习题10.4函数的幂级数展开1.求下列函数在指定点的Taylor展开，并确定它们的收敛范围：1(2)(1) 1 + 2x-3x2 + 5x3,Xo= 1;xo= -1;x元.Xo= 0;(3)(4) sin x,Xo=2-x-x2"6'(6) 3/4-x2,(5) lnx，xo=2;xo= 0;x-1(7) Xo= 1;(8) (1+x) ln(1-x), xo= 0;x+i'e*[1+x(10) xo=0。(9) In,xo= 0;1-xV1- x解（1）令x-1=t，则1 + 2x-3x2 + 5x3 = 1 + 2(t + 1) - 3(t+ 1)2 + 5(t +1)3= 5+11t +12t2 +5t3= 5+11(x-1)+12(x-1)? +5(x -1)3。因为级数只有有限项，所以收敛范围是D=(-α0+)。(2）由二2(x+1)"，应用逐项求导得到1-(x+1)XM=01-2n(x+1)-1 =Z(n+1)(x+1)"。En=0级数的收敛半径为R=1。当x=-2与x=0时，级数发散，所以收敛范围是D=(-2,0)。2xx101(3)(2 +x)(1 - x)2±x2-x-x23(1-(-1)"2x"_S(-1)"21=023=02″3|=0级数的收敛半径为R=1。当x=±1时，级数发散，所以收敛范围是D=(-1,1)。)+=sin个A元(4))+cOS sinx=sin[(x--cos(x-sin(x -6666661
习 题 10. 4 函数的幂级数展开 1. 求下列函数在指定点的 Taylor 展开，并确定它们的收敛范围： ⑴ 1 + 2x-3x 2 + 5x 3 ，x0 = 1; ⑵ 2 1 x ， x0 = -1; ⑶ 2 2 x x x − − ， x0 = 0; ⑷ sin x， x0 = 6 π ; ⑸ ln x ， x0 = 2; ⑹ 3 4 − x 2 ， x0 = 0; ⑺ 1 1 + − x x ， x0 = 1; ⑻ (1+x) ln (1-x), x0 = 0; ⑼ ln x x − + 1 1 ， x0 = 0; ⑽ x x − − 1 e , x0 = 0。 解（1）令 x −1 = t，则 1 + 2x-3x 2 + 5x 3 2 3 = 1+ 2(t +1) − 3(t +1) + 5(t +1) 2 3 = 5 +11t +12t + 5t 2 3 = 5 +11(x −1) +12(x −1) + 5(x −1) 。 因为级数只有有限项，所以收敛范围是D = (−∞,+∞)。 （2）由 1 ( 1) 1 1 − + = − x x ∑ ∞ = = + 0 ( 1) n n x ，应用逐项求导得到 2 1 x = ∑ + = ∞ = − 1 1 ( 1) n n n x ∑ ∞ = + + 0 ( 1)( 1) n n n x 。 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = −2与 x = 0时，级数发散，所以收敛范围是D = (−2,0)。 （3） 2 2 x x x − − (2 x)(1 x) x + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = x 2 x 2 1 1 3 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∑ − ∑ ∞ = ∞ =0 0 2 ( 1) 3 1 n n n n n n x x n n n n ∑ x ∞ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = + 0 1 2 ( 1) 1 3 1 。 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = ±1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,1)。 （4） sin sin[( ) ] 6 6 x x π π = − + = − ) + 6 cos( 6 sin π π x cos sin( ) 6 6 x π π − 1
3(-1)"1(-1)"_元2n+2元2m+-2 =0(2n+1)!62 h= (2n)!6级数的收敛半径为R=+o0，所以收敛范围是D=(-00,+)。 (-1)"+1x-2)(5)=ln2±In x = In[2 +(x-2)] = In 2 + In| 1+(x-2)" 。n=ln.2"2级数的收敛半径为R=2。当x=4时，级数为In2+(-1)收敛；当x=0时，级数为Nn=l8-1发散。所以收敛范围是D=(0,4]。In2+=in3/4-x2=34.3(6)级数的收敛半径为R=2。(1)1当x=±2时，级数为/42(-1)"Au则3n=0(n)nJun3(n +1)4lim nlim>133n-1n-→00un+n>o由Raabe判别法，级数收敛。所以收敛范围是D=[-2,2]。x-1X-1(-1)" (-1)"-11x-1(7)-1)"=(x-1)"。x.2x-12x+1=0 2"2"n=l1+2级数的收敛半径为R=2。当x=3与x=-1时，级数发散，所以收敛范围是D=(-1,3)。(+)(1+x)In(1-x)=(+x)2(-1x)=-x-2(8)级数的收敛半径为R=1。2
2 0 1 ( 1) ( ) 2 (2 )! 6 n n n x n π ∞ = − = − ∑ + 2 1 0 3 ( 1) ( ) 2 (2 1)! 6 n n n x n π ∞ + = − − + ∑ 。 级数的收敛半径为R = +∞ ，所以收敛范围是D = (−∞,+∞)。 （5） ln x x = + ln[2 ( − 2)] ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + 2 2 ln 2 ln 1 x n n n n x n ( 2) 2 ( 1) ln 2 1 1 − ⋅ − = + ∑ ∞ = + 。 级数的收敛半径为R = 2 。 当 x = 4时，级数为 ∑ ∞ = + − + 1 1 ( 1) ln 2 n n n ，收敛；当 x = 0时，级数为 ∑ ∞ = − + 1 1 ln 2 n n ，发散。所以收敛范围是D = (0,4]。 （6） 3 2 4 − x = ⋅ 3 4 3 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x n n n n x n 2 0 2 3 3 1 2 ( 1) 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∑ ∞ = 。 级数的收敛半径为R = 2 。 当 x = ±2时，级数为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ − ∞ = n n n 3 1 4 ( 1) 0 3 ，令 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − n u n n 3 1 ( 1) ，则 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ lim 1 n 1 n n u u n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + →∞ 1 3 1 3( 1) lim n n n n 1 3 4 > ， 由 Raabe 判别法，级数收敛。所以收敛范围是D = [−2,2]。 （7） 1 1 + − x x = − + − = ⋅ 2 1 1 1 2 1 x x − = − − ∑ ∞ = n n n n x x ( 1) 2 ( 1) 2 1 0 n n n n (x 1) 2 ( 1) 1 1 − − ∑ ∞ = − 。 级数的收敛半径为R = 2 。 当 x = 3与 x = −1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,3)。 （8） 1 1 (1 )ln(1 ) (1 ) ( ) n n x x x x n ∞ = + − = + ∑ − = n n x n n x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − 2 1 1 1 。 级数的收敛半径为R = 1。 2
当x=1时，级数发散；当x=-1时，级数收敛。所以收敛范围是D=[-1,1] 。-(9)[n(1 + x) In(1 x)]-112n+1n=02n+1nn级数的收敛半径为R=1。当x=±1时，级数发散，所以收敛范围是D=(-1,1)。11(-1)-2(x".2x(10)=1+4!1-xn=(213)n!n=0n!n=0设级数的x"项的系数为α，，则111<an<(n≥4),213!2!所以级数的收敛半径为R=1。当x=±1时，级数的通项不趋于零，级数发散。所以收敛范围是D=(-11) 。2.求下列函数在xo=0的Taylor展开()盖至x;(2)esinx至x4;sin x1+×至x。(3) In cos x至x°;(4)11-11xx解(1)sinx十124Y61206120120120=1+-3606111(2)esinx=1+sinx+sin4xsinx+sin'x+24263
当 x = 1时，级数发散；当 x = −1时，级数收敛。所以收敛范围是 D = [−1,1)。 （9） 1 ln 1 x x + − [ ] 1 ln(1 ) ln(1 ) 2 = + x − − x 1 1 1 ( 1) 1 2 n n n n x x n n ∞ − = ⎡ − ⎤ = + = 2 1 0 2 1 1 + ∞ = ∑ + n n x n ⎢ ⎥ 。 ⎣ ⎦ ∑ 级数的收敛半径为R = 1。 当 x = ±1时，级数发散，所以收敛范围是D = (−1,1)。 （10） x x − − 1 e ∑ ∑ ∞ = ∞ = ⋅ − = 0 ! 0 ( ) n n n n x n x n n n x n ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − + − + 2 ! ( 1) 4! 1 3! 1 2! 1 1 " 。 设级数的 xn项的系数为an ，则 2! 1 3! 1 2! 1 − < an < (n ≥ 4)， 所以级数的收敛半径为R = 1。 当 时，级数的通项不趋于零，级数发散。所以收敛范围是 。 x = ±1 D = (−1,1) 2. 求下列函数在x0 = 0 的Taylor展开 ⑴ x x sin 至 x 4 ； ⑵ sin x e 至 ； 4 x ⑶ ln cos x至 x 6 ； ⑷ x x − + 1 1 至x 4 。 解 (1) = x x sin = − 3 + 5 −" 120 1 6 1 x x x x 2 4 1 1 1 1 6 120 x x ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ " 1 1 2 4 1 6 120 x x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ " 2 1 1 2 4 6 120 x x ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ − + + ⎝ ⎠ " " 1 7 2 4 1 6 360 = + x + x +"。 (2) sin x e = + x + 2 x + 3 x + sin 4 x +" 24 1 sin 6 1 sin 2 1 1 sin 3
1+x-+x3+.+ +(x-+.Ix3 +...x--6C+(-.+1,2_1,4=1+x+二X628-cosx)2_(3) Incosx=In[1-(1-cosx)l=-(1-cosx)-(1(l-cosx)1+4+..-x4 +..2-x*+..242424212312711224021 + X(4)/1+2(x+x2 +x3 +x4 +...) =1+(x+x2 +x3 +x4+...)1(x+x2+.)3_15-(x+x2 +x3 +.)2 +(x+...)242+12++++#**+=1+x+22”83.利用幂级数展开，计算下列积分，要求精确到0.001。ci sinxdx;(2)cosxdx;(1)dxarctanx0dx;（4）(3)1+xx(-1)"1sinx1解x2n dx(1)-dx=n=0(2n + 1)!x(-1)"r (-1)"x2"dx=V一0(2n+1)!n=0(2n+1)!(2n+1)这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值1设un由于u～0.00003，因此前面4项之和的小数部(2n +1)I(2n +1)分具有三位有效数字，所以3(-1)"1sinx-dx~n=0(2n+1)!(2n+1)XT.cosx* dx=2n dx(2)=0 (2n)!r1 (-1)n(-1)"8Lx4n dx=Nn=o(2n)(4n+1)0(2n)!1=0这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，-设un=由于u3～0.0001，因此前面4项之和的小数部分具(2n)(4n+1)4
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − 3 +" 6 1 1 x x 2 3 6 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x − x +" 3 3 6 1 6 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x − x +" "⎟ +" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + 4 3 6 1 24 1 x x = + + 2 − 4 +" 8 1 2 1 1 x x x 。 (3) ln cos x = − ln[1 (1− cos x)] = − − − − 2 − (1− cos ) 3 −" 3 1 (1 cos ) 2 1 (1 cos x) x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 − 4 +" 24 1 2 1 x x 2 2 4 24 1 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x − x +" "⎟ −" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + 3 2 4 24 1 2 1 3 1 x x = − 2 − 4 − 6 −" 240 7 12 1 2 1 x x x 。 (4) x x − + 1 1 1 2( ) = + x + x 2 + x3 + x 4 +" 1 ( ) = + x + x 2 + x 3 + x 4 +" 2 3 2 ( ) 2 1 − x + x + x +" 2 3 ( ) 2 1 + x + x +" 4 ( ) 24 15 − x +" = + + 2 + 3 + 4 +" 8 3 2 1 2 1 1 x x x x 。 3. 利用幂级数展开，计算下列积分，要求精确到 0.001。 ⑴ ∫ 1 0 d sin x x x ； ⑵ ∫ 1 0 2 cos x d x； ⑶ ∫ 2 1 0 d arctan x x x ； ⑷ ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x 。 解 (1) ∫ 1 0 d sin x x x ∫ ∑ ∞ = + − = 1 0 0 2 d (2 1)! ( 1) x x n n n n ∑ ∫ + − = ∞ = 1 0 2 0 (2 1)! ( 1) x dx n n n n ∑ ∞ = + + − = 0 (2 1)!(2 1) ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 (2 1)!(2 1) 1 + + = n n un ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小数部 分具有三位有效数字，所以 u3 0.00003 4 ∫ 1 0 d sin x x x ≈ ∑ = + + − 3 0 (2 1)!(2 1) ( 1) n n n n ≈ (2) ∫ 1 0 2 cos x d x ∫ ∑ ∞ = − = 1 0 0 4 d (2 )! ( 1) x x n n n n ∑ ∫ − = ∞ = 1 0 4 0 d (2 )! ( 1) x x n n n n ∑ ∞ = + − = 0 (2 )!(4 1) ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 (2 )!(4 1) 1 + = n n un ，由于u3 ≈0.0001，因此前面4项之和的小数部分具 4
有三位有效数字，所以(-1)"3cosxdx~n=0(2n)!(4n +1)(-12" dx,arctanx(3)dx=2）n=02n+1x(-1)"1((-1" x2"n dx =7=0(2n+1)222n+102n+1这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，11设u，由于u～0.00016，因此前面4项之和的小数部(2n+1)222m+，分具有三位有效数字，所以(-1)"1[ arctan x3dx~22n+1Jon=0(2n +1)2xdx(-1)n-Idx(4)d3n1+x31n=1x"_(-1)"-1[+0 (-1)"-1dx== (3n-1)23n-1"43n这是一个Leibniz级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值1设un=“(3m-1)2，由于u~0.004，因此前面4项之和的小数部分具有三位有效数字，所以+_dx~_(-1)"-I[ 1+~2(3n-1)23m-T4.应用-1在x=0的幂级数展开，证明：xnS=1。台(n+1)e"-1_-(x"n-1证-D==in!n=o(n+1)!n=0n!xx应用逐项求导，得到 nxh-1xe'-e"+1N2=(n+1)!以x=1代入，即得到n=1。(n +1)!5.求下列函数项级数的和函数 (-1)"-(1)n(n+15
有三位有效数字，所以 ∫ 1 0 2 cos x d x≈ ∑ = + − 3 0 (2 )!(4 1) ( 1) n n n n ≈ (3) ∫ 2 1 0 d arctan x x x ∫ ∑ ∞ = + − = 2 1 0 2 0 d 2 1 ( 1) x x n n n n ∑ ∫ + − = ∞ = 2 1 0 2 0 d 2 1 ( 1) x x n n n n 2 1 0 2 2 1 (2 1) ( 1) + ∞ = ⋅ + − = ∑ n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 2 2 1 2 1 (2 1) 1 + ⋅ + = n n n u ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小数部 分具有三位有效数字，所以 u3 0.00016 4 ∫ 2 1 0 d arctan x x x ≈ 2 1 3 0 2 2 1 (2 1) ( 1) + = ⋅ + − ∑ n n n n ≈ (4) ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 3 3 1 1 d x x x ∫ ∑ +∞ ∞ = − − = 2 1 3 1 ( 1) dx n x n n ∑ ∫ +∞ ∞ − = − = 2 3 1 1 ( 1) dx x n n n ∑ ∞ = − − − − = 1 3 1 1 (3 1)2 ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 3 1 (3 1)2 1 − − = n n n u ，由于 ≈ ，因此前面4 项之和的小数部分 具有三位有效数字，所以 4 u 0.00004 ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x ≈∑ = − − − − 4 1 3 1 1 (3 1)2 ( 1) n n n n ≈ 4. 应用 x x e −1在 x = 0 的幂级数展开，证明： ∑ ∞ =1 ( +1)! n n n = 1。 证 = − x e x 1 ∑ − = ∞ = 1) ! ( 1 n 0 n n x x ∑ = ∞ = − 1 1 n ! n n x ∑ ∞ n=0 ( +1)! n n x , 应用逐项求导，得到 = − + 2 1 x xe e x x ∑ ∞ = − 1 + 1 n ( 1)! n n nx ， 以 x = 1代入，即得到 ∑ ∞ =1 ( +1)! n n n = 1。 5．求下列函数项级数的和函数 （1）∑ ∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − 1 2 1 2 2 ( 1) ( 1) n n n x x n n ； 5