习题7.2定积分的基本性质1.设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上定义，且在[a,b]中除了有限个点之外，都有f(x)=g(x)，证明g(x)在[a,b)上也可积，并且有J" f(x)dx = I' g(x)dx 。证设仅在x=c,(i=1,2,,p)处f(x)±g(x)。对区间[a,b]作划分：a=x<x,<..<- <x,=b,任取5,e[x-,x,],则2g(5)Ax,-2 f(5,)Ax, =E(g(5)- f(5)Ax, ,其中表示仅对含有(c)中点的小区间（至多2p个）求和。C记M=29l(0M=2/(0] >0 取 =2 M+M)， 则当=max[Ax,}<8时,2(g(5,)-(5,)Ax <6所以由f(x)可积，可知g(x)也可积，且成立 f(x)dx=g(x)dx。2.设f(x)和g(x)在[a,b]上都可积，请举例说明一般有" r(x)g(x)dx *(" 1(x)dx) (' g(x)dx) 。解例如 f(x)= g(x)=1,x e[0,2], 则 [ f(x)dx=2, [g(x)dx=2 , (x)g(x)dx=2,所以 " ()g(x)dx*( (x)dax)-( g()ax)。3．证明：对任意实数a,b,c，只要f(x)dx，『f(x)dx和f(x)dx都存在，就成立" f(x)dx = I. f(x)dx + J" f(x)dx 209
习 题 7.2 定积分的基本性质 1． 设 f (x)在[ , a b]上可积，g x( )在[ , a b]上定义，且在[ , a b]中除了有限 个点之外，都有 f x( ) = g(x)，证明 g x( )在[ , a b]上也可积，并且有 f x dx g x dx a b a b ( ) ( ) ∫ = ∫ 。 证 设仅在 x c (i 1,2, , p) = i = " 处 f (x) ≠ g(x) 。对区间 作划分： ，任取 [a,b] a = x0 < x1 < " < xn−1 < xn = b [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − ，则 1 1 ( ) ( ) n n i i i i x ' ( ( ) ( )) i i g f ξ ξ i i g x ξ ξ f = = ∑ ∑ ∆ − ∆ i = ∑ − ∆x ， 其中 表示仅对含有{ ' ∑ ci} 中点的小区间（至多2 p 个）求和。 记 1 2 sup ( ) , sup ( ) a x b a x b M g x M f x ≤ ≤ ≤ ≤ = = , ∀ε > 0, 取 1 2 2 ( p M M ) ε δ = + ，则当 λ = ∆ < δ ≤ ≤ max{ } 1 i i n x 时, ' ( ( ) ( )) i i i ∑ g f ξ − ξ ε ∆x < , 所以由 f x( )可积, 可知 g x( )也可积, 且成立 f x dx g x dx 。 a b a b ( ) ( ) ∫ = ∫ 2．设 f (x)和 g x( )在[ , a b]上都可积，请举例说明一般有 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 。 解 例如 f (x) = g(x) = 1, x ∈[0, 2]，则 2 2 0 0 f ( ) x dx = 2, g( ) x dx = 2 ∫ ∫ ， 2 0 f x( )g( ) x dx = 2 ∫ ,所以 ⎟。 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 3． 证明：对任意实数 ，只要 ， 和 都存 在，就成立 a,b, c f x dx a b ( ) ∫ f x dx a c ( ) ∫ f x dx c b ( ) ∫ f x dx f x dx f x dx a b a c c b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 。 209
证如设a<b<c，则[(x)dx="f(x)dx+[f(x)dx，于是'(x)dx=f (x)dx -I (x)dx=J(x)dx+J (x)dx 其他情形可类推。4.判断下列积分的大小：(2)xdx和x2dx;(1) J°xdx 和 Jax2dx;(3) ()dx 和 2dx;(4)e sin xdx 和 fxdx。解（1）当xe(0,1)时，x>x2，所以xdx>x2dx。(2）当xe(1,2)时，x<x2，所以fxdx<fx2dx。(3）当xe(-2,-1)时，（)>2，而当xe(0,)时，2<2,由积分第一中值定理，可得(>2d。（4）当x>0时，sinx<x，所以sin xdx<,xdx。5.设f(x)在[a,b)上连续，f(x)≥0但不恒为0，证明I" f(x)dx >0 证证明一:不妨设f(x)>0,x。(a,b)。由 lim f(x)=f(x)>0,存在c>0与8>0(<min(a-xo,b-xo)，使得当x(x-8,xo+)时，成立f(x)>c。于是[" f(x)dx= f f(x)dx+ Fg (x)dx+ Ft f(x)dx≥ [r f(x)dx ≥2c8 >0 。f(x)>0，x=α或x=b的情况可类似证明。证明二：用反证法。若["f(x)dx=0，则Vte[a,b],「f(x)dx=0。由于F()=[f(x)dx在[a,b]上可导，且F(l)=f(t),te[a,b]，所以有f()=0,与题设矛盾，从而必定成立[f(x)dx>0。6.设f(x)在[a,b)上连续，且,f2(x)dx=0，证明f(x)在[a,b]上恒为0210
证 如设a < b < c，则 ，于是 ∫ ∫ ∫ = + c b b a c a f (x)dx f (x)dx f (x)dx ∫ b a f (x)dx= ∫ 。 c a f (x)dx ∫ ∫ ∫ − = + b c c a c b f (x)dx f (x)dx f (x)dx 其他情形可类推。 4．判断下列积分的大小： ⑴ 0 xdx 和 ； 1 ∫ x dx 2 0 1 ∫ ⑵ 1 xdx 和 ； 2 ∫ x dx 2 1 2 ∫ ⑶ ( ) 1 2 2 1 x dx − − ∫ 和 0 2 ； 1 x ∫ dx ⑷ sin xdx 0 2 π ∫ 和 xdx 0 2 π ∫ 。 解（1）当 x ∈ (0,1)时， ，所以 > 。 2 x > x xdx 0 1 ∫ x dx 2 0 1 ∫ （2）当 x ∈ (1, 2)时， x < x 2，所以 xdx 0 1 ∫ < x dx 2 0 1 ∫ 。 （3）当 x ∈ (−2,−1)时， ) 2 2 1 ( >x ，而当 x ∈ (0,1)时，2 < 2 x ， 由积分第一中值定理，可得 ( ) 1 2 2 1 x dx − − ∫ > 2 0 1 x ∫ dx 。 （4）当 x > 0时，sin x < x，所以 sin xdx 0 2 π ∫ < xdx 0 2 π ∫ 。 5．设 f (x)在[ , a b]上连续， f x( ) ≥ 0但不恒为 0，证明 f x dx a b ( ) ∫ > 0。 证 证明一：不妨设 ( ) 0, ( , ) f x0 > x0 ∈ a b 。由 lim ( ) ( ) 0 0 0 = > → f x f x x x ，存在 与 c > 0 δ δ > < 0( min{a x − 0 ,b − x0})，使得当 ( , ) x ∈ x0 − δ x0 + δ 时，成立 。 于是 f (x) > c ( ) b a f x dx = ∫ 0 ( ) x a f x dx −δ + ∫ 0 0 ( ) x x f x dx δ δ + − + ∫ 0 ( ) b x f x dx +δ ≥ ∫ 0 0 ( ) x x f x dx δ δ + ∫ − ≥ 2cδ > 0 。 0 f x( ) > 0 , 0 x = a 或 0 x = b的情况可类似证明。 证明二：用反证法。若 ∫ ( ) = 0 ，则 b a f x dx [ , ], ( ) 0 t a ∀t a ∈ = b f x dx ∫ 。由于 = ∫ 在[ , 上可导，且 t a F(t) f (x)dx a b] F′(t) = f (t),t ∈[a,b]，所以有 ， 与题设矛盾，从而必定成立 。 f t( ) ≡ 0 ( ) > 0 ∫ b a f x dx 6．设 f (x)在[ , a b]上连续，且 a f x dx ，证明 在[ , 上恒为 0。 b 2 ∫ ( ) = 0 f x( ) a b] 210
证由f(x)在[a,b]上连续，可知(x)在[a,b]上连续，且于2(x)≥0。由上题即可得到结论。7.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且满足 - .证明：存在e(a,b)，使得f()=0。证由积分第一中值定理，3ne[a,"t]，使得22f(n)dx= (b),f(n)=-b-a:再对f(x)在[n,b]上应用Rolle定理，日e(n,b)c(a,b)，使得f(s)=0。8.设(t)在[0,a)上连续，f(x)在(-0,+0)上二阶可导，且f"(x)≥0。证明"0(0an)(o(0)dt 。证将区间[0,a]作划分：0=t。<t,<….<t.--<t,=a，记At,=t,-ti-,=max[Ai,],5,e[i-1,t,]。由于f下凸，由Jensen不等式（第5.1节习题24），得到(0(5,)兰20(5,))ai=lai=l令元→0，上述不等式就转化为(0(0)dt ((0)dt 。9.设f(x)在[0,1]上连续，且单调减少，证明对任意αe[0,1]，成立J. f(x)dx ≥af" f(x)dx 证证明一：问题等价于证明对任意αe[0,1]，成立211
证 由 f x( )在[ , a b]上连续，可知 2 f (x) 在[ , 上连续，且 。由 上题即可得到结论。 a b] 2 f x( ) ≥ 0 7．设函数 f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且满足 ( ) ( ) 2 2 f x dx f b b a a b a = − ∫ + 。 证明：存在ξ ∈ (a,b)，使得 f ′(ξ ) = 0。 证 由积分第一中值定理， [ , ], 2 a b η a + ∃ ∈ 使得 f ( ) η = ( ) ( ) 2 2 f x dx f b b a a b a = − ∫ + ， 再对 f (x)在[ , η b]上应用 Rolle 定理，∃ξ ∈ ⊂ ( , η b) (a,b) ，使得 f ′(ξ ) = 0。 8．设ϕ(t)在[0, a]上连续， f (x)在(−∞,+∞) 上二阶可导，且 。证 明 f ′′(x) ≥ 0 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ a t dt a f 0 ( ) 1 ϕ ∫ a f t dt a 0 ( ( )) 1 ϕ 。 证 将区间[0, a]作划分：0 = t0 < t1 < " < tn−1 < tn = a，记 , max{ }, [ , ] 1 1 1 i i i i i n i i i t t t t t t − ≤ ≤ ∆ = − − λ = ∆ ξ ∈ 。由于 下凸，由 Jensen 不等式（第 5.1 节习题 24）,得到 f ∑ ∑ = = ∆ ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ n i i i n i i i a t f a t f 1 1 ϕ(ξ ) (ϕ(ξ )) ， 令λ → 0，上述不等式就转化为 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ a t dt a f 0 ( ) 1 ϕ ∫ a f t dt a 0 ( ( )) 1 ϕ 。 9．设 f (x)在[0,1]上连续，且单调减少，证明对任意α ∈[0,1]，成立 ∫ ∫ ≥ 1 0 0 f (x)dx α f (x)dx α 。 证 证明一：问题等价于证明对任意α ∈[0,1]，成立 211
(1-α)" f(x)dx ≥αf" (x)dx 。对不等式两端应用积分第一中值定理，则存在x=[0,α]及xz =[α,1], 使得(1-α)]。 f(x)dx=α(1-α)f(x)及αf f(x)dx=α(1-α)f(x) 。由于显然有f(x,)≥f(x2)，所以得到(1-α)]f(x)dx≥αf,f(x)dx。证明二：设 F(α)=J。f(x)dx-αJ,f(x)dx，则 F(a)=f(a)-J,f(x)dx。由积分第一中值定理，e[0,1),使得f(5)=J(x)dx，即F(α)=(α)-f()。由于单调减少，所以当0<α<时，F(α)≥0，即F(α)单调增加;当<α<1时，F(α)≤0，即F(α)单调减少。由F(0)=F(I)=0，即可得到α[0,],成立 F(α)≥0 。证明三：当α=0时，不等式显然成立。当αE(0,1j时，令x=αt，利用f单调减少，就得到f(x)dx=αf(αt)dt≥α,f(t)dt。10.（Young不等式）设y=f(x)是[0,o)上严格单调增加的连续函数，且f(0)=0，记它的反函数为x=-1(y)。证明(x)dx+ J° f-(v)dy≥ab(a>0, b>0)。证先证当b=f(a)时等号成立。将区间[0,a]作划分：0=xx<…<x--x,=a，记y,=f(x,)(i=0,1,2,,n),则 0=<y<..<y.-i <y,=b,再记Ax, = X, -Xi-,Ay,= y, -yi-, 于是2(x)A, +2F(y)A4y, =2y(x, -X-1)+2x,(0, -al)i=l= x,y, -xoyo = ab,记=max(Ar)，当→0时，(x-)Ax,+(y)Ay,的极限为212
∫ ∫ − ≥ 1 0 (1 ) ( ) ( ) α α α f x dx α f x dx。 对不等式两端应用积分第一中值定理，则存在 1 x ∈[0,α] 及 2 x ∈[ , α 1]，使得 0 (1 ) f (x d) x α −α ∫ = 1 α(1−α) f (x ) 及 1 2 f ( ) x dx (1 ) f (x ) α α α= −α ∫ 。 由于显然有 f (x1 ) ≥ f (x2 )，所以得到 。 ∫ ∫ − ≥ 1 0 (1 ) ( ) ( ) α α α f x dx α f x dx 证明二：设 ，则 。由积 分第一中值定理， 1 0 0 F( ) f (x d) x f (x d) x α α = −α ∫ ∫ 1 0 F f '(α α ) = − ( ) f (x) ∫ dx ∃ ∈ξ [0,1],使得 1 0 f ( ) ξ = f x( )dx ∫ ，即F f '(α) = (α ξ ) − f ( )。 由于 f 单调减少，所以当0 <α < ξ 时，F '(α) ≥ 0，即F(α)单调增加； 当ξ <α < 1时， F '(α) ≤ 0，即 F(α) 单调减少。由 F F (0) = (1) = 0，即可得 到∀α ∈[0,1], 成立 F( ) α ≥ 0。 证明三：当α = 0时，不等式显然成立。当α ∈ (0,1]时，令 x =αt，利用 f 单调减少，就得到 。 ∫ ∫ ∫ = ≥ 1 0 1 0 0 f (x)dx α f (αt)dt α f (t)dt α 10．（Young 不等式）设 y f = (x)是[ , 0 ∞)上严格单调增加的连续函数， 且 f (0) = 0，记它的反函数为 x f = y −1( )。证明 + ∫ a f x dx 0 ( ) 1 0 ( ) b f y dy ab − ≥ ∫ （a > 0, b > 0）。 证 先证当b = f (a) 时等号成立。 将区间[0, a]作划分：0 = x0 < x1 < " < xn−1 < xn = a ，记 y f (x )(i 0,1,2, , n) i = i = " ，则 0 = y0 < y1 < " < yn−1 < yn = b，再记 1 1 , ∆ i = i − i− ∆ i = i − i− x x x y y y ，于是 ∑ ∑ ∑ ∑= − = − − = − = − ∆ + ∆ = − + − n i i i i n i i i i n i i i n i i i f x x f y y y x x x y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = xn yn − x0 y0 = ab， 记 max{ } 1 i i n = ∆x ≤ ≤ λ ，当λ → 0时，∑ ∑ 的极限为 = − = − ∆ + ∆ n i i i n i i i f x x f y y 1 1 1 1 ( ) ( ) 212
' f(x)dx+ " f()dy,这就证明了当b=f(a)时，"f(x)dx+"-()dy=ab。在一般情况下，设F(a)="f(x)dx+["f-(y)dy-ab，则F(a)=f(a)-b。记f(T)=b，可知当0<a<T时，F(a)单调减少，当a>T时，F(a)单调增加，所以F(a)在a=T处取到最小值。由上面的讨论，可知最小值F(T)=0，从而F(a)≥0，这就是所要证明的。注当b=f(a)时，[f(x)dx+-(y)dy=ab的结论也可直接从几何图形上看出。11.证明定积分的连续性：设函数f(x)和f(x)=f(x+h)在[a,b)上可积，则有lim "1f.(x)- f(x)ldx = 0 。证由于fi(x)=f(x+h)在[a,bj上可积，可知存在S>0，使得f(x)在[α-s,b+]上可积。设|f(x)≤M (xe[a-8,b+])。由于f(x)在[a,b]上可积，V>0,存在对区间[a,b]n等分的划分P,使得当-°三时，成立8Mnb-~(i=1,2,, n) 。o,A，其中Ax, =6P另外，当二时，记@分别是()在区间[a-二,a)和n[6b,b+b-"]上的振幅，则2M，@≤2M。因为[1f,(x)-(x) [dx=Z["1f,()-f(x) dx=2[1(5,+h)-f(5)4x,213
+ ， ∫ a f x dx 0 ( ) ∫ − b f y dy 0 1 ( ) 这就证明了当b = f (a) 时， + ∫ a f x dx 0 ( ) ∫ − b f y dy 0 1 ( ) = ab 。 在一般情况下，设 1 0 0 ( ) ( ) ( ) a b F a f x dx f y dy ab − = + ∫ ∫ − ，则 F a'( ) = f (a) − b。记 f T( ) = b，可知当0 < a < T 时， 单调减少，当 时， 单调增加，所以 在 F a( ) a T > F a( ) F a( ) a = T 处取到最小值。由上面的讨论， 可知最小值F T( ) = 0，从而F a( ) ≥ 0，这就是所要证明的。 注 当b = f (a) 时， + ∫ a f x dx 0 ( ) ∫ − b f y dy 0 1 ( ) = ab 的结论也可直接从几何图形 上看出。 11． 证明定积分的连续性：设函数 f x( )和 f x( ) h = f x( ) + h 在[ , 上可 积，则有 a b] lim | ( ) ( )| h h a b f x f x dx → ∫ − = 0 0。 证 由于 f x h ( ) = f x( ) + h 在[ , a b]上可积，可知存在δ > 0，使得 在 f x( ) [a − δ ,b + δ ]上可积。设 f ( ) x M≤ ( x ∈[a − δ ,b + δ ])。 由于 f x( )在[ , a b]上可积，∀ε > 0，存在对区间[ , 等分的划分 ， 使得当 a b] n P 8 b a n M − ε < 时，成立 1 6 n i i i x ε ω = ∑ ∆ < ，其中 (i 1,2, ,n) n b a xi = " − ∆ = 。 另外，当 b a n δ − < 时，记 0 1 , ω ωn+ 分别是 f (x) 在区间[ , b a a a n − − ] 和 [ , ] b a b b n − + 上的振幅，则 0 ω ≤ 2M ， 1 2 ωn+ ≤ M 。 因为 1 1 1 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( ) ( ) i i n n b x h h i a x i i i i f x f x dx f x f x dx f ξ h f ξ x − = = − = ∑ − = ∑ + − ∫ ∫ ∆ ， 213