151四、教材内容分析与教学提示8.1向量的数量积1541548.1.1向量数量积的概念1648.1.2向量数量积的运算律1748.1.3向量数量积的坐标运算1868.2三角恒等变换8.2.1186两角和与差的余弦8.2.2192两角和与差的正弦、正切8.2.3204倍角公式8.2.4三角恒等变换的应用210本章小结226旅饭普通高中教科书：教师教学用书数学（B版）必修第三册
第七章三角函数一、课标要求与说明课标中，三角函数的内容是必修“主题二函数”的第三个单元，是幂函数、指数函数、对数函数之后又一种函数类型，三角函数的有关教学要求，除了表述稍微有所调整之外，课标要求与以前基本一致，关于三角函数的定位以及学习价值等，课标指出：三角函数是一类最典型的周期函数，本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性：用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质：探索和研究三角函数之间的一些恒等关系：利用三角函数构建数学模型，解决实际问题，内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。（1）角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性（2）三角函数概念和性质①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图像，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α土艺，α土元的正弦、余弦、正切）。①借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2元]上，正切函数在（一号，））上的性质③结合具体实例，了解y一Asin（or十）的实际意义；能借助图像理解参数，，A的意义，了解参数的变化对函数图像的影响（3）同角三角函数的基本关系式1第七章三角涵数1144
sin理解同角三角函数的基本关系式：sinx十cosx=l，tana.cOs（4）三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）（5）三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型，值得提醒的是，为了让大家理解弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位：进一步理解高中函数概念中为什么强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性，课标在附录中给出了一个案例（标号为3）。而且，为了让大家通过三角函数刻画周期变化现象的实例，体会三角函数在表达和解决实际问题中的作用，课标在附录中给出了一个案例（标号为4），这个案例简要说明了简谐振动（单摆、弹簧等）、声波（音又发出的纯音）、交变电流中所涉及的正弦型函数需要注意的是，以前的课标关于诱导公式，给出的要求是“借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式”，现在课标的要求中没有突出“三角函数线”，只是要求“借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式”，考虑到三角函数线在理解三角函数的性质等时具有极大的优越性，教材中仍以三角函数线作为主要工具，研究了诱导公式、三角函数的性质等，考虑到可以借助向量的数量积来推导三角恒等变换，以及必修阶段相关教学课时的安排，本章教材没有包括三角恒等变换的内容，相关内容放在了下一章中在“教学提示”中，课标指出：三角函数的教学，应发挥单位圆的作用，引导学生结合实际情境，借助单位圆的直观探索三角承数的有关性质在三角恒等变换的教学中，可以采用不同的方式得到三角恒等变换基本公式：也可以在向量的学习中，引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式课标对三角函数的应用以及鼓励学生运用信息技术学习三角函数等，也做出了相关要求，这与幂函数、指数函数、对数函数等是一致的，这里不再赞述值得提醒的是，为了帮助大家借助单位圆对称性的几何直观，探索三角函数的诱导公式，提升2「普通高中教科书教师教学用书数学（B版）必修第三册
直观想象和逻辑推理核心素养，课标以案例（标号为6）的形式加以说明，其实只是利用单位圆的对称性，推导出诱导公式，在“学业要求”中，课标要求掌握三角函数的背景、概念和性质，这项要求是与一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等一起提出的。二、课时安排建议本章内容的教学，建议课时数为21，具体安排如下：7.1任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广2课时7.1.2弧度制及其与角度制的换算1课时7.2任意角的三角函数7.2.1三角函数的定义1课时7.2.2单位圆与三角函数线1课时7.2.3同角三角函数的基本关系式2课时3课时7.2.4诱导公式7.3三角函数的性质与图像2课时7.3.1正弦函数的性质与图像3课时7.3.2正弦型函数的性质与图像1课时7.3.3余弦函数的性质与图像1课时7.3.4正切函数的性质与图像1课时7.3.5已知三角函数值求角1 课时7.4数学建模活动：周期现象的描述2课时本章小结本章内容中，利用平面向量讲述了三角函数线，不过，讲授本章内容时，不一定要先讲平面向量的有关内容，在实际教学过程中，教师可以根据需要调整相关章节内容的教学顺序三、本章内容分析与建议本章主要内容是为了落实课标中“主题二函数”而编写的，学生在学习了幕函数、指数函数和对数函数之后，对如何研究函数的性质和图像有了较为系统和整体的认识，这也是学习本章内容的基础,3第七章三角涵数！
通过本章的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引人弧度制的必要性，用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题对三角函数这一最典型的周期函数的学习，研究方法主要是代数变形和图像分析，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，可以进一步加强对函数及其研究方法的全面理解，并通过三角函数的应用体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型，体会三角函数与物理学等其他学科的联系。本章内容共分为四部分第一部分是任意角的概念与弧度制，呈现了角的推广与弧度制及其与角度制的换算等内容教材首先是在小学和初中所学过角的基础上，鼓励学生通过实例，用旋转这一运动变化的观点去理解角的概念推广的实际意义，根据旋转方向的不同和旋转运动的持续性，自然将角的大小由0°到360°的范围推广到任意大小的范围，也赋予了角的加减法的几何意义，进而引出了象限角和终边相同的角；接着引入了度量角的弧度制以及角度制与弧度制的换算，弧度制不仅作为度量角的另一种制度，更主要的是弧度数是十进制的实数，当角用弧度进行度量时，每一个角与实数一一对应的关系更为明显，为引人任意角三角函数和研究它们的性质做了准备；在弧度制下还得到了扇形弧长、圆心角、半径和面积的关系，简化了扇形面积公式弧度制的引入，利用折叠扇设置了“情境与问题”，在引导学生观察和思考的前提下展开了有关的内容，这一内容的设置很好地帮助了学生对这一节内容的理解，弧度制与角度制换算的内容中，教材强调了常用特殊角的换算，并用Excel和GeoGebra两种软件说明如何进行换算第二部分是任意角的三角函数，呈现了三角函数定义、单位圆与三角函数线、同角三角函数的基本关系式和诱导公式等内容教材在初中直角三角形中的锐角三角函数定义基础上，将锐角作为第一象限角的特例：在终边上取异于原点的任意一点，构造直角三角形，将该点的坐标与原来的锐角三角函数定义对应，在学生已有知识储备之上自然推广，得到任意角的三角函数定义，教材正文中只定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数，在“拓展阅读”中补全了其他三种三角函数定义，并根据三角函数定义总结出了三角函数的正负号规律，教材充分发挥单位圆和向量的作用，将任意角的三角函数定义图形化，帮助学生理解三角函数的周期性，渗透直观想象的核心素养，关注单位圆与角终边交点的坐标，通过三角函数线比较三角函数值的大小，利用旋转、对称和三角函数线推导出诱导公式，展示了三角函数线作为学习三角函数这部分知识的工具性，并为后续学习做好铺垫，4普通高中教科书教师教学用书数学（B版）必修第三册1