习题10.2一致收敛级数的判别与性质1.讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。20-:(1)xE[0, 1];(2)xE[0, 1];sW(3)xE [0,+0];1=0re(4)(i) xE[0,+0), (ii) xE[6,+) (8 >0);n=07x(5)xE(-8, +0);=01+n'x?sinnx(6)xE(-00, +00);/nt+x4(-1)"(1- x)x",(7)xE[0, 1];=0(-1)"(8)xE(-00, +00);n+x212"sin(9)(i) xE(0, +0), (ii) xE[6,+) (8 >0);3"xn=0 sin xsin mx(10)xE(-0, +0);台n23(11)xE(-8, +8);=0(1+x2)"2Z(-1)"(12)xE(-0, +00)。(1+x")"=0解（1) S,()=Z(1-x)x =1-x"+I-由于(n+]在[0,1]非一致收敛，所以≥(1-x)"在[0,]上非一致收敛。(2）设u,()=(1-x)2x"，则在[0,1]上An0≤un(x)≤un(n+2(n+2)24由于收敛，由Weierstrass判别法，(1-x)x"在[0,1]上一致n=o(n+2)2-
习 题 10.2 一致收敛级数的判别与性质 1. 讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。 ⑴ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − 0 (1 ) n n x x ⑵ ∑ ， ∞ = − 0 2 (1 ) n n x x x∈[0, 1]； ⑶ ∑ ， x∈ ∞ = − 0 3 2 e n nx x [0,+∞)； ⑷ ∑ ， (i) x∈ ∞ = − 0 2 e n nx x [0,+∞)， (ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑸ ∑ ∞ =0 + 3 2 n 1 n x x ， x∈(-∞, +∞)； ⑹ ∑ ∞ =1 + 3 4 4 sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑺ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − − 0 ( 1) (1 ) n n n x x ⑻ ∑ ∞ = + − 1 2 ( 1) n n n x ， x∈(-∞, +∞)； ⑼ ∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x ， (i) x∈(0, +∞)，(ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑽ ∑ ∞ =1 sin sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑾ ∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x ， x∈(-∞, +∞)； ⑿ ∑ ∞ = + − 0 2 2 (1 ) ( 1) n n n x x ， x∈(-∞, +∞)。 解（1） ∑ ， = = − n k k n S x x x 0 ( ) (1 ) 1 1 + = − n x 由于{ } n+1 x 在[0,1]非一致收敛，所以∑ 在 上非一致收敛。 ∞ = − 0 (1 ) n n x x [0,1] （2）设un (x) = (1− x) 2 x n ，则在[0,1]上 ) 2 0 ( ) ( + ≤ ≤ n n u x u n n 2 ( 2) 4 + < n ， 由于 ∑ ∞ =0 + 2 ( 2) 4 n n 收敛，由 Weierstrass 判别法，∑ 在 上一致 ∞ = − 0 2 (1 ) n n x x [0,1] 1
收敛。(3）设u,(a)=xe-㎡2，则当n≥1时，在[0,+)上3K0≤un(x)≤un(13/6号由于≥<收敛，由Weierstrass 判别法，其中K=3e-nr在7425[0,+8)上一致收敛。(4)(）设u,(x)=xe-x，对任意的正整数N,取m=2n(n>N)与x,=/rE[0,+)，则 u (x, ,e ()i +,e +2) + ,-mi , -2m.k=n+l=ne-→+8 (n -→8) ,所以叉-mr不满足Cauchy收敛原理的条件，由此可知2xe-n在Xn=0n=0[0,+)上非一致收敛；(i) 设u,(a)=xe-㎡*,则当n>一时,u,()关于x在[8,+o)上单调减少,25所以0≤un(x)≤8e-82n由于≥se-"收敛，由Weierstrass判别法，xe-m在[8,+0)上一致收n0n=0敛。2则当n≥1时，,()≤一，，由于一收敛，(5）设u,(x)=1+n'y2202n22n2之，，在(-0,+)上一致收敛。由Weierstrass判别法，=01+n'xsin nx则当n≥1时，(x)，由于收敛，(6）设u,(x):/nt+x4n=0h3n32
收敛。 （3）设 ，则当 时，在 2 3 ( ) nx n u x x e− = n ≥ 1 [0,+∞)上 ) 2 3 0 ( ) ( n ≤ un x ≤ un 2 3 n K = ， 其中 2 3 4 3 6 − K = e 。由于 ∑ ∞ =0 2 3 n n K 收敛，由 Weierstrass 判别法，∑ 在 上一致收敛。 ∞ = − 0 3 2 e n nx x [0,+∞) （4）(i) 设 ，对任意的正整数 N，取 2 ( ) nx n u x xe− = m = 2n (n > N)与 n xn 1 = ∈[0,+∞) ，则 ∑ = = + m k n k n u x 1 ( ) + − + 2 ( 1) n n x n x e + + − + " 2 ( 2) n n x n x e > − 2 2nxn n x e 2 2nxn n nx e− = → +∞ −2 ne (n → ∞)， 所以 不满足 Cauchy 收敛原理的条件，由此可知 在 上非一致收敛； ∑ ∞ = − 0 2 e n nx x ∑ ∞ = − 0 2 e n nx x [0,+∞) (ii) 设 ，则当 2 ( ) nx n u x xe− = 2 2 1 δ n > 时，un (x)关于 x在[δ ,+∞)上单调减少， 所以 n n u x e 2 0 ( ) δ δ − ≤ ≤ ， 由于 ∑ 收敛，由 Weierstrass 判别法， 在 ∞ = − 0 2 n n e δ δ ∑ ∞ = − 0 2 e n nx x [δ ,+∞)上一致收 敛。 （5）设 3 2 1 ( ) n x x u x n + = ，则当n ≥ 1时， 2 3 2 1 ( ) n u x n ≤ ，由于 ∑ ∞ =0 2 3 2 1 n n 收敛， 由 Weierstrass 判别法，∑ ∞ =0 + 3 2 n 1 n x x 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （6）设 3 4 4 sin ( ) n x nx u x n + = ，则当n ≥ 1时， 3 4 1 ( ) n u x n ≤ ，由于 ∑ ∞ =0 3 4 1 n n 收敛， 2
sinx在(-0,+)上一致收敛。由Weierstrass判别法，=in+x(7）设a,(a)=(1-x)x"，b,(x)=(-1)"，则(a,(x))对固定的xe[0,1]关于n是单调的，且在[0,1]上一致收敛于零，同时2b(x)≤1，由Dirichlet-0之(-1)"(1-x)x"在[0,1]上一致收敛。判别法，Te01(8) 设a,(x)=+， b,()=(-1)，则(a,(n)对固定的x(-8,+o)关于n是单调的，且在(-00,+)上一致收敛于零，同时乙bk(x)≤1,由Dirichlet(-1)"判别法，在(80,+）上一致收敛。=in+x21E (0,+o)，则(9)(i)设u(x)=2" sin-，取xn3"x3″元un(xn)=2" →+00 ,1 在(0,+)上非一致收即(u,(x)在(0,+o0)上非一致收敛，所以2"sin3"x=0敛;1则当xe[8,+)时,(ii) 设u,(x)=2" sin3"xu,(x)l<由于12)2"sin一在[8,+0)上一致T收敛，由Weierstrass判别法，ol3"x3E收敛。(10）设a,(x)=，b,(x)=sinxsinnx，由于a,(x)与x无关且单调趋于/n3
由 Weierstrass 判别法，∑ ∞ =1 + 3 4 4 sin n n x nx 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （7）设an (x) = (1− x)x n，bn (x) = (−1) n，则{an (x)}对固定的 关于 是单调的，且在 上一致收敛于零，同时 x ∈[0,1] n [0,1] ( ) 1 0 ∑ ≤ = n k k b x ，由 Dirichlet 判别法，∑ 在 上一致收敛。 ∞ = − − 0 ( 1) (1 ) n n n x x [0,1] （8）设 2 1 ( ) n x a x n + = ，bn (x) = (−1) n，则{an (x)}对固定的 关于 是单调的，且在 上一致收敛于零，同时 x ∈ (−∞,+∞) n (−∞,+∞) ( ) 1 1 ∑ ≤ = n k k b x ，由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ = + − 1 2 ( 1) n n n x 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （9）(i) 设 x u x n n n 3 1 ( ) = 2 sin ，取 πn n x 3 2 = ∈ (0,+∞)，则 = → +∞ n n n u (x ) 2 ， 即{ } un (x) 在(0,+∞)上非一致收敛，所以∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x 在(0,+∞)上非一致收 敛； (ii) 设 x u x n n n 3 1 ( ) = 2 sin ，则当 x ∈[δ ,+∞)时， n n u x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ 3 1 2 ( ) δ ， 由于 n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ = 3 1 2 0δ 收敛，由 Weierstrass 判别法，∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x 在[δ ,+∞)上一致 收敛。 （10）设 n a x n 1 ( ) = ，b x x nx n ( ) = sin sin ，由于an (x)与 x无关且单调趋于 3
零，所以(a,(x))对固定的xE(-0,+o0)关于n是单调的，且在(-00,+)上一致收敛于零，同时nr12mcos(n +)X-cos≤214Icos2221k=lsinxsin在(-0,+o0)上一致收敛。由 Dirichlet判别法,2Vnx?1（11）设un(x)取80 =对任意的正整数N，取>0.(1 + x2)ne21E(-80,+80)，则m=2n(n>N)与xVnx2xx2nx2Zu (x,)==60:(1+ x2)"+1(1+ x2)n+(1+x2)2n0(1+ x)2k=n+1所以一_x?不满足Cauchy收敛原理的条件，由此可知之，在=0 (1+x2)"=0(1+x2)"(-0,+0)）上非一致收敛。x2(12)设a,(x):，b,(x)=(-1)"，则(an(x)对固定的xE(-0,+o0)关(1+x2)n于n是单调的，且在(-0,+o)上一致收敛于零，同时2be(x)≤1，由k=lx2Dirichlet判别法，(在(-0,+)上一致收敛。1(1+x)"n=0cos㎡在(0,2元)上连续，且有连续的导函数。2.证明：函数f(x)=-o n2 +1cosnx1收敛，由Weierstraass判别法，cosnx证由于1n? +iln=0n? +1n=0n2+1n2+1cosmx在(0,2元)上连续。在(0,2元）上一致收敛，所以f(x)=n2+1nsinnxNcosnx由于单调趋于零，且对任设(x)=n2+1n=0n2+12+1n=0意的0元，当x[8,2元-]时，1XOS222sin kx82sinsin224
零，所以{an (x)}对固定的 x ∈ (−∞,+∞)关于 是单调的，且在 上 一致收敛于零，同时 n (−∞,+∞) ∑ = = n k k b x 1 ( ) ∑ = n k kx x x 1 sin 2 2sin 2 cos 2 2 ) cos 2 1 cos( 2 = cos ⋅ + − ≤ x n x x ， 由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ =1 sin sin n n x nx 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 （11）设 n n x x u x (1 ) ( ) 2 2 + = ，取 0 1 2 0 = > e ε ，对任意的正整数 N，取 m = 2n (n > N)与 n xn 1 = ∈ (−∞,+∞)，则 ∑ = = + m k n k n u x 1 ( ) 2 1 2 (1 ) + + n n n x x + + + + 2 +2 " 2 (1 ) n n n x x n n n x x 2 2 2 (1+ ) n n n x nx 2 2 2 (1+ ) > 0 2 1 > = ε e ， 所以∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x 不满足Cauchy收敛原理的条件，由此可知∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x 在 (−∞,+∞) 上非一致收敛。 （12）设 n n x x a x (1 ) ( ) 2 2 + = ，bn (x) = (−1) n，则{an (x)}对固定的 关 于 是单调的，且在 上一致收敛于零，同时 x ∈ (−∞,+∞) n (−∞,+∞) ( ) 1 1 ∑ ≤ = n k k b x ，由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ = + − 0 2 2 (1 ) ( 1) n n n x x 在(−∞,+∞) 上一致收敛。 2. 证明：函数 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上连续，且有连续的导函数。 证 由于 1 1 1 cos 2 2 + ≤ n + n nx ，∑ ∞ =0 +2 1 1 n n 收敛，由 Weierstraass 判别法，∑ ∞ =0 +2 1 cos n n nx 在(0,2π )上一致收敛，所以 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上连续。 设σ (x) = = + ∑ ∞ = )' 1 cos ( 0 2 n n nx ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx ，由于 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +1 2 n n 单调趋于零，且对任 意的0 < δ < π ，当 x∈ [δ ,2π − δ ]时， ∑= n k kx 1 sin = 2 2 sin 2 cos 2 1 cos x x n ⎟x − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ 2 sin 1 δ ， 4
由Dirichlet 判别法，可知-"sin在[8,2元-8]上一致收敛，即n=0 n2 +1nsin nx在(0,2元)-nsin在(0.2元)上内闭一致收敛，因此c(1)=->n=0n?+]#=0 n2 +1上连续。再由逐项求导定理，可知f(x)=α(x)在(0,2元）上成立，即>cosx在(0,2元)上有连续的导函数。f(x)= n? +13.证明：函数f(x)=Zne-"在(0,+oo)上连续，且有各阶连续导函数。1-1证对任意的0<a<A<+o，当xe[a,A]，成立0<ne"≤ne-"，且ne1=0收敛，由Weierstraass判别法，≥ne-"在[a,A]上一致收敛，即之ne"在n=0(0,+oo)上内闭一致收敛，所以f(x)=ne-在(0,+oo)上连续。1=0设α(x)=(me")=-n'e"，与上面类似可证明-n'e- 在t1=0n=0n=0(0,+o)上内闭一致收敛，因此(x)=-2n'e在(0,+)上连续。再由逐7=0ne-x 在(0, +o0)项求导定理，可知f(x)=(x)在(0,+0)上成立，即f(x)=>0=0上有连续的导函数。注意到(-1)≥nle-m(k=1,2,)在(0,+o)上都是内闭一致收敛的，n=lne"所以上述过程可以逐次进行下去，由数学归纳法，可知f(x)=n=l在(0.+)上有各阶连续导函数。4.证明：函数≥一在(1,+）上连续，且有各阶连续导函数；函数=in≥二1"在(0,+o)上连续，且有各阶连续导函数。nt，对任意1<a<A<+o，当xe[a,A，成立0证设f(x)=)nna=Int且之收敛，由Weierstraass 判别法，Z在[a,A]上一致收敛，即=na-inr一在(1,+)上内闭一致收敛，所以(x)=2一在(1,+)上连续。ainln又d(1)lnn，且对任意1<a<A<+0，≥nn在[a,A]上一致收dx(n)nx=in5
由 Dirichlet 判别法，可知 ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在 [δ ,2π − δ ] 上一致收敛，即 ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在(0,2π )上内闭一致收敛，因此σ (x) = ∑ ∞ = + − 0 2 1 sin n n n nx 在(0,2π ) 上连续。再由逐项求导定理，可知 f '(x) = σ (x) 在(0,2π )上成立，即 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上有连续的导函数。 3. 证明：函数 ∑ 在 ∞ = − = 1 ( ) e n nx f x n (0,+∞)上连续，且有各阶连续导函数。 证 对任意的0 < a A < < +∞，当 x a ∈[ , A]，成立0 nx an ne ne − − < ≤ ，且 0 an n ne ∞ − = ∑ 收敛，由 Weierstraass 判别法， 在[ , 上一致收敛，即 在 0 nx n ne ∞ − = ∑ a A] 0 nx n ne ∞ − = ∑ (0,+∞)上内闭一致收敛，所以 0 ( ) nx n f x ne ∞ − = = ∑ 在(0,+∞)上连续。 设 σ (x) = 0 ( )' nx n ne ∞ − = ∑ = 2 0 nx n n e ∞ − = −∑ ，与上面类似可证明 在 上内闭一致收敛，因此 2 0 nx n n e ∞ − = −∑ (0,+∞) σ (x) = 2 0 nx n n e ∞ − = −∑ 在(0,+∞)上连续。再由逐 项求导定理，可知 f '(x) = σ (x) 在(0,+∞)上成立，即 0 ( ) nx n f x ne ∞ − = = ∑ 在 上有连续的导函数。 (0,+∞) 注意到( 1) ( 1,2, )在 1 − ∑ 1 = " ∞ = + − n e k n k k nx (0,+∞)上都是内闭一致收敛的， 所以上述过程可以逐次进行下去，由数学归纳法，可知 在 上有各阶连续导函数。 ∑ ∞ = − = 1 ( ) e n nx f x n (0,+∞) 4. 证明：函数∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞) 上连续，且有各阶连续导函数；函数 ∑ ∞ = − 1 ( 1) n x n n 在(0,+∞)上连续，且有各阶连续导函数。 证 设 f (x) = ∑ ∞ =1 1 n x n ，对任意1< a A < < +∞ ，当 x a ∈[ , A]，成立 1 1 0 x a n n < ≤ ， 且 1 1 a n n ∞ = ∑ 收敛，由 Weierstraass 判别法，∑ ∞ =1 1 n x n 在[ , a A]上一致收敛，即 ∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞)上内闭一致收敛，所以 f (x) = ∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞)上连续。 又 x x n n dx n d 1 ln ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ，且对任意1< a A < < +∞， ∑ ∞ = − 1 ln n x n n 在[ , a A]上一致收 5