复旦大学：《数学分析》精品课程教学资源（习题全解）第八章 反常积分 8.2 反常积分的收敛判别法

习题8.2反常积分的收敛判别法1.(1）证明比较判别法（定理8.2.2)；(2）举例说明，当比较判别法的极限形式中1=0或+时，。(x)dx和。(x)dx的敛散性可以产生各种不同的的情况。解（1)定理8.2.2(比较判别法）设在[a,+0)上恒有0≤f(x)≤Kp(x)，其中是正常数。则当[0(x)dx收敛时[f(x)dx也收敛；当[f(x)dx发散时[o(x)dx也发散。证当[tp(x)dx收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，V6>0, 34o ≥a, VA,A≥A: [o(x)a。于是 (x)d≤ K0(x)d<6,所以[(x)dx也收敛；当["f(x)dx发散时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，38o >0, VA ≥a, 3A,A'zAo: [A f(x)dx≥K8 。于是[0()≥(≥80所以[to(x)dx也发散。(2) 设在[a,+8)上有(t)≥0,0()≥0,且lim=0。则当(n)d0 (p(x)发散时，Jtp(x)dx也发散；但当Jtf(x)dx收敛时，Jtp(x)dx可能收敛，278

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l = 0 或 时， 和 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 + ∞ ∫ +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 解 （1）定理 8.2.2（比较判别法） 设在[ , a + ∞)上恒有0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x)， 其中 K 是正常数。则 当∫ 收敛时 也收敛； +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 当∫ 发散时 也发散。 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a ϕ(x)dx 证 当∫a +∞ ϕ(x)dx 收敛时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理， ∀ε > 0 ，∃A0 ≥ a， 0 ∀A, A′ ≥ A ： K x dx A A ε ∫ ϕ < ′ ( ) 。 于是 ∫ ≤ A′ A f (x)dx ϕ < ε ∫ A′ A K (x)dx ， 所以∫ 也收敛； +∞ a f (x)dx 当∫ 发散时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理， +∞ a f (x)dx ∃ε 0 > 0，∀A0 ≥ a， 0 ∃A, A′ ≥ A ： f x dx Kε A A∫ ≥ ′ ( ) 。 于是 ∫ ≥ A′ A ϕ(x)dx 0 ( ) 1 ≥ ε ∫ A′ A f x dx K ， 所以∫ 也发散。 +∞ a ϕ(x)dx （2）设在[ , a + ∞)上有 f (x) ≥ 0,ϕ(x) ≥ 0，且 0 ( ) ( ) lim = →+∞ x f x x ϕ 。则当 发散时，∫ 也发散；但当 收敛时，∫ 可能收敛， ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx 278

也可能发散。，Q()=(0<p<2),则血-0。显然有例如f(x)=-tpp(x)+f(x)dx收敛，而对于1p(x)dx，则当1<p<2时收敛，当0<p≤1时发散。设在[a,+8) 上有 1()≥0, (1)≥0 ,且 Jim (=+o0 。则当+00((x)[*(x)dx收敛时，+o(x)dx也收敛；但当]tf(x)dx发散时，[t0(x)dx可能发散，也可能收敛。11)，则 lim()=+0。显然有例如f(x)=r, 0(x)=-(p>++0 (p(x)h2J"f(x)dx发散，而对于to(x)dx，则当。<p≤1时发散，当p>1时收敛。2.证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。证定理8.2.3(Cauchy判别法）设在[a,+o)c(0,+co)上恒有f(x)≥0，K是正常数。(1)若f(x)，且p>1，则(x)d收敛；K(2)若f(x)≥，且p≤1，则(f(x)dx发散。XP推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[a,+o)c(0,+)上恒有f(x)≥0，且lim xP f(x)= l ,则(1)若0≤1<+，且p>1，则f(x)dx收敛；279

也可能发散。 例如 2 1 ( ) x f x = ， (0 2) 1 ( ) = < p < x x p ϕ ，则 0 ( ) ( ) lim = →+∞ x f x x ϕ 。显然有 ∫ +∞ 1 f (x)dx收敛，而对于∫1 +∞ ϕ(x)dx ，则当1 < p < 2时收敛，当0 < p ≤ 1时 发散。 设 在 [ , a + ∞) 上 有 f (x) ≥ 0,ϕ(x) ≥ 0 ， 且 = +∞ →+∞ ( ) ( ) lim x f x x ϕ 。则当 收敛时，∫ 也收敛；但当 发散时，∫ 可能发散，也可能收敛。 ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx 例如 x f x 1 ( ) = ， ) 2 1 ( 1 ( ) = p > x x p ϕ ，则 = +∞ →+∞ ( ) ( ) lim x f x x ϕ 。显然有 ∫ +∞ 1 f (x)dx发散，而对于∫1 +∞ ϕ(x)dx ，则当 1 2 1 < p ≤ 时发散，当 时收 敛。 p > 1 ⒉ 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3）。 证 定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[ , a + ∞) ⊂ ( , 0 + ∞)上恒有 f x( ) ≥ 0， K 是正常数。 ⑴ 若 f x K x p ( ) ≤ ，且 p > 1，则 收敛； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 若 f x K x p ( ) ≥ ，且 p ≤ 1，则 发散。 ∫ +∞ a f (x)dx 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在 [ , a + ∞) ⊂ + ( , 0 ∞) 上恒有 f x( ) ≥ 0，且 lim ( ) x p x f x l →+∞ = ， 则 ⑴ 若0 ≤ l < +∞ ，且 p > 1，则 收敛； ∫ +∞ a f (x)dx 279

(2)若0<1≤+00，且p≤1，则(f(x)dx发散。证直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式)，将函数p(x)取为一xp3.讨论下列非负函数反常积分的敛散性：arctanx1dx(2) Ji(1) [t=dx;1+ x3x3 -e-2x + In x +1xq1"I+xpdr(pqeR*)(4) J,(3) J。 1+×/sin xdx解（1）当x→+∞时，13V3-e-2x +Inx+121dx收敛。所以积分Jx3-e-2* +Inx+1(2）当x→+8时，arctanx元1+x32x3+ arctanxdx收敛。所以积分「1+x（3）因为当x≥0时有1 + xsin x+dx发散。而积分-dx发散，所以积分。1+x sinx1± x（4）当x→+8时，x91xp-91+xp280

⑵ 若0 < l ≤ +∞ ，且 p ≤ 1，则 发散。 ∫ +∞ a f (x)dx 证 直接应用定理 8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极 限形式），将函数ϕ(x)取为 p x 1 。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln ; ⑵ ∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x ; ⑶ 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | ; ⑷ x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ （ ）. + p,q ∈ R 解 （1）当 x → +∞时， ln 1 1 3 2 − + + − x e x x ～ 2 3 1 x ， 所以积分 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln 收敛。 （2）当 x → +∞时， 3 1 arctan x x + ～ 3 2x π ， 所以积分∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x 收敛。 （3）因为当 x ≥ 0时有 x x + x ≥ + 1 1 1 sin 1 ， 而积分 dx x ∫ +∞ + 0 1 1 发散，所以积分 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | 发散。 （4）当 x → +∞时， p q x x 1+ ～ p q x − 1 ， 280

所以在p->1时，积分[”一dx收敛，在其余情况下积分X9dx发散。J1+xp4．证明：对非负函数f(x)，(cpv)[f(x)dx收敛与[tf(x)dx收敛是等价的。证显然，由[f(x)dx收敛可推出(cpv)「f(x)dx收敛，现证明当(x)≥0时可由(cpv)[f(x)dx收敛推出[f(x)dx收敛。由于(cpv)J.f(x)dx收敛，可知极限lim F(A)= lim [A, f(x)dx→存在而且有限，由Cauchy收敛原理V6>0, 3A >0,VA,A'≥A0: |F(A)-F(A)<8,于是VA,A'≥A与VB,B≥Ao，成立[f(x)dx≤|F(A)-F(4)]< 与[-βf(x)dx≤|F(B)-F(B)<6,这说明积分+f(x)dx与1f(x)dx都收敛，所以积分[f(x)dx收敛。5.讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同):(1) Jm mln sin xdx; (2) Jr"sinxd（peR*) ;Inxxp+sinxaretanxax (peR*);(4) J"sin(x)dx;(3)（xP[B(sinxd（pe(1)和g,(x)分别是m和n次多项式,q,(x)(5)q,(x)在xe[a,+0)范围无零点。)Inlnx=0,解（1)因为F(4)=[,sinxdx有界，Inlnx在[2,+o0)单调，且limIn.x+o0Inx由Dirichlet判别法，积分nlnsinxa收敛；Inx281

所以在 p − q > 1时，积分 x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ 收敛，在其余情况下积分 x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ 发散。 ⒋ 证明：对非负函数 ， 收敛与 收敛是等 价的。 f x( ) (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ 证 显然，由 收敛可推出 收敛，现证明当 时可由 收敛推出 收敛。 f x( )dx −∞ +∞ ∫ (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f (x) ≥ 0 (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ 由于(cpv) f x( )dx 收敛，可知极限 −∞ +∞ ∫ A→+∞ lim F(A) = A→+∞ lim ∫− A A f (x)dx 存在而且有限，由 Cauchy 收敛原理， ∀ε > 0，∃A0 > 0， 0 ∀A, A′ ≥ A ： F(A) − F(A') < ε ， 于是∀A, A′ ≥ A0与∀B, B'≥ A0 ，成立 ∫ ≤ A′ A f (x)dx F(A) − F(A') < ε 与 ∫ ≤ − − B B f x dx ' ( ) F(B) − F(B') < ε ， 这说明积分∫0 +∞ f (x)dx与∫− 0 ∞ f (x)dx 都收敛，所以积分 −∞ f x( )dx 收敛。 +∞ ∫ ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散， 下同）： ⑴ ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ ; ⑵ sin x x dx 1 p +∞ ∫ （ ）; + p ∈ R ⑶ ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p （ ）; + p ∈ R ⑷ sin(x )dx 2 0 +∞ ∫ ; ⑸ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) （ pm (x)和qn (x)分别是m和n次多项式， q (x) n 在 x ∈[a,+∞)范围无零点。） 解（1）因为 = ∫ 有界， A F A xdx 2 ( ) sin x x ln ln ln 在[2,+∞) 单调，且 0 ln ln ln lim = →+∞ x x x ， 由 Dirichlet 判别法，积分 ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ 收敛； 281

1In In xInInxInlnx由子-cos2x)，而积分sin.sinInxInx2Inxn.nnnInlnX sin xdx 发os2xdx收敛，所以积分『发散nxIn[lnlnxsinxadx条件收敛。散，即积分Inxsin x而一d收敛，所以当p>1时积分（2）当p>1时，xPxP+sSinxdx绝对收敛；xp当0<p≤1时，因为F(A)=J,sinxdx有界，一在[,+o0)单调，且=0,由Dirichlet 判别法，积分[sinax收敛；但因为当0<p≤1lim00Y时积分sinxla发散，所以当o<p≤1时积分"sind条件收敛。（3）当p>1时，[sinxarctan元，而[一ax收敛，所以当p>1时2xxp"sinxarctanxax绝对收敛；积分xP当0<p≤1时，因为F(4)=J’sinxdx有界，arctanx在[,+o)单调，且aretanx=0，由Dirichlet判别法，积分tsinxarctanxax收敛；但因limxPxP为当0<p≤1时积分aretan*jinxlax发散，所以当o<p1时积分YP+sinxarctanxdx条件收敛。xp+sindt条件收敛，可知+sin!dt，由于(4)令t=x2，Jt"sin(x2)dx= J2/t2Vt积分sin(x2)dx条件收敛。282

由于 x ≥ x x sin ln ln ln x x x 2 sin ln ln ln (1 cos 2 ) ln ln ln 2 1 x x x = − ，而积分 ∫ +∞ 2 ln ln ln dx x x 发散， ∫ +∞ 2 cos 2 ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分 ∫ +∞ 2 sin ln ln ln x dx x x 发 散，即积分 ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ 条件收敛。 （2）当 p > 1时， p p x x sin x 1 ≤ ，而∫ +∞ 1 1 dx x p 收敛，所以当 p > 1时积分 sin x x dx 1 p +∞ ∫ 绝对收敛； 当 0 < p ≤ 1时，因为 = ∫ 有界， A F A xdx 1 ( ) sin p x 1 在[1,+∞) 单调，且 0 1 lim = →+∞ p x x ，由 Dirichlet 判别法，积分 sin x x dx 1 p +∞ ∫ 收敛；但因为当 时积分 0 < p ≤ 1 ∫ +∞ 1 | sin | dx x x p 发散，所以当0 < p ≤ 1时积分 sin x x dx 1 p +∞ ∫ 条件收敛。 （3）当 p > 1时， ≤ p x sin x arctan x p 2x π ，而∫ +∞ 1 1 dx x p 收敛，所以当 时 积分 p > 1 ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p 绝对收敛； 当0 < p ≤ 1时，因为 = ∫ 有界， A F A xdx 1 ( ) sin p x arctan x 在[1,+∞)单调，且 0 arctan lim = →+∞ p x x x ，由 Dirichlet 判别法，积分∫ +∞ 1 sin arctan dx x x x p 收敛；但因 为当0 < p ≤ 1时积分∫ +∞ 1 sin arctan x dx x x p 发散，所以当0 < p ≤ 1时积分 ∫ +∞ 1 sin arctan dx x x x p 条件收敛。 （4）令t = x 2，∫ = +∞ 0 2 sin(x )dx ∫ +∞ 0 2 sin dt t t ，由于∫ +∞ 0 2 sin dt t t 条件收敛，可知 积分 0 sin(x 2 )dx 条件收敛。 +∞ ∫ 282