复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第六章 不定积分 6.3 有理函数的不定积分及其应用

习题6.31.求下列不定积分：dx2x + 3(1)(2) dx ;- 1)(x + 1)22-1)(x2 +1)X-x2dxxdx(3)(4)(x + 1)(x + 2)2(x + 3)3 ;(x2 + 4x + 4)(x2 + 4x + 5)23dx(5)「(6) 了r3+idr;x*+x?+1ix3 +1 x4+5x+4(8)「(7)dx;dx;x2+5x+4x3+5x-6dxx2(9)(10) 「dx;x4+i:dxx2 +1(2)(11)dx;(x2 +1)(x2 + x+1)x(x3 -1)1-x7x2 +2(13)(dx;(14) [dx ;(x2 + x + 1)2x(1+ x7)x93n~1(15)(16)dx;dx。(x10 + 2x5 + 2)2(x2n + 1)2dx解（1）2(x - 1)(x +1)(x+1)-1)(x + 1)1+Cir2(x +1)Y+2x+3(2)dx- 1)(x2 + 1)(x2x+3Ax+B,Cx+D设则x2 -1x? +1(x2 -1)(x2 +1)(Ax+B)(x2 +1)+(Cx+D)(x2-1)=2x+3，于是186

习 题 6.3 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 1 1 2 ； ⑵ 2 3 1 1 2 2 x x x dx + − + ∫ ( )( ) ； ⑶ x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 ； ⑷ dx ( ) x x (x x 2 2 + + 4 4 + + 4 5 ∫ )2 ； ⑸ 3 1 3 x dx + ∫ ； ⑹ dx x x 4 2 + +1 ∫ ； ⑺ x x x x dx 4 2 5 4 5 4 + + + + ∫ ； ⑻ x x x dx 3 3 1 5 6 + + − ∫ ； ⑼ x x dx 2 4 1− ∫ ； ⑽ dx x 4 +1 ∫ ； ⑾ dx ( ) x x( x 2 2 + + 1 1 + ∫ ) ； ⑿ x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ； ⒀ x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) ； ⒁ 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ； ⒂ x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ； ⒃ x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) 。 解（1） dx ( ) x x − ( + ) ∫ 1 1 2 = dx x x x ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + 2 ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 2 1 = 1 1 1 ln 4 1 2( 1) x C x x − + + + + 。 （2）∫ − + + dx x x x ( 1)( 1) 2 3 2 2 设 ( 1)( 1) 2 3 2 2 − + + x x x = 1 2 − + x Ax B + 1 2 + + x Cx D ，则 ( )( 1) ( )( 1) 2 3 2 2 Ax + B x + + Cx + D x − ≡ x + ，于是 186

A+C=0B+D=0A-C=2B-D=3号,D=-号。所以解得A=1.C=-1B=3222x+3X(高)-DGP+)dt=//dx+x2 +1+--号arctan x+C。nx+i-号x2+14x dx(3)(x +1)(x + 2)(x +3)3x设(x + 1)(x+ 2)(x + 3)3BcDEFA(x+3)3，则(x + 3)2x+2(x + 2)2x+1x+3A(x+2)(x+3)* +B(x+1)(x+2)(x +3)3 +C(x+1)(x+3)+ D(x+1)(x+2)(x+3)2 + E(x + 1)(x+ 2)(x +3)+ F(x + 1)(x+2)2 = x 令x=-1，得到A=-1；令x=-2，得到C=2；令x=-3，得到F=302再比较等式两边x、x的系数与常数项，得到A+B+D=013A+12B+C+11D+E=0o108A+54B+27C+36D+12E+4F=041133即于是解得E=F=A-B = -5.C = 2. D =488x(x + 1)(x + 2)*(x + 3)341213532(x + 3)3(x+2)24(x +3)28(x+1)x+28(x+3)所以187

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = + = + = 3 2 0 0 B D A C B D A C ， 解得 2 3 , 2 3 A = 1,C = −1, B = D = − 。所以 ∫ − + + dx x x x ( 1)( 1) 2 3 2 2 = ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − dx x x dx x x x x 1 1 1 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln arctan 2 1 4 1 2 x x x C x x − − = + − + + + 。 （3） x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 设 2 3 (x +1)(x + 2) (x + 3) x + + + + + + = 2 1 2 (x 2) C x B x A 2 3 3 ( 3) ( + 3) + + + + x F x E x D ，则 2 3 3 3 A(x + 2) (x + 3) + B(x +1)(x + 2)(x + 3) + C(x +1)(x + 3) + D x + x + x + + E x + x + x + + F x + x + ≡ x 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2) 。 令 x = −1，得到 1 8 A = − ；令 x = −2，得到C = 2；令 x = −3，得到 3 2 F = ； 再比较等式两边 5 x 、 4 x 的系数与常数项，得到 0 13 12 11 0 108 54 27 36 12 4 0 A B D A B C D E A B C D E F ⎧ + + = ⎪ ⎨ + + + + = ⎪ ⎩ + + + + + = 。 于是解得 2 3 , 4 13 , 8 41 , 5, 2, 8 1 A = − B = − C = D = E = F = ，即 2 3 (x +1)(x + 2) (x + 3) x 2 2 3 2( 3) 3 4( 3) 13 ( 2) 2 8( 3) 41 2 5 8( 1) 1 + + + + + + + + + − + = − x x x x x x 。 所以 187

x dx(x + 1)(x + 2)2(x + 3)3(x + 3)*12133In(x+ D)(x+ 2)404(x+3)4(x+3)28X+2dx(4)(x2 + 4x + 4)(x2 + 4x + 5)2111(x2 + 4x + 4)(x2 + 4x + 5)2(x2 + 4x+ 4)(x2 + 4x+5)(x2+4x+5)2-x2+4x+4x2+4x+5(x2+4x+5)2所以dxd(x+2) arctan(x + 2) -x+2[1 +(x +2)?]2+4x+4)(x2+4x+5)21x+23arctan(x+2)+C。x+222(x2+4x+5)23(5)r3+idrdxx-2rd(x-x+l).3= In|x +Jxx2-x+1Jx2-x+1x2-x+12.n(x-++1)+ arctan = In|x +1|-LCV3dx- 1 r(x3+1)-(x3 -1)（6）解一：dx4+x2+1 2 (x? +x+1(x?-x+1)1(x+1)dx _1r(x-1)dx2x2+x+12x2-x+1rd(x +x+1)+-{-dx1rd(x2-x+1)dx1.x2+x+1+x+1-x+1Y2x-x+14.x2+x+12x+12x-1+C。[arctan+arctanV3x2-x+12/3V3188

x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 41 40 2 1 ( 3) 2 13 3 ln 8 ( 1)( 2) 2 4( 3) 4( 3) x C x x x x x + = − − − + + + + + + 。 （4）∫ + + + + 2 2 2 (x 4x 4)(x 4x 5) dx 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 5) 1 ( 4 4)( 4 5) 1 ( 4 4)( 4 5) 1 + + − + + + + = x + x + x + x + x x x x x x 2 2 2 2 ( 4 5) 1 4 5 1 4 4 1 + + − + + − + + = x x x x x x ， 所以 ∫ + + + + 2 2 2 (x 4x 4)(x 4x 5) dx = ∫ + + + − + − + − 2 2 [1 ( 2) ] ( 2) arctan( 2) 2 1 x d x x x 2 1 2 3 arctan( 2) 2 2( 4 5) 2 x x C x x x + = − − − + + + + + 。 （5） 3 1 3 x dx + ∫ = ∫ ∫ ∫ − + + − + − + ⎟ = + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + 2 1 3 1 ( 1) 2 1 ln 1 1 2 1 1 2 2 2 2 x x dx x x d x x dx x x x x x 1 2 2 ln 1 ln( 1) 3 arctan 2 3 x 1 x x x C − = + − − + + + 。 （6）解一： dx x x 4 2 + +1 ∫ = dx x x x x x x ∫ + + − + + − − ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 2 1 2 2 3 3 = ∫ + + + 1 ( 1) 2 1 2 x x x dx ∫ − + − − 1 ( 1) 2 1 2 x x x dx = ∫ ∫ + + + + + + + 4 1 1 1 ( 1) 4 1 2 2 2 x x dx x x d x x ∫ ∫ − + + − + − + − 4 1 1 1 ( 1) 4 1 2 2 2 x x dx x x d x x 2 2 1 1 1 2 1 2 1 ln [arctan arctan ] 4 1 2 3 3 3 x x x x C x x + + + − = + + − + + 。 188

(1+x)dx1 r(1-x)dxdx解二：4 + x2 +12JJx*+x?+1+2J x4+x2+1 arctan!IIn#+x'+1+C2/3V3x+x-l-14x2-1x2+x+111+C-ln=arctan2/3V3x-x+143xIin++!1注：本题的答案也可以写成+Carctan2V34x?-x+1Yr x*+ 5x+ 4(7)x2+5x+480x*+5x+44=x2-5x+21-x+4'x2 +5x+4所以x*+5x+41r_5x2x2+21x-80ln|x+4|+C。dx=32+ 5x + 4x3 +1(8)dx3+5x-6x3 +15x-711x+2211x3+5x-6(x-1)(x2 +x+6)4(x -1)4x2+x+6所以43x3 +1(x-1)?2x+11dx=x+=ln+Carctan+ x+6~4/23V23x+5x-681+x=(9)dx=arctanx+C。i-x2V2V2.￥114x+dxdx242(10)dx4+1+1x2+/2x+1x2-/2x+1189

解二：∫ ∫ ∫ + + − + + + + = + + 1 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 4 2 2 4 2 2 4 2 x x x dx x x x dx x x dx 1 1 1 1 1 arctan ln 2 3 3 4 1 x x x x C x x − − − − + + = + + − 1 + 2 2 2 1 1 1 1 ln arctan 4 1 2 3 3 x x x C x x x + + − = + − + + 。 注：本题的答案也可以写成 2 2 2 1 1 1 3 ln arctan 4 1 2 3 1 x x x C x x x + + + + − + − 。 （7）∫ + + + + dx x x x x 5 4 5 4 2 4 5 4 5 4 2 4 + + + + x x x x = 4 80 5 21 2 + − + − x x x ， 所以 ∫ + + + + dx x x x x 5 4 5 4 2 4 1 5 3 2 21 80ln 4 3 2 = − x x x + − x + +C 。 （8）∫ + − + dx x x x 5 6 1 3 3 6 22 4 1 4( 1) 1 1 ( 1)( 6) 5 7 1 5 6 1 3 2 2 3 + + + − − = + − + + − = − + − + x x x x x x x x x x x ， 所以 3 2 3 2 1 1 ( 1) 43 2 ln arctan 5 6 8 6 4 23 23 x x dx x C x x x x + − = + − + + − + + ∫ x +1 。 （9） x x dx 2 4 1− ∫ 2 2 1 1 1 1 1 1 ln arctan 2 1 1 4 1 2 x dx x C x x x ⎛ ⎞ + = − ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ − + − ∫ + 。 (10) dx x 4 +1 ∫ dx x 4 +1 ∫ = ∫ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + + + dx x x x x x x 2 1 2 1 4 2 2 1 2 1 4 2 2 2 189

2nx+/2x+1x2-2x+12+/2x+1x2-~2x+184.V2nx+V2x+1, V22(arctan(/2x+1)+ arctan(2x-1)+C 。8 x2- /2x+14dxx+1(11)J++++*++)(x2 +1(x2 +x+ 1)dx1, x2+x+1 12x+1x+x+110-arctan+x2 +12/x2+x+12?+13(2 -[-,31x(x3-1)+-（)+dxnx-1-(*++++11x3-]2Jx2+x+13+?+x+1r6x3-12x+1_In|x-1|--=In(x? + x+1)+-arctanIn3V33x32x+121n|x-1+In( +++1)-In+云-arctanCV3V3hx2+22+x+1-x+1(13)dr2++1)2dx=(x2 +x+1)2312x+17+x+l2(x2 +x+1)22 (x2 +x+1)21x+=12x+1322242x +1-arctanarctanT3V3V323 x2 +x+13V/32(x2 +x+1)2x+1x+14earctanCV3x2+x+1-x1+xdx(14)dx -dxdx :x(1+x)x(1+x7)1+1190

∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + + − + + + = dx x x x x x x x x 2 1 1 2 1 1 4 1 2 1 2 1 ln 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ln (arctan( 2 1) arctan( 2 1)) 8 4 2 1 x x x x C x x + + = + + + − + − + 。 (11) dx ( ) x x( x + ) 2 2 + + 1 1 ∫ dx x x x x x ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + + = 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 ln ln arctan 2 1 2 1 2 1 3 3 x x dx x x x C x x x x + + + + + = + = + + + + + ∫ + 。 (12) x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ − − + = − + − − = x dx dx x x x dx x x x x x ( 1) 1 ( 1) 3 2 3 2 3 3 3 3 3 1 ln 3 1 1 x x dx x x − + − = ∫ 3 3 2 1 ln 3 1 1 1 1 1 3 1 x x dx x x x x − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − − = ∫ 3 3 2 2 2 1 ln 3 1 2 1 1 1 ( 1) 6 1 ln 1 3 1 x x x x dx x x d x x x − + + + + + + + + = − − ∫ ∫ 3 2 3 1 1 1 2 1 1 1 ln 1 ln( 1) arctan ln 3 6 3 3 3 x x x x x C x + − = − − + + + + + 2 1 2 1 2 1 ln 1 ln( 1) ln arctan 3 6 3 3 x x x x x C + = − + + + − + + 。 (13) x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) = ∫ + + + + − + dx x x x x x 2 2 2 ( 1) 1 1 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + − + + = dx x x x x x x x 2 2 2 2 2 ( 1) 1 2 3 ( 1) 2 1 2 1 1 1 = 2 2 1 2 2 1 1 3 2 4 2 1 2 arctan arctan 3 3 2( 1) 2 3 1 3 3 3 x x x C x x x x ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ + + + + + + + ⎝ ⎠ + 2 4 2 1 1 arctan 3 3 1 x x C x x + + = + + + + 。 (14) 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ∫ + + = dx x x x (1 ) 1 7 7 ∫ + − dx x x 7 6 1 2 ∫ = dx x 1 ∫ + − 7 7 7 1 2 x dx 190