陕品师乾大學乐数学与信息科学学院HAANXINORMAI3.偏积分法如果已知一个调和函数u，那末就可以利用柯西一黎曼方程求得它的共轭调和函数从而构成一个解析函数u+i.这种方法称为偏积分法例1 证明u(x,y)= y3-3x2y为调和函数,并求其共轭调和函数 v(x,)和由它们构成的解析函数.a'u解 因为-6xyax?a'u2-3x2,3y6yayay
3. 偏积分法 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法. 解 例1 . ( , ) ( , ) 3 , 3 2 数 其共轭调和函数 和由它们构成的解析函 证明 为调和函数 并求 v x y u x y y x y 6xy, x u 因为 6 , 2 2 y x u 3 3 , 2 2 y x y u 6 , 2 2 y y u
陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVEIa"uau于是0,故u(x,y)为调和函数,Qy?ax?QuOv因为-6xy,ayaxv = -6[ xydy= -3xy2 + g(x),av= -3y2 + g(x),axavdu又因为-3y2+3x2axay
0, 2 2 2 2 y u x u 于是 故 u(x, y)为调和函数. 6xy, x u y v 因为 v 6 xydy 3 ( ), 2 xy g x 3 ( ), 2 y g x x v y u x v 又因为 3 3 , 2 2 y x
陕西师聚大學陈数学与信息科学学院NOA-3y2 + g'(x)= -3y2 +3x2,((c为任意常数）故 g(x) = [3x’dx= x3 +c, v(x,y)= x3 -3xy2 +c,得一个解析函数w=3-3x2y+i(x3-3xy2+c)这个函数可以化为 w= f(z)=i(z +c)课堂练习证明uxJ)=x3-6x-3xy2+2为调和函数，并求其共轭调和函数答案v(x,y)=3xy-6xy2- y3 +2x +c.（c为任意常数）
g( x) 3x dx 故 2 , 3 x c ( , ) 3 , 3 2 v x y x xy c 3 ( ) 2 y g x 3 3 , 2 2 y x 得一个解析函数 3 ( 3 ). 3 2 3 2 w y x y i x xy c 这个函数可以化为 ( ) ( ). 3 w f z i z c 答案 课堂练习 , . ( , ) 6 3 2 3 2 2 3 调和函数 并求其共轭调和函数 证明 u x y x x y xy y 为 ( , ) 3 6 2 . 2 2 3 3 v x y x y xy y x c (c 为任意常数) (c 为任意常数)