定理2(2)若limf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)]=lim f(x)limg(x)=AB 提示：利用极限与无穷小关系定理证明 说明：定理2(2)可推广到有限个函数相乘的情形 推论(1)lim[Cf(x)]=Clim f(x) (C为常数) (2)lim[f(x)]"=[limf(x)]" (n为正整数) 例.设n次多项式Pn(x)=a0+ax+…+anx”,试证 lim P (x)=P,(xo). x今X0 证：lim P.(x)=ao+a1limx++an lim x” x-→X0 x→x0 B,(xo) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (2)若 lim f (x) A, limg(x) B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理证明 . 说明: 定理2 (2)可推广到有限个函数相乘的情形. 推论 (1) lim[C f (x)] Clim f (x) ( C 为常数 ) (2) n n lim[ f (x)] [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x 证: lim ( ) 0 P x n x x
定理2(3)若1imf(x)=A,limg(x)=B,且B≠0，则有 lim f(x) lim f(x) A g(x) limg(x) B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+a(x),g(x)=B+Bx),其中a(x),x)为无穷小 设y= f(x)AA+a(x)A BC(x)-AB(x)》 8(x)B B+B(x B B(B+B(x)) 无穷小 有界 因此y为无穷小， f()-A+y g(x) B 由极限与无穷小关系定理，得lim (x) A lim f(x) g(x)B limg(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小 (详见书P44) B 2 B 1 ( ) 1 g x ( ) 0 x U x 定理2 (3)若 lim f (x) A, limg(x) B , 且 B≠0 , 则有 证: 因 lim f (x) A, limg(x) B , 有 f (x) A(x) , g(x) B (x) , 其中 (x) , (x) 设 B A B x A x ( ) ( ) ( ( )) 1 B B x (B(x) A(x)) 无穷小 有界 由极限与无穷小关系定理 , 得 B A g x f x ( ) ( ) 因此 为无穷小