习题5.4函数的Taylor公式及其应用1.求下列函数在x=o处的Tavlor公式（展开到指定的n次）1(1) (x)=-x, n=4;(2) f(x)= cos(x+α),n= 4;(3) f(x)=/2+sinx, n=3;(4) f(x)=esinx,n=4;(5) f(x)= tanx, n=5;(6) f(x)= In(cosx),n =6;Jin sinrxx+0x+0er-1n=4(8) (x)=,n=4(7) f(x)=3x[1,0,x=0x=0(9) f(x)=/1-2x+ x3 _ 3/1-3x+x2,n=3.1解（1）f(x)=/1-x+o(x/2X282801.2+o(x4)=1+x-32.96·2724.8121435123x4 +o(x*) =14X-9812433(2) f(x)=cos(x+α)=cosxcosα-sinxsinαty2x3=(1-+o(x)cosα-(x+o(x))sinα2426cosasinacosαx+o(x)。=cosα-sina·x2!3!4!x2(1+ sinx)V2[1+(3)f(x)=/2+sinx:226x3x3x31 11.111= V2[1 ++0(x)* ++0(x))+0(x3)°)(x(x(x2 2846616 86120
习 题 5.4 函数的 Taylor 公式及其应用 ⒈ 求下列函数在 x = 0处的 Taylor 公式（展开到指定的n次）： ⑴ f x x ( ) = − 1 13 , n = 4 ; ⑵ f x( ) = cos(x + α) , n = 4 ; ⑶ f x( ) = + 2 sin x , n = 3; ⑷ f x x ( ) esin = , n = 4 ; ⑸ f (x) = tan x , n = 5; ⑹ f x( ) = ln(cos x), n = 6 ; ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − 1, 0 , 0 ( ) e 1 x x x f x x , n = 4 ⑻ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 , 0 sin ln ( ) x x x x f x , n = 4 ⑼ f x( ) = −1 2x + x − 1 − 3x + x 3 2 3 , n = 3. 解（1） f x x ( ) = − 1 13 2 3 4 1 1 1 1 1 ( 3 3 ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( 1 2 3 4 4 x x x x ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + − + − + − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ D x 1 4 2 3 28 280 4 1 ( 3 2 9 6 27 24 81 4 = + x + x x + + x + ) ⋅ ⋅ ⋅ D x 1 2 2 3 14 35 4 1 ( 3 9 81 243 4 = + x + x x + + x + D x )。 （2） f x( ) = + cos(x α) = cos x x cosα −sin sinα 2 4 3 4 4 (1 ( )) cos ( ( ))sin 2 24 6 x x x = − + + o x α − x − + o x α = cos 2 3 s 4 in cos cos sin ( ) 2! 3! 4! 4 x x x x o x α α α α α − ⋅ − + + + 。 （3） f x( ) = + 2 sin x sin 2(1 ) 2 x = + 3 1 3 2 1 2[1 ( ( ))] 2 6 x = + x o − + x 120 3 3 3 1 1 3 3 1 1 2 1 1 2[1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ] 2 2 6 8 4 6 16 8 6 x x x = + ⋅ −x o + x − ⋅ −x + o x + ⋅ x o − + x 3 3
x3V2V222_13V2x?=V21+三_rS3+o(x)。+0(x3))=+432128324384424ene,(4) f(x)=esinx =e"x3111I3)++(-x* + 0(x*)=1+(x-+6246431x411)+(r2rx*+o(x*)=1+(x--)+32624*r-x+0(x*) 。=1+x+8sinx(5)f(x)= tan x =cosxxsWx2x4+0(r)(1-=(x--+0(x)-L12*246120xsHAx2x4)2 +0(x5))=(x-+ 0(x)(1+(24/+(611202224xxs兰5x4)+(x-+o(x5)=(x-+ x1）61206°2242tx+0(x)。=x+-152*号+-岁 f(x)=In(cosx)=In(1-(62+0(x°)2+24720x2+ x4x6x-) +0(x6)=（-12720222424++4x61a)_1. x6x=(-+0(x)-2224720424831r1xx +0(x)。=1245xX*0(7) f(x)=er-i'[1,x=0e++0(x*)l120624x4X文++xi2+())2=1-(1+0(x4)+++-1224624612062x2XXLAx4x35x*x4=1-(±+ :)+(-)-(+++0(x)-262412046728816行121
3 2 3 3 2 2 2 13 2 2[1 ( )] 2 ( ) 4 24 32 128 4 32 384 x x x x = + − − + + o x = + x − x − x + o x 3 3 。 （4） f x x ( ) esin = 3 3 ( ) 6 e x x x − + = D 3 3 2 3 4 3 4 2 3 4 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 6 2 6 6 24 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 6 2 3 6 24 x x 4 4 x x x x o x x x x x x x o = + − + − + + + = + − + − + + + x 1 1 2 4 1 ( 2 8 4 = + x + x x − + o x )。 （5） f (x) = tan x sin cos x x = 3 5 2 4 5 5 1 3 5 2 4 2 4 5 2 3 5 3 2 4 5 ( ( ))(1 ( )) 6 120 2 24 ( ( ))(1 ( ) ( ) ( 6 120 2 24 2 24 5 ( ) ( ) ( ) 6 120 6 2 24 x x x x x o x o x x x x x x x 5 x o x o x )) x x x x x x x x o x − = − + + − + + = − + + + − + − + = − + + − + ⋅ + 1 2 3 5 ( ) 3 15 5 = +x x x + + o x 。 （6） f x( ) = ln(cos x) 2 4 6 6 ln(1 ( )) 2 24 720 x x x = − + − + o x 2 4 6 2 4 2 2 3 2 4 6 4 6 6 6 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 24 720 2 2 24 3 2 1 1 ( ) ( ) ( 2 24 720 2 4 24 3 8 x x x x x x o x x x x x x x o x = − + − − − + + − + = − + − − − − ⋅ + 6 ( ) ) 1 1 2 4 1 6 ( ) 2 12 45 6 = − x − x x − + o x 。 （7） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − 1, 0 , 0 ( ) e 1 x x x f x x 2 3 4 4 1 [1 ( ( ))] 2 6 24 120 x x x x o x − = + + + + + 121 2 3 4 2 3 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 4 4 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 24 120 2 6 24 2 6 2 5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 24 120 4 6 72 8 8 16 x x x x x x x x x x o x x x x x x x x x x x o x = − + + + + + + − + + + = − + + + + + + − + + + 4
-11+0(x)X+122720x2.x+(x)={+)-()+(x)(8) f(x)=ln(1-1201206xx+o(xt) 。6180(9) F(x)= /1-2x + x3 _ /1-3x + x2 =[1+(-2x+x) -[1+(-3x+x)1(-2x) +(-2x) +0(x)(-2x+x3)-=[1+16X9(-3x+x)+5((-3x) +0(x)(-3x+ x*)- -[1+811x)-(1-x-2x2 -x)+o(x)=(1-x23=1x2 +x +0(x)。62．求下列函数在指定点处的Taylor公式：(2) f(x)=lnx,(1) f(x)= -2x3 +3x2 -2, x=1xo=e,元(3) f(x)= Inx;xo =1(4) f(x)=sinx,Xe6.(5) f(x)= /,xo = 2解 (1) f(x)= -2x3 +3x2 -2 = -2[(x-1)+1P +3[(x-1)+1} -2=[-2(x 1)3 - 6(x 1)2 - 6(x -1) - 2]+[3(x - 1)2 + 6(x -1)+ 3]- 2=-1-3(x -1)2 -2(x-1)3 。(2) f(x)= Inx = In[(x-e)+e) = lne+ln(1+×-e)..+ (-1)"-1-(x-e)? +.-(x-e)" +o(x-e)")。=1+.(x-e)2enen(3) f(x)= lnx =ln(1+(x-1)(x-1)3 _.. (-1)"-1-(x-1)" +o(x-1)")。(x-1)2 +=(x-1) --n122
1 1 2 4 1 1 ( 2 12 720 4 = − x + x x − + o x )。 （8） 2 4 4 ( ) ln(1 ( )) 6 120 x x f x o = − + + x 2 4 2 1 2 4 ( ) ( ) 6 120 2 6 x x x = − + − − + o x( ) 2 4 4 ( ) 6 180 x x = − − + o x 。 （9） f x( ) = −1 2x + x − 1 − 3x + x 3 2 3 1 1 3 2 2 3 = + [1 (−2x x + )] −[1+ (−3x x + )] 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 1 [1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )] 2 8 16 1 1 5 [1 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( )] 3 9 81 x x x x o x 3 x x x x x o = + − + − − + − + − + − + − − + + − + x 1 2 2 2 3 (1 ) (1 ) ( ) 2 3 3 = − x − x x − − − x − x + o x = 1 2 3 3 ( ) 6 x + + x o x 。 ⒉ 求下列函数在指定点处的 Taylor 公式： ⑴ f x( ) = −2 3 x + x − 3 2 2 0 , x = 1 ⑵ f x( ) = ln x , x = e ; 0 ⑶ f x( ) = ln x ; x0 = 1 ⑷ f x( ) = sin x , x0 6 = π ; ⑸ f x( ) = x , x . 0 = 2 解（1） f x( ) = −2 3 x + − x 2 3 2 2[(x 1) 1] 3[(x 1) 1] 2 3 2 = − − + + − + − 3 2 2 = −[ 2( 1 x x − ) − 6( 1− ) − 6( 1 x − ) − 2]+[3(x −1) + 6(x −1) + 3]− 2 2 3 = −1− 3( 1 x x − ) 2 − ( −1) 。 （2） f x( ) = ln x = − ln[(x e e ) + ] ln ln(1 ) x e e e − = + + = n n n x e ne x e e x e e ( ) ( 1) ( ) 2 1 ( ) 1 1 1 2 2 − − + − − − + + − " ( ) n + D (x − e) 。 （3） f x( ) = ln x = + ln(1 (x −1)) = n n x n x x x ( 1) ( 1) ( 1) 3 1 ( 1) 2 1 ( 1) 1 2 3 − − − − − + − − + − " ( ) n + D (x −1) 。 122
(4) f(x)=sinx, f("(xo)=sin(xF"元hf(x)=2!26-n!1V3V31元元x-1266nlb(5) (x)= /x = V2. /1+x-22-1/ -2) - (-2=V2+1(x-2)-2/22n-2"2n!+o(x-2)")。3.通过对展开式及其余项的分析，说明用x3+s21+xIn2=liX352n-比用x2xxIn 2 =ln(1 + x413效果好得多的两个原因。解利用第一个展开式计算时是用x=代入，利用第二个展开式计算时是用x=1代入，显然第一个展开式的通项（或余项）趋于零的速度快，而第二个展开式的通项（或余项）趋于零的速度相对较慢，所以在指定精度的条件下，利用第一个展开式计算1n2的值比利用第二个展开式计算量小，效果好。123
（4） f x( ) = sin x ， ( ) 0 0 ( ) sin( ) 2 n n f x x π = + ， 2 3 ''( ) ''( ) 6 6 ( ) ( ) '( )( ) ( ) ( ) 6 6 6 2! 6 3! 6 f f f x f f x x x π π π π π π π = + − + − + − +" ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ! 6 6 n n n f x o x n π π π ⎛ ⎞ + − + ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 1 3 1 2 3 3 1 ( ) ( ) ( ) sin( )( 2 2 6 4 6 12 6 ! 2 6 6 n n x x x x n ) π π π π π = + − − − − − +"+ + − π ( ) 6 n o x ⎛ ⎞ π + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 （5） f x( ) = x 2 2 1 2 x − = ⋅ + = n n n x n n x x ( 2) 2 ! ( 1) (2 3)!! ( 2) 16 2 1 ( 2) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 − − − + − − − + + − − " ( ) n + D (x − 2) 。 ⒊ 通过对展开式及其余项的分析，说明用 3 1 3 5 2 1 3 1 3 5 2 1 2 1 1 ln 2 ln = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ + + + + − + = x n x n x x x x x x " 比用 1 1 2 3 4 1 ( 1) 2 3 4 ln 2 ln(1 ) = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ≈ − + − + + − x n n x n x x x x x x " 效果好得多的两个原因。 解 利用第一个展开式计算时是用 1 3 x = 代入，利用第二个展开式计算 时是用 x = 1代入，显然第一个展开式的通项（或余项）趋于零的速度 快，而第二个展开式的通项（或余项）趋于零的速度相对较慢，所以 在指定精度的条件下，利用第一个展开式计算 的值比利用第二个 展开式计算量小，效果好。 ln 2 123
另外可以通过比较两者的误差来说明两种方法的优劣：由y-2n+J4In(1 + x)(2n+ 1)(1 +5,)2n+Ikk=l-2+21xtIn(1- x) =台k(2n +1)(1-5,)2n+I可知利用第一个展开式计算前n项之和，余项为42n+!112l，其中5,5位于0与x之间。r2n(x)(1+E)2n(1-E,)(2n+1)11取x-[1+2.(2n +1)32n+l(2n+1)22m1332n+(1-3而利用第二个展开式计算前n项之和，余项为(-1)"x"+1(+DI+5)，其中位于0与x之间，r(x)=[1取x=1，Ir,(1)>(n + 1)(1+ 1) = (n+1)2*+ 11显然，所以利用第一个展开式计算ln2的值比利用(2n+1)22m(n+ 1)2"+l第二个展开式误差小，精度高。4．利用上题的讨论结果，不加计算，判别用哪个公式计算元的近似值效果更好，为什么？x3s元(1)=arctanl4352nt11元(2)（Machin公式）=4arctan--arctan23945.2n+1332n+12n+239解两个计算元的公式都是利用了arctanx的Taylor公式，但第一个公124
另外可以通过比较两者的误差来说明两种方法的优劣： 由 2 2 1 1 2 1 1 1 ln(1 ) ( 1) (2 1)(1 ) n k n k n k x x x k n ξ + − + = + = − + + + ∑ ， 2 2 1 2 1 1 2 ln(1 ) (2 1)(1 ) n k n n k x x x k n ξ + + = − = − − + − ∑ , 可知利用第一个展开式计算前n项之和，余项为 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 ( ) [ ] (2 1) (1 ) (1 ) n n n n x r x n ξ ξ + + + = + + + − , 其中 1 2 ξ ,ξ 位于0 与 x 之间。 取 1 3 x = ， 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 ( ) [1 ] 3 (2 1)3 1 (2 1)2 (1 ) 3 n n n n r n n + + ≤ + < + + − 。 而利用第二个展开式计算前n项之和，余项为 1 1 ( 1) ( ) ( 1)(1 ) n n n n x r x n ξ + + − = + + , 其中ξ 位于0 与 x 之间， 取 x = 1， 1 1 1 1 1 | (1)| ( 1)(1 1) ( 1)2 n n n n r n n + + + > = + + + 。 显然 1 1 1 ( 1)2 (2 1)2 n n n + > + + 2n π ，所以利用第一个展开式计算 的值比利用 第二个展开式误差小，精度高。 ln 2 ⒋ 利用上题的讨论结果，不加计算，判别用哪个公式计算 的近似 值效果更好，为什么？ ⑴ 1 3 5 2 1 2 1 ( 1) 3 5 arc tan1 4 = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ≈ − + − + − x n n n x x x x " π ⑵ 239 1 arc tan 5 1 4arc tan 4 = − π （Machin 公式） 239 1 3 2 1 5 1 3 2 1 2 1 ( 1) 2 1 3 ( 1) 3 4 = + = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ − − + + − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ≈ − + + − x n n x n n n x x x n x x x " " 解 两个计算π 的公式都是利用了arctan x的 Taylor 公式，但第一个公 124