我们已知R中收敛数列的一些性质,如极限的唯一性、收敛数列 的有界性、保序性、夹逼性以及四则运算法则等等,由于在高维空间 中两个点之间不存在大小关系,因此保序性和夹逼性这两个与比较大 小有关的性质已不再有意义了。 由于有界性牵涉的是点的模长,因此对高维空间中点集的有界性 有如下的定义 定义11.1.4设S是R"上的点集。若存在正数M,使得对于任 意x∈S,成立 lx‖≤M, (或等价地,存在正数M使得ScO(0,M))则称点集S有界,或称 S为有界集。 可以证明唯一性定理(即收敛点列{x}的极限是唯一的)、有界性 定理(即收敛点列必定有界)和极限的线性运算法则在高维情况 下依然成立
我们已知R 中收敛数列的一些性质，如极限的唯一性、收敛数列 的有界性、保序性、夹逼性以及四则运算法则等等，由于在高维空间 中两个点之间不存在大小关系，因此保序性和夹逼性这两个与比较大 小有关的性质已不再有意义了。 由于有界性牵涉的是点的模长，因此对高维空间中点集的有界性 有如下的定义： 定义 11.1.4 设 S 是 n R 上的点集。若存在正数 M，使得对于任 意 x∈S，成立 || x || ≤M， （或等价地，存在正数 M' 使得 S ⊂ O M ( , ') 0 ）则称点集 S 有界，或称 S 为有界集。 可以证明唯一性定理（即收敛点列{xk}的极限是唯一的）、有界性 定理（即收敛点列{xk}必定有界）和极限的线性运算法则在高维情况 下依然成立
开集与闭集 在一维的情况,开区间和闭区间是有本质差别的。闭区间上的许 多重要结果,如闭区间套定理、连续函数的若干性质,在开区间是不 成立的。因此有理由相应地对高维空间的点集作类似划分 设S是R"上的点集,它在R"上的补集R"\S记为S。对于任意 x∈R",从其邻域与S的关系来分,无非是下列三种情况之 (1)存在x的一个δ邻域O(x,δ)完全落在S中(注意:这时x必 属于S),这时称x是S的内点。S的内点全体称为S的内部,记为S。 (2)存在x的一个δ邻域O(x,δ)完全不落在S中,这时称x是S 的外点。 (3)不存在x的具有上述性质的δ邻域,即x的任意δ邻域既包 含S中的点,又包含不属于S的点,那么就称x是S的边界点。S 的边界点的全体称为S的边界,记为∂S
开集与闭集 在一维的情况，开区间和闭区间是有本质差别的。闭区间上的许 多重要结果，如闭区间套定理、连续函数的若干性质，在开区间是不 成立的。因此有理由相应地对高维空间的点集作类似划分。 设 S 是 n R 上的点集，它在 n R 上的补集 \ n R S 记为 c S 。对于任意 x∈ n R ，从其邻域与 S 的关系来分，无非是下列三种情况之一： （1）存在 x 的一个δ 邻域O x δ ),( 完全落在 S 中（注意：这时 x 必 属于 S），这时称 x 是 S 的内点。S 的内点全体称为 S 的内部，记为 o S 。 （2）存在 x 的一个δ 邻域O x δ ),( 完全不落在 S 中，这时称 x 是 S 的外点。 （3）不存在 x 的具有上述性质的δ 邻域，即 x 的任意δ 邻域既包 含 S 中的点，又包含不属于 S 的点，那么就称 x 是 S 的边界点。S 的边界点的全体称为 S 的边界，记为∂ S
要注意的是,内点必属于S,外点必不属于S(或者说必属于S“), 但边界点可能属于S,也可能不属于S。 内点 边界点 外点 图111.1
内点 边界点 外点 图 11.1.1 要注意的是，内点必属于 S，外点必不属于 S（或者说必属于 c S ）, 但边界点可能属于 S，也可能不属于 S
若存在x的一个邻域,其中只有x点属于S,则称x是S的孤立 点。显然,孤立点必是边界点 若x的任意邻域都含有S中的无限个点,则称x是S的聚点。S 的聚点的全体记为S。显然,S的内点必是S的聚点;S的边界点, 只要不是S的孤立点,也必是S的聚点。因此S的聚点可能属于S, 也可能不属于S。例如在R中,0是点集{n=12…}的聚点,但它不 属于这个点集
若存在 x 的一个邻域，其中只有 x 点属于 S，则称 x 是 S 的孤立 点。显然，孤立点必是边界点。 若 x 的任意邻域都含有 S 中的无限个点，则称 x 是S的聚点。S 的聚点的全体记为 S'。显然，S 的内点必是 S 的聚点；S 的边界点， 只要不是 S 的孤立点，也必是 S 的聚点。因此 S 的聚点可能属于 S， 也可能不属于 S。例如在R 中，0 是点集 ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ = ,2,1 L 1 n n 的聚点，但它不 属于这个点集