§8酉空间介绍 定义14设V是复数域上一个线性空间,在V上定义了一个二元复函数,称 为内积记作(a,B),它具有以下性质: 1)(a,B)=(B,a),(B,a)是(B,a)的共轭复数; 2)(ka,B)=k(a,B); 3)(a+B,y)=(a,y)+(B,y); 4)(a,a)是非负实数,且(a,x)=0当且仅当a=0 这里a,B,y是V中任意的向量k是任意复数这样的线性空间称为酉空间 例1在线性空间C"对向量 (a1,a2…,an),B=(,b2,…b) 定义内积为 (a, B)=a,b+a2b2+.+an, b 显然内积(1)满足定义14中的条件这样C”就成为一个酉空间 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似,有一套平行的理论,因此在这 只简单地列出重要的结论,而不详细论证 )(a, kB)=k(a, B) 2)(a,B+y)=(a,B)+(a,y) 3)√a,a)叫做向量a的长度,记为a 4)柯西-布涅柯夫斯基不等式仍然成立,即对于任意的向量a,B有 a,B图a‖β|, 当且仅当a,B线性相关时等号成立 注意:酉空间中的内积(a,B)一般是复数,故向量之间不易定义夹角但仍引 入
§8 酉空间介绍 定义 14 设 V 是复数域上一个线性空间，在 V 上定义了一个二元复函数，称 为内积,记作 (, ) ，它具有以下性质: 1) (, ) = (,)，( ,) 是 ( ,) 的共轭复数; 2) (k, ) = k(, ) ; 3) ( + , ) = (, ) + (, ) ; 4) (,) 是非负实数,且 (,) = 0 当且仅当 = 0 这里 , , 是 V 中任意的向量, k 是任意复数,这样的线性空间称为酉空间. 例 1 在线性空间 n C ,对向量 ( ) ( ) a a an b b bn , , , , , , , = 1 2 = 1 2 定义内积为 = a1 b1 + a2 b2 ++ an bn (,) , (1) 显然内积（1）满足定义 14 中的条件.这样 n C 就成为一个酉空间. 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这 只简单地列出重要的结论，而不详细论证. 1) (, k ) = k(, ). 2) (, + ) = (, ) + (, ). 3) (,) 叫做向量 的长度，记为 | |. 4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量 , 有 |, || || |, 当且仅当 , 线性相关时等号成立. 注意：酉空间中的内积 (, ) 一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引 入
5)向量a,B,当(a,B)=0时称为正交的或互相垂直 在n维酉空间中,同样可以定义正交基和标准正交基,并且关于标准正交基 也有下述一些重要性质 6)任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化,并扩充为一组标准 正交基 7)对n级复矩阵A,用A表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵如A满 足AA=AA=E,就叫做酉矩阵它的行列式的绝对值等于1 两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵 8)酉空间V的线性变换用,满足 a,B)=(a,B) 就称为V的一个酉变换酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵 9)如矩阵A满足 A'=A 则叫做埃尔米特( Hermite矩阵在酉空间Cn中令 (a, B(a,B) 也是对称变换 10)V是酉空间,V是子空间,V是V的正交补,则V=V1 又设V是对称变换的不变子空间,则V也是不变子空间 l1)埃尔米特矩阵的特征值为实数它的属于不同的特征值的特征向量必正 12)若A是埃尔米特矩阵,则有酉矩阵C,使 C-IAC=C'AC
5) 向量 , ，当 (, ) = 0 时称为正交的或互相垂直. 在 n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基 也有下述一些重要性质： 6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准 正交基. 7）对 n 级复矩阵 A ，用 A 表示以 A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如 A 满 足 AA = AA = E ，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于 1. 两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 8) 酉空间 V 的线性变换 A，满足 (A ,A )=( , ), 就称为 V 的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵. 9）如矩阵 A 满足 A = A 则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间 n C 中令 A = n n x x x A x x x 2 1 2 1 则 (A , )=( ,A ). A 也是对称变换. 10） V 是酉空间， V1 是子空间， ⊥ V1 是 V1 的正交补，则 ⊥ V = V1 V1 又设 V1 是对称变换的不变子空间，则 ⊥ V1 也是不变子空间. 11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正 交. 12）若 A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 C ，使 C AC = C AC −1
是对角形知阵 13)设A为埃尔米特矩阵,二次齐次函数 f(x,x2,…,x)=∑∑anxx=xAR 叫做埃尔米特二次型必有酉矩阵C,当时X=CY f(x1,x2,…,xn)=d1y11+d2y22+…+ d, y, y
是对角形知阵. 13）设 A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数 f x x x a x x X AX n i n j n ij i j = = =1 =1 1 2 ( , ,, ) 叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵 C ，当时 X = CY n n n n f x x x = d y y + d y y ++ d y y 1 2 1 1 1 2 2 2 ( , , , )