平面解析几何中两点x=(x,x2),y=(y1,y2)间的距离公式 y1)2+(x2-y2)2 启示我们可以按照这样的方式,在R"上定义“距离” 定义111.1 Euclid空间R"中任意两点x=(x,x2…,x)和y =(y,y2…,yn)间的距离定义为 x-y=√(x1-y1)2+(x2-y2)2+…+(x2-yn) 并称 <x,> k=1 为κ的 Euclid范数(简称范数)。 显然,x的范数就是x到0的距离(即x的模长)
平面解析几何中两点 x = ),( 21 xx ，y = ),( 21 yy 间的距离公式 2 22 2 11 −+− yxyx )()( 启示我们可以按照这样的方式，在 n R 上定义“距离”： 定义 11.1.1 Euclid 空间 n R 中任意两点 x = ),,,( 21 n L xxx 和 y = ),,,( 21 n L yyy 间的距离定义为 | x – y | = 2 2 22 2 11 )()()( nn yxyx L −++−+− yx ， 并称 x = , xx >< = ∑ = n k k x 1 2 为 x 的 Euclid 范数（简称范数）。 显然，x 的范数 x 就是 x 到 0 的距离（即 x 的模长）
定理11.1.1距离满足以下性质 (1)(正定性)|x-y|≥0,而|x-y|=0当且仅当x=y (2)(对称性)|x-y|=|y-x|; (3)(三角不等式)|x-z|≤|x-y|+|y-z 证明略
定理 11.1.1 距离满足以下性质： (1) （正定性）| x – y | ≥ 0，而| x – y | = 0 当且仅当 x= y； (2) （对称性）| x – y | = | y – x | ； (3) （三角不等式）| x – z | ≤| x – y | + | y – z | 。 证明略
定义了距离就可以引入邻域以及收敛的概念。 定义11.1.2设a=(a1,a2…an)∈R",δ>0,则点集 O(a,6)={x∈R"x-ak<6} kr∈R"(x1-a1)2+(x2-a2)2+…+(x-an)2< 称为点a的δ邻域,a称为这个邻域的中心,δ称为邻域的半径。 特别地,O(a,δ)在R上就是开区间,在R2上是开圆盘,在R3上 则是开球
定义了距离就可以引入邻域以及收敛的概念。 定义 11.1.2 设 a = ),,,( 21 n L aaa n ∈ R ，δ > 0 , 则点集 δ {),( axxa <−∈= δ} n O R { <−++−+−∈= δ } 2 2 22 2 11 )()()( nn n x R axax L ax 称为点 a 的 δ 邻域，a 称为这个邻域的中心， δ 称为邻域的半径 。 特别地， O a δ ),( 在 R 上就是开区间，在 2 R 上是开圆盘，在 3 R 上 则是开球
定义11.3设{x}是R中的一个点列。若存在点a∈R",对于 任意给定的ε>0,存在正整数K,使得当k>K时,成立 x-a<E(即x∈O(a,E) 则称点列{x}收敛,或点列{x}收敛于a,也称a为点列{x}的极限。 为 lim xk =a 个点列不收敛就称其发散
定义 11.1.3 设 }{xk 是 n R 中的一个点列。若存在点 a n ∈R ，对于 任意给定的ε > 0，存在正整数K ，使得当 > Kk 时，成立 ax <− ε k （即 O ax ε ),( k ∈ ）， 则称点列 }{xk 收敛，或点列 }{xk 收敛于 a，也称 a 为点列 }{xk 的极限。 记为 k ∞→ lim xk = a。 一个点列不收敛就称其发散
定义11.3设{x}是R中的一个点列。若存在点a∈R",对于 任意给定的ε>0,存在正整数K,使得当k>K时,成立 x-a<E(即x∈O(a,E) 则称点列{x}收敛,或点列{x}收敛于a,也称a为点列{x}的极限。 为 lim xk =a 个点列不收敛就称其发散 记x=(x,x2,…,x)(k=1,2…),a=(a1,a2…,an),利用不等式 -4≤x-a2-≤∑x-0=2,n 可以得到 定理11.1.2imxk=a的充分必要条件是limx=a1(i=1,2…,n) k→∞
记 ),2,1(),,,( xk = 21 kk L nk kxxx = L ，a = ),,,( 21 n L aaa ，利用不等式 j k j − ax ≤ 2 1 | | () n k k i i i x a = x a −= − ∑ ≤ njax n i i k i ,,2,1,|| 1 ∑ =− L = 可以得到 定理 11.1.2 k ∞→ lim xk = a 的充分必要条件是lim niax ),,2,1( i ki k == L ∞→ 。 定义 11.1.3 设 }{xk 是 n R 中的一个点列。若存在点 a n ∈R ，对于 任意给定的ε > 0，存在正整数K ，使得当 > Kk 时，成立 ax <− ε k （即 O ax ε ),( k ∈ ）， 则称点列 }{xk 收敛，或点列 }{xk 收敛于 a，也称 a 为点列 }{xk 的极限。 记为 k ∞→ lim xk = a。 一个点列不收敛就称其发散