习题6.2#换元积分法和分部积分法1.求下列不定积分：dxdx(1)(2)1-2x24x-3dx(3)(4) Je3x+2 dx ;(5) [(2* + 3+)2dx ;(6)「2+5r2dx;(8) [ tan'° xsec? xdx;(7) [sin xdx;(9) J sin 5x cos 3xdx ;(10) J cos2 5xdx ;(2 sin Vx(2x + 4)dx() dx:(x2 + 4x +5)2 Vxxdx(13)dx;(14)4/1-2x3sinxdxsinx+cosx(15)dx(16)(arcsin x)2 /1-x2/sinx-cosxdx1-x(17) J(18)dxx2-2x+2/9-4x2xsinxcosx(19)[tan /1+x?dx;(20)dVi+x21 + sint xdx1 d(4x-3) _|in|4x-3+C 。解（1）4x-34J4x-34dx d(V/2x)1arcsin(V2x)+C 。(2)V2V1-2x2V21-2x2dxler-rdee=-ln(3)+(o2x-1[e*+1 [e3x+2 d(3x + 2) =1 ,3x+2 +C (4)「e3+2 dx=}3172
习 题 6.2 换元积分法和分部积分法 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 3 x − ∫ ; ⑵ dx 1 2x 2 − ∫ ; ⑶ dx x x e e − − ∫ ; ⑷ e3 2 x dx + ∫ ; ⑸ ( ) 2 3 x x 2 ∫ + dx ; ⑹ 1 2 5 2 + ∫ x dx ; ⑺ sin5 ∫ xdx ; ⑻ ∫ x xdx 10 2 tan sec ; ⑼ ∫sin 5x x cos3 dx ; ⑽ cos2 ∫ 5xdx ; ⑾ ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ ; ⑿ sin x x ∫ dx ; ⒀ x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ ; ⒁ ∫ − dx 1 sin x 1 ; ⒂ sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 ; ⒃ dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ ; ⒄ dx x x 2 − 2 2 + ∫ ; ⒅ 1 9 4 2 − − ∫ x x dx ; ⒆ ∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 ; ⒇ sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ . 解 （1） dx 4 3 x − ∫ = 1 (4 3) 1 ln 4 3 4 4 3 4 d x x C x − = − + − ∫ 。 （2） dx 1 2x 2 − ∫ = 2 1 ( 2 ) 1 arcsin( 2 ) 2 2 1 2 d x x C x = + − ∫ 。 （3） dx x x e − e− ∫ = 2 e 1 e 1 ln e 1 2 e 1 x x x x d C − = + − + ∫ 。 （4）∫ e3 2 x+ dx = 1 1 3 2 3 2 e (3 2) e 3 3 x x d x C + + + = + ∫ 。 172
21(5)(2*+3+) dx=[(22*+2.6*+32*)dx6x.32x+C2ln2In62ln35(6)「2+5x2 dr=-d(V5x)=arctanx+C5J2+5xV10V2(7) [ sin' xdx=[(1-cos"x) sin xdx = -[(1-2cos’ x+cos* x)d cosx1cos'x+C二cos3x-=-cosx+-35Itan" x+C。(8）「tan'0xsec2xdx=tan"°xdtanx=111(9) J sin 5x cos3xdx =[(sin 8x+sin 2x)dx = -cos8x-cos2x+C。164(10) [cos 5xdx=[(+cos10x)dx=+sin10x+C。220(11) [,(2x+4)dx_=[d(x* +4x+5) 1+C(x2 +4x+ 5)2J (x2+4x+5)2x2+4x+5sin/x(12)dx=2sin/xd/x=-2cosx+C。Vxx-dxrd(1-2x3)(13)(1-2x34/1-2x3964/1-2x311d(_")(X_元)+C(14)dx=cotC24-sinxX元2sin?2sin x+ cosxr d(sinx-cos x)(15)dx(sinx-cosx)3+C/sinx-cosx/sinx-cosxdr1darcsinx(16)+C(arcsin x)2/1-)(arcsinx)x:arcsinxdxd(x-1)(17)arctan(x-1)+C。-2x+2J 1+(x-1)21- x1 rd(9-4x2)d(2x)-(18)dx/9-4x2V9-4x28/9-4x22+V9-4x2 +C。-arcsin=x+234{tan i+x?(19)dx=JtanV1+dv1+x=-In cosV1+x/1+x173
（5）∫ ( ) 2 3 x x + 2 dx = 2 2 1 2 2 1 2 (2 2 6 3 ) 2 6 3 2ln 2 ln 6 2ln 3 x x x x x x + ⋅ + dx = + + +C ∫ 。 （6） 1 2 5 2 + ∫ x dx = 2 1 1 1 5 ( 5 ) arctan 5 1 2 5 0 2 d x x x = +C + ∫ 。 （7）∫sin5 xdx = ∫ ∫ (1− cos x) sin xdx = − (1− 2cos x + cos x)d cos x 2 2 2 4 2 1 3 5 cos cos cos 3 5 = − x + x x − +C 。 （8） = ∫ x xdx 10 2 tan sec 10 1 11 tan tan tan 11 xd x = x +C ∫ 。 （9）∫sin 5x x cos3 dx = 1 1 1 (sin 8 sin 2 ) cos8 cos 2 2 16 4 x + x dx = − x − x + C ∫ 。 （10）∫ cos2 5xdx = 1 1 (1 cos10 ) sin10 2 2 20 x + = x dx + x C ∫ + 。 （11） ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ = 2 2 2 2 ( 4 5) 1 ( 4 5) 4 5 d x x C x x x x + + = − + + + + + ∫ 。 （12） sin x x ∫ dx =2 sin xd x = − + 2cos x C ∫ 。 （13） x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ = 3 3 3 4 4 3 1 (1 2 ) 2 (1 2 ) 6 9 1 2 d x x C x − − = − − − ∫ + 。 （14）∫ − dx 1 sin x 1 2 1 ( ) cot( ) 2 4 2 4 sin ( ) 2 4 x x d C x π π π = − = − − ∫ − + 。 （15） sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 = 2 3 3 (sin cos ) 3 (sin cos ) sin cos 2 d x x x x x x − = − +C − ∫ 。 （16） dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ = 2 arcsin 1 (arcsin ) arcsin d x C x x = − + ∫ 。 （17） dx x x 2 − 2 2 + ∫ = 2 ( 1) arctan( 1) 1 ( 1) d x x C x − = − + + − ∫ 。 （18） 1 9 4 2 − − ∫ x x dx = 2 2 2 1 (2 ) 1 (9 4 2 8 9 4 9 4 d x d x ) x x − + − − ∫ ∫ 。 1 2 1 2 arcsin 9 4 2 3 4 = +x − x +C 。 （19）∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 = 2 2 2 tan 1+ x d x 1+ = −ln cos 1+ x +C ∫ 。 173
[snxcos=dsin'a(20)arctan(sinx)+C。1+sin+x2J1+sintx-22.求下列不定积分：dxdx(1)(2)「V1+e2xx/1+x2[ arc tan x1+Inx(3)-dx;(4)Jdx(x lnx)2/x(1+ x)(6) J x2(x + 1)"dx;(5) [(x -1)(x +2)20 dx ;dxVx2-9(7)(8)dx;4/1+x2xdxdx(10)(9)2+a22-(11)(12)dxdx20-+0dx(13)(14) [ x2 3/1- x dx;1+~2xdxx2(15)「(16)dxx/x2-1Na?XdxVa?-x2(18)(17)dx:1+ /1- x2x415dx:(19)(20)dxx(x" +1)dxde-解（1）-In(e** + Ve-*+1)+CV1+e2x/e-2*+1=In(/1+e2x -I)-x+C。（2）当x>0时，dxV1+x?dxdx-+C;rx/1+x2μx2 /x-2 +1V1+ x-2174
（20） sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ = 2 2 4 1 sin 1 arctan(sin ) 2 1 sin 2 d x x C x = + + ∫ 。 ⒉ 求下列不定积分： ⑴ dx x 1 2 + ∫ e ; ⑵ dx x x 1 2 + ∫ ; ⑶ ∫ + dx x x x (1 ) arc tan ; ⑷ 1 2 + ∫ ln ( ln ) x x x dx . ⑸ ∫ ( ) x x − + 1 2 ( ) d 20 x ; ⑹ x x dx 2 n ( +1) ∫ ; ⑺ dx x x 4 2 1+ ∫ ; ⑻ x x dx 2 − 9 ∫ ; ⑼ dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ ; ⑽ dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 ; ⑾ x a x a dx − + ∫ ; ⑿ x x a x dx 2 − ∫ ; ⒀ dx 1 2 + x ∫ ; ⒁ x x 2 3 ∫ 1− dx ; ⒂ dx x x 2 −1 ∫ ; ⒃ x a x dx 2 2 2 − ∫ ; ⒄ a x x dx 2 2 4 − ∫ ; ⒅ dx 1 1 x 2 + − ∫ ; ⒆ ∫ − dx x x 4 3 15 ( 1) ; ⒇ ∫ + dx x x n ( 1) 1 ; 解（1） dx x 1 2 + ∫ e = 2 2 ln( e 1) e 1 x x x x de e C − − − − − = − + + + ∫ + 2 ln( 1 1) x = + e − − x +C。 （2）当 x > 0时， dx x x 1 2 + ∫ = 1 2 2 2 2 1 1 ln 1 1 dx dx x C x x x x − − − + − = − = + + ∫ ∫ + ； 174
当x<0时，也有相同结果。[retan dt artan 2 acan daean (3)1+x/x(1 +x)= arctan?/x +C。.1+Inx[d(xInx)(4)1(xlnx)edr=+C(xlnx)?xlnx(5) [(x -1)(x + 2)20 dx =[[(x + 2)2 - 3(x+2)2° jdx22(x+2)2_=(x+2)21 +C 。(6) x2(x +1)" dx=[(x+1)n+2 -2(x+1)"+1 +(x+1)"Jdx(x+1)"+3__2(x+1)+2 +1-(x+1)"+1 +C n+3n+2n+1（7）当x>0时，dx1 r(x~ +1-1)dx-2dxt/i+x?2.5 /1 + x-2/1+ x-21(1+x3)2Vi+x?x3x当x<0时，也有相同结果。注：本题也可令x=tant化简后解得。（8）当x>0时，/x2-9+3/ _d(3x-l)x-9xdxdx=ldx=11x2-9V1-9x-2/x2_9=x2-9+3arcsin+CX当x<0时，也有相同结果。注：本题也可令x=3sect化简后解得。（9）令x=sint，则175
当 x < 0时，也有相同结果。 （3）∫ + dx x x x (1 ) arc tan arctan 2 2 arctan arctan 1 x d x xd x x = = + ∫ ∫ 2 = + arctan x C 。 （4） 1 2 + ∫ ln ( ln ) x x x dx = 2 ( ln ) 1 ( ln ) ln d x x C x x x x = − + ∫ 。 （5）∫ ( ) x x − + 1 2 ( )20 dx = 21 20 [(x + − 2) 3(x d + 2) ] x ∫ 1 1 22 21 ( 2) ( 2) 22 7 = +x − x C + + 。 （6）∫ x x 2 ( +1)n dx = ∫ + − + + + + + x x x dx n n n [( 1) 2( 1) ( 1) ] 2 1 1 2 3 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) 3 2 1 n n n 1 x x x n n n + + = + − + + + + + + C + + 。 （7）当 x > 0时， dx x x 4 2 1+ ∫ = ∫ ∫ − − − − + + − = − + 2 2 2 5 2 1 ( 1 1) 2 1 1 x x dx x x dx 3 2 2 2 3 1 (1 ) 1 3 x x C x x + + = − + + ； 当 x < 0时，也有相同结果。 注：本题也可令 x = tan t 化简后解得。 （8）当 x > 0时， x x dx 2 − 9 ∫ = ∫ ∫ ∫ − − − + − = − − 2 1 2 2 2 1 9 (3 ) 3 9 9 9 x d x x xdx dx x x x 2 3 x 9 3arcsin C x = − + + ； 当 x < 0时，也有相同结果。 注：本题也可令 x = 3sect 化简后解得。 （9）令 x = sint ，则 175
dxcostdtsectdt = tant+cos3t(1-x2)Vi-x（10）令x=atant，则dxcostX-sint++g2）3aC4q?/x2+9(11)draalndx+-2ax(12）dxdx:V2ax- xdx +-dx2ax-x12ax-x2dx2ax-r dx-ajd(2ax-x)V2ax-x212ax-x-ax-a_2a2ax-x?+C12axaarcsin22ax+3a3x-a2ax-xYaarcsin22a注：本题答案也可写成-x+3a、x/2ax-x2+3a arcsin+C22a（13）令1=V2x,则x=,dx=Idt，于是1dxtdt=1-In|1+1+c=/2x-In(1+~2x)+C。1+/2x1+1（14）令1=3/1-x，则x=1-t3,dx=-3t2dt，于是[x2/-xdx=-3[(-3)dt=-3[(t3-2t+1)d1U.63(1-x)3.(1-x)3 +C 。(1-x)3710dxdr~!dx(15）「=arccos-Vx2-1x2 /1- x-211-3 $X（16）令x=asint，则x2dx=[a?sin”tdt=cos2t)dta2-r22176
dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ = 2 3 2 cos sec tan cos 1 tdt x tdt t c C t x = = + = − ∫ ∫ + 。 （10）令 x = a tan t ，则 dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 = 2 2 2 2 2 cos 1 sin t x dt t c C a a a x a = + = + ∫ + 。 （11） x a x a dx − + ∫ = 2 2 2 2 2 2 ln x a dx x a a x x a C x a − = − − + − + − ∫ 。 （12） x x a x dx 2 − ∫ = ∫ ∫ ∫ − = − − + − dx ax x ax dx ax x dx ax x x 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ − + − − = − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 ax x dx a ax x d ax x ax x dx a 2 2 3 2 2 arcsin 2 2 2 2 x a x a ax x a a ax x C a − − = − − + − − + 3 3 2 2 2 arcsin 2 2 x a x a ax x a C a + − = − − + + 。 注：本题答案也可写成 3 2 2 2 x a ax x + − − + 2 3 arcsin 2 x a C a + 。 （13）令t = x x = t , dx = tdt 2 1 2 ，则 2 ，于是 dx 1 2 + x ∫ = ln 1 2 ln(1 2 ) 1 tdt t t c x x t = − + + = − + + + ∫ C 。 （14）令t x x t dx t dt 3 3 2 = 1− ，则 = 1− , = −3 ，于是 x x d 2 3 ∫ 1− x = ∫ ∫ − 3 (1− t ) t dt = −3 (t − 2t + t )dt 3 2 3 3 6 9 4 7 10 3 3 3 3 6 3 (1 ) (1 ) (1 ) 4 7 10 = − − + x − − x − x +C 。 （15） dx x x 2 −1 ∫ = 1 2 2 2 1 arccos 1 1 dx dx C x x x x − − − = − = − − ∫ ∫ + 。 （16）令 x = asint ，则 x a x dx 2 2 2 − ∫ = ∫ ∫ = − t dt a a tdt (1 cos 2 ) 2 sin 2 2 2 176