第七章定积分习题7.1定积分的概念和可积条件1.用定义计算下列定积分：(2) J’a*dx (a>0)ax + b) dx ;(1)21n-l<1,及 . =解（1）取划分：0-(i=1,2,.,n),则?n11+6)！号(+})+b→2(al只+b(n→0)，即于是Ax, =nn2n2i=lu(ax + b)dx =+b2.2n-1<1,及 5=(2)取划分：0。-(i=1,2,.,n),则Ax,Annn11二q"-1a"(1-a)因为于是>lna(n→), a"→1(n→),2ann(l-a")n1α"(1-a)a-1-1之即所以ar-nInai=ln(1-a")a-1I'a' dx =Ina2．证明，若对[a,b]的任意划分和任意5,e[x-1,x,]，极限lim≥f(5,)Ax,都存在，则f(x)必是[a,bl上的有界函数。证用反证法。设lim之f(5)Ax,=1，则取ε=1,38>0，对任意的划分P就有与任意e[x-,x]，只要=max(Ax)<8，Z f(5,)Ax,/<[|+1 。取定了划分后，n与Ax.(i=1,2...n)也就确定，如果f(x)在[a,bl上无界，则必定存在小区间[xi-,x]，f(x)在[x-1,]上无界。取定203
第七章 定积分 习 题 7.1 定积分的概念和可积条件 1. 用定义计算下列定积分： ⑴ ∫ ( ) ax + b dx 0 1 ; ⑵ a dx x 0 1 ∫ ( a > 0 ). 解 （1）取划分： 1 1 2 1 0 < − < < < < n n n n " ，及 (i 1,2, , n) n i ξ i = = " ，则 n xi 1 ∆ = ，于是 ( ) 2 ) 1 (1 2 1 ( ) 1 ∑ + = + + → + → ∞ = b n a b n a n b n i a n i ，即 b a ax + b dx = + ∫ 2 ( ) 1 0 。 （2）取划分： 1 1 2 1 0 < − < < < < n n n n " ，及 (i 1,2, , n) n i ξ i = = " ，则 n xi 1 ∆ = ， 于是 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 n n n i n i n a a a n a − − ∑ = = 。因为 ln ( ) 1 1 1 → → ∞ − a n n a n ， 1 ( ) 1 a n → n → ∞ ， 所以 a a n a a a n a n n n i n i ln 1 (1 ) 1 (1 ) 1 1 1 − → − − ∑ = = ， 即 a a a dx x ln 1 1 0 − = ∫ 。 ⒉ 证明，若对[ , a b]的任意划分和任意ξ i ∈[ , x x i−1 i]，极限 都存在，则 必是[ , 上的有界函数。 ∑= → ∆ n i i i f x 1 0 lim (ξ ) λ f (x) a b] 证 用反证法。设 ∑= → ∆ n i i i f x 1 0 lim (ξ ) λ = I ，则取ε = 1,∃δ > 0，对任意的划分 与任意 P 1 [ , i i ]i ξ x x ∈ − ，只要λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x ， 就有 ( ) 1 1 ∑ ∆ < + = f x I n i ξ i i 。 取定了划分后，n与 ( 1, 2, i ∆ = x i "n) ] 也就确定，如果 在[ , 上无 界，则必定存在小区间 f (x) a b] 1 [ , i i x x − ， f (x)在 1 [ , i i x x ] − 上无界。取定 203
5，55,5，必可取到5，使(5,)Ax+1不成立，从而产生矛盾，所以f(x)必是[a,b]上的有界函数。3．证明Darboux定理的后半部分：对任意有界函数f(x)，恒有lim S(P) = 1 证V>0，因为I是S的上确界，所以S(P)eS，使得0≤1-S(P)<号。2°设划分P':a=x<x<x<<x,=b，M,m是f(x)的上、下确界，取t8 = min xi, r,,Axp- (p-1(M - m)对任意一个满足=max(Ar,)<8的划分P:a=xo<xi<x <...<x, =b,记与其相应的小和为S(P)，现将P,P的分点合在一起组成新的划分P"，则由引理7.1.1，S(P)-S(P")≤0。下面来估计S(P")-S(P)：(1）若在(xi-1sx,)中没有P'的分点，则S(P"),S(P)中的相应项相同，它们的差为零；（2）若在(xi-1,x)中含有P"的分点，由于两种划分的端点重合，所以这样的区间至多只有p-1个。由的取法，可知Ax, ≤8≤Ax,i=12,,n, j =1,2,.,p,所以在(x-1,x,)中只有一个新插入的分点x，这时S(P"),S(P)中的相应项的差为[m'(x, -xi--)+m;(x,-x)]-m,(x, -x-1) ≤(M -m)(x, -X-1) <(M -m),204
1 1 1 , , , , , i i n ξ ξ ξ ξ " − + " ，必可取到ξ i，使 ( ) 1 1 ∑ ∆ < + = f x I n i ξ i i 不成立，从 而产生矛盾，所以 f (x)必是[ , a b]上的有界函数。 ⒊ 证明 Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数 f (x)，恒有 lim ( ) λ→ = 0 S P l 。 证 ∀ε > 0，因为l是S的上确界，所以 ∃S(P′)∈S，使得 2 0 ( ) ε ≤ l − S P′ < 。 设划分P′ : a = x0 ′ < x1 ′ < x2 ′ < " < x′ p = b，M ,m是 f (x)的上、下确界，取 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∆ ′ ∆ ′ ∆ ′ 2( 1)( ) min , , , , 1 2 p M m x x x p ε δ " ， 对任意一个满足λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 的划分 P a x x x x b : = 0 < 1 < 2 < " < n = ， 记与其相应的小和为 S(P) ，现将 P′, P 的分点合在一起组成新的划分 P′′，则由引理 7.1.1，S(P′) − S(P′′) ≤ 0。 下面来估计S(P′′) − S(P)： （1）若在(xi−1 , xi)中没有P′的分点，则S(P′′), S(P)中的相应项相同， 它们的差为零； （2）若在(xi−1 , xi)中含有P′的分点，由于两种划分的端点重合，所 以这样的区间至多只有 p −1个。由δ 的取法，可知 ∆xi ≤ δ ≤ ∆x′ j , i = 1,2,", n, j = 1,2,", p， 所以在(xi−1 , xi)中只有一个新插入的分点 j x′ ，这时S(P′′), S(P)中的相 应项的差为 [ ( ) ( )] ( ) −1 − − −1 ′ ′ − + ′′ − ′ i j i i i j i i i m x x m x x m x x ( )( ) ≤ − i − i−1 M m x x < (M − m)δ ， 204
2从而 0≤S(P")-S(P)<(p-1)(M -m)≤2综合上面的结论，就有0≤ / -S(P)=[ -S(P")]+[S(P") - S(P")]+[S(P")- S(P)]< +0 +,=822即lim S(P) = l 。04.证明定理7.1.3。证必要性是显然的，下面证充分性。U设Vs>0，存在一种划分p'，使得相应的振幅满足o'Ar'<3.6即(P)-S(P)。取=minAxi,Ar2.,Ar,对任意-33(p-1)(M -m)个满足=max(Ax,)<的划分P:a= xo <x <x <...<x,=b,现将P',P的分点合在一起组成新的划分P"，则由Darboux定理的证明过程，可得0 ≤S(P) - S(P)=[S(P)- S(P"))+[S(P")-S(P))+[S(P')- S(P']+[S(P") - S(P"))+[S(P") - S(P)]<号+0+号+0+号=6,33.3由定理7.1.1，可知f(x)在[a,bl上可积。5.讨论下列函数在[0,1]的可积性：[-[], x0,[-1，x为有理数,(1) f(x) =(2) f(x) =x为无理数;[0,x=0,[1,[0，x为有理数,[sgn(sin), x0,(3) f(x) =(4) f(x) =[o,x，x为无理数;X=0.205
从而 2 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ε ≤ S P′′ − S P < p − M − m δ ≤ 。 综合上面的结论，就有 0 ≤ l − S(P) = [l − S(P′)]+[S(P′) − S(P′′)]+[S(P′′) − S(P)] ε ε ε < + + = 2 0 2 ， 即 S P = l → lim ( ) λ 0 。 ⒋ 证明定理 7.1.3。 证 必要性是显然的，下面证充分性。 设 ∀ε > 0，存在一种划分P′，使得相应的振幅满足 1 3 ε ∑ω′∆ ′ < = p i i i x ， 即 3 ( ) ( ) ε S P′ − S P′ < 。取 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∆ ′ ∆ ′ ∆ ′ 3( 1)( ) min , , , , 1 2 p M m x x x p ε δ " ，对任意一 个满足λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 的划分 P : a = x0 < x1 < x2 < " < xn = b， 现将P′, P的分点合在一起组成新的划分P′′，则由 Darboux 定理的证明 过程，可得 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P ′ − ′ + ′ − ′′ + ′′ − ≤ − = − ′′ + ′′ − ′ + ε ε ε ε < + + + + = 3 0 3 0 3 ， 由定理 7.1.1，可知 f (x)在[a,b]上可积。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性： ⑴ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = 0, 0; [ ], 0, 1 1 x x x x ⑵ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧− = 1, ; 1, , 为无理数 为有理数 x x ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = , ; 0, , 为无理数 为有理数 x x x ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0. sgn(sin ), 0, x x x π 205
...与解：（1）0≤f(x)<1，且f(x)在[0,1]上的不连续点为x=23"nx=0。Vs>0，取定m>2，(x)在区间[二,1}上只有有限个不连续点，-所以f(x)在[一,1]上可积，即存在[一,1]的一个划分P，使得1,A,号，将P的分点和 0合在一起，作为[0,1]的划分P"，则2=l416EZo,Ax, =Zo,Ax, +0(At <三22i=l-由定理7.1.3，f(x)在[0,1]上可积。（2）因为对[0,1]的任意划分P，总有の,=2，所以Zo,Ax,=2,由i=l定理7.1.2可知f(x)在[0,11上不可积。(3）因为对[0,1]的任意划分P，f(x)在[xi-1,x,]上的振幅为x，于是-之(g-x±)≥*-(g,-x)-之(α, -)Zo,Ar =)2.1=l21ali=1i=l-x")-!(x,22所以f(x)在[0,1]上不可积。与(4）=-1≤f(x)≤1，且f(x)在[0,11上的不连续点为x=1,2'3'x=0。Vs>0，取定m>三，则()在[二,1上只有有限个不连续点,amC所以f(x)在[一,1]上可积，即存在[二,1]的划分P，使得之o,Ax,<2m=l将P的分点与0合在一起作为[0,1]的划分P，则Zo(Ax/ -Zo,Ar +a/Ari<号+号=62i=l所以f(x)在[0,1]上可积。6.设f(x)在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足lf(x)≥m>0（m为常数），206
解：（1）0 ( ≤ f x) <1，且 f (x)在[0,1]上的不连续点为 1 1 1 , , , , 2 3 x n = " "与 x = 0。∀ε > 0，取定 ε 2 m > ， f (x)在区间 ,1] 1 [ m 上只有有限个不连续点， 所以 f (x)在 ,1] 1 [ m 上可积，即存在 ,1] 1 [ m 的一个划分P ，使得 1 2 ε ∑ω ∆ < = n i i i x ，将P 的分点和 0 合在一起，作为[0,1]的划分P '，则 ε ε ε ∑ω′∆ ′ = ∑ω ∆ +ω′∆ ′ < + = = + = 2 2 1 1 1 1 1 x x x n i i i n i i i ， 由定理 7.1.3， f (x)在[0,1]上可积。 （2）因为对[0,1]的任意划分P ，总有 ωi = 2 ，所以 2，由 1 ∑ ∆ = = n i i i ω x 定理 7.1.2 可知 f (x)在[0,1]上不可积。 （3）因为对[0,1]的任意划分P ， f (x)在[xi−1 , xi]上的振幅为 xi，于是 ∑ ∑ ∑ ∑= − = − − = − = − = − + ∆ = − ≥ n i i i n i i i i i n i i i i n i i i x x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ω ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 0 2 = xn − x = ， 所以 f (x)在[0,1]上不可积。 （4）− ≤1 ( f x) ≤1，且 f (x)在[0,1]上的不连续点为 1 1 1 1, , , , , 2 3 x n = " "与 x = 0。∀ > ε 0，取定 ε 4 m > ，则 f (x)在 ,1] 1 [ m 上只有有限个不连续点， 所以 f (x)在 ,1] 1 [ m 上可积，即存在 ,1] 1 [ m 的划分P ，使得 1 2 ε ∑ω ∆ < = n i i i x 。 将P 的分点与 0 合在一起作为[0,1]的划分P '，则 ε ε ε ∑ω′∆ ′ = ∑ω ∆ +ω′∆ ′ < + = = + = 2 2 1 1 1 1 1 x x x n i i i n i i i ， 所以 f (x)在[0,1]上可积。 6. 设 f (x)在[ , a b]上可积，且在[ , a b]上满足| f (x) |≥ m > 0 （m为常数）， 206
证明六在[a,b]上也可积。f(x)证任取[a,b]的一个划分：a=x<x<<xn-<x=b，则1supsup(f(x)- f(x")=0(f)psx(f(x)f(x"))mmx-sxrs2由于f(x)在[a,b]上可积，>0,3>0，当=max(Ax,)<时，之o,(S)Ax,<ms，从而之,()Ax,<6，所以一在[a,b]上可积。f(x)7.有界函数f(x)在[a,b]上的不连续点为(x,3m=，且limx,存在，证明f(x)在[a,b]上可积。证不妨设limx,=c，且ce(a,b)，并设|f(x)≤M。Vs>0，取C(2M-c-a,b-c]，则 3N>0,当n>N时，1,-d<6。8=mir由于f(x)在[a,c-]和[c+3,b]上只有有限个不连续点，所以f(x)在[a,c-8]和[c+s,b]上都可积，即存在[a,c-8]的一个划分p()和[c+8,b]的一个划分p(2)，使得"x",(2(2)<。将p)、3p(2)的分点合并在一起组成[a,b]的一个划分P，则ay Zopap+ apasp+a+-.1=1所以f(x)在[a,b]上可积。c=a或c=b的情况可类似证明。8.设f(x)是区间[a,b]上的有界函数。证明f(x)在[a,b]上可积的充分必要条件是对任意给定的ε>0与>0，存在划分P，使得振幅の,≥的那些小区间[xi-,x,]的长度之和Ax,<α（即振幅不能任意小的那些小207
证明 ( ) 1 f x 在[ , a b]上也可积。 证 任取[ , a b]的一个划分：a = x0 < x1 < " < xn−1 < xn = b ，则 ( ) 1 sup ( ( ) ( )) 1 ( ) 1 ( ) 1 ) sup 1 ( 2 , 2 , 1 1 f m f x f x f f x f x m i x x x x x x x x i i i i i ω ≤ ′ − ′′ = ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ − ′ = − ≤ ′ ′′≤ − ≤ ′ ′′≤ ， 由于 f x( ) 在 [ , a b]上可积， ∀ε > 0,∃δ > 0 ，当 λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 时， ω 2 ε ，从而 1 ( f ) x m n i ∑ i ∆ i < = ∑ω ∆ < ε = n i i i x f 1 ) 1 ( ，所以 ( ) 1 f x 在[ , a b]上可积。 7. 有界函数 f (x)在[ , a b]上的不连续点为{ } xn n∞ =1，且lim 存在，证明 n n x →∞ f x( )在[ , a b]上可积。 证 不妨设 lim ，且 n n x →∞ = c c ∈ (a,b) ，并设 f (x) ≤ M 。 ∀ε > 0 ，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = c − a b − c M , , 12 min ε δ ，则 ∃N > 0，当n > N 时， xn − c < δ 。 由于 f (x)在[a, c − δ ]和[c + δ ,b]上只有有限个不连续点，所以 f (x) 在[a, c − δ ]和[c + δ ,b]上都可积，即存在[a, c − δ ]的一个划分 (1) P 和 [c + δ ,b]的一个划分 (2) P ，使得 3 , 3 (1) (1) (2) (2) ε ω ε ∑ω ∆ < ∑ ∆ < i i i i i i x x 。将 (1) P 、 (2) P 的分点合并在一起组成[ , a b]的一个划分P ，则 1 n i i i ω x = ∑ ∆ ≤ ε ε ε ε ∑ω ∆ + ∑ω ∆ + δ < + + = 3 3 3 4 (1) (1) (2) (2) x x M i i i i i i ， 所以 f x( )在[ , a b]上可积。 c = a 或c = b的情况可类似证明。 8．设 f (x)是区间[a,b]上的有界函数。证明 f (x)在[a,b]上可积的充分 必要条件是对任意给定的ε > 0与σ > 0，存在划分P ，使得振幅ω ≥ ε i 的 那些小区间[xi−1 , xi]的长度之和 ∑≥ ∆ < ω ε σ i i x （即振幅不能任意小的那些小 207