中国矿亚大医CHINA UNIVERSITYOF MININGANDTECHNOLOGY3.梯形公式隐式公式y"(n)h: y(x+1)= y(x,)+hf(x,y(x,)+2!y'(s)ny(xn+1) = y(xn)+ hf(xn+1,y(xn+1)2!"(5)n"的"符号"相反注意要：T,=(5)n和T,522!2!所以，两式相加并截去”T+T"得：Ja= y,+,L(x,y,)+ f(x/y)] --梯形公式
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 1 2 ( ) ( ) ( ) ( , ( )) 2! n n nn n y y x y x hf x y x h ξ + ′ = ′ ∵ + + 1 2 2 2 ( ) 2 ) ! ( 2! n n y T y T h h ξ ′′ ′ ξ = ′ = − ′ 注意要： 和 的" 符 号"相反 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ,( ( )) ) 2! n nn n n y x y x hf x y x y h ξ + ++ ′′ ′ = + − 所以，两式相加并截去" + "得： T1 T2 1 11 (,) ( , ) 2 n n nn n n h y y fx y fx y + ++ =+ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 3.梯形公式 隐式公式 − − 梯形公式
中国矿亚大医CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY4.改进的Euler公式梯形公式为隐式公式，求解时往往需要求解非线性方程，实际计算中通常由Euler公式对y进行"预测"，利用梯形公式进行"校正”Jn+i=yn+hf(xn,yn)--改进的Euler公式hJn+1=y,+=lf(xn,yn)+f(xn+1,Ja+))h将其改写为(K+KYk+1=yk+二2K, = f(x,yk)K, = f(Xk+1, yx + hK))Jo = y(xo)
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY Euler n 1 y + 梯形公式为 ，求解时往往需要求解非线性方程，实际计算 中通常由 公式对 进行"预测"，利用梯形公式进行 隐式公式 "校正" 1 (,) n n nn y y hf x y + = + 1 1 1 [ ( , ) ( , )] 2 nn n n n n h y y fx y f x y + + =+ + + ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 4. Euler 改进的 公式 − −改进的 公式 Euler 将其改写为 1 12 ( ) 2 k k h y y + =+ + K K 1 (,) K fx y = k k 21 1 (, ) K f x y hK = k k + + ( ) 0 0 ⎪ y = y x ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧
中国矿亚大医CHINA UNIVERSITYOF MININGANDTE2XOLOGY0≤x≤1y=yy例2求解初值问题(h= 0.1)y(0) =12x解f(x,y)=yy自Euler公式2xyn+i = y, + hf(x,,y.) = y, +h(ynV改进Euler公式旬2xn≤K,f(x.,yn)= ynynJu+I = y, + hf(xn,y,) = y.+hK,2X#+12X+1≤K2f(Xn+,Jn+l) = Jn+1(y, +hK,Yn+!y,+hK,hJn+1= yn +=(K, +K,)
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例2 求解初值问题 2 0 1 x yy x y ′ = − ≤≤ y(0) 1 = ⎧ ⎨ ⎩ （ ） h = 0.1 Euler公式 改进 公式 Euler 1 (,) n n n n y yhf x y + = + 2 ( ) n n n n x y h y y =+ − 解 2 (,) y x f y y x = − 2 (,) n nn n n x fx y y y = − 1 (,) n n nn y y hf x y + = + n K1 = y + h 1 1 (,) n n f x y + + ( ) ( ) 1 1 1 2 n n n x y hK y hK + + − + = K 2 1 1 2 ( ) 2 n n h y + = y + K K+ K1 1 1 1 2 n n n x y y + + = − +
中国矿亚大整CHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGY局部截断误差和方法的阶数二口局部截断误差将方程精确解y(x）代入数值求解公式左右两端，左右两端之差T=(x+）-yn+为方法的局部截断误差。口方法的精度若T=O(hP+l)，则称此方法具有p阶精度或称方法是p阶的。口Euler公式的局部截断误差与精度
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 三 局部截断误差和方法的阶数 局部截断误差 = 1 1 ( ) ( ) T n n y y x y x + − + 将方程精确解 代入数值求解公式左右两端， 左右两端之差 为方法的 局部截断误差 。 方法的精度 1 ( ) p Th p O p + 若 ，则称此方法具有 阶精度或称方法是 阶的。 = Euler公式的局部截断 度 误差与精
(x+）解函数y(x）在x+点处的精确值；中国矿亚大医CHINA UNIVERSITYOF MININGANDTECHNJa+i：假设第n步没有误差的条件下，代入1.Euler公式：数值公式后得到的yx的近似值Yn+i = y, + hf(x,,y,): T, = y(xn+) - yn+I= y(xn+1) -[y(x,)+ hf(xn,y(x,)=x,)+(x,(-x,)+(-x,+. [(x)+hy(x,)2!= (x, +y(x,)h+ +.. [(x,)+ hy(x,)]21y"(x)n+...2!= 0(h°)y"(x)n =0(h)局部截断误差首项为：2!方法具有”一阶”精度
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 1 1 1 ( ) n n T y x y ∵ = + − + 1 ( ) n y x = + 2 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! n n nn n n n y x yx y x x x x x + + ′′ = + −+ − ′ + " 2 ( ) () () 2! n n n y x yx y x h h ′′ = + + ′ + " 2 ( ) 2! n y x h ′′ = + " 2 = O h( ) 2 2 ( ) ( ) 2! n y x h O h ′′ ∴局部截断误差首项为： = 1 1 ( ) ( ) n n y x y x x + ：解函数 在 点+ 处的精确值； 1 1 ( ) : n n n y x y + + 假设第 步没有误差的条件下，代入 数值公式后得到的 的近似值。 方法具有"一阶 "精度。 1. Euler公式： 1 (,) n n nn y y hf x y + = + ( ) ( , ( )) n nn − + ⎡ ⎤ y x hf x y x ⎣ ⎦ () () n n − ⎡ y x hy x + ′ ⎤ ⎣ ⎦ () () n n − ⎡ y x hy x + ′ ⎤ ⎣ ⎦