a Ja?- x -y dy =2Vax-- a?-ax +2(a?-x)arcsinA(x) = 2[由I'(a* -x)arcsin Jdx= J'aresin,-d(a2x+1Yadx=（元_32=(a"x-1x)arcsin /-'(a'x-{x)32/x(a+x)345及["Vax- x? Ja? -axdx = a"/x(a-x)dx =15得到V=(2-)a396.证明以下旋转体的体积公式：(1）设f(x)≥0是连续函数，由0≤axb,0≤y≤f(x)所表示的区域绕，轴旋转一周所成的旋转体的体积为V =2元Jxf(x)dx;(2）在极坐标下，由0≤α≤β≤元,0≤r≤r(0)所表示的区域绕极轴旋转一周所成的旋转体的体积为=r(0)sin ed0证（1）作区间[a,b]的划分P:α=x<x<x<<x=b，则关于小区域(xy)x-≤x≤x,0≤y≤f(α))绕y轴旋转所得的体积有AV, ~(x2 -x2)f(x,) ~ 2x,f(x,)Ax, 设=max(Ax)，令→0，就有V =2 ['xf(x)dx 。236
∫ − − − = − − 2 2 2 2 2 ( ) 2 ax x ax x A x a x y dy a x x ax x a ax a x + = 2 − − + 2( − ) arcsin 2 2 2 2 。 由 ) 3 1 ( ) arcsin arcsin ( 2 3 0 0 2 2 d a x x a x x dx a x x a x a a − + = + − ∫ ∫ ∫ + − − + = − a a dx x a x a a x x a x x a x x 0 2 3 0 2 3 2 ( ) ) 3 1 ) arcsin ( 3 1 ( 3 ) 45 32 3 = ( − a π ， 及 3 0 0 2 2 15 4 ax x a axdx a x (a x)dx a a a − − = − = ∫ ∫ ， 得到 3 ) 9 8 3 2 V = ( − a π 。 ⒍ 证明以下旋转体的体积公式： ⑴ 设 f x( ) ≥ 0是连续函数，由0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)所表示的区 域绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ∫ = b a V 2π xf (x)dx； ⑵ 在极坐标下，由0 ≤ α ≤ θ ≤ β ≤ π, 0 ≤ r r ≤ (θ) 所表示的区域绕极 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ∫ = β α θ θ θ π V r ( )sin d 3 2 3 。 证（1）作区间[a,b]的划分P : a = x0 < x1 < x2 < " < xn = b , 则关于小区域 {( , ) , 0 ( ) 1 x y x x x y f x i− ≤ ≤ i ≤ ≤ } 绕 y 轴旋转所得的体积有 ( ) ( ) 2 1 2 i i i i V x x f x ∆ ≈ π − − i i i ≈ 2πx f (x )∆x 。 设 max( ) 1 i i n = ∆x ≤ ≤ λ ，令λ → 0，就有 = ∫ 。 b a V 2π xf (x)dx 236
(2)解: 设x=r(0)coso,y=r(0)sino,a=r(α)cosα，b=r(β)cosβ,则V=Jdx-Imar2(a)sin α +rbr2(B)sin’ β2J'my?dx +T'd(y2x)=f,mr sine(r'cos0-rsin0)de+brrsin o02rsnoos -r'sin 0o- 1r(0)sinao.解二：首先，由0≤β≤元,0≤r≤a所表示的扇形区域绕极轴旋转一周所成的旋转体的体积为ce(α -)x=(1-cos )a。V="a? sin Bacos β+ 3 1然后作[α,的划分：α=<,<,<<,=β，考察由≤0≤9,0≤r≤r(0)所表示的小曲边扇形区域绕极轴旋转一周所成的旋转体的体积，这小区域可近似看作扇形，于是这小块的体积应近似等于AV~r(0)(1-cos0.)-r(0)(1-cos0_)r() sino,A0,从而r-2鲁r(a)inasa.令=max(A）→0，就有2元日V:r3(0)sinQdo 。3.7.求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积：+芸=1，绕x轴；(1)a2+b2(2)y=sinx,y=0,0≤x≤元，①绕x轴，②绕y轴；237
(2) 解一： 设 x = r(θ ) cosθ , y = r(θ )sinθ , a = r(α) cosα , b = r(β ) cos β , 则 = ∫ a b V y dx 2 π π α α 2 2 ( )sin 3 1 − ar π β β 2 2 ( )sin 3 1 + br = ∫ a b y dx 2 π + ∫ b a d( y x) 3 1 2 π = ∫ − α β πr sin θ (r'cosθ rsinθ )dθ 2 2 ( ) + ∫ + − β α π r r θ θ r θ θ r θ dθ 2 2 3 2 3 3 3 'sin cos 2 sin cos sin 3 1 = ∫ β α θ θ θ π r ( )sin d 3 2 3 。 解二： 首先，由0 ≤ θ ≤ β ≤ π ,0 ≤ r ≤ a 所表示的扇形区域绕极轴旋转一 周所成的旋转体的体积为 3 cos 2 2 2 2 (1 cos ) 3 2 sin cos ( ) 3 V a a a x dx a a a β π β β π π β = + − = − ∫ 。 然后作[α, β ]的划分：α = θ 0 < θ1 < θ 2 < " < θ n = β ，考察由 , 0 ( ) θ i−1 ≤ θ ≤ θ i ≤ r ≤ r θ 所表示的小曲边扇形区域绕极轴旋转一周所成 的旋转体的体积，这小区域可近似看作扇形，于是这小块的体积应近 似等于 3 3 1 2 2 ( )(1 cos ) ( )(1 cos ) 3 3 V r i i i i i r π π ∆ ≈ θ − θ θ − − θ − i i i r θ θ θ π ≈ ( )⋅sin ∆ 3 2 3 ， 从而 ∑= ≈ ∆ n i i i i V r 1 3 ( )sin 3 2 θ θ θ π 。 令 max( ) 0 1 = ∆ → ≤ ≤ i i n λ θ ，就有 V r = ∫ 2 3 3 π θ θ α β ( )sin dθ 。 ⒎ 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积： （1） x a y b 2 2 2 2 + = 1，绕x 轴； （2） y x = sin ， y = 0，0 ≤ x ≤ π， ① 绕x 轴， ② 绕 y 轴； 237