习题4.5高阶导数和高阶微分1.求下列函数的高阶导数：(1)y=x3+2x2-x+1, 求y";(2)y=x4lnx，求y";x，求y";(4) y=婴，求":(3) y=+x7(5) y=sinx3,求y"、y";(6)y=x3cos/x，求y"、y";(7) y=x?e3x,求y";(8)y=e-r arcsinx，求y";(9)y=x3cos2x，求p(80);(10) y=(2x2 +1)shx,求y(99)解（1）y=3x2+4x-1,y"=6x+4,J"=6。(2）y=4xlnx+x3，"=12x21nx+4x2+3x2=12x2lnx+7x212x/1+x-x22/1+x_ 4x+3x2(3) y1+x2(1+ x)(4x+ 3x2)(1+x)(4+6x)(1+ x)2.3x+8x+8b2(1 + x)34(1 + x)2(4) y'=x.x-2 -2lnx-x-_ 1-2lnxx3J"=-2x*x* -3(1-21n x)x-+ = 6lnx-5x4(5) y=cosx3 .(3x2)= 3x? cosx3,y"=6xcosx3+3x(-sinx")(3x)=6xcosx3-9x*sinx,y"=6cosx -6xsinx3.(3x2)-36x* sinx -9x* cosx3 (3x)=-54x sinx -(27x6 -6)cosx。(6) y= 3x* cos/ +x(-sin /)/)= 3x cos /x-x sin /,2/x283
习 题 4.5 高阶导数和高阶微分 ⒈ 求下列函数的高阶导数： ⑴ y x = + x − x + 3 2 2 1, 求 y′′′； ⑵ y x = x 4 ln ，求 y′′； ⑶ y x x = + 2 1 ，求 y′′； ⑷ y x x = ln 2 ，求 y′′； ⑸ y = sin 3 x ，求 y′′、 y′′′ ； ⑹ y x = x 3 cos ，求 y′′、 y′′′； ⑺ y x x = 2 3 e ，求 y′′′； ⑻ y x x = − e arcsin 2 ，求 y′′； ⑼ y x = x 3 cos 2 ，求 y(80)； ⑽ y x = (2 1 + )s x 2 h ，求 y . (99) 解 （1） ' 3 4 1, '' 6 4, 2 y = x + x − y = x + y'''= 6 。 （2） y'= 4x 3 ln x + x 3 ， y"= 12x 2 ln x + 4x 2 + 3x 2 = 12x 2 ln x + 7x 2 。 （3） 2 2 3 2 1 2 1 2 1 4 3 ' 1 2(1 ) x x x x x x y x x + − + + = = + + ， 3 1 2 2 2 2 3 5 2 3 (4 6 )(1 ) (4 3 )(1 ) 3 8 2 " 2(1 ) 4(1 ) x x x x x x x y x x + + − + + + +8 = = + + 。 （4） 3 1 2 3 1 2ln ' 2ln x x y x x x x − = ⋅ − ⋅ = − − − ， 4 1 3 4 6ln 5 " 2 3(1 2ln ) x x y x x x x − = − − − = − − − 。 （5） y'= cos x 3 ⋅(3x 2 ) = 3x 2 cos x 3 ， 3 2 3 2 3 4 3 y"= 6x cos x + 3x (−sin x )(3x ) = 6x cos x − 9x sin x ， 3 3 2 3 3 4 3 y x ''' = − 6cos 6x sin x ⋅(3x ) − 36x sin x − 9x cos x ⋅(3 ) 2 x 3 3 6 3 = −54x sin x x − (27 − 6) cos x 。 （6） x x x x x y x x x x sin 2 1 ) 3 cos 2 1 ' 3 cos ( sin )( 2 5 2 3 2 = + − = − ， 83
y"=6xcos Vx+3x:(-sin V)/-5,1xsinr2(cosx22Vx2/x4)cosVh_11sinVx,(6x44)(-sin V)/_33 11P)cos/x+(6x"=(64A2/x2/8x)cosx+(l_57=(6_ 15 x2)sinx8X(7)y'=2xe3* +x2e3*(3x)=(2x +3x2)e3xyl"=(2 +6x)e3 +(2x+3x°)e3*(3x)=(9x? +12x+2)e3xy"=(18x+12)e3* +(9x? +12x+2)e*(3x)=(27x? +54x+18)e3x(8)y'=(-x2)e-rarcsinx+e-r(arcsinx)'=(-2xarcsinx/1-1y"=(-x2)(-2xarcsinx-V12x=(-2x)(-2xarcsin2arcsinV1-x(4x2 3)2(2x2-1)arcsinx(1-x(9) (80) = x3 cos(80) 2x+Cl 3x cos(79) 2x+C% 6xcos(78) 2x+C 6 cos7) 2x=280x3cos2x+80.279.3x2sin2x-3160.278.6xcos2x-82160.277.6sin2x280x(x2-4740)cos2x+(120x2-61620)sin2x(10)(99) =(2x2 +1)sh(99)x+Cl4x sh(98) x+C2.4 sh(97) x=(2x2+1)ch x+99.4xshx+4851.4ch x=(2x2+19405)chx+396xshx 。2.求下列函数的n阶导数y(n)84
3 5 2 2 2 1 5 1 1 " 6 cos 3 ( sin ) sin (cos ) 2 2 4 2 y x x x x x x x x x x = + − − − 3 2 2 1 11 (6 ) cos sin 4 4 = −x x x − x x ， 2 1 3 2 2 1 33 11 1 ''' (6 ) cos (6 )( sin ) sin cos 2 4 2 2 8 4 x x y x x x x x x x x x = − + − − − − 3 1 2 2 15 1 57 (6 ) cos ( )sin 8 8 8 = − x x x + − x x 。 （7） y'= 2xe3x + x 2 e3x (3x)'= (2x + 3x 2 )e3x ， x x x y x e x x e x x x e 3 2 3 2 3 ''= (2 + 6 ) + (2 + 3 ) (3 )'= (9 +12 + 2) ， x x x y x e x x e x x x e 3 2 3 2 3 '''= (18 +12) + (9 +12 + 2) (3 )'= (27 + 54 +18) 。 （8） 2 2 2 ) 1 1 ' ( )' arcsin (arcsin )' ( 2 arcsin 2 2 x x x e x y x e x e x x x − − − − = − + = − + ， ; (1 ) (4 3) 2(2 1) arcsin (1 ) ( 2 ) ) 2 1 ( 1 2 ) 2arcsin 1 1 ( 2 )( 2 arcsin )' 1 1 ) ( 2 arcsin 1 1 " ( )'( 2 arcsin 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 x x x x x e x x x x x e x x x x e x x x x x e x e x x x y x x x − − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − + − − − = − − + − + − + − = − − + （9） (80) 3 (80) 1 2 (79) 2 (78) 3 (77) 80 80 80 y = + x cos 2x C 3x cos 2x +C 6x cos 2x C+ 6cos 2x 80 3 79 2 78 77 = + 2 x cos 2x x 80⋅ 2 ⋅3 sin 2x − 3160⋅ 2 ⋅6x cos 2x −82160⋅ 2 ⋅6sin 2x 80 2 2 = − 2 ⎡ ⎤ x(x x 4740) cos 2 + (120x − 61620)sin 2 ⎣ ⎦ x x 。 （10） (99) 2 (99) 1 (98) 2 (97) 99 99 y x = + (2 1)sh x +C 4x sh x + C 4sh 2 = + (2x 1)ch 99 x x + ⋅ 4 sh x + 4851⋅4ch x 2 = + (2x 19405)chx + 396xshx 。 ⒉ 求下列函数的n阶导数 y(n) ： 84
(1) y= sin ox;(2) y= 2*Inx ;1(3) y(4) y=x2-5x+6Y(5) y= ea cos βx ;(6) y= sin*x+cos*x(1) (n)_1(1 -cos 2ax)) = -2"-l 0" cos(2ax + " 元解元）22=2"l0"sin(20x +"-],元）。2(2) y() =Zc;(2*)(-)(ln x)() =In"2.2"Inx+ZC,2ln"-* 2k=0-2"In"2 ln x+Zc, n"* 2. (-1)(k-1)k=lCk (-1)*k!(-1)"k!(3) μ(n) =-k(e)C+4+l-A+Xke(=0k=0（4）由于=(-1)"n(x- 3)*+(x-2)"Z(x -2)*(x- 3)-k1=(-1)"n! (=0(x-3)(r-2)-=(-1)"n1)k=0 (x-2)"-k+(x-3)*+IKTZc (ear) an-k [cos(βx)*) = ea(5) y(m) = Cn-kβ*cos(Bx-KOk=0(6)y=(sinx+cosx)?-2sin2xcosxsin22x=1_|((1-cos4x)= 3+ cos4x=1-12444所以元y(n)=4"-1cos(4x+23.研究函数x≥0,f(x):x2，x<085
⑴ y x = sin2 ω ； ⑵ y x x = 2 ln ； ⑶ y x x = e ； ⑷ y x x = − + 1 5 6 2 ； ⑸ y e x x = α cosβ ； ⑹ y x = sin + cos x 4 4 . 解 （1） ) 2 (1 cos 2 ) 2 cos(2 2 ( ) 1 ( ) 1 = − ω = − ω ω + π − n y x x n n n n 1 1 2 sin(2 2 n n n ω ω π x ) − − = + 。 （2） ( ) ( ) ( ) 0 (2 ) (ln ) n n k x n k k x n k y C − = = ∑ ( 1) 1 1 ln 2 2 ln 2 ln 2 k n n x k x n k n k x C x − − = ⎛ ⎞ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 1 1 ( 1) ( 1)! 2 ln 2 ln ln 2 n k x n k n k n k k k x C x − − = ⎡ ⎤ − − = ⋅ + ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ 。 （3） ∑ ∑= + = − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n k k k k x n n k k k x n k n n x k C e x y C e 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ! ( ) 1 0 ( 1) ! + = − = ∑ k n k k k n x x k e C 。 （4）由于 2 1 3 1 − − − = x x y ， ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 n n n y x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎝ ⎠ 1 1 1 1 ( 1) ! ( 3) ( 2) n n n n x x + + ⎡ ⎤ = − − ⎢ ⎥ ⎣ − − ⎦ 0 1 1 1 0 ( 2) ( 3) 1 ( 1) ! ( 1) ! ( 3) ( 2) ( 2) ( 3) n k n k n n k n n n n k k x x n n x x x x − = + + − + = − − = − = − − − − − ∑ ∑ k+1 。 （5） [ ]( ) 0 ( ) ( ) ( ) cos( ) k n k k x n k n n y C e βx α ∑= − = 0 cos( ) 2 n x k n k k n k k e C x α π α β β − = = + ∑ 。 （6） y x x x x 2 2 2 2 2 = (sin + cos ) − 2sin cos 1 2 1 sin 2 2 = − x 1 3 1 (1 cos 4 ) 4 4 cos 4 4 x = − − x = + ， 所以 ( ) 1 4 cos(4 ) 2 n n n y x − π = + 。 ⒊ 研究函数 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < ≥ = , 0 , 0, ( ) 2 2 x x x x f x 85
的各阶导数。解当x>0时，f(x)=2x；当x<0时，f(x)=-2x。由(Ax)-0f(Ax)- f(O) = lim.J(0)= lim =00Ax+0Ax-(Ax) -0 f(Ax)- f(0)limf(0) = lim=0,Ar→0.ArAr可知F(x)=2|l。2,x>0,由此得到f"(x)=-2,x<0,不存在，x=0.[0x+0,于是当n>2时，f((x)=不存在，x=0。4．设f(x)任意次可微，求(2)()(1) [f(x2)" ;(3) [f(In x)" ;(4) [n f(x)" ;(6) [f(arctan x)".(5) [f(e)]" ;解(1) [f(x2)"= f"(x2)(x2)=2xf"(x),[f(x)"= 2xf"(x2)(x2)+(2x) f'(x2)= 4x? f"(x2)+2f'(x2) [f(x)"= 4x"f"(x2)(x)+(4x)'f"(x3)+2f"(x2)(x2)'= 8x f"(x2)+12xf"(x*)。(2)[--[(]--(()-()()-()+()[(]--()-(-(-r(86
的各阶导数。 解 当 x > 0时， f '(x) = 2x；当 x < 0时， f '(x) = −2x 。由 2 0 0 ( ) (0) ( ) 0 (0) lim lim 0 x x f x f x f x x + ∆ → + ∆ → + ∆ − ∆ − ′ = = ∆ ∆ = ， 2 0 0 ( ) (0) ( ) 0 (0) lim lim 0 x x f x f x f x x − ∆ → − ∆ → − ∆ − − ∆ − ′ = = ∆ ∆ = ， 可知 f '(x) = 2 | x |。 由此得到 2, 0, ''( ) 2, 0, 0 x f x x x ⎧ > ⎪ = − ⎨ < ⎪ ⎩不存在， = 。 于是当n > 2时， ( ) 0, 0, ( ) 0 n x f x x ⎧ ≠ = ⎨ ⎩不存在， = 。 4．设 f x( )任意次可微，求 ⑴ [ ( f x )] 2 ′′′； ⑵ 1 f x ′′′ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ； ⑶ [ ( f ln x)]′′； ⑷ [ln f x( )]′′； ⑸ [ ( f e )] − x ′′′； ⑹ [ f (arc tan x)]′′ . 解 （1）[ f (x 2 )]'= f '(x 2 )(x 2 )'= 2xf '(x 2 )， [ ( )]'' 2 ''( )( )' (2 )' '( ) 4 ''( ) 2 '( ) 2 2 2 2 2 2 2 f x = xf x x + x f x = x f x + f x ， 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 [ ( )]''' 4 '''( )( )' (4 )' ''( ) 2 ''( )( )' 8 '''( ) 12 ''( ) 2 f x = + x f x x x f x + f x x = x f x + xf x 。 （2） ' 2 1 1 1 1 f f ' ' f 1 x x x x x ′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， ' ' 2 2 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 f f '' f ' f '' ' 1 f x x x x x x x x x ′′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x ， 6 5 5 4 1 1 1 4 1 2 1 6 1 f f f f f x x x x x x x x ′′′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ′′′ −−− ′′ ′′ ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 86
[（)+6（)+6x（)(3) [(n)= (nx)lnx)=(n),[(n x)"=(nn)x-(n)_ "(nx)-(n)x2x2(4) [n (x)"= [(℃,f(x)[n (x)]"= ["()/()-(r(x)f°(x)(5) [f(e)}'= f"(e*)(e"*)'= -e"* f"(e-")[f(e-*)]"= -e-"f"(e-")(e-")'-(e-)' f'(e")=e-* f"(e-")+e"" f'(e-*),[f(e)"=e-* f"(e-"(e")'+(e-)'f"(e")+ef"(e*)(e*)'+(e")'f(er)= -e-* f"(e"*)-3e-** f"(e"")-e"*f'(e"") 。(6) [(artanx)'= (arctan x)(arctanx)=arctan1+ x2[(actan)"+)"areaaran+)arctan(1+x2)2f"(arctan x)-2xf (arctan x)(1+x)25.利用Leibniz公式计算y(n)(O)：(1) y= arc tan x ;(2) y=are sinx 。2x解（1）由y=令x=0，可得y(0)=1,"(0)=0。在1+x2(1+x2)等式y(1+x2）=1两边对x求n阶导数（n>1)，得到Zch y(n-k+1)(1+ x2)() = 0 ,k=0注意到(1+x2)"=0，上式简化为87
2 6 1 1 1 1 f x6 6 f x f x x x ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ′′′ + ′′ + ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 。 （3） ( ) ( ) x f x f x f x x ' ln [ (ln )]'= ' ln (ln )'= , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 '' ln (ln )' ' ln ( )' '' ln ' ln [ (ln )]'' x f x f x x f x x x f x x f x − = ⋅ − = 。 （4） ( ) '( ) [ln ( )]' f x f x f x = , ( ) ( ) ''( ) ( ) '( ) [ln ( )]'' 2 2 f x f x f x f x f x − = 。 （5）[ ( )]' '( )( )' '( ) x x x x x f e f e e e f e − − − − − = = − 2 [ ( )]'' ''( )( )' ( )' '( ) ''( ) '( ) x x x x x x x x x x f e e f e e e f e e f e e f e − − − − − − − − − = − − = + − x , 2 2 [ ( )]''' '''( )( )' ( )' ''( ) ''( )( )' ( )' '( ) x x x x x x x x x x f e e f e e e f e e f e e e f e − − − − − − − − − − = + + + − 3 2 x '''( ) 3 ''( ) '( ) x x x x x e f e e f e e f e − − − − − − = − − − 。 （6） 2 '(arctan ) [ (arctan )]' '(arctan )(arctan )' 1 f x f x f x x x = = + , 2 2 2 2 (1 ) ''(arctan )(arctan )' (1 )' '(arctan ) [ (arctan )]'' (1 ) x f x x x f f x x + − + = + x 2 2 ''(arctan ) 2 '(arctan ) (1 ) f x xf x x − = + 。 5．利用 Leibniz 公式计算 y( ) n (0) ： ⑴ y = arc tan x； ⑵ y x = arc sin 。 解（1）由 2 2 2 (1 ) 2 , '' 1 1 ' x x y x y + = − + = ，令 x = 0，可得 y'(0) = 1, y''(0) = 0 。在 等式 y'(1+ x 2 ) = 1两边对 x求n阶导数（n >1），得到 ∑= − + + = n k k n k k n C y x 0 ( 1) 2 ( ) (1 ) 0， 注意到(1+ x 2 )'''= 0 ，上式简化为 87