第五章行微分中值定理及其应用习题5.1微分中值定理1．设f(x。)>0，f(x)<0，证明x。是f(x)的极小值点。证由f(x)>0，可知当8>0足够小时，若0<x-x<，则(s)-()>0，于是()-()>0；同理，由J(xo)<0，可知当>0X-xo足够小时，若--<0，则-)<0，于是也有X-Xof(x)-f(x)>0。从而命题得证。2.（Darboux定理）设f(x)在(a,b)上可导，x,xzE(a,b)。如果(x)F(x2)<0，证明在x和xz之间至少存在一点，使得F()=0。证显然xx，不妨设x<x。若f(x)>0，则f(x)<0，仿照习题1可证存在<<<，使得f()<f()，f()<()，从而,都不是f(x)的最大值点，于是f(x)在[,]的最大值点e(,2)，并且成立f()=0。若(x)<0，则f(x2)>0，同样可证f(x)在[x,]的最小值点(xi,x2)，并且成立f()=0。3.举例说明Lagrange中值定理的任何一个条件不满足时，定理结论就有可能不成立。解[-1,1]上的符号函数sgn(x)在x=0不连续，所以Lagrange中值定理的条件不满足。而-=1，不存在e(-1),(5)=1。1-(-1)[-1,1]上的绝对值函数|x|连续，但在x=0不可微，所以Lagrange中值96
第五章 微分中值定理及其应用 习 题 5.1 微分中值定理 ⒈ 设 f x + ′( ) 0 > 0， f x − ′( ) 0 < 0，证明 x0 是 f x( )的极小值点。 证 由 f x + ′( ) 0 > 0 ，可知当 δ > 0 足够小时，若 0 < x − x0 < δ ， 则 0 0 ( ) ( ) 0 f x f x x x − > − ，于是 f x( ) − f x( 0 ) > 0；同理，由 f x − ′( ) 0 < 0，可知当δ > 0 足够小时，若 − δ < x − x0 < 0 ， 则 0 ( ) ( ) 0 0 < − − x x f x f x ，于是也有 f x( ) − f x( 0 ) > 0。从而命题得证。 2．（Darboux 定理）设 f x( )在( , a b)上可导， x1 , x2 ∈ ( , a b)。如果 f x ′( ) 1 ⋅ f x ′( 2 ) < 0，证明在 x1和 x2 之间至少存在一点ξ，使得 f ′( ) ξ = 0。 证 显然 1 2 x ≠ x ，不妨设 1 2 x < x 。若 1 f x ′( ) > 0，则 2 f x ′( ) < 0，仿照习题 1 可证存在 1 3 4 2 x < < x x < x ，使得 1 3 f ( ) x f < (x )， 2 ( ) ( )4 f x f < x ，从而 1 2 x , x 都 不是 f (x)的最大值点，于是 f (x)在 1 2 [ , x x ]的最大值点ξ 1 2 ∈( , x x )，并且 成立 f ′( ) ξ = 0。若 f x ′( )1 < 0，则 2 f x ′( ) > 0，同样可证 f (x)在 1 2 [ , x x ]的最 小值点ξ 1 2 ∈( , x x )，并且成立 f ′( ) ξ = 0。 3． 举例说明 Lagrange 中值定理的任何一个条件不满足时，定理结 论就有可能不成立。 解 [ 1− ,1]上的符号函数sgn(x) 在 x = 0不连续，所以 Lagrange 中值定理 的条件不满足。而 (1) ( 1) 1 1 ( 1) f f − − = − − ，不存在ξ ∈( 1− = ,1), f '(ξ ) 1。 [ 1− ,1]上的绝对值函数| x |连续，但在 x = 0不可微，所以 Lagrange 中值 96
定理的条件不满足。而)-(-}=0,但e(-1,1),0, (5)=±10 。1-(-1)设函数f(x)在[a,b1上连续，在(a,b)上可微。利用辅助函数41x f(x) 1y(x)=a f(a) 1[bf(b) 1证明Lagrange中值定理，并说明y(x)的几何意义。证显然y(a)=y(b)=0，并且满足Rolle定理条件。由Rolle定理，在(a,b)内存在一点，使得[1f()0y(5)=a f(a) 1=f(5)(b-a)-[f(b)-f(a)=0 ,bf(b)1所以Lagrange中值定理成立。几何意义：以(x,f(x),(a,f(a),(b,f(b)顶点的三角形如果顶点逆时针排列，则(x)就是三角形面积的两倍，否则一y(x)就是三角形面积的两倍。5.设函数f(x)和g(x)在[a,b)上连续，在(a,b)上可导，证明(a,b)内存在一点，使得f(a)f(b)lf(a)()(h-g(a) g(b)g(a) g(5)f(a)f(b)l[f(a) f(x)则 F(a)=F(b)=0 , 由证令F(x)=-a)-(b-a)xg(a) g(b)g(a)g(x)Rolle定理，在(a,b)内存在一点，使得f(a)f()f(a)f(b)F()=0Chg(a)g(b)g(a) g'()6．设非线性函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则在(a,b)上97
定理的条件不满足。而 (1) ( 1) 0 1 ( 1) f f − − = − − ，但∀ξ ∈ −( 1,1), ξ ξ ≠ 0, f '( ) = ±1 ≠ 0。 4. 设函数 f x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可微。利用辅助函数 ψ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x a f a b f b = 1 1 1 证明 Lagrange 中值定理，并说明ψ(x)的几何意义。 证 显然ψ ( ) a =ψ (b) = 0，并且满足 Rolle 定理条件。由 Rolle 定理，在 ( , a b)内存在一点ξ，使得 1 '( ) 0 '( ) ( ) 1 '( )( ) [ ( ) ( )] 0 ( ) 1 f a f a f b a f b f a b f b ξ ψ ξ ξ = = − − − = ， 所以 Lagrange 中值定理成立。 几何意义：以(x, f x( )),( , a f (a)),(b, f (b)) 顶点的三角形如果顶点逆时 针排列，则ψ (x)就是三角形面积的两倍，否则－ψ (x)就是三角形面积 的两倍。 5． 设函数 f (x)和 g x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导, 证明( , a b)内存 在一点ξ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b ′ ′ = − 。 证 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a g x f a f x x a b a g a g b f a f b F x = − − − ，则F(a) = F(b) = 0，由 Rolle 定理，在( , a b)内存在一点ξ，使得 0 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) = − − = ξ ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b F 。 6． 设非线性函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，则在( , a b)上 97
至少存在一点n，满足11(n)>[(b)- (a),b-a并说明它的几何意义。证由于f(x)是非线性函数，所以在(a,b)内至少存在一点，使得(5,F(5))不在(a,f(a),(b,f(b)的连线上。假设(5,f())在(a,f(a),(b,f(b)的连线的上方，则f()-f(a)、f(b)-f(a)、f(b)-f()b-ab-s=-a利用Lagrange中值定理，存在5ie(a,5),5,e(5,b)，使得1(5)>)=(>T(5),h-所以 max(1 (5)1 (,)1>≥b)=1(。 当 (5, (5)在(a, (a),b, (b) 的b-o连线下方时同理可证。几何意义：在[a,b1上连续、在(α,b)上可导的非线性函数，必定在某点切线斜率的绝对值大于[a,b1间割线斜率的绝对值。aa其中a±0为常数。7.求极限limn2arctan-arctann+1naaarctan--arctann+1V其中位于解由Lagrange中值定理，a2n+1a1+2nn+1之间。当n→8时，趋于1，所以1+aarctan-arctannann+lOalimn?limarctanarctan#-→*n+1a.ann+1n n+1nalim2n+11+298
至少存在一点η，满足 | ( ) | | ( ) ( ) ′ > | − − f f b f a b a η ， 并说明它的几何意义。 证 由于 f x( )是非线性函数，所以在( , a b)内至少存在一点ξ ，使得 ( , ξ f (ξ ))不在( , a f (a)),(b, f (b))的连线上。 假设( , ξ f (ξ ))在( , a f (a)),(b, f (b))的连线的上方，则 f ( ) f ( ) a f (b) f ( ) a f (b) f ( ) a b a b ξ ξ ξ ξ −−− > > −−− ， 利用 Lagrange 中值定理，存在 1 2 ξ ∈( , a b ξ ξ ), ∈(ξ, ), 使得 1 2 ( ) ( ) '( ) '( ) f b f a f f b a ξ ξ − > > − ， 所以 1 2 ( ) ( ) max{| '( ) |,| '( ) |} | | f b f a f f b a ξ ξ − > − 。当( , ξ f (ξ ))在 的 连线下方时同理可证。 ( , a f (a)),(b, f (b)) 几何意义：在[ , 上连续、在 上可导的非线性函数，必定在 某点切线斜率的绝对值大于[ , 间割线斜率的绝对值。 a b ] ( , a b) a b ] 7．求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ 1 lim arctan arctan 2 n a n a n n ，其中a ≠ 0为常数。 解 由 Lagrange 中值定理， 2 arctan arctan 1 1 1 1 a a n n a a n n ξ − + = + − + ，其中ξ 位于 1 a n + 与 a n 之间。当n → ∞时， 2 1 1+ ξ 趋于1，所以 2 arctan arctan 1 lim arctan arctan lim 1 1 1 n n a a a a na n n n n n n a a n n →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + − = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + − + 2 1 limn 1 1 na a →∞ n ξ ⎛ ⎞ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + = 。 98
8.用Lagrange公式证明不等式：(1)Isin x-sin y≤[x-yl;(2)ny"-l(x-y)<x"-y" <nx"-l(x-y) (n>1, x>y>0);b-α<lnb,b-a (b>a>0);(3)baa(4)e*>1+x (x>0).证 (1)[sinx-sinyHcos(x-y)x-y。(2) x"-y"=n"-l(x-),其中x>>y>0。由x"-1 >"-l >y"-l>0得到my"-l(x-y)<x"-y"<nx"-l(x-y) (n>l, x>y>0)。b(b-a)，其中b>5>a>0。由于！<<,，所以(3) ln ==Inb-lna=bsaa5b=a<inb,b-abaa(4)e-1=er-e=e(x-0)>x,x>5>0。9. 设f(x)在[a,b]上定义，且对任何实数x和x2，满足If(x)-f(x2)[≤(x) -x2)2,证明f(x)在[a,b]上恒为常数。证首先由IF(x)-(x2)(x,-x2)2可知f(x)在[a,b]上连续。对任意固定的e(ab)，lim)(mx-x0，故(s)=0，再由x的X, -X2任意性，得到f(x)在(a,b)上恒等于0。所以f(x)在[a,b]上恒为常数。10.证明恒等式T(1)arcsinx+arccosx=x e[0,]];2(2)3arccosx-arccos(3x-4x3)=元，xe22299
8． 用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ |sin x y − ≤ sin | | x − y |; ⑵ ( ) ( ) ( 1, 0); 1 1 − < − < − > > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n ⑶ ln ( > > 0) − < < − b a a b a a b b b a ; ⑷ e > 1+ x (x > 0). x 证 ⑴ | sin x − = sin y x | | cosξ ⋅( − y) |≤| x − y |。 ⑵ , 1 ( ) n n n x y nξ x y − − = − 其中 x > > ξ y > 0。由 xn n − − 1 1 > > ξ yn−1 > 0得到 ( ) ( ) ( 1, 0) 1 1 − < − < − > > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n 。 ⑶ 1 ln ln ln ( ) b b a b a a ξ = − = − ，其中b > > ξ a > 0。由于 1 1 1 b a ξ < < ，所以 ln b a b b a b a a − − < < 。 ⑷ e 1 x x − = e e − 0 = e ξ (x − 0) > x, x > ξ > 0。 9． 设 f (x)在[ , a b ]上定义，且对任何实数 x1和 2 ，满足 2 2 x | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − ， 证明 f (x)在[ , a b ]上恒为常数。 证 首先由 可知 在[ , 上连续。对任意固 定的 | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − f x( ) a b ] 2 x ∈( , a b) ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) lim | | lim | | 0 x x x x f x f x x x → x x → − ≤ − = − ，故 ，再由 的 任意性，得到 在 上恒等于 0。所以 在[ , 上恒为常数。 2 f x'( ) = 0 x2 f '(x) ( , a b) f x( ) a b ] 10． 证明恒等式 ⑴ arcsin x x + = arccos π 2 ， x ∈[ , 0 1]； ⑵ 3 3 4 3 arccos x x − arccos( − x ) = π ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ − 2 1 , 2 1 x ； 99
2x(3)2arctanx+arcsin=元， x E[1,+00]1+x2证（1）令f(x)=arcsinx+arccosx，则11f'(x)==0,VxE(0,I)yi-x2Vi-x2由于f(x)在[0,1]连续，所以(x)=f(0)=2（2）令f(x)=3arccosx-arccos(3x-4x3），注意到1-4x≥0,Vxe(n所以3-12x231 1=0, VxE(-f(x)=2'Vi-x?1-(3x- 4x3)2由于(x)在[-连续，所以()=(0)=3号-号=元。22222.2x注意到x2-1>0.Vx>1，所以(3）令f(x)=2arctanx+arcsin1+ x2212(1+ x°)- 4x2=0, Vx>1。f'(x):(1+x°)21+x2x1+:由于(x)在[1,+o0)连续，所以f(x)= f()=2+=元 。4211.设函数f(x)在[a,b1上连续，在(a,b)上可导。证明：若(a,b)中除至多有限个点有f"(x)=0之外，都有f(x)>0，则f(x)在[a,b]上严格单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。证设a=x<<…<x<x=b，其中x,x是fx)全部的零点。则f(x)在[x,x](i=0,1,,n-1)上严格单调增加。从而，f(α)在[a,b]上严格单调增加。构造函数(Ox= 0,f(x):13.2-(n+2) + 2-(n+2) ccos(,n=1,2,..n)元,n+1xn100
⑶ = π + + 2 1 2 2arc tan arcsin x x x ，x ∈[ , 1 +∞). 证（1）令 f x( ) = arcsin x + arccos x，则 2 2 1 1 '( ) 0, (0,1) 1 1 f x x x x =−≡ ∀ ∈ − − 。 由于 f (x)在[0,1]连续，所以 ( ) (0) 2 f x f π ≡ = 。 （2）令 3 f ( ) x x = − 3arccos arccos(3x − 4x ) ，注意到 2 1 1 1 4 0, ( , ) 2 2 − ≥ x x ∀ ∈ − ， 所以 2 2 3 2 3 3 12 1 '( ) 0, ( , ) 1 1 (3 4 ) 2 2 x f x x x x x − = − + ≡ ∀ ∈ − − − − 1 。 由于 f (x)在 1 1 [ , 2 2 − ]连续，所以 ( ) (0) 3 2 2 f x f π π ≡ = − = π 。 (3) 令 2 2 ( ) 2arctan arcsin 1 x f x x x = + + ，注意到 2 x −1 0 > ∀, x >1，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2(1 ) 4 '( ) 0, 1 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 x x f x x x x x x + − = + ≡ ∀ + + − + > 。 由于 f (x)在[1,+∞) 连续，所以 ( ) (1) 2 4 2 f x f π π ≡ = + = π 。 11．设函数 f x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导。证明：若( , a b)中除 至多有限个点有 f x ′( ) = 0 之外，都有 f x ′( ) > 0 ，则 f (x)在[ , a b ]上严格 单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。 证 设a x = <0 1 x <"< xn−1 < xn = b，其中 1 2 1 , , , n x x x " − 是 全部的零点。 则 在 上严格单调增加。从而， 在[ , 上 严格单调增加。 f '(x) f x( ) 1 [ , ] ( 0,1, , 1) i i x x i n + = " − f x( ) a b] 构造函数 ( 2) ( 2) 0, 0; ( ) 1 1 1 3 2 2 cos( ) , , 1, 2, . 1 n n x f x n x n x n n π − + − + ⎧ = ⎪ = ⎨ ⋅ + − < ≤ = ⎪ ⎩ + " 100