习题7.4求下列曲线所围的图形面积：1.1(1)F,y=X, X=2;y=(2)y2 = 4(x+1), y2 = 4(1- x);(3)y=x，y=x+sin?x,x=0,x=元;(4)y=er, y=e-*, x=l;(5)y=lnxl,y=0, x=0l,x=10;x=2t-12,(6)叶形线0≤t≤2;y=2t? -t3,[x=acos't,星形线(7)0≤1≤2元；y=asinst,(8)阿基米德螺线r=a0,0=0,0=2元；对数螺线r=αe,0=00=2元；(9)(10）蚌线r=acoso+bb(b≥a>0);(-≤0≤);(11) r=3coso, r=1+coso33(12）双纽线r2=a2cos20；(13）四叶玫瑰线r=acos20。(14)Descartes叶形线x3+y3=3axy；(15) x4 + y4 = α2(x2 + y2)解（1）面积A=(x-)=((x2 - Inx)-In2。221=16(2）面积A=2(-）2-y)-(-1) [dy = 2[234元1（（3）面积A=（sin2xdx=(1- cos2x)dx =2231
习 题 7.4 ⒈ 求下列曲线所围的图形面积： ⑴ y x = 1 ， y = x ， x = 2； ⑵ y 2 = 4( ) x +1 ， y x 2 = 4 1( ) − ； ⑶ y = x ， y x = + sin2 x ， x = 0， x = π； ⑷ y = ex ， y = e− x， x = 1； ⑸ y x = |ln |， y = 0， x = 01. ，x = 10 ； ⑹ 叶形线 ； x t t y t t t = − = − ≤ ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 2 0 2 2 2 3 , , ⑺ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π (8) 阿基米德螺线r a = θ, θ = 0, θ = 2π ； (9) 对数螺线r a = e , θ θ = 0, θ = 2π ； (10) 蚌线r a = cosθ + b （b a ≥ > 0）； (11) r = 3cosθ ，r = +1 cosθ ( 3 3 π θ π − ≤ ≤ )； (12) 双纽线r 2 = a 2 cos 2θ ； (13) 四叶玫瑰线r a = cos 2θ。 (14) Descartes 叶形线 x y ax 3 3 + = 3 y ； (15) x y a x y 4 4 2 2 2 + = ( ) + . 解（1）面积 ln 2 2 3 ln ) 2 1 ) ( 1 ( 1 2 2 2 1 = − = − = − ∫ dx x x x A x 。 （2）面积 3 16 ) 2 1) 2 (2 4 ) ( 4 2 (1 2 0 2 2 0 2 2 = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − ∫ ∫ dy y dy y y A 。 （3）面积 2 (1 cos 2 ) 2 1 sin 0 0 π 2 π π = = − = ∫ ∫ A xdx x dx 。 231
（4）面积A=e-)dx=(5)面积A=Jin xdx=J 1n xdx-f 1n xdx=x(lnx-1)l-x(lnx-1)99,In10_8110°10(6）面积 A=[(212 -1)(2-21)a=2(212 -3T +1)a= 15acos t.3asin? 1cos idt =12a? [(cos*t-cos° t)dt（7）面积A==12a(元-15)-号m。-96元]=8元(16[2"a2*d0-a?。（8）面积A="ae2d=—(e4x-1h2（9）面积A=（10）面积A=(acos+b)de=2"(acos+2abcos+b)dea2x1+cos202d0+b元=2+b2。2Jo22（11）面积[(3+4cos20-2cos0)do=元。[[(3cos0)? -(1+cos 0) jdo =A=2a cos20d0=（12）面积A=4.2J0(13）面积A=8:[a2cos*20d0=2a|4(1+cos40)do=元2J3at?3at（14）解一：令y=x，则x=t:0+01+131+t于是面积a(304-令u=t，则232
（4）面积 2 1 ( ) 1 0 = − = + − ∫ − e A e e dx e x x 。 （5）面积 0.1 1 1 10 1 0.1 10 1 10 0.1 = ln = ln − ln = (ln −1) − (ln −1) ∫ ∫ ∫ A x dx xdx xdx x x x x 10 81 ln10 10 99 = − 。 （6）面积 15 8 (2 )(2 2 ) 2 (2 3 ) 2 0 2 3 4 2 0 2 3 = − − = − + = ∫ ∫ A t t t dt t t t dt 。 （7）面积 ∫ ∫ = ⋅ = − 2 0 2 4 6 2 0 3 2 4 cos 3 sin cos 12 (cos cos ) π π A a t a t tdt a t t dt 2 2 8 3 96 15 16 3 12a π π ⎟ = πa ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 。 （8）面积 3 2 2 0 2 2 3 4 2 1 A a θ dθ π a π = = ∫ 。 （9）面积 = = ∫ π θ θ 2 0 2 2 2 1 A a e d 4 1 ( ) 4 2 e −1 a π 。 （10）面积 ∫ ∫ = + = + + π π θ θ θ θ θ 2 0 2 2 2 2 0 2 ( cos 2 cos ) 2 1 ( cos ) 2 1 A a b d a ab b d + = + = ∫ θ π π θ 2 2 0 2 2 1 cos 2 2 d b a 2 2 2 1 πa + πb 。 （11）面积 ∫ ∫ − − = − + = + − 3 3 3 3 2 2 (3 4cos 2 2cos ) 2 1 [(3cos ) (1 cos ) ] 2 1 π π π A π θ θ dθ θ θ dθ = π 。 （12）面积 2 4 0 2 cos 2 2 1 A = 4 ⋅ a d = a ∫ π θ θ 。 （13）面积 2 4 0 2 4 0 2 2 2 1 cos 2 2 (1 cos 4 ) 2 1 A 8 a θdθ a θ dθ πa π π = ⋅ = + = ∫ ∫ 。 （14）解一：令 y = tx，则 3 1 3 t at x + = ， 3 2 1 3 t at y + = ，t : 0 → +∞。 于是面积 A = ∫ +∞ ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 + + 3 3 2 1 3 1 3 dt t at t at = ∫ +∞ + − 0 3 3 3 2 2 (1 ) (1 2 ) 9 dt t t t a ， 令u = t 3 ，则 232
S23+ (1- 2u)A= 3a?dudu((1+u)?(1+u)(1 + u)32解二：将x=rcoso,y=rsin代入x3+y3=3axy中，得到3asincos06 e[0,"],sin"+cos?于是面积9a?sin"cos"?9a?tan?eRde:2dtangA:(sin"+cos"0)?22Jo(tan°0 +1)23a213a?22tan0+1(15）将x=rcos,y=rsin代入xt+j4=α2(x2+y2)中，得到α?r2sin*@+cost?于是面积a?d0=2a?[tan*0+1,A=4.113dtane,2Jo sin*0+cos00 tan*0+1令t=tane，则ldt=2a'_d), = /2a'artan't-12元a?。A=2a2ot+1V2/0(t-t-l) +22．求由抛物线y2=4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。解选取焦点(a.0)为极点，x轴为极轴，建立极坐标。则由x=rcose+a,y=rsine代入抛物线的方程y2=4ax中，可得抛物线的极坐标方程为2ar1-cos设过焦点的弦的极角为α，则它与抛物线所围的面积为4a21A(α) =de2(1- cos0)2233
A = 2 0 2 3 2 0 3 2 2 3 (1 ) 3 (1 ) 2 3 (1 ) (1 2 ) 3 du a u u du a u u a = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = + − ∫ ∫ +∞ +∞ 。 解二： 将 x = r cosθ , y = rsinθ 代入 x y ax 3 3 + = 3 y 中，得到 θ θ θ θ 3 3 sin cos 3 sin cos + = a r ， ] 2 [0, π θ ∈ ， 于是面积 ∫ ∫ + = + = 2 0 3 2 2 2 2 0 3 3 2 2 2 2 tan (tan 1) tan 2 9 (sin cos ) sin cos 2 9 π π θ θ θ θ θ θ θ θ d a d a A 2 0 2 3 2 2 3 tan 1 1 2 3 a a = + = − ⋅ π θ 。 （15）将 x = r cosθ , y = rsinθ 代入 x y a x y 4 4 2 2 2 + = ( + )中，得到 θ θ 4 4 2 2 sin + cos = a r ， 于是面积 ∫ ∫ + + = + = ⋅ 2 0 4 2 2 2 0 4 4 2 tan tan 1 tan 1 2 2 sin cos 1 4 π π θ θ θ θ θ θ d a d a A ， 令t = tanθ ，则 ∫ ∫ +∞ − − +∞ − + − = + + = 0 1 2 1 2 0 4 2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 1 2 t t d t t dt a t t A a 2 0 1 2 2 2 2 arctan a t t a = π − = +∞ − 。 ⒉ 求由抛物线 y 2 = 4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。 解 选取焦点(a,0)为极点, x轴为极轴，建立极坐标。 则由 x = r cosθ + a, y = rsinθ 代入抛物线的方程 y a 2 = 4 x 中，可得抛物线的极 坐标方程为 1 cosθ 2 − = a r 。 设过焦点的弦的极角为α ，则它与抛物线所围的面积为 ∫ + − = α π α θ θ α d a A 2 2 (1 cos ) 4 2 1 ( ) 。 233
由18acosαA(α) = 2asin α(1+cosα)2(1-cosα)令A(α)=0，得到α=。由于当α时，元时，当>A(α)<0：2224(a)>0，所以A(a)在α=号取到极小值，也就是最小值A()：22200102a2。A(")=2a2[g（1+cot?de:-)dcot-3(1-cos0)3221e43.求下列曲线的弧长：(1)y=x32,0≤x≤4;_ny,1≤yse;(2)x=42元(3)y=lncosx,0≤x≤a<[x=acos3t,星形线(4)0≤1≤2元;y=asin't,x=a(cost+tsint)(5)圆的渐开线，0≤1≤2元；y=a(sint-tcost)(6)心脏线r=α(1-cos0)，0≤≤2元；(7)阿基米德螺线r=a0,0≤0≤2元；r=asin3g(8)0≤0≤3元。3/+9xdx = 80V10-8解（1）L=427(2) L=/1+-(y-y-)dy(y+y-')dy/(3) L= ["/1+tan’ xdx=["sec xdx=In(tana+seca) 。(4) L= 4[3asintcostdx=6a 。（5）由x(t)=atcost,y(t)=atsint，可得234
由 α α α α α 4 2 2 2 2 sin 8 cos (1 cos ) 1 (1 cos ) 1 '( ) 2 a A a = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = ， 令 A'(α) = 0 ，得到 2 π α = 。由于当 2 π α < 时， A'(α) < 0；当 2 π α > 时， A'(α) > 0 ，所以 A(α)在 2 π α = 取到极小值，也就是最小值 ) 2 ( π A ： ) 2 ( π A 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 10 2 ) cot 2 (1 cot (1 cos ) 1 2a d = −a + d = a − = ∫ ∫ π π π π θ θ θ θ 。 ⒊ 求下列曲线的弧长： ⑴ y x = ，0 4 3 2/ ≤ x ≤ ； ⑵ x y y = − 2 4 2 ln ，1 ≤ y ≤ e； ⑶ y x = ln cos ，0 2 ≤ ≤ x a < π ； ⑷ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π ⑸ 圆的渐开线 ； x a t t t y a t t t t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ (cos sin ), (sin cos ), 0 2π ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，0 2 ≤ θ ≤ π； ⑺ 阿基米德螺线r a = θ, 0 2 ≤ θ ≤ π； ⑻ 3 sin3 θ r = a ，0 ≤ θ ≤ 3π 。 解（1） = + = ∫ 4 0 4 9 L 1 xdx 27 80 10 − 8 。 （2） 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 4 2 e e e L y y dy y y dy − − 1 4 + = + − = + = ∫ ∫ 。 （3） 2 0 0 1 tan sec ln(tan sec ) a a L x = + dx = xdx = a + ∫ ∫ a 。 （4） 2 0 L 4 3a t sin costdx 6 π = = ∫ a。 （5）由 x′( )t a = t cost, y′( )t = atsin t ，可得 234
L= J。atdt =2元~a。(6)L=J/r+r"do=J"2asingd0=8a。-2(7)L="/P+r"d0=afNe +1d0=mav1+4元*+号in2元+(8)L=JP+rdo=Jasin号do=号元a234．在旋轮线的第一拱上，求分该拱的长度为1:3的点的坐标。解设所求点所对应的参数为α，则L,=J"a(1-cost)?+a’sin?tdt=4a(1-cos1L, =f*a (1-cost)? +a? sin*tdt =4a(1+cos2V3、由=3L，得cs号-，即α=号元3a元，所以该点的坐标为（（子a.22￥233.5．求下列几何体的体积：(1）正椭圆台：上底是长半轴为α、短半轴为b的椭圆，下底是长半轴为A、短半轴为B的椭圆（A>a,B>b），高为h；椭球体兰+兰兰(2)a++=1;(3）直圆柱面x2+y2=α2和x2+22=α2所围的几何体；(4）球面x2+y2+22=a2和直圆柱面x2+y2=ax所围的几何体。解 (1) V=J°(a+4二x)(b+B=bx)d=(24B+2ab+Ab+aB)。hh6(2) V=J mb1-)d=元abc3（3）用平行于0yz平面的平面去截这立体的第一卦限的部分，截面为正方形，于是(a -)dx=10a。V=8(（4）用平行于0yz平面的平面去截这立体，则截面积为235
2 2 0 L atdt 2 π = = π a ∫ 。 （6） 2 2 2 2 0 0 2 sin 8 2 L r r d a d a π π θ = + ′ θ θ = = ∫ ∫ 。 （7） 2 2 2 2 2 0 0 L r r d a 1d π π = + ′ θ = θ θ + = ∫ ∫ ( ) 2 2 ln 2 1 4 2 π 1+ 4π + π + + π a a 。 （8） 3 3 2 2 2 0 0 3 sin 3 2 L r r d a d a π π θ = + ′ θ = θ = π ∫ ∫ 。 ⒋ 在旋轮线的第一拱上，求分该拱的长度为 1:3 的点的坐标。 解 设所求点所对应的参数为α ，则 ) 2 (1 cos ) sin 4 (1 cos 0 2 2 2 2 1 α α = − + = − ∫ L a t a tdt a ， ) 2 (1 cos ) sin 4 (1 cos 2 2 2 2 2 2 π α α = − + = + ∫ L a t a tdt a ， 由L2 = 3L1，得 2 1 2 cos = α ，即α π 3 2 = ，所以该点的坐标为 ) 2 3 ) , 2 3 3 2 (( a π − a 。 ⒌ 求下列几何体的体积： ⑴ 正椭圆台：上底是长半轴为 、短半轴为 的椭圆，下底是 长半轴为 a b A、短半轴为 B 的椭圆（ A a > , B > b），高为h； ⑵ 椭球体 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1； ⑶ 直圆柱面 x y 2 2 + = a2和 x z a 2 2 2 + = 所围的几何体； ⑷ 球面 x y 2 2 + + z 2 = a2和直圆柱面 x y ax 2 2 + = 所围的几何体。 解（1） 0 ( )( ) (2 2 6 h A a B b h V a x b x dx AB ab Ab a h h B) π π − − = + + = + + + ∫ 。 （2） dz abc c z V ab c c π π 3 4 (1 ) 2 2 = − = ∫− 。 （3）用平行于 平面的平面去截这立体的第一卦限的部分，截 面为正方形，于是 0yz 3 0 2 2 3 16 V 8 (a x )dx a a = − = ∫ 。 （4）用平行于0yz平面的平面去截这立体，则截面积为 235