高等数学丨（上）教案第一章函数、极限、连续二、函数的性质函数的性质定义性质判别方法性质1VxeD,奇偶性的定义；奇奇偶性的性质；奇函数：关于原点对称，f(0)=0：偶偶函数：f(-x)=f(x);奇函数偶函数：关于y轴对称性f(x)+ f(-x)= 0性质2奇函数：f(-x)=-f(x)奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇；常数函数为偶函数.a.根据定义，考察单当x<x,时，恒有f(x)是f(x)-f(x2)调单调增加函数：f(x)<f(x2)的符号；性b.根据导数的符单调减少函数：f(x)>f(x)号.周期f(x)为周期函数：定义域为D，T不为零，VxeD, f(x+T)= f(x) (x+TeD)性f(x)在X上有界：有无界函数可能有上界而无下界，也可能界有下界而无上界，或即无上界又无下设XcD,3M >0, VxeX,有 F(x)≤M界，函数f(x）的有界性与讨论的区间性X有关.3常数M,M,使得M,≤f(x)≤M,(VxEX),则称f(x)在X上有界，M,为下界，M,为上界练0≤x≤11设f(x)=求函数f(x+3)的定义-2. 1<x≤2习小1.函数的定义及函数的二要素一一定义域，对应规律函数的特性一一有界性，单调性，奇偶性，周期性2.结作习题1-1业教学反思课次授课题目81.2初等函数教学目标：1.理解基本初等函数的概念2.掌握6种基本初等函数的性态教学重点：6种基本初等函数的性态教学难点：反三角函数的性态计算机与数学基础教学部-6 -
高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 - 6 - 计算机与数学基础教学部 二、函数的性质 函数的性质 定义 性质 判别方法 奇 偶 性 x D, 偶函数: f( x) f(x)； 奇函数: f( x) f(x). 性质 1 奇函数:关于原点对称, f (0) 0 ； 偶函数:关于 y 轴对称. 性质 2 奇+奇=奇；偶+偶=偶； 奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇； 常数函数为偶函数. 奇偶性的定义； 奇偶性的性质； 奇函数 f (x) f (x) 0 单 调 性 当 1 2 x x 时，恒有 f (x) 是 单调增加函数: 1 2 f (x ) f (x ) 单调减少函数: 1 2 f (x ) f (x ) a．根据定义,考察 1 2 f (x ) f (x ) 的符号; b. 根据导数的符 号. 周 期 性 f (x) 为周期函数：定义域为 D ， T 不为零， x D, f (x T) f (x) x T D 有 界 性 f (x) 在 X 上有界： 设 X D, M 0, x X , 有 f (x) M . 常数 1 2 M ,M 使得 1 2 M f (x) M x X ， 则称 f (x) 在 X 上有界，M1 为下界，M2 为上界． 无界函数可能有上界而无下界，也可能 有下界而无上界，或即无上界又无下 界，函数 f (x) 的有界性与讨论的区间 X 有关． 练 习 设 1, 0 1 ( ) 2, 1 2 x f x x ，求函数 f (x 3) 的定义 小 结 1. 函数的定义及函数的二要素——定义域，对应规律 2. 函数的特性——有界性, 单调性,奇偶性, 周期性 作 业 习题 1-1 教 学 反 思 授课题目 §1.2 初等函数 课次 2 教学目标：1.理解基本初等函数的概念 2.掌握 6 种基本初等函数的性态 教学重点：6 种基本初等函数的性态 教学难点： 反三角函数的性态
第一章函数、极限、连续高等数学1（上）教案教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法多媒体幻灯片课堂概况：教学内容（注明：*重点#难点？疑点）教学方式与策略在中学学习过的函数有哪些？能否归类？复1.常数函数：=C（C为常数）；2.幂函数：y=x（u是常数）：习3.指数函数：y=a(a>0,a±l)：4.对数函数：y=logax(a>0,a±1)：引5.三角函数：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx;入6.反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx，y=arctanx,y=arccotx.一、基本初等函数名图像表达式定义域简单特性称c常数图像为平行于x轴的一条直(-8,+8)y=C函线数10随μ而不讲经过(1,1)，在第一象限内，幕同，但在函y=xA当u>0时，为增函数：当(0,+)都数μ<0时，为减函数有定义授图像在x轴上方，且都经过指数点(0,1)，当0<a<1时，<a(-0,+00)y=a函减函数：当a>1时，增函数数新J<a<对图像在y轴右侧，都经过点数>(0,+)y=log.(1,0)，当0<a<1时，减函函数：当a>1时，增函数数课正J弦以2元为周期的有界的奇函(-8,+8)函数y=sinx数，值域为[-1,1]元XO22些基本初等函数的定义域、值域、图像的性质.计算机与数学基础教学部 7-
高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 计算机与数学基础教学部 - 7 - 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法 多媒体幻灯片 课堂概况： 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 在中学学习过的函数有哪些？能否归类？ 1．常数函数： y C （C 为常数）； 2．幂函数： y x ( ) 是常数 ； 3．指数函数： ( 0, 1) x y a a a ； 4．对数函数： log ( 0, 1) a y x a a ； 5．三角函数： y sin x ， y cos x ， y tan x ， y cot x ， y sec x ， y csc x ； 6．反三角函数： y arcsin x, y arccos x ， y arctan x, y arc cot x ． 讲 授 新 课 一、基本初等函数 一些基本初等函数的定义域、值域、图像的性质． 名 称 表达式 定义域 图像 简单特性 常 数 函 数 y C (,) 图像为平行于 x 轴的一条直 线 幂 函 数 y x 随 而 不 同 ， 但 在 (0,) 都 有定义 经过 (1,1) ，在第一象限内， 当 0 时，为增函数；当 0时，为减函数 指 数 函 数 x y a (,) 图像在 x 轴上方，且都经过 点 (0,1) ，当 0 a 1时， 减函数；当 a 1时，增函 数 对 数 函 数 xa y log (0,) 图像在 y 轴右侧，都经过点 (1,0) ，当 0 a 1时，减 函数；当 a 1时，增函数 正 弦 函 数 y sin x (,) 以 2 为周期的有界的奇函 数，值域为[-1,1]
高等数学「（上）教案第一章函数、极限、连续余以2元为周期的有界的偶函弦Ty=cosx(-8,+)函数，值域为[-1,1]数2讲正以元为周期的奇函数，在X±(2k+1)切元元y=tan x内是增函数函kez2'2数授余X+k元以元为周期的奇函数，在切y=cotx函（0.元）内是减函数kez数新元元上的y=sinx在反2 2正反函数为y=arcsinx,是y= arcsin x弦[-1,1]课单调增加函数，值域为函J元数2'2y=cosx在[O,元]上的反反y=arccosx余函数为y=arccosx，是单[-1,1]弦调减少函数，值域[0,元]17-1反单调增加函数，值域正y=arctanx元元(-8,+)切函2'2数反余y=arccoty切(-00,+00)单调减少函数，值域(0,元）函数2二、复合函数注意：复合函数的定义域为1.复合函数的定义Dp,Dp= (x|g(x)eD,)定义1设函数y=f(u)，ueD,，yeR,,2.关于概念的几点说明u=g(x),xeDueR，，如果RnD,の，则称函数(1）不是任何两个函数都可以构成一个复合函数函数y=[g(x)],xe (xlg(x)eD))J=f(u),u=g(x)可以构成为由函数y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数。其中u称为中间复合函数的条件是变量.R,nD,*0.计算机与数学基础教学部- 8 -
高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 - 8 - 计算机与数学基础教学部 讲 授 新 课 余 弦 函 数 y cos x (,) 以 2 为周期的有界的偶函 数，值域为[-1,1] 正 切 函 数 y tan x k Z x k ， π 2 (2 1) 以 为周期的奇函数，在 ( , ) 2 2 ππ 内是增函数 余 切 函 数 y cot x x k k Z ， 以 为周期的奇函数，在 (0, ) 内是减函数 反 正 弦 函 数 y arcsin x [-1,1] y sin x 在[- ] 2 2 ππ， 上的 反函数为 y arcsin x ,是 单 调 增 加 函 数 ， 值 域 为 [ 2 2 π， π ] 反 余 弦 y arccos x [-1,1] y cos x 在[0, ]上的反 函数为 y arccos x ,是单 调减少函数，值域[0, ] 反 正 切 函 数 y arctan x (,) 单 调 增 加 函 数 ， 值 域 ) 2 2 ( π， π 反 余 切 函 数 y arc cot x (,) 单调减少函数，值域 (0, ) 二、复合函数 1．复合函数的定义 定义 1 设函数 ( ), , f f y f u u D y R ， u g(x), g g x D u R ，如果 R g Df ，则称函数 y f g x , xx g x D f 为由函数 y f (u),u g(x) 复合而成的复合函数．其中u 称为中间 变量． 注意:复合函数的定义域为 DF , DF x g(x)Df ． 2．关于概念的几点说明 (1）不是任何两个函数都可以 构 成 一 个 复 合 函 数 ． 函 数 y f (u),u g(x) 可以构成 复合函数的条件是 R g Df ．
高等数学1（上）教案第一章函数、极限、连续(2）函数的复合与复合的次序例 1函数 y=3rcos2-可分解成哪几个简单的函数.有关，即f[g(x)]与讲71例2已知f(x)=求f(l+f(x))x-1g[f(x)]定是同一函数例3 设(-1)=cosx，求(n).通常分段函数不是初等函X授数，如符号函数、取整函数都不三、初等函数是初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及2．关于概念的几点说明有限次的函数复合所构成的并且可用一个式子表示的函数称为初等(1)一一对应的函数才有反函数新函数.(2)函数 =(x)与其反函[2,x≤0数y=f-"(x)的定义域为、值(-1 >0: (2) y=Vx+V+/x+..例5(1)y=域地位交换可得：课不是初等函数，(3)y=f(x)的反函数有两幕指函数：(x)>0. y=[f(x)g()=es(1)n/(),个，一个以y为自变量，表达式x=f-(y)，图像与原函数图（四）反函数像重合：一个以x为自变量，表1．反函数的定义（x），图像与原函达式y=f定义2设函数y=f(x)的定义域是D,，值域是R,，如果对数图像关于直线=x对称于VyeR，都有唯一对应值xeD，满足y=f(x)，则x定义在R上以y为自变量的函数，记此函数为x=f-(y)yeR,，并称其为y=f(x)的反函数.x<0练设fx则 f-l(x)=,x≥0习小掌握基本初等函数的图形和性质结作习题1-3业教学反思课次授课题目$1.3数列的极限教学目标：1.理解数列极限的概念2.了解数列极限的性质计算机与数学基础教学部-9-
高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 计算机与数学基础教学部 - 9 - 讲 授 新 课 例 1 函数 2 arccos 2 3 x y 可分解成哪几个简单的函数． 例 2 已知 1 ( ) 1 f x x ，求 f (1 f (x)) ． 例 3 设 1 f ( 1) cos x x ，求 f (x) ． 三、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及 有限次的函数复合所构成的并且可用一个式子表示的函数称为初等 函数． 例 5 (1) 2 , 0 1 , 0 x y x ；(2) y x x x . 不是初等函数． 幂指函数： f (x) 0 ． ( ) ( )ln ( ) ( ) g x g x f x y f x e ． （四）反函数 1．反函数的定义 定义 2 设函数 y f (x) 的定义域是 Df ，值域是 Rf ，如果对 于 f y R ，都有唯一对应值 f x D ，满足 y f (x) ，则 x 定义在 Rf 上以 y 为自变量的函数，记此函数为 1 x f (y) f y R ，并称其为 y f (x) 的反函数． (2) 函数的复合与复合的次序 有 关 ， 即 f g x 与 g f x 不一定是同一函数． 通常分段函数不是初等函 数，如符号函数、取整函数都不 是初等函数． 2．关于概念的几点说明 (1)一一对应的函数才有反函数． (2) 函数 y f (x) 与其反函 数 1 y f (x) 的定义域为、值 域地位交换可得； (3) y f (x) 的反函数有两 个，一个以 y 为自变量，表达式 1 x f (y) ，图像与原函数图 像重合；一个以 x 为自变量，表 达式 1 y f (x) ，图像与原函 数图像关于直线 y x 对称. 练 习 设 2 1 , 0 ( ) , 0 x x f x x x ， 则 1 f (x) _ ． 小 结 掌握基本初等函数的图形和性质 作 业 习题 1-3 教 学 反 思 授课题目 §1.3 数列的极限 课次 3 教学目标：1.理解数列极限的概念 2.了解数列极限的性质
第一章函数、极限、连续高等数学1（上）教案教学重点：数列极限的定义教学难点：极限概念的理解教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法多媒体幻灯片课堂概况教学内容（注明：*重点#难点？疑点）教学方式与策略发现法：设置问题情境，1.举出3个数列的实例；复提供有助于形成概括结2.简单讨论上述实例的敛散性；习论的实例，对实例观察3.讨论例子：一尺之锤、日取其半、万世不竭引分析、缩小观察范围，4.如何用渐近的方法求圆的面积？将注意力集中在无限趋入近上。（一）数列的极限讨论法：1.数列的概念1.如何定义数列的极限？定义以自然数为自变量的函数y=f(n),当n依次取1,2,3,时所得到的一列函数值2.实例的敛散性：1111a, = f(1),az = f(2),a, = f(3),..,a, = f(n),...2482”称为无穷数列,简称数列.数列中的各个数称为数列的项，α，=f(n)称为数123列的通项。该数列通常简记为(a，)n2'34"n+1"注在几何上，数列对应着数轴上一个点列。可看作一动点在数轴上依次取aaa....讲2,4,8,...,2",.az aa3anar1, -1,1,.函数观点：数列可以看作以正整数Z+为定义域的函数α，=f(n)，当11授" (-1)"-1自变量n按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值就排列成数列2'3’(a,)，而数列的通项公式就是相应函数解析式2.数列极限的概念新定义2设数列(a,}，当n无限增大时，若a,无限接近于一个确定的问题：当n无限增大（记作n→）时通常数A，则称数列(a,以A为极限,或称数列(a,收敛于A.记作lima,=A项是否无限接近于某一课或a→A1 (n-→)确定的数值？如果是,如何确定？如果当n无限增大时，a.不能无限接近于某个确定的常数，则称当n→时数列(a,)发散或极限不存在，讨论：例1考察下面数列当n→oo时的变化趋势，写出它们的极限计算机与数学基础教学部- 10 -
高等数学 1（上）教案 第一章 函数、极限、连续 - 10 - 计算机与数学基础教学部 教学重点：数列极限的定义 教学难点：极限概念的理解 教学方式与手段：讲授法、发现法与讨论法 多媒体幻灯片 课堂概况 教学内容（注明：*重点 #难点 ？疑点） 教学方式与策略 复 习 引 入 1. 举出3个数列的实例； 2. 简单讨论上述实例的敛散性； 3. 讨论例子：一尺之锤、日取其半、万世不竭 4. 如何用渐近的方法求圆的面积？ 发现法：设置问题情境， 提供有助于形成概括结 论的实例，对实例观察 分析、缩小观察范围， 将注意力集中在无限趋 近上。 讲 授 新 课 （一）数列的极限 1．数列的概念 定义 以自然数为自变量的函数 y f (n),当 n 依次取 1,2,3,.时所得到 的一列函数值 a1 f (1), a2 f (2), a3 f (3),, an f (n), 称为无穷数列,简称数列．数列中的各个数称为数列的项, a f (n) n 称为数 列的通项．该数列通常简记为an ． 注 在几何上，数列对应着数轴上一个点列．可看作一动点在数轴上依 次取 1 2 , , , , n a a a ． 1 a 2 a 3 a 4 a n a 函数观点：数列可以看作以正整数 Z 为定义域的函数 a f (n) n ，当 自变量 n 按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值就排列成数列 { }n a ，而数列的通项公式就是相应函数解析式． 2．数列极限的概念 定义 2 设数列{ }n a , 当 n 无限增大时, 若 n a 无限接近于一个确定的 常数 A ，则称数列{ }n a 以 A 为极限,或称数列{ }n a 收敛于 A ．记作lim n n a A 或 ( ) n a A n 如果当 n 无限增大时, n a 不能无限接近于某个确定的常数，则称当 n 时数列{ }n a 发散或极限不存在． 例 1 考察下面数列当 n 时的变化趋势，写出它们的极限． 讨论法： 1.如何定义数列的极 限？ 2.实例的敛散性： 1 1 1 1 , , , , , 2 4 8 2 n 1 2 3 , , , , , 2 3 4 1 n n 2, 4,8, , 2 , n 1 1, 1,1, ,( 1) , n 1 1 1 1 1, , , ,( 1) , 2 3 n n 问题：当 n 无限增大 （记作 n ）时,通 项是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如 何确定? 讨论：