E为开集 证明:只要证Ec(E) 任取x∈E.由内点的定义知3>0使得OxCE 任取 (x,6) 取=-4(xy) 则O,∈O3∈E 从而y为E的内点,从而Q∈E 所以x为E的内点,即x∈(E) E (y,o") 从而Ec(E°),即E为开集 注:E为含于E内的最大开集 (x,O)
Eº为开集 注： Eº为含于E内的最大开集 从而E (E ) ，即E 为开集 则O( y, ') O( x, ) E O( y, ') E O(x, ) E x(E ) 从而y为E的内点，从而 所以x为Eº的内点，即 证明：只要证 E (E ) O( x, ) 0,使得O( x, ) E 任取 x E ，由内点的定义知 O( x, ) 任取 y ，取 ' = − d(x, y)
E`为闭集 (x,) 证明:只要证(E)cE 任取x∈(Ey,由聚点的定义知 E x2,6") Vo>0,有Ox。∩(E'-{x})≠Φ 取x'∈Ox∩(E-{x),由x'∈E 知V6”>0.有Ox(E-{x)≠① (当”<min6-d(x,x),(x,x)时,有 XEOxs CO1
E`为闭集 0,有O( x, ) (E'−{x}) O( x, ) ( ', ') ( ', ') ( , ) ' 0, ( { '}) ( ' min{ ( , '), ( , ')} x x x O E x d x x d x x O O − − 知 有 当 时,有x ） E O( x' , ') ( , ) ' ( ' { }) ' ' x 取x O E x x E − ，由 (E')' E' x(E')' 证明：只要证 任取 ，由聚点的定义知