习题9.4任意项级数1.讨论下列级数的收敛性（包括条件收敛与绝对收敛）1+1_1+1.(1) 1-(2)(x-n);2!345n+xn=l-1)" in ±;(3)(4)>n/n7=naI(5) Z(-1)~ ln' n.n元(6)COS33iVnn1=2 sin(n+1)xcos(n -1)xn+14"sin2n(8)(7)12npnn=lIn| 2 +n(9)(10)n2″n=l/(3n-2)(3n+2)n=l(-1)*+x"a1(11)(12)(a>0).>2nPIn'n1+a"n111解（1）设级数1-·的部分和数列为S，，则2!43511n4S2n =)k=2k-1(2k)!3-由于级数之收敛，发散，所以limS2n=+o，因此级数胎(2n)!n=12n-11-+-+}-发散。2!345级数≥(-1)(2)（x≠-n）当n充分大（即n+x>0）时是交错级n+xn=l单调减少趋于零，所以(-1)"数，月（x≠-n）收敛；又由=l n+xn+xX.2发散，所以级数-1-nn+（x≠-n）条件+→8),(ninn+xn二n+x收敛。1
习 题 9.4 任意项级数 1. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛) ⑴ 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 .; ⑵ ∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）； ⑶ ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n n ; ⑸ ∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 1 2 1 4 sin ( 1) n n n n n x ; ⑻ ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x ; ⑼ n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) ; ⑽ ∑ ∞ = + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 1 (3 2)(3 2) 1 ln 2 ( 1) n n n n n ; ⑾ ∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ; ⑿ ∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n ( a > 0 ). 解（1）设级数 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 .的部分和数列为{Sn }，则 ∑ ∑ = = − − = n k n k n k k S 1 1 2 (2 )! 1 2 1 1 ， 由于级数 ∑ ∞ =1 (2 )! 1 n n 收敛， ∑ ∞ =1 2 −1 1 n n 发散，所以 = +∞ →∞ n n S2 lim ，因此级数 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 .发散。 （2）级数∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）当n充分大（即n + x > 0）时是交错级 数，且 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n + x 1 单调减少趋于零，所以∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）收敛；又由 于 n x n + − +1 ( 1) ～ n 1 (n → ∞), ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以级数∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ ≠ ）条件 收敛。 x − n 1
（3）当x=0时(-1)+ sin=的一般项都为零，所以级数绝对收敛。n=l2x(-1)"lsin=当n充分大（即n>）时是交错级数，且设x±0，n元n=lsin单调减少趋于零，所以之(-1)sin=收敛；又由于-1)-sin+-n2nn=lx≥四发散，所以级数之(-1)"sin=条件收敛。8).(n-1n=innn=l因此 lim(-1)+1不存在，所以之发散。(4) lim/n=1, Enn/nnoH>0naln""单调减少趋于零，所以In"n是交错级数，当n≥8(5)>nn=2"收敛；又由于"发散，房所以级数≥(-1)ln""条级数(-1)"nnnn=2n=2n=2件收敛。(6）设！s的部分和数列为(s)，则cOS3=n2 (-1)k-12 (-1)(-1)Son=周2/3k-2台2/3k-1*/3k由于(-1)"-1（-1)和1"都是Leibniz 级数，即都是收敛V3n=12V3n-2=2/3n-1的，所以limS,存在且有限。容易证明lim S6n+1 = lim S6n+2 = lim Son+3 = lim S6n+4 = lim S6n+5 = lim Son 'n+00n->00n-→0n->n→00n>00由此可知级数一元收敛。COS-n311n元1Lcos条件收由于发散，所以级数文COS>Nn2/n33n=12VnVn敛。2
（3）当 x = 0时∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 的一般项都为零，所以级数绝对收敛。 设 x ≠ 0，∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 当n充分大（即 π x n 2 > ）时是交错级数，且 n x sin 单调减少趋于零，所以∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 收敛；又由于 n n x ( 1) sin +1 − ～ n x (n → ∞)，∑ ∞ n=1 n x 发散，所以级数∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 条件收敛。 （4） lim = 1 →∞ n n n ，因此 n n n n 1 ( 1) lim + →∞ − 不存在，所以∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n n 发散。 （5）∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 是交错级数，当n ≥ 8， n n 2 ln 单调减少趋于零，所以 级数∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 收敛；又由于 ∑ ∞ =2 2 ln n n n 发散，所以级数∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 条 件收敛。 （6）设∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 的部分和数列为{Sn }，则 S6n = ∑ = − − − n k k k 2 1 1 2 3 2 ( 1) ∑ = − − + n k k k 2 1 2 3 1 ( 1) ∑ = − + n k k k 2 1 3 ( 1) ， 由于 ∑ ∞ = − − − 1 1 2 3 2 ( 1) n n n ， ∑ ∞ = − − 1 2 3 1 ( 1) n n n 和 ∑ ∞ = − 1 3 ( 1) n n n 都是 Leibniz 级数，即都是收敛 的，所以 n存在且有限。容易证明 n S6 lim →∞ 6 1 lim + →∞ n n S 6 2 lim + →∞ = n n S 6 3 lim + →∞ = n n S 6 4 lim + →∞ = n n S 6 5 lim + →∞ = n n S n n S6 lim →∞ = ， 由此可知级数∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 收敛。 由于 n n n 2 1 3 cos 1 ≥ π ， ∑ ∞ =1 2 1 n n 发散，所以级数∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 条件收 敛。 2
4"sin2m（7）当xe(k元-",k元+)时，由于(4sin2x)n66nn+14" sin2n81(4sin2x）"收敛，所以级数>绝对收敛。0≤4sin2x<1,n=inn=l (-1)"+11+1 4" sin当x=k元±"时，sin?x所以2(-1)是条22Z46nnn=件收敛级数。n+14"sin2n在其他情况下，由于(4sin2x)"，4sin2x>1,级n数的一般项趋于无穷大，所以级数发散。 sin(n +1)x cos(n-1)xki时，级数的一般项都为零，所以级数）(8)当x=np2h=I绝对收敛。设x*。当p>1时，由于[si(n+1)xcos(n-1)，所以级数2npsin(n+1)xcos(n-1)绝对收敛。2np当0<p≤1时，由于sin(n+1)xcos(n-1)x_sin2nx,sin2xnb2np2nPin2收敛，而sin2发散，所以级数由Dirichlet判别法,12nP=2nP≥si(n+D)eo(n-DI 发散。npn=l当p≤0时，由于级数的一般项不趋于零，所以级数 sin(n+1)xcos(n-1)x发散。Wnp3
（7）当 ) 6 , 6 ( π π π x ∈ kπ − k + 时，由于 n n n n x n n x (4sin ) 4 sin 1 ( 1) 2 2 1 − = + ， 0 4sin 1 2 ≤ x < ，∑ ∞ =1 2 (4sin ) 1 n n x n 收敛，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 2 1 4 sin ( 1) n n n n n x 绝对收敛。 当 6 π x = kπ ± 时， 4 1 sin 2 x = ，所以 ∑ ∞ = + − 1 2 1 4 sin ( 1) n n n n n x ∑ ∞ = + − = 1 1 ( 1) n n n 是条 件收敛级数。 在其他情况下，由于 n n n n x n n x (4sin ) 4 sin 1 ( 1) 2 2 1 − = + ， ，级 数的一般项趋于无穷大，所以级数发散。 4sin 1 2 x > （8）当 2 kπ x = 时，级数的一般项都为零，所以级数∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 绝对收敛。 设 2 kπ x ≠ 。当 p > 1时，由于 p p n n sin(n 1)x cos(n 1)x 1 ≤ + − ，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 绝对收敛。 当0 < p ≤ 1时，由于 = + − p n sin(n 1)x cos(n 1)x p p n x n nx 2 sin 2 2 sin 2 + ， 由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ =1 2 sin 2 n p n nx 收敛，而 ∑ ∞ =1 2 sin 2 n p n x 发散，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 发散。 当 p ≤ 0时，由于级数的一般项不趋于零，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 发散。 3
(9) 设x,=(-1)*I n24所以则lim/I..2"22→0-I)+I n?当<2时，x"绝对收敛；>2n=lh当>2时，-x"发散；(-台2"当=2时，级数的一般项不趋于零，所以之(-1)"""也发散。2"n=lIn|2 +。由于{u）单调减少趋于零，所以(10)设un(-1) uJ(3n-2)(3n+2)n=l是Leibniz级数，因此收敛。In222发散，所以级数之(-1)u,条件收敛。因为u(n→),3nn=13nn=xn（11）设x，则lim/x=风，所以nPIngn当<1时，级数”绝对收敛；2nPIn'n当>1时，级数之一，发散；nPIn'nx"=当x=1时，，因此当p>1或p=1.g>1时级数nPln'nn=2nPIng（绝对）收敛，在其他情况下级数发散：当x=-1时，_x"=(-1)"，因此当p>1或p=1g>1时级nPn'n2anPIn'n数绝对收敛，当p=1,q≤1或0<p<1或p=0,q>0时级数条件收敛，在其他情况下级数发散。(-1)n+)a（12）设x.1+ann4
（9）设 n n n n x n x 2 ( 1) 2 +1 = − ，则 2 lim x x n n n = →∞ ，所以 当 x < 2时， n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) 绝对收敛； 当 x > 2时， n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) 发散； 当 x = 2时，级数的一般项不趋于零，所以 n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) 也发散。 （10）设 1 ln 2 (3 2)(3 2) n n u n n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ = − + 。由于{un}单调减少趋于零，所以 1 1 ( 1) n n n u ∞ + = ∑ − 是 Leibniz 级数，因此收敛。 因为un～ 3n ln 2 (n → ∞)，∑ ∞ =1 3 ln 2 n n 发散，所以级数 1 条件收敛。 1 ( 1) n n n u ∞ + = ∑ − （11）设 n n x x p q n n ln = ，则 x x n n n = →∞ lim ，所以 当 x < 1时，级数∑ ∞ =2 n ln p q n n n x 绝对收敛； 当 x > 1时，级数∑ ∞ =2 n ln p q n n n x 发散； 当 x = 1时，∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ∑ ∞ = = 2 ln 1 n p q n n ，因此当 p > 1或 p = 1, q > 1时级数 （绝对）收敛，在其他情况下级数发散； 当 x = −1时，∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ∑ ∞ = − = 2 ln ( 1) n p q n n n ，因此当 或 时级 数绝对收敛，当 或 p > 1 p = 1, q > 1 p = 1, q ≤ 1 0 < p < 1或 p = 0, q > 0时级数条件收敛，在 其他情况下级数发散。 （12）设 n n n a a n x + − = + 1 ( 1) 1 。 4
所以级数(-1)*a绝对收敛；当a>1时，lim/x=<11N=l1+a"an(-1)+1(-1) +1a当α=1时，级数条件收敛；>1+a"2nnn=ln=1当0<a<1时，由于-1)收敛，单调有界，由Abel 判2[1+a"n别法，级数(-1)*a"发散，所收敛，但由于～(n→0)，二n1+a"nn=in以级数条件收敛。2.利用Cauchy收敛原理证明下述级数发散：1+111+1111(1)1 +523467891+1+11+1+11(2)1-12 3457869证(1)设级数的一般项为x，则111nX3n+1+X3n+2+...+X6n3n+13n+46n-26n-2H由于n可以取任意大，由Cauchy收敛原理可知级数发散。（2）设级数的一般项为x，，则11n11X3n+1+X3n+2+...+X6n>3n+33n+66n6n6由于n可以取任意大，由Cauchy收敛原理可知级数发散。3.设正项级数x，收敛，（x，）单调减少，利用Cauchy收敛原理证n=l明：limnx,=0。由≥x收敛，对任意给定的ε>0，存在正整数N">0，对一切证n=lm>n>N"，成立C0<Xn+1 +Xn+2+.2取N=2(N"+1)，则当n>N时，>N"，于是成立自2.6+x.Xn<x+5J5
当a > 1时， 1 1 lim = < →∞ a x n n n ，所以级数∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n 绝对收敛； 当a = 1时，∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n ∑ ∞ = + − = 1 1 2 ( 1) n n n ，级数条件收敛； 当0 < a < 1时，由于∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n 收敛， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + n a a 1 单调有界，由 Abel 判 别法，级数∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n 收敛，但由于 n x ～ n a (n → ∞)，∑ ∞ n=1 n a 发散，所 以级数条件收敛。 2. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述级数发散： ⑴ 1+ 2 1 - 3 1 + 4 1 + 5 1 - 6 1 + 7 1 + 8 1 - 9 1 +. ; ⑵ 1 - 2 1 + 3 1 + 4 1 - 5 1 + 6 1 + 7 1 - 8 1 + 9 1 +. 。 证 （ 1） 设级数的一般项为 xn，则 n n n x x x 3 +1 + 3 +2 +"+ 6 6 2 1 3 4 1 3 1 1 − + + + + + > n n n " 6 1 6 2 > − > n n ， 由于n可以取任意大，由 Cauchy 收敛原理可知级数发散。 （ 2） 设级数的一般项为 xn，则 n n n x x x 3 +1 + 3 +2 +"+ 6 n n 6n 1 3 6 1 3 3 1 + + + + + > " 6 1 6 > = n n ， 由于n可以取任意大，由 Cauchy 收敛原理可知级数发散。 3. 设正项级数 收敛，｛ ｝单调减少，利用 Cauchy 收敛原理证 明： = 0。 ∑ ∞ n=1 n x n x n n nx →∞ lim 证 由 ∑ 收敛，对任意给定的 ∞ n=1 n x ε > 0，存在正整数 ，对一切 ，成立 N'> 0 m > n > N' 2 0 1 2 ε < xn+ + xn+ +"+ xm < 。 取 N = 2(N'+1)，则当n > N 时，有 ' 2 N n >⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ，于是成立 2 2 0 1 2 2 ε < < + + + < +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ n ⎡ n n n x x x x n " ， 5