7.1.2弧度制及其与角度制的换算在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从面也就有了不同的单位以及单位之间的换算，例如，长度既可以用米，厘米来度量，也可以用尺、寸来度量：面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量。类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量1.弧度制使用角度来度量角时：是把圆周等分成360份：其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制，角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即1060°,1-D使用角度来度量角，其关键是“等分”，考虑到面积、体积等都可以通过线的长度来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”，从而引进另外一种度量角的制度呢？情境与问题如图7-1-7是一种折叠扇。折叠扇打开、合扰的过程可以插象成扇形國心角的变大、变小，那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？图7-1-7将折登扇抽象为如图7-1-8（1)所示的图形，可以看出，弧AB与弧AB都与角a对应，但α卡O时，它们的弧长AB与AB始终不相等，其原因在于OA￥OA0(2)(1)图7-1-8一般地，如果角α是由射线OP绕它的端点旋转形成的，如图7-1-8（2）8第七章三角丽数20子普通高中教科书教师教学用书数学（B版）必修第三册
★本小节内容主要包括弧度制的含义，1弧度的角的定义，弧度制与角度制的换算，弧度制下的扇形圆心角、弧长和面积公式，通过所学内容，发展学生的数学运算核心素养★教材中通过类比长度、面积的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出了度量角的制度一弧度制.★教材特意回顾了初中学过的角度制的概念，建议教师带领学生复习相关内容，从而为学习弧度制做好铺垫需要注意的是，弧度制是利用“长度”来度量角的大小，与学生的已有认知不同，教师要带领学生经历弧度制的产生过程，引导学生发现和探究，体会弧度定义的科学性和合理性★，通过“情境与问题”中折叠扇打开、合拢的过程，引导学生思考其中一些量的变化，在此不妨通过特殊的开合角度去探索“情境与问题”中提出的问题2元xr,l'-例如，如图718所示，设α120，0，0A，则×2mr32元_2元X，可以发现，当半径和弧长变化时，它们的比值不变，即3二2元22元-373由半径和弧长变化时其比值不变，猜想“同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一2元个常数”。同时，教师也可继续提出问题，让学生思考120°与之之间是否有某种联系，是否能够由此得到另一种度量角的方法C饭1第七章三角涵数121
所示，则在旋转的过程中，射线上的任意一点（端点除外）必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧长度不同，但这些圆弧都对应同一个角α，可以猜想，这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数，即ABAB04-O4-=定值n事实上，设α=n，弧AB的长为l，半径OA=r，则1.2r,360因此12元=n·360A这个等式右端不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与α的大小有关，我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数，因此，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.如图7-1-9所示，因为AB的长等于半径r：所以AB所对的圆心角/AOB就是1弧度的角如前所述，这样规定出来的1弧度的角大小是完全确定的，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制图7-1-9由弧度制的定义可知，在半径为的圆中，若弧长为1的弧所对的圆心角为rad，则想一思育张度耐与角度制的区副是什么？请间齿件·恩考，即弧长等于其所对应的圆心角的弧由此也可得到1=2一下引入然度的度数与半径的积客义是什发今后我们在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数。例如，a=2表示α是2rad7元7的角sin表示 rad的角的正弦2.弧度制与角度制的换算尝试与发现（1）按照定义，一个周角对应的孤度数应是多少？（2）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？97.1任意角的概念与孤度制22必修第三册【普通高中教科书：教师教学用书数学（B版）
在直观印象的基础上，学生猜想“同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数”此时教师可引导学生进行理论上的证明，使学生的认知从感性上升为理性，进而引出规定长度等于半径的圆弧所对的圆心角为1弧度一中，教师应强调角α为弧度数，如果已知角以度为单位，要运用该公式计算，则应★公式α7先把它化为弧度，在角的概念推广以后，角有正角、零角和负角，对于弧度依然如此，所以考虑到一可写为|α|=正负角的问题，公式α一一一的形式公式α=一可变形为l=αr，此为弧度制下扇形的弧长公式，即此时角α为弧度数，建议教师在此复习初中学过的角度制下扇形的弧长公式，让学生试着分析它们之间的不同★教材中的“想一想”可由学生思考、交流完成，弧度制与角度制的区别：（1）弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制：（2）1弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，1是圆1周的360的弧长所对的圆心角的大小；（3）弧度制表示角时，“弧度”或者“rad”可以省略，如sin（3rad）通常写为sin3.但在角度制中，单位不能省略，比如sin30°不能写为sin30（4）弧度制是十进制的，角度制中度、分、秒之间是六十进制；（5）以弧度或度为单位的角，都是一个与半径无关的定值，引入弧度制的意义：（1）统一了角与三角函数值的单位，便于研究三角函数及应用：（2）简化tn!了一些数学公式，如弧度制下的弧长公式/=ar比角度制下的弧长公式/一1具具有更简洁的形式★“尝试与发现”中的问题旨在指引学生去寻找角度和弧度间的换算关系，教师可依据学情给予学生探究的空间，学生可有多种途径寻找问题的答案，例如，利用周角或弧长公式等1第七章三角涵数12344
因为半径为一的圆周长为2xr，所以周角的弧度数是2一2元，于是360°=2元rad，因此180°—元rad由此容易得到弧度制与角度制的换算公式：设一个角的角度数为，弧度数为α，则na180元2由此不难知道，0rad角就是o°角，它的终边在轴的正半轴上；rad角就是90°角，它的终边在y轴的正半轴上；元rad角就是180°角，它的终3元边在轴的负半轴上：rad角就是270角，它的终边在y轴的负半轴上，2例1把30°，45°，60化成弧度（用元表示）并在平面直角坐标系中作出它们的终边30解设30角的弧度数为α，则%所以.元180T6即30%元=，对应的角的终边为图7-10中as的射线OA.图7-1-10类似地，有45°-3.60°-4它们的终边分别为7-1-10中的射线OB，OC.因为元~1.05：所以例1说明，1rad的角比60小，38元把号化成角度数。例28元好58则8元解288°元·因此n=180×-288，即=n，1805例3利用弧度制推导扇形的面积公式其中「是扇形的弧长，是扇形的半径想一想解设扇形的圆心角为αrad，则扇形的面积为批角形的面积1α公式与三角影的面S=·元r2ar.2元和公武特对北你能得刻什么启发？1又因为1=ar，所以S=2lr10第七章三角匠数24「普通高中教科书：教师教学用书数学（B版）必修第三册