习题10.3幂级数1.求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 3” +(-2)*N(2) 11+(1)rn2n(-1)"2n(4) 2(-1)y +(x+1);(3)1n.2nn+ln=l7=FIn'nr3"X-(5)(6)"=2n"n!l(n!)?n(7)(8)=in (2n)!(2n)!!!(9)(2n+1)解（1)设”+(-2)"x"=a,，/-3，所以收敛半径为R=3n1n=ln=l2当x=1时，Zanx"=2211+(-2)"]，级数发散。3n=inn=l1时，a,"=2[(-1)"+("，级数收敛。当x=-3n=in所以收敛区域为D：3311(2) 设之(1-1)"=a,(x-1)"，lim/a|=1，所以收敛半1-2nn（径为R=1。Za,(x-1)"=2当x=2时，级数发散。1++..+2nn=lZa,(x-1)" = 2(-1)"(1++++当x=0时，又，通项不趋于零，级n=11=数也发散。所以收敛区域为D=(0,2)。52
习 题 10. 3 幂级数 1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 ⑴ ∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ; ⑵ n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ; ⑶ ∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ； ⑸ n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ; ⑹ 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ; ⑺ n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ； ⑻ n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ; ⑼ n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! 。 解（1）设∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ∑ ∞ = = n 1 n n a x ，lim = 3 →∞ n n n a ，所以收敛半径为 3 1 R = 。 当 3 1 x = 时， ∑ ∞ n=1 n n a x = ∑ ∞ = + − 1 ) ] 3 2 [1 ( 1 n n n ，级数发散。 当 3 1 x = − 时， ∑ ∞ n=1 n n a x = ∑ ∞ = − + 1 ) ] 3 2 [( 1) ( 1 n n n n ，级数收敛。 所以收敛区域为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − 3 1 , 3 1 D 。 （2）设 n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ∑ ∞ = = − 1 ( 1) n n n a x ， lim = 1 →∞ n n n a ，所以收敛半 径为R = 1。 当 x = 2时， n n n a (x 1) 1 ∑ − ∞ = ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + 1 1 2 1 1 n n " ，级数发散。 当 x = 0时， n n n a (x 1) 1 ∑ − ∞ = ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + + + 1 1 2 1 ( 1) 1 n n n " ，通项不趋于零，级 数也发散。 所以收敛区域为D = (0,2)。 52
2n5-1)"1(3)设(-1)"所以收敛Eanx"lim/lanlim272n.2"n.2nn-2orn=ln→o0nml半径为R=/2。≥(-1)"Zax"当x=±V2时，级数收敛。之hn=ln=l所以收敛区域为D=V2,V2]。(4) 设(-1) ln(n+(x+1)"=2a,(x+1)"，lim%/a|=1，所以收敛半n+1n=l=径为R=1。ln(n+1)是Leibniz级数，所以收敛。Za,(x+1)" =2(-1当x=0时，又n+1n=ln=lIn(n+I)当x=-2时，级数发散。Ea,(x+1)" = 1n+1n=lnel所以收敛区域为D=(-2,0l。3+1nl.2n(5) 设3(x-1Za,(x-1)",a.lim0limnl2(n + 1)!-2"+l3"a,n=l所以收敛半径为R=+00，收敛区域为D=(-80+)。In?n(6）设nn=)-a.xIim/a,llim=1，所以收敛半径为I n"n-n-0n"n=lR=1。显然a,tx"收敛，所以收敛区域为D=[-1,]。当x=±时，n=la+(n + 1)!-2a设款n"所以收敛半(7)limlimX[(n + 1) n+lann!en=1n->o0径为R=e。2a.24当x=±e时,(te)"，应用Stirling公式in=1n!~2元n"*2e-" (n→00),53
（3）设∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = →∞ n n n lim a 2 1 2 ( 1) lim 2 = ⋅ − →∞ n n n n n ，所以收敛 半径为R = 2 。 当 x = ± 2 时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = − = 1 ( 1) n n n ，级数收敛。 所以收敛区域为D = [− 2, 2]。 （4）设∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ∑ ∞ = = + 1 ( 1) n n n a x ， lim = 1 →∞ n n n a ，所以收敛半 径为R = 1 。 当 x = 0时，∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n a x ∑ ∞ = + + = − 1 1 ln( 1) ( 1) n n n n 是 Leibniz 级数，所以收敛。 当 x = −2时， ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n a x ∑ ∞ = + + = 1 1 ln( 1) n n n ，级数发散。 所以收敛区域为D = (− 2,0]。 （5）设 n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ∑ ∞ = = − 1 ( 1) n n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 0 3 !2 ( 1)!2 3 lim 1 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ + ⋅ + + →∞ n n n n n n n ， 所以收敛半径为R = +∞ , 收敛区域为D = (− ∞,+∞)。 （6）设 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = →∞ n n n lim a 1 ln lim 2 2 = →∞ n n n n n ，所以收敛半径为 R = 1。 当 x = ±1时，显然 ∑ 收敛，所以收敛区域为 ∞ n=1 n n a x D = [−1,1]。 （7）设 n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim n e n n n n n n 1 ( 1) ! ( 1)! lim 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + + →∞ ，所以收敛半 径为R = e。 当 x = ± e时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = = ± 1 ( ) ! n n n e n n ，应用 Stirling 公式 n!～ n n n e− + 2 1 2π (n → ∞)， 53
可知级数的通项(土e)"不趋于零，因而发散。所以收敛区域为D=(-e,e)。(8）设(nl)[[(n+1)]2 (2n)!antZax，所以收lim1im(2n)![2(n+1)]!(nl)n-a,n=ln>00敛半径为R=4。Eanx"="(nl)?0当x=±4时，(+4)"，应用Stirling公式(2n)！n=lXnl ~ /2元n"*2e-" (n -→c0),可知级数的通项(nl)2(+4"不趋于零，因而发散。(2n)!所以收敛区域为D=(-4,4)。Jan+![(2n+2)! (2n+1)]!(9）设(2n)Za.x",rnlim=1，所lim(2n+1)[(2n+3)]!!(2n)!!a.→00n=l以收敛半径为R=1。(2n)!!2(-1)"Za.x"-当x=-1时，是Leibniz级数，所以收敛。(2n+ 1)!!n=ln=I(2n)!!bn1当x=1时，2a,x"=2,(2m)令blimn(-1)=2(2n + 1)!!=i(2n+1)!bn+ln>o0n=l由Raabe判别法可知级数发散。所以收敛区域为D=[-11)2.设a>b>0，求下列幂级数的收敛域。(2) (+)a"+b"n(3) ax+bx?+ax+b?x*+ .. +a"x2n-1+b"x2n +..。bn解（1）lim所以收敛半径为R=a.nn2a((-1)"b"(-1)")当x=_一时，级数收敛。x"=n’a"nOnal54
可知级数的通项 n n e n n ( ) ! ± 不趋于零，因而发散。 所以收敛区域为D = ( ) − e,e 。 （8）设 n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 4 1 ( !) (2 )! [2( 1)]! [( 1)!] lim 2 2 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + + →∞ n n n n n ，所以收 敛半径为R = 4 。 当 x = ± 4时， ∑ ∞ n=1 n n a x n n n n ( 4) (2 )! ( !) 1 2 = ∑ ± ∞ = ，应用 Stirling 公式 n!～ n n n e− + 2 1 2π (n → ∞)， 可知级数的通项 n n n ( 4) (2 )! ( !) 2 ± 不趋于零，因而发散。 所以收敛区域为D = ( ) − 4,4 。 （9）设 n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! ∑ ∞ = = n 1 n n a x ， = + →∞ n n n a a 1 lim 1 (2 )!! (2 1)!! (2 3)!! (2 2)!! lim =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + + →∞ n n n n n ，所 以收敛半径为R = 1。 当 x = −1时， ∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = + = − 1 (2 1)!! (2 )!! ( 1) n n n n 是 Leibniz 级数，所以收敛。 当 x = 1时，∑ ∞ n=1 n n a x ∑ ∞ = + = 1 (2 1)!! (2 )!! n n n ，令 (2 1)!! (2 )!! + = n n bn ， − = + →∞ lim ( 1) n 1 n n b b n 2 1 ， 由 Raabe 判别法可知级数发散。 所以收敛区域为D = [−1,1)。 2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。 ⑴ n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ; ⑵ ∑ ∞ n=1 +n n n a b x ; ⑶ a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 + . + an x 2n - 1 + bn x 2n +.。 解（1） a n b n a n n n n = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ 2 lim ，所以收敛半径为 a R 1 = 。 当 a x 1 = − 时， n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = 1 2 ( 1) ( 1) n n n n n n a b n ，级数收敛。 54
)=2(+)当x=二时，级数发散。0所以收敛区域为D11(2)lim"所以收敛半径为R=a。Va"+bnan00x"2当x=±α时，的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区=ia"+b"域为D=(-a,a)。(3)设ax+bx?+a?x3+bx++d"x2n-1+b"x2n+..=c.x"，则1=im/le,=lim2"-/a"=Va，所以收敛半径为R=Jan-o10”的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区域1当x=±-va,11为D=aVaZa,与Zb,"的收敛半径分别为R,和R，讨论下列幂级数的3. 设N=0ns0收敛半径：Za,x*Z(a,+b,)x";(1)(2)n=0n=0Za,b,x".(3)n-0保（1）设≥a,的收敛半径为R。解1=0a,x2"收敛，当>时，当刚R时，Za,x2"发散，所以2o1=0R=/R, 。（2）设(a,+b,)x"的收敛半径为R。n=055
当 a x 1 = 时， n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 1 2 1 n n n n a b n ，级数发散。 所以收敛区域为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ = − a a D 1 , 1 。 （2） a b a n n n n 1 1 lim = →∞ + ，所以收敛半径为R = a。 当 x = ±a时，∑ ∞ n=1 +n n n a b x 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区 域为D = (−a, a)。 （3）设a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 +.+ an x 2n - 1 + bn x 2n +. ∑ ，则 ∞ = = n 1 n n c x = →∞ n n n lim c a a n n n = − →∞ 2 1 lim ，所以收敛半径为 a R 1 = 。 当 a x 1 = ± ， 的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区域 为 ∑ ∞ n=1 n n c x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − a a D 1 , 1 。 3. 设 ∑ 与 的收敛半径分别为R ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x 1和R2, 讨论下列幂级数的 收敛半径： (1) ∑ ; (2) ∑ ; ∞ =0 2 n n n a x ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x (3) ∑ 。 ∞ n=0 n n n a b x 解 （1）设∑ 的收敛半径为 ∞ =0 2 n n n a x R 。 当 R1 x < 时，∑ 收敛，当 ∞ =0 2 n n n a x R1 x > 时，∑ 发散，所以 ∞ =0 2 n n n a x R = R1 。 （2）设∑ 的收敛半径为 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x R 。 55
当x<min(R,R)时，(a,+b,)x"收敛。n=(之(a,+b,)x"发散。当>min(R,R2)，RR时，n=0但当R=R时，(a,+b,)x"的收敛半径有可能增加，例如n=02a."="，收敛半径为1，Zb," =-1"收敛半径也为1，n=0(2"n=0n=01=0但(a,+b,)x"的收敛半径为2。7=0所以R≥min(R,R)。（3）设a,b,x"的收敛半径为R。1=0由limg/la,b,|≤limg/a,|·lim/b,，可知R≥R,R2。Zx2n,上式等号可能不成立，例如a,x"=>收敛半径为1，n=0n=02a x-2，收敛半径也为1，但≥.b,x的收敛半径为R=+0。=01=0n=04.应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并指出它们的定义域。(2) (1)Znx"=02n+1=x"-1)"-n2x" :(3)(4) n(n+I)Fx2nn(n+ 1)x" ;(5)(6) 1 + >台 (2n)! 11n+1(7)x"2m（1）级数>nx”的收敛半径为R=1，当x=±1时，级数发散，所以解n=l定义域为D=(-1,1)。S(x)0.Znx"--，利用逐项求积分，得到设S(x)=Znx",f(x)=xn=1n=l56
当 x < ( ) 1 2 min R , R 时，∑ 收敛。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 当 x > ( ) 1 2 min R , R ，R1 ≠ R2 时，∑ 发散。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 但当 时， 的收敛半径有可能增加，例如 ，收敛半径为1， R1 = R2 ∑ ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = = n 0 n x ∑ ∞ n=0 n n b x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 1 2 1 n n n x 收敛半径也为1， 但∑ 的收敛半径为 。 ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x 2 所以R ≥ min( ) R1,R2 。 （3）设∑ 的收敛半径为 ∞ n=0 n n n a b x R 。 由 ≤ →∞ n n n n lim a b n n n a →∞ lim n n n b →∞ ⋅ lim ，可知R ≥ R1R2 。 上式等号可能不成立，例如 ∑ ，收敛半径为1， ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = = 0 2 n n x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + = 0 2 1 n n x ，收敛半径也为1，但∑ 的收敛半径为 ∞ n=0 n n n a b x R = +∞ 。 4. 应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并 指出它们的定义域。 ⑴ ∑ ∞ n=1 n nx ； ⑵ ∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x ； ⑶ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x ； ⑷ ∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x ； ⑸ ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n n x ； ⑹ ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x ； ⑺ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 。 解 （1）级数∑ 的收敛半径为 ∞ n=1 n nx R = 1，当 x = ±1时，级数发散，所以 定义域为D = (−1,1)。 设 ∑ ， ∞ = = 1 ( ) n n S x nx ∑ ∞ = − = = 1 1 ( ) ( ) n n nx x S x f x ，利用逐项求积分，得到 56