定理与拉格朗日中值 定理的进一步的推广，即拉格朗日中值定理是泰勒中值 定理当n=0时的特例；并懂得函数在一点x0的泰勒多项 式是该函数在x0附近的近似表达式，比起函数的一次近 似，高阶泰勒多项式有更好的近似精度．