习题7.31．设函数f(x)连续，求下列函数F(x)的导数：(1) F(x)= ["f(t)dt;(2) F(x)= f(t)dt;['sind1(3) F(x)=1+2di解(1) F(x)=-[f(t)dt，所以 F(x)=-f(x)。(2) F(x)= f(lnx)-(ln x)'== f(lnx)。4sin x(3) F'(x).sin'x4+(x-sin xcosx)2'sin"tdt2.求下列极限：文'" cost’ dtlim(2) (1) lim0dwX-0x(arc tan v)dy(3) lim(4) limT→+oVi+x?2uducost"dt10解(1)limcosx?=1。limxx22x(2)2e。limlim.1x>0dw(-sinx)(arc tan v)" dy(arctan x)?元(3)limlimlim(arctanx)x/1+ x?Vi+x?"e"du2er"'e" du2er(4)limlimlim0e3→"e2" duT>+oa2xe216
习 题 7.3 ⒈ 设函数 f (x)连续，求下列函数F x( )的导数： ⑴ F x( ) = ∫ b x f (t)dt ; ⑵ F x( ) = ∫ x a f t dt ln ( ) ; ⑶ F x( ) = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + x tdt a dt t 0 2 sin 2 1 1 . 解（1） F x( ) = − ∫ ，所以 x b f (t)dt F′(x) = − f (x)。 （2）F′(x) = (ln ) 1 (ln ) (ln ) f x x f x ⋅ x ′ = 。 （3）F′(x) = x tdt x 2 2 0 2 sin 1 sin 1 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ 2 2 4 ( sin cos ) 4sin x x x x + − = 。 ⒉ 求下列极限： ⑴ x t dt x x ∫ → 0 2 0 cos lim ; ⑵ ∫ → − 1 cos 2 0 2 e lim x x w dw x ; ⑶ 2 0 2 1 (arc tan ) lim x v dv x x + ∫ →+∞ ; ⑷ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ x u x u x e du e du 0 2 2 0 2 2 lim 。 解（1） x t dt x x ∫ → 0 2 0 cos lim =limx→0 cos x 2 = 1。 （2） e e x x dw x x x x x w 2 ( sin ) 2 lim e lim 2 1 2 0 cos cos 2 0 = − − = → − → − ∫ 。 （3） 4 lim (arctan ) 1 (arctan ) lim 1 (arc tan ) lim 2 2 2 2 2 0 2 π = = + = + →+∞ →+∞ →+∞ ∫ x x x x x v dv x x x x 。 （4） 0 2 2 lim 2 lim lim 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ →+∞ →+∞ ∫ ∫ ∫ x x x x x x u x x u x u x xe e e e e du e du e du 。 216
Jtf(t)dt3.设f(x)是[0.+)上的连续函数且恒有f(x)>0，证明g(x）Jf(t)dt是定义在[0.+)上的单调增加函数。证因为(x)(xf,()di-J(0)d)(x)](x-1)()dt≥0g'(x):(1()a)(C.r(0)at)J,t f(t)dt是定义在[0,+α)上的单调增加函数。所以g(x)Jef(t)dt4. 求函数f(x)=[(t-1)(t-2)dt的极值。解f(x)=(x-1)(x-2)2，令f(x)=0，得到x=1,2。因为当x<1时，f(x)<0，当1<x<2或x>2时，f(x)>0，所以x=1是极小值点，x=2不是极值点。由0) 'l(-2) +(-2) jdt=-号,12可知(s)在x=1处有极小值()=-。125利用中值定理求下列极限：(2) lim Jn+p sin x(1) lim dt;dt(peN)01+1x解（1）由积分第一中值定理，lim 'dt=limx"dx = lin(0≤≤1) 。（)1+ x→01+n→ 1+En+ln+psinxsin(2)由积分第一中值定理，35e[n,n+p],使得所以n+p sinxdt = 0 。limX217
⒊ 设 f (x)是[ , 0 + ∞)上的连续函数且恒有 f x( ) > 0，证明 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞)上的单调增加函数。 证 因为 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 0 ≥ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x f t dt f x x t f t dt f t dt f x x f t dt tf t dt g x ， 所以 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞)上的单调增加函数。 4. 求函数 的极值。 ∫ = − − x f x t t dt 0 2 ( ) ( 1)( 2) 解 f ′(x) = (x −1)(x − 2) 2 ，令 f ′(x) = 0，得到 x = 1, 2。因为当 x < 1时， f ′(x) < 0，当1 < x < 2或 x > 2时， f ′(x) > 0，所以 x = 1是极小值点，x = 2 不是极值点。由 12 17 (1) [( 2) ( 2) ] 1 0 3 2 = − + − = − ∫ f t t dt , 可知 f (x)在 x = 1处有极小值 12 17 f (1) = − 。 5 利用中值定理求下列极限： ⑴ lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 ; ⑵ lim sin n n n p x x dt →∞ + ∫ ( p ∈ N ) 。 解（1）由积分第一中值定理， lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 = 1 0 1 1 1 lim lim 0 (0 1) 1 1 1 n n n x dx n ξ →∞ ξ ξ →∞ = ⋅ = ≤ ≤ + + + ∫ 。 （2）由积分第一中值定理，∃ξ ∈[n, n + p]，使得 n p dx p x n p x n = ≤ ∫ + ξ sin sinξ ， 所以 0 sin lim = ∫ + →∞ n p n n dt x x 。 217
6.求下列定积分：(2) (x-1-++) dx;(1)[x2(2 - x?)"dx :2x2"(2* +3*)° dx(4)[,x(1-4x2)°dx;(5) Lag2:(6) J'aresin xd ;(8) J. x tan' xdx;(7) od;(9) Jer sin? x dx;(10, J' sin(In x)dx ;(11) J'x are tan xdx ;(12, J**x* In(x-1)dx 。(14. J'e2 dx;(13) J dx;dxdx(15) / (16 L Ja-x);;(17 () d;(18dx(19) -dx(204_4171解（1)['x2(2-x)dx=[(4x2-4x*+x)dx=357105°(2) ["(x-1-++1)dx=1[(x-1+)dx = In 2x2x222x24015.70(3) "(2*+3*) dx="(4*+2.6*+9)dx =In3In4In6(4) [,x(1-4x)°dx=-(1-4x)°d(1-4x)=4x(1-8888lo(5) L+1)d=d(+1)111(x2 + 2x + 5)= 2]- [(x +1) + 4)162(x2 +2x+5)-1(6)('arcsin xdx=xarcsinxdx:2218
6. 求下列定积分： ⑴ x x dx ∫ − 1 0 2 2 2 (2 ) ; ⑵ ∫ 2 − − + 1 2 2 2 ( 1)( 1) dx x x x x ; ⑶ ∫ + 2 0 2 (2 3 ) dx x x ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 10 x(1 4x ) dx ; (5) ∫− + + 1 + 1 2 2 ( 2 5) ( 1) x x x dx ; (6) ∫ 1 0 arcsin xdx ; (7) x x dx cos2 4 4 −∫ π π ; (8) ∫ 4 0 2 tan π x xdx ; (9) e sin x x dx 2 0 2 π ∫ ; (10) sin(ln ) e x dx 1 ∫ ; (11) ∫ 1 0 2 x arc tan xdx ; (12) ∫ + − e 1 1 2 x ln(x 1)dx 。 (13) ∫ − ln 2 0 3 2 x e dx x ; (14) ∫ + 1 0 2 1 e dx x ; (15) ∫ + 1 0 2 1 e x dx ; (16) ∫− − 2 1 2 1 2 3 (1 x ) dx ; (17) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 − 0 4 1 1 dx x x ; (18) ∫ + 1 + 0 4 2 1 1 dx x x ; (19) ∫ + 2 1 2 x 1 x dx ; (20) ∫ − 1 0 2 dx x x x ; 解 （1） 1 1 2 2 2 2 4 6 0 0 441 71 (2 ) (4 4 ) 3 5 7 105 x x − = dx x − x + x dx = − + = ∫ ∫ 。 （2） 2 2 2 2 2 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 ( 1 ) ln 2 2 2 2 x x x x dx dx x x x − − + 2 = − + − = − ∫ ∫ 。 （3） 2 2 2 0 0 15 70 40 (2 3 ) (4 2 6 9 ) ln 4 ln 6 ln 3 x x x x x + = dx + ⋅ + dx = + + ∫ ∫ 。 （4） 1 2 1 1 2 10 2 2 10 2 2 11 2 0 0 0 1 1 (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) 8 88 x x − = dx − − x d − x = − − x = ∫ ∫ 1 88 。 （5） 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( 2 5) 2 [( 1) 4] 2( 2 5) 1 x dx d x x x x x x − − − + + = = − + + + + + + ∫ ∫ 6 = 。 （6） 1 1 1 0 0 0 2 arcsin arcsin 1 1 2 x xdx x x dx x π = = − − ∫ ∫ − 。 218
(7)「一dx=0。（奇函数在对称区间上的积分为零）fcos?8[J x tan' xdx= Jfxsec* xdx-J xdx=x tan xb-If" tan xdx- J xd=2-1ln2-六422-32°(9o2)[e cos2xdx =e'cos2x+2]'e sin2xdx =-et-1+2e sin2x-4]"e"cos2xdx得到ecos2xd=-，所以5et +1 3et-2(et_e"sin’xdx =1025(10) J,'sin(Inx)dx=xsin(In x)-J'cos(In x)dx= e(sin1-cos1)+1-{[ sin(ln x)dx,所以[' sin(ln x)dx = 号(sin1-cos 1)+2(11)aeanareaX---2m2)-+2-1--12 6(12) [x In(x-1)dx=In(x-1)--(x2+x+1+(G+++)+,(r -1)In(x-1)-3(.3所以2 In(x-1)dx= ( -1)In(x-1)x+1x2+x2+1o3VIn2d--e-dx(13)2e-r im2_1In2In21244219
（7） 4 4 2 0 cos x dx x π π − = ∫ 。（奇函数在对称区间上的积分为零） （8） 4 4 4 4 4 2 2 0 0 0 0 0 tan sec tan tan 4 0 x xdx x xdx xdx x x xdx xdx π π π π π = − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ π ∫ 2 1 ln 2 4 2 32 π π = − − 。 （9） 2 2 2 0 0 1 e sin (1 cos 2 ) 2 x x xdx e x dx π π = − ∫ ∫ ，由 2 2 2 0 0 0 cos 2 cos 2 2 sin 2 x x x e xdx e x e xdx π π π = + ∫ ∫ 2 2 2 0 0 1 2 sin 2 4 cos 2 x x e e x eπ π π = − − + − ∫ xdx， 得到 2 2 0 1 cos 2 5 x e e xdx π π + = − ∫ ，所以 2 2 2 2 2 0 1 1 3 e sin ( 1) 2 10 x e e xdx e π π π π 2 5 + − = − + = ∫ 。 （10） e 1 1 1 sin(ln ) sin(ln ) cos(ln ) e e x dx = x x − x dx ∫ ∫ , e 1 = − e x (sin1 cos1) +1− sin(ln ) ∫ dx 所以 e 1 1 sin(ln ) (sin1 cos1) 2 2 e x dx = − ∫ + 。 （11） 3 1 1 2 3 1 0 2 2 0 0 1 1 1 arctan arctan ( ) 3 3 1 12 3 1 x x 1 0 x xdx x x dx x dx x x π = − = − − + + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 ln 2 1 ( ln 2) 12 3 2 2 12 6 π π − = − − = + 。 （12） 2 3 1 1 2 1 ln( 1) ln( 1) ( 1 ) 3 3 1 x x dx x x x x dx x − = − − + + + − ∫ ∫ 1 1 3 3 1 1 ( 1)ln( 1) 3 3 3 2 2 x x x x x ⎛ ⎞ = − − − ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ c , 所以 e 1 2 3 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 ln( 1) ( 1)ln( 1) 3 3 3 2 e e x x dx x x x x x + + ⎛ ⎞ + − = − − − ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ∫ 2 3 2 1 9 2 = + e e 。 （13） ln 2 2 2 ln 2 3 2 ln 2 0 0 0 1 1 e e 2 2 x x 2 x 2 x dx x e dx − − = − + ∫ ∫ − 2 ln 2 0 ln 2 1 1 ln 2 4 2 4 x e− − = − − = 。 219
（14）令t=Vx+1,则x=t-1，于是['e2 dx=2" etdt= te"2-""e"dt=e.12= n e(1+ V2dxde-r(15)=-In(e**+V+e-*)Vite-2r1+e2xl+vi+e= In(/1+e?-1)+In(V2+1)-1。（16）令x=sint，则dxdt_22tancos?t3(1-x2)2dt1+tx-1则(17) 令t=于是dx(1-t)2x+11-21dx=(1-dt =2+2t+3(1-n)++1+4h(1-1)+=-8ln210-3注：本题也可令t=x+1，得到)d=(-2d=-8In2。44x-11V2元1 d(x-x-l)x+1(18)dxarctanx+22Y4+1V2xlodx-=1n2+dx(19) In(x- ++Vi+x1+3/1+x/1+3Y(20)dx2x-x2dx2x-x d(2x-x)dx-V2x-x12x2rdxV-fdt-2V2x-x++1-(x-n)220
（14）令 2 t x = +1，则x = t −1，于是 1 2 2 2 1 2 2 2 2t 0 1 1 1 e 2 x t t dx e tdt te e dt + = = − ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 2 ( 2 ) 2 2 = − e e − 。 （15） 1 1 2 1 0 0 2 2 0 (1 2) ln( 1 e ) ln 1 e 1 e 1 1 e x x x x x dx de e e − − − − + = − = − + + = 2 + + + ∫ ∫ + ln( 1 1) ln( 2 1) 1 2 = + e − + + − 。 （16） 令 x = sin t，则 1 2 6 6 1 0 2 6 2 2 3 2 2 tan 3 (1 ) cos 3 dx dt t x t π π π − − = = = − ∫ ∫ 。 （17）令 1 1 x t x − = + ，则 2 1 , 1 (1 t x dx t t 2 ) + dt = = − − ，于是 4 4 1 0 2 0 1 1 2 1 (1 ) x t dx dt x t − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + − ∫ ∫ 0 2 2 1 4 1 2 2 3 1 (1 ) t t d t t − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + − + ⎝ ⎠ − − ∫ t 0 1 1 1 3 2 2 3 4ln(1 ) 3 1 t t t t t − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + + − + = − ⎝ ⎠ − 17 8ln 2 3 。 注：本题也可令t = x +1，得到 8ln 2 3 ( 2) 17 1 1 2 1 4 4 1 0 4 = − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∫ ∫ dt t t dx x x 。 （18） 2 1 2 1 1 1 0 0 4 1 2 0 1 ( ) 1 1 arctan 1 ( ) 2 2 2 x d x x x dx x x x x 2 4 π − − + − − = = + − + ∫ ∫ = 。 （19） 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 ln( 1 ) ln 1 1 1 3 dx dx x x x x x − − − − + = − = − + + = + + + ∫ ∫ 。 （20） 2 1 1 0 0 2 2 2 x x x dx dx x x x = − − ∫ ∫ 2 2 1 1 1 0 0 2 2 0 2 (2 ) 2 2 2 x x d x x dx dx 2 x x x x 2x − − = − − + − − ∫ ∫ ∫ − x 0 1 2 2 1 1 0 0 2 1 2 2 2 1 ( 1) dx t dt x x x − = − − − − + − − ∫ ∫ 220