习题11.2多元连续函数1.确定下列函数的自然定义域：x11(1) u= ln(y-x)+(2)u=J1-x2-y2(3) u=R2-x?-y2-22+/x2+y2+22-r2 (R>r);2(4）u=arcsin-x?+y解(1) D=(x,)|x2+y2<1, y>x)。(2) D= (x,y,2)] x>0, y>0,z>0)。(3) D= (x,y,2) r? ≤x? +y2 +2? ≤r2)。(4) D=(x,J,=)[≤x2+y2, x2 +y2 +0)r32.设(x>0)，求f(x)。(x* +y*)3/2解因为(x2 + y2)3/572(C]所以f(x) :(1+x2)23.若函数z(x,y)=yy+ f(Vx-1),且当y=4时≥=x+l，求f(x)和z(x,J)。解由z(x.4)=V4+f(/-1)=x+1，可得f(Vx-1)= x-1=(V-1+1)2 -1,所以f(x)=(x+1)2 -1= x2 +2x,z(x,y)= x+/y-1 。4.讨论下列函数当(x,y)趋于(0,0)时的极限是否存在：
习题 11.2 多元连续函数 1. 确定下列函数的自然定义域： （1） 2 2 1 ln( ) x y x u y x − − = − + ； （2） x y z u 1 1 1 = + + ； （3） ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 u = R − x − y − z + x + y + z − r R > r ； （4） 2 2 arcsin x y z u + = 。 解 (1) D = {(x, y) x + y < 1, y > x} 2 2 。 (2) D = { } (x, y,z) x > 0, y > 0,z > 0 。 (3) { } 2 2 2 2 2 D = (x, y,z) r ≤ x + y + z ≤ R 。 (4) {( , , ) , 0} 2 2 2 2 D = x y z z ≤ x + y x + y ≠ 。 2. 设 2 2 3 / 2 3 (x y ) x x y f + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (x > 0)，求 f (x)。 解 因为 3 2 2 3/ 2 3 2 2 1 ( ) 1 y x f x x y y x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ， 所以 2 3 2 (1 ) 1 ( ) x f x + = 。 3． 若函数 z(x, y) = y + f ( x −1)， 且当 y = 4时 z = x +1，求 f (x)和 z(x, y)。 解 由 z( , x f 4) = + 4 ( x −1) = x +1，可得 2 f x ( 1− =) x −1 = ( 1 x − +1) −1， 所以 2 2 f ( ) x x = + ( 1) −1 = x + 2x , z(x, y) = x + y −1。 4． 讨论下列函数当(x, y)趋于(0,0) 时的极限是否存在： 1
xyx-y(1) f(x,y)=(2) f(x,y):x+yx2+yxiy3[1, 0<y<x?,(3) f(x,y)=(4) f(x,y)=xt + y810其它点；解（1)）由于(x,kn)-==会-二依赖于k，所以当(x,)趋于(0.0)时函x+kx1+k数极限不存在。kx?k依赖于k，所以当(x,y)趋于(0,0)时函数(2) f(x,kx)=1+k2x2 +(kx)2极限不存在。二趋于(0.0)时，函数极-)=1，所以当(x,J)沿曲线y=（3）由于f(x,限为1，而当(xy)沿x轴趋于(0.0)时，函数极限为0，所以当(xy)趋于(0.0)时函数极限不存在。（4）利用平均值不等式x4 + y82233可得414Jxy31(x,)=I→0,(x,y) →(0, 0) ,833x* + y8Ixy所以当(x,y)趋于(0.0)时函数极限存在且为0。5.对多元函数证明极限唯一性，局部有界性，局部保序性和局部夹逼性。证（1）假设limf(x)=A，limf(x)=B，则V>0，38 >0, Vx(0<x-x k8):1f(x)-Ak8,38, >0, Vx(0<x-xk8,):1f(x)-Bk8 。取=min(8,8,)>0，当0x-xk8，成立IA-Bf(x)-A+If(x)-B<2 ,由于ε为任意正数，所以A=B，即极限唯一。（2）假设limf(x)=A，则对于=1，2
（1） x y x y f x y + − ( , ) = ； （2） 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ； （3） （4） ⎩ ⎨ ⎧ < < = 0 ; 1, 0 , ( , ) 2 其它点 y x f x y 4 8 3 3 ( , ) x y x y f x y + = 。 解（1）由于 1 ( , ) 1 x kx k f x kx x kx k − − = = + + 依赖于 k，所以当 趋于 时函 数极限不存在。 (x, y) (0,0) （2） 2 2 2 ( , ) ( ) 1 kx k f x kx 2 x kx k = = + + 依赖于 k，所以当 趋于 时函数 极限不存在。 (x, y) (0,0) （3）由于 2 ( , ) 1 2 x f x = ，所以当(x, y)沿曲线 2 2 x y = 趋于 时，函数极 限为 1，而当 沿 x 轴趋于 时，函数极限为 0，所以当 趋 于 时函数极限不存在。 (0,0) (x, y) (0,0) (x, y) (0,0) （4）利用平均值不等式 = + 3 4 8 x y 3 8 8 4 4 8 4 1 3 2 1 2 1 x y x x y ≥ + + ， 可得 3 3 3 3 3 1 3 4 8 8 3 | | 4 | | 4 | ( , ) | | | 3 3 | | x y xy f x y xy x y xy = ≤ = + → 0,((x y, ) → (0,0)) ， 所以当(x, y)趋于(0,0) 时函数极限存在且为 0。 5． 对多元函数证明极限唯一性，局部有界性，局部保序性和局部 夹逼性。 证 （1）假设 f (x)=A, f (x)=B，则 0 lim x→x 0 lim x→x ∀ε > 0， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< ε ， 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − B |< ε 。 取δ δ = > min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | A B− |≤ − | ( f x) A| + | ( f x) − B |< 2ε ， 由于ε 为任意正数，所以 A=B，即极限唯一。 （2）假设 f (x)=A,则对于 0 lim x→x ε =1， 2
38>0,Vx(0<x-xk0):1f(x)-A<1,即Lf(x)K/ A|+1。所以f(x)在x。点的某个去心领域有界。A-B>0,(3)设 lim f(x)=A>lim g (x)=B，则对于 ε=238,>0,Vx(0x-x8):1f(x)-AK8,即A+Bf(x)> A-8=2又30, >0,Vx(0<x-x8):1g(x)-B8,即A+Bg(x)<B+8=2取8=min(8,8)>0，当0x-xk，成立局部保序性：A+Bg(x)<≤<f(x)。2(4)假定存在p>0，使当0<x-xkp时成立g(x)≤ f(x)≤ h(x),且 lim g (x) = lim h (x)=A。Vs>0,由 lim h(x)=A,38, >0,Vx(0x-x.8): Ih(x)-A8,所以h(x)<A+ε 。又由 lim g (x)=A,38, >0, Vx(0<x-x. k8):1g(x)-Ak8,所以g(x)>A-6 。取=min(p,0,8)>0，当0x-x8，成立A-<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+8,即 lim f(x)=A。6.对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当x趋于x。时函数f(x)和g(x)的极限存在，则(1) lim f(x)±g (x)) = lim f(x)± lim g (x);3
0 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< 1， 即 | ( f x) |<| A| +1。 所以 f (x)在 x 0点的某个去心领域有界。 (3) 设 f (x)=A> g (x)=B，则对于 0 lim x→x 0 lim x→x 0 2 A B ε − = > ， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< ε ， 即 ( ) 2 A B f A ε + x > − = 。 又 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( g x) − B |< ε ， 即 ( ) 2 A B g B ε + x < + = 取δ δ = > min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立局部保序性： ( ) ( ) 2 A B g f + x < < x 。 (4)假定存在ρ > 0 ，使当 0 0 | < − x x |< ρ 时成立 g f ( ) x x ≤ ( ) ≤ h(x)， 且 g (x) = h (x)=A。 0 lim x→x 0 lim x→x ∀ > ε 0 , 由 h (x)=A， 0 lim x→x 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( h x) − A |< ε ， 所以 h( ) x < A+ ε 。 又由 g (x) =A， 0 lim x→x 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( g x) − A|< ε ， 所以 g( ) x > A−ε 。 取δ ρ = > min{ ,δ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < x x − |< δ ，成立 A g − < ε ( ) x x ≤ f ( ) ≤ h( ) x < A+ ε ， 即 f (x)=A。 0 lim x→x 6． 对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当 x 趋于 x 时函 数 f (x)和 g (x)的极限存在，则 0 （1） f (x)±g (x)) = f (x)± g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 3
(2) lim (f(x) :g (x)= lim f(x) lim g (x);(3) lim (f(x) / g (x)= lim f(x) / lim g (x)(limg(x) ± 0)。证假设limf(x)=A，limg(x)=B。则对任意>0,38 >0,Vx(0<x-xk8):1f(x)-Ak8,38, >0, Vx(0<x-x k8,):1g(x)-Bk8,取=min(8,)>0，当0x-xk，成立I(f(x)±g(x))-(A±B) f(x)-A|+Ig(x)-Bk28 ,所以（1）成立。由于g(x)在x。有极限，所以g(x)在x。局部有界，即存在正数X和8">0，Vx(0x-x8):1g(x)kX。取8=min(8,8,)>0，当0x-x，成立I f(x)g(x)- AB [ f(x)g(x)-Ag(x)/+|Ag(x)-AB/<(X+IAD6,所以（2）成立。[Bl)由于B≠0，38">0,Vx(0x-x.k8"):V021g(x)/B/- ≥[BI ,2取8=min(8",8,8)>0，当0x-xk8，成立f(x)_ A||B(f(x)- A)- A(g(x)-B)g(x)BBg(x)<2(/AI+IBD) 。[BP所以（3）成立。7.求下列各极限：1+x?+ y?1- xy(1)lim(2)lim(x,y)(0,1) x2 + y?(x,J)→(0,0)x2 +/1+ xy1x2 + y2(3)(4)limlim(x,j)→(0,0)(x,j)→(0,0)xy/1+x2+v2-1In(x? +e)sin(x + y3)(5)lim(6)lim(x,j)-(0,0)x+(x,)(0,0)x? + y21- cos(x? + y2)(7)lim(8)(x+y)lim (x2 + y(x,)→(0,0) (x2 + y2)x2yy→+alim (1-xy)1 xy解(1)(x.p)-→(0,1)lim(x,)(0,1) x2 + ylim(x+y)x.V)-(4
（2） (f (x) ·g (x)) = f (x)· g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x （3） (f (x)／g (x)) = f (x)／ g (x) （ g (x) ≠ 0）。 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 证 假设 f (x)=A， g (x)=B。则对任意 0 lim x→x 0 lim x→x ε > 0， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< ε ， 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( g x) − B |< ε ， 取δ δ = > min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | ( f g ( ) x x ± − ( )) (A± B) |≤| f (x) − A| + | g(x) − B |< 2ε ， 所以（1）成立。 由于 g (x)在 x 有极限，所以 g (x)在 x0局部有界，即存在正数 X 和 0 δ ' > 0 ， ∀x 0 (0 < − | x x |< δ '): | ( g x) |< X 。 取 δ δ = min{ ',δ 1 2 ,δ } > 0 ， 当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | f g ()( x x) − ≤ AB | | f g ()( x x) − Ag(x) | + | Ag(x) − AB | < + ( | X A|)ε ， 所以（2）成立。 由于 B≠0， 0 2 B ε ε ⎛ ⎞ ∀ < ⎜ ⎟ < ⎝ ⎠ ，∃δ " > 0， 0 ∀x x (0 < − | x |< δ ")： | | | ( ) | | | 2 B g B x > −ε ≥ 。 取δ δ = > min{ ",δ 1 2 ,δ } 0 ，当 0 0 | < x x − |< δ ，成立 ( ) ( ( ) ) (() ) ( ) ( ) f A B f A A g B g B Bg − − − − ≤ x x x x x 2 2(| | | |) | | A B B ε + < ， 所以（3）成立。 7． 求下列各极限： （1） 2 2 ( , ) (0,1) 1 lim x y xy x y + − → ； （2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → ； （3） xy xy x y 1 1 lim ( , ) (0,0) + − → ； （4） 1 1 lim 2 2 2 2 ( , ) (0,0) + + − + → x y x y x y ； （5） 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim 2 x y x e y x y + + → ； （6） 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → ； （7） 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( ) 1 cos( ) lim x y x y x y x y + − + → ； （8） 。 2 2 ( ) lim ( ) x y y x x y e − + →+∞ →+∞ + 解 （1） ( , ) (0,1) 2 2 2 2 ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) lim (1 ) 1 lim 1 lim ( ) x y x y x y xy xy x y x y → → → − − = = + + 。 4
(2)lim(1+x2+y)=1，所以lim-++y)=0.(x,y)→(0,0x,y)1+x? + y?lim(x,y)(0,0)x? + y2I+ xy 1(3)limlim(x,J)→(0,0)xy(x,y)→(0,0)/1+xy+1x?+ y2(4)lim(/1+x? +y2 +1)=2 。lim(xy)-→(0,0)/1+ x2 + y2 1(x,y)(0,0(5) In(x? +e")= In(1+x? +e -1)=x?+y +o(y)=x? +y? +o(x?+y),所以In(x? +e)lim(x,j)→(0,0)x2+ y2(6)sin(x+y)x +yHx+yllx+y-xy2|x+y/lx+y/所以sin(x3 + y3)lim=0(x,3)→(0,0)x+y（7）因为(x2 +y2)2((x,y)→(0, 0)),1 -cos(x2 +)(x2 + y2)211lim+0(x? + y)xy2Ixyl(x)-(0,0) x)所以(x*+y2)?1-cos(x? + y2)2limlim(x)-(0,0) (x2 + y*)x*y2(a.y)-(00) (x+y)xy(8) lim (x? + y2)e-(+)= lim [(xe)e-"+ lim [(y'e-")e-=0toy-→+aoy-+a8.讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限：5
（2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim ( ) 0, lim (1 ) 1 x y x y x y x y → → + = + + = ，所以 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → = + ∞ 。 （3） ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 1 1 1 lim lim 1 1 x y x y xy → → xy xy + − = + + = 2 1 。 （4） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 ( , ) (0,0) lim lim ( 1 1) 2 1 1 x y x y x y x y x y → → + = + + + + + − = 2 2 。 （5） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln( ) ln(1 1) ( ) ( ) y y x + = e x + + e − = x + y + o y = x + y + o x + y ， 所以 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim y x y x e → x y + = + 1。 （6） 3 3 3 3 2 2 2 2 | sin(x + y x ) |≤| + y |=| x + + y || x y − xy |≤ 2 | x + y || x + y |， 所以 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → =0。 （7）因为 ( ) 2 2 1 2 2 2 1 cos( ) ( ) ( , ) (0, 2 − + x y ∼ x y + x y → 0) ， 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 2 ( ) | | x y x y x y xy + ≥ + ( , ) (0,0) 1 lim x y → xy ， = +∞ ， 所以 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 cos( ) lim ( ) x y x y → x y x y − + = + 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 ( ) 2 lim ( ) x y x y → x y x y + = + + ∞。 （8） 2 2 ( ) 2 2 lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 x y x y y x x x x y y y x y e x e e y e e − + − − − − →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + = ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 。 8． 讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限： 5